2025年中考數(shù)學大題專練：四邊形的證明與計算問題（9大題型）（解析版）

中考大題05四邊形的證明與計算問題

考情分析?直擊中考

四邊形在中考數(shù)學中是占比較大，考察內(nèi)容主要有各個特殊四邊形的性質(zhì)、判定、以及其應(yīng)用:考察題

型上從選擇到填空再到解答題都有，題型變化也比較多樣;并且考察難度也都是中等和中等偏上，難度較大,

綜合性比較強.所以需要考生在復(fù)習這塊內(nèi)容的時候一定要準確掌握其性質(zhì)與判定，并且會在不同的結(jié)合問

題上注意和其他考點的融合.

琢題突破?保分必拿

四邊形對角互補模型

正方形對稱模型

與正方形有關(guān)的三垂直模型

四邊形翻折模型

與四邊形有關(guān)的新定義問題

題型一：利用四邊形的性質(zhì)與判定求解

龍麓》大題典例

1.（2023,廣東深圳?中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為4。邊上一點，連接BE,

①若BE=BC,過。作CF1BE交BE于點F,求證：AABE=AFCB；

②若s矩形4BCD=20時，則BE-CF=.

(2)如圖，在菱形4BCD中，cos力=，過C作CE14B交力B的延長線于點E,過E作EF1力。交4D于點尸,

若S菱形4BCD=24時，求EF?BC的值.

(3)如圖，在平行四邊形28CD中，乙4=60。，48=6,力。=5,點E在CD上，且CE=2,點F為BC上一點,

連接EF,過E作EG1EF交平行四邊形2BCD的邊于點G,若EF-EG=7g時，請直接寫出4G的長.

備用圖

【答案】⑴①見解析；②20；(2)32；(3)3或4或5

【分析】

(1)①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出N4BE+/CBF=90。，ACFB=Z4=90°,進而證明AFCB="BE結(jié)合已知條

件，即可證明△ABE三ZiFCB；

②由①可得"CB=〃BE,ZCFB=Z4=9O°,證明△4BEs/iFCB,得出號=,，根據(jù)S矩形

=AB-CD=20,即可求解；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出4DIIBC,AB=BC,根據(jù)已知條件得出BE=*C/E=證明

△AFEFBEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)分三種情況討論，①當點G在4。邊上時，如圖所示，延長FE交4。的延長線于點M,連接GF,過點E

作于點“，證明△EDM“△￡1”■,解RtZ\DEH,進而得出MG=7,根據(jù)tan/MEH=tan/HGE,

得出HE2=HM-HG,建立方程解方程即可求解；②當G點在48邊上時，如圖所示，連接GF,延長GE交8c

的延長線于點M,過點G作GNII4D,貝UGNIIBC,四邊形4DNG是平行四邊形，同理證明△ENG“△ECM,根

據(jù)tan/FE”=tanNM得出=建立方程，解方程即可求解；③當G點在8c邊上時，如圖所示,

過點B作BT1DC于點7,求得SaB7c=等，而SZSEFG=1^，得出矛盾，則此情況不存在.

【詳解】解：(1)①：四邊形4BCD是矩形，貝U乙4=NABC=90。,

：.AABE+ACBF=90°,

又?:CF1BC,

：.Z.FCB+ACBF=90°,Z.CFB=AA=90°,

;?乙FCB=乙ABE,

又?：BC=BE,

：.AABE=/\FCB；

②由①可得=^CFB=^A=90°

???△ABEFCB

,AB_BE

*'cF-~BC9

又TS矩形ABCO=AB-CD=20

工BE,CF=AB,BC=20,

故答案為：20.

…1

(2),在麥形/BCD中,COST4=

：.AD\\BC,AB=BC,

貝=

CELAB,

"CEB=90。,

RF

???3s乙CBE=—

CD

:?BE=BC-cos乙CBE=BCxcos乙4=mBC,

：.AE=AB+BE=AB+*C=AB+^AB=^AB,

?：EF1ADfCELAB

：.^AFE=^BEC=90°f

又上CBE=LA,

：.AAFE~ABEC,

.AE_EF_AF

**~BC~~CE~~BE"

:.EF-BC=AE-CE=^ABxCE=宇菱形ABCD=?X24=32；

(3)①當點G在4。邊上時，如圖所示，延長FE交4。的延長線于點M,連接GF,過點E作EH上。M于點H,

M

;平行四邊形4BC。中，48=6,CE=2,

：.CD=AB=6,DE=DC-EC=6-2=4,

,：DM\\FC,

：.△EDMECF

.EMEO4c

??==—=',

EFEC2

?S4MGE_EM_

?,SAFEG=/="

:?S4MGE=2S4EFG=EF?EG=

在RtZXOEH中，^HDE=^A=60°,

則￡7/=學g=梟4=2亞DH=^DE=2,

：.^MGxHE=7V3

：.MG=7,

VGElEFfEHIMG,

：.Z-MEH=90°一乙HEG=乙HGE

/.tanzMEH=tanZ.HGE

.HE_HM

**~HG~~HE

:.HE2=HM-HG

設(shè)力G=a,貝ljGO=4D—/G=5—a,GH=GD+HD=5-a+2=7-a,HM=GM-GH=7-(7-d)

=a,

2

(2V3)=x(7—%)

解得：。=3或。=4,

即ZG=3或ZG=4,

②當G點在邊上時，如圖所示,

連接G匕延長GE交BC的延長線于點M,過點G作GNIL4D,則GNII8C,四邊形4DNG是平行四邊形,

設(shè)ZG=%,則DN=AG=%,EN=DE-DN=4-x,

GNWCM

：.△ENGECM

.EG_EN_GN_4-x

'9EM~'EC~CM~~2~

：.CM=^10

4—x4^x

?S^GEF_EG_4f

EM2

'：EF-EG=7y/3

2sMEF_7V3

??S&MEF—

4-X4-x

過點E作EH1BC于點H,

在RtZ\EHC中，EC=2,AECH=60°,

:.EH=?CH=1,

：.SAMEF=^XMFXEH,貝葉XV^XMF=^

Z乙4一X

14

：.MF=—

4—x

1410X10

：.FH=MF-CM-CH=---,MH=CM+CH=—14r

4-x4-x4-x74-x4—x

???Z.MEF=乙EHM=90°,

Z.FEH=90°-乙MEH=zM

tanZ.FEH=tanZ.M,

nnFHEH

即c育n=兩nlVl，

：.EH2=FH-HM

即詆J亡

解得：Xi=-,%2=8（舍去）

即4G=|；

③當G點在BC邊上時，如圖所示,

過點B作BT1DC于點T,

在RtZkBTC中，CT=^BC=|,BT=^TC=當,

???5AB7-C=|B7，XTC=|X^X|=^,

'：EF-EG=743,

^AEFG=p/3,

V^/3<|V3,

；.G點不可能在BC邊上，

綜上所述，4G的長為3或4或|.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌

握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?甘肅蘭州?中考真題)綜合與實踐

【思考嘗試】

(1)數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在矩形48。中，E是邊AB上一點，DF1CE于點尸,

GD1DF,AG1DG,AG=CF.試猜想四邊形4BCD的形狀，并說明理由；

【實踐探究】

(2)小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形ABC。中，￡是邊力B上一點，DF1CE

于點尸，AHLCE于點、H,GD1DF交力”于點G,可以用等式表示線段F”，AH,CF的數(shù)量關(guān)系，請你思考

并解答這個問題；

【拓展遷移】

(3)小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3,在正方形4BCD中，E是邊AB

上一點，4H1CE于點〃，點M在CH上，且=連接4M,BH,可以用等式表示線段CM,的數(shù)

量關(guān)系，請你思考并解答這個問題.

【答案】(1)四邊形4BCD是正方形，證明見解析；(2)FH=AH+CF；(3)MC=^BH,證明見解析；

【分析】(1)證明△ADG三△(?￡>￡可得2D=CD,從而可得結(jié)論；

(2)證明四邊形DGH尸是矩形，可得NG=90。=NDFC,同理可得：^ADG=Z.CDF,證明△40G三△CDF,

DG=DF,AG-CF,證明四邊形DGHF是正方形，可得HG=HF,從而可得結(jié)論；

(3)如圖，連接力C,證明乙4HE=N48C=90。，*=/-BAC=45°,AAHE-ACBE,可得7T=菽,

ADCCDC

再證明△HEBsaAEC,可得N"BE=NMCA,證明△AHB-aaMC,可得格=*=2，從而可得答

MCACV2

案.

【詳解】解：(1)'：GDLDF,DF1CE,AG1DG,

.?.NG=NDFC=90°,^ADG+AADF=90°,

?..矩形力BCD,

：.Z.ADC=90°=^ADF+乙CDF,

:?乙ADG=^CDF,

9

：AG=CFf

：.AADG三ACDF,

：.AD=CD,

???矩形/BCD是正方形.

(2)VDF1CE,AHICE,GD1DFf

：.乙DFH=ZH=乙GDF=90°,

???四邊形DG”F是矩形，

：.^G=90°=Z.DFCf

同理可得：^ADG=^CDF,

??,正方形ABC。，

：.AD=CD,

：.AADGmACDF,

；.DG=DF,AG=CF,

???四邊形DG”F是正方形，

：.HG=HFf

：.FH=HG=AH+AG=AH+CF.

(3)如圖，連接4C,

?：AHICEf正方形/BCD,

：.^AHE=AABC=90°,=V2,zBXC=45°,

AD

■:乙AEH=cCEB,

：.AAHE-ACBE,

,AE_HE

*'~CE~~BE9

圖3

U：/.BEH=^AEC,

:.AHEBFAEC,

：.Z.HBE=Z.MCA,

9

：AHLCEfAH=HM,

：./-HAM=^Q=Z.BAC,

：.Z.HAE=Z.MAC,

：.AAHB-AAMC,

.HB_AB

…荻=就=后

：.MC=y/2BH.

【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)建相似三角形是解本題的關(guān)鍵.

3.(2023?江蘇徐州?中考真題)【閱讀理解】如圖1,在矩形ABCO中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得

222222

AC=a+b,同理呂懈二十+^,^AC2+^D=2(a+Z?).

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形ABCD為平行四邊形，若==則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判

斷，并說明理由.

【拓展提升】如圖3,已知8。為△ABC的一條中線，AB=aBC=bAC=c.求證：8。2=叫打一日.

ffzq

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形4BCD中，若2B=8,BC=12,點尸在邊力D上，貝中/+PC?的最小值為

圖1圖2圖3圖4

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見解析；拓展提升：證明見解析；嘗試應(yīng)用：200

【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作4ELBC于點E,作DFLBC交BC的延長線于點R則N4EB=NCFD=90。，證明Rt

△4BE三RtaDCF(HL),BE=CF,利用勾股定理進行計算即可得到答案；

拓展提升：延長B。到點C,使。D=B。,證明四邊形2BCD是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+BD2

^2(AB2+BC2),則c2+(2BO)2=2(a2+b2),得到c2+48〃=292+爐)，即可得到結(jié)論；

嘗試應(yīng)用：由四邊形4BCD是矩形，AB=8,BC=12,得到SB=CD=8,BC=4D=12,^A=AD=90°,設(shè)

AP=x,PD=12-x,由勾股定理得到PB2+PC2=2(X—6)2+200,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答

案.

【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：

作2E_LBC于點E,作DF_L8C交的延長線于點尸，則乙4E8=NCFD=90。，

n------------s/__d

ECF

圖2

:四邊形力BCO為平行四邊形，若48=a,BC=b,

：.AB=DC=a,AD||BC,AD=BC=b,

,：AEIBC,DFIBC,

：.AE^DF,

Rt△ABE^Rt△DCF(HL),

：.BE=CF,

：.AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2

={AB2-BE2)+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2

=AB2-BE2+BC2-2BC-BE+BE2+BC2+2BC-BE+BE2+AE2

=AB2+BC2+BC2+BE2+AE2

AB2+BC2+BC2+AB2

=2(XB2+BC2)

—2(a2+b2)；

拓展提升：延長8。到點C,使。。=8。,

圖3

為△4BC的一條中線，

OA^CO,

四邊形4BCD是平行四邊形，

AB=a,BC=b,AC=c.

.,.由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+B￡)2=2(4B2+BC2),

：.c2+(,2BO)2=2(a2+b2),

：.c2+4BO2=2(a2+b2),

.??8。2=等一條

嘗試應(yīng)用：：四邊形ABCD是矩形，AB=S,BC=12,

=CO=8,BC=AO=12,乙4=4。=90°,

設(shè)力P=x,貝i」PD=4D-4P=12—x,

：.PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=x2+82+(12-x)2+82

=2x2-24%+272=2(%-6)2+200,

V2>0,

???拋物線開口向上，

當x=6時，PB2+尸。2的最小值是200

故答案為：200

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌

握勾股定理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系:

矩形

+7a鄰邊相等

2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)

四邊形邊角對角線對稱性

平行四邊形對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分中心對稱

軸對稱、中心對

矩形對邊平行且相等四個角都是直角兩條對角線互相平分且相等

稱

對邊平行且四條兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對

菱形對角相等

邊都相等一條對角線平分一組對角稱

對邊平行且四條兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對

正方形四個角都是直角

邊都相等一條對角線平分一組對角稱

3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定

四邊形邊角對角線

平行四邊形1）兩組對邊分別平行兩組對角分別相等兩組對角線互相平分

2）兩組對邊分別相等

3）一組對邊平行且相等

矩形1）平行四邊形+一直角平行四邊形+兩條對角線相等

2）四邊形+三直角

菱形1）平行四邊形+一組鄰邊相等平行四邊形+兩條對角線互相

2)四邊形+四條邊都相等垂直

正方形矩形+一組鄰邊相等菱形+一直角兩條對角線互相垂直平分且相

等的四邊形

蘢A笠式訓級

1.(2023?山東濟南?模擬預(yù)測)如圖1,在矩形4BCD中，點E,F分別在AB,BC邊上，DE^AF,DE1AF

于點G.

(1)求證：四邊形A8CD是正方形;

(2)延長CB到點H,使得=判斷△4”尸的形狀，并說明理由.

⑶如圖2,在菱形ABCD中，點E,F分別在AB,BC邊上，DE與力尸相交于點G,DE=AF,AAED=60°,

AE=6,BF=2,求DE的長.

【答案】⑴見解析

⑵△力HF是等腰三角形，理由見解析

(3)8

【分析】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等

三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得=48=90。，證明△4DE三△BAF(AAS),得出即可得證；

(2)△力DE三△BAF(AAS)得出AE=BF,結(jié)合已知得出=再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得

AH=AF,饑渴的解；

(3)延長CB到點H,使BH=4E=6,連接2H,證明△三△ABH(SAS)得出AH=DE,

AAHB=^DEA=60°,證明出△4HF是等邊三角形即可得解.

【詳解】(1)證明：???四邊形力BCD是矩形，

Z.DAB=Z-B—90°,

DE1AF9

A/-DAB=乙4Go=90°,

/.BAF+^DAF=90°,zXDE+zDXF=90°,

/.Z.ADE=4BAF,

?.?DE=AF,

ADE=△BZF(AAS),

:.AD=AB,

四邊形"BCD是正方形；

(2)解：△4HF是等腰三角形，

理由如下：

???四邊形2BCD是正方形，

二ND4B=N4BH=90°,

vDE1AF,

Z.DAB=AAGD=90°,

???484尸+乙。49=90。，AADE+^DAF=90°,

Z.ADE=Z.BAF,

DE=AF,

ADE=△B/F(AAS),

???AE—BF,

-BH=AE,

???BH=BF,

???乙ABH=90°,

?,?/”=”，

是等腰三角形；

(3)解：如圖，延長CB到點H,使B”=4E=6,連接4H,

AD

E

H'

BFG

???四邊形/BCD是菱形,

??AD\\BC,AB=AD,

???乙ABH=乙BAD,

???BH=AE,

??.△DAE=△ABH(SAS),

/.AH=DE,Z.AHB=￡,DEA=60°,

DE=AF,

???AF=AH,

??.△4HF是等邊三角形，

AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,

.-.DE=AH=8.

2.(2023?廣東深圳?模擬預(yù)測)【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)在一次小組合作探究課上，老師將正方形48CD和正方形AEFG按如圖所示的位置擺放，連接BE和DG,

請直接寫出線段BE與DG的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系

【類比探究】

(2)若將“正方形ABCD和正方形力EFG改成“矩形4BCD和矩形AEFG,且矩形ABCD“矩形AEFG,4E=3,

AG=4,如圖，點E、D、G三點共線，點G在線段DE上時，若2。=絲詈，求8E的長.

【拓展延伸】

(3)若將正方形4BCD和正方形4EFG改成菱形力BCD和菱形2EFG,且菱形A8CD”菱形4EFG如圖3,AD=5,

2C=6,2G平分ND4C,點P在射線4G上，在射線2尸上截取4Q,使得4Q=”P,連接PQ,QC,當tan/PQC=

爭寸，直接寫出4P的長.

圖3圖3

【答案】(1)BE=DG,BELDG；(2)3；(3)4傷或竽

【分析】(1)可證明△B4E三△D4G,從而BE=DG,^ADG=AABE,進一步得出結(jié)論；

(2)作AHIDE于H,可依次求得EG=5,=GH=費,解直角三角形Rt△力DH求得DH=?,DG=4,

可證明△ABEs/kADG,從而常=*=',從而得出BE=；GD=3；

uLJAu44

(3)分為兩種情形：當Q在4F上時，連接BD,交2C于T,作CH14F,交2F的延長線于H,作CRII4G,交4F

ADApr

于R,可證得ND4c=NG4F,—=—=l，從而得出△￡>?!「，△P4Q,從而NPQ4=乙4TD=90。，可推出

AlA"3

Z-CQH=Z.APQ,從而tan"Q"=tan乙4PQ,從而得出累=設(shè)C”=3%,QH=4%,可求得tan“Z”=：,

Q門4Z

從而穿=[,從而得出力H=2CH=6x,根據(jù)勾股定理得(6x)2+(3無尸=62,得出刀=平，進而得出結(jié)果;

/in乙5

當Q在AF的延長線上時，同樣方法得出結(jié)果.

【詳解】解：(1)如圖1,

設(shè)DG和BE的延長線交于“，DH和AB交于0,

???四邊形力BCD和四邊形4EFG是正方形,

：.AD=AB,AG=AE,/.BAD=Z.EAG=90°,

???乙BAE=Z-DAG,

???△B4E—04G(SAS),

BE=DG,Z-ADG=Z-ABE,

V^AOD=乙BOH,

???乙BHO=Z.DAO=90°,

BE-LDGf

故答案為：BE=DG,BEIDG；

(2)如圖2,

作力H1DE于H,

四邊形4E”是矩形，

???N￡;4C=90°,

AE—3,AG—4,

???EG=5,

由S4E4G=3石6-4口=15-46得，54H=12,

GH=y/AC2—AH2=J42—(y)2=y>

在中，4D==

，DH=J(手I小)2=q

■.DG=DH-CH=^--Y=4,

■■矩形ABC。s矩形4EFG,

.5G=㈤D,*煞

:.乙BAE=乙DAG,

'.AABE-AADG,

BE_AE_3

??布—而一"

BE=^GD=3；

圖3

當Q在AF上時，

連接BD,交4c于7,作CHJ.4F,交4尸的延長線于H,作CRII4G,交4F于R,

???四邊形4BCD是菱形，

：.BDLAC,AT=^AC=3,

菱形ZBCD”菱形力EFG,

11

???乙DAB=LGAE,^DAC=-Z-DAB,Z,GAF=-/-GAE,

???Z.DAC=Z-GAF,

Z.DAG=Z.CAF,

???/G平分NZMC,

???乙DAG=Z-CAG,

???"4F=4G="4G；

?,==?^DAC=AGAF,

??.△DAT7PAQ,

???^PQA=Z.ATD=90°,

■.■AQ=IAP,

■-PQ=dAP2-AQ2=JAP2-(|用2=±AP,

4

tan/PAQ=竟=喘=$Z.PAQ+Z.APQ=90°,

4

vtanzPQC=

Z-PAQ=(PQC,

工乙CQH=^APQ,

3

???tanZ-CQH—tanZ-APQ=

CH3

,---------

**QH~4f

設(shè)。"=3%,QH=4%,

如圖4,過/作/MJ_4。于M,

:.DT=V52-32=4,

-/.DAI=AJAI,DT1AT,4/TO=90。，

；」M=IT

-S^ADT=^AT-DT=^AD-IM+^AT?T1=/D+AT}-TI,

11

/--x3x4=-x(5+3)xT/,

：.tan/-CAG=-^=1=tanZ.CAH,

CHi

**~AH~29

^AH=2CH=6x,

???(6x)2+(3x)2=62,

._2V5

?v,-A.-5,

???AQ=AH-QH=2x=—,

.MP=|4Q=華；

如圖5,

當Q在4F的延長線上時，

由上可知：=4%+6%=10%,

4Q=10x等=4V5,

.-.AP=|x<2=竽；

綜上所述：4P=4通或喈.

【點睛】本題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角

三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，作輔助線，構(gòu)造直角三角形.

3.（2023?福建龍巖?模擬預(yù)測）綜合與實踐：過四邊形ABCD的頂點/作射線AM,P為射線4M上一點，連

接DP.將4P繞點/順時針方向旋轉(zhuǎn)至4Q,記旋轉(zhuǎn)角NP4Q=a,連接BQ.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,數(shù)學興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形ABCD是正方形，且a=90。，無論點P在何處,

總、有BQ=DP,請證明這個結(jié)論.

【類比遷移】如圖2,如果四邊形力BCD是菱形，ND4B=a=60。，Z.MAD=15°,連接PQ.當PQ1BQ,

魚時，求人尸的長.

【拓展應(yīng)用】如圖3,如果四邊形/BCD是矩形，AD=3f48=4,AM平分4/C,ct=90°.在射線4Q上

截取4R,使得4R=%1P.當APBR是直角三角形時，請直接寫出4P的長.

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：見解析；類比遷移：2；拓展應(yīng)用：乎或喑

【分析】探究發(fā)現(xiàn)：用正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換證明△ADP三△ABQ(SAS),即可證得結(jié)論；

類比遷移：如圖2,過點尸作PHL4B于點〃，連接BP,先證明△?!￡)「三△ABQ(SAS),可得BQ=DP,

^APD^^AQB,再證明：△APQ是等邊三角形，△4PH是等腰直角三角形，△BPQ是等腰直角三角形，

利用解直角三角形即可求得答案；

拓展應(yīng)用：分三種情況討論：①當NBRP=90。時，②當NPBR=90°時，③當ZBPR=90°時，分別求出4P

的長即可.

【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：證明：如圖1,???四邊形4BCD是正方形，

D/MC

：.AD=AB,/.BAD=90°,

ND力P+NBAM=90°,

VZ.PAQ=90°,

???Z.BAQ+Z-BAM=90°,

Z-DAP=乙BAQ,

???將ZP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)至4Q,

AP=AQ,

.-.△71DP=A^Q(SAS),

??.BQ=DP.

類比遷移：解：如圖2,過點尸作PHI2B于點X,連接BP,

Q

圖2

???四邊形ABC。是菱形,

-AD=AB,

由旋轉(zhuǎn)得：AP=AQ,

vZ.DAB=a=60°,即4。48=4尸/Q=60。，

A/-DAP+/-BAM=60°,Z.BAQ+=60°,

???/-DAP=乙BAQ,

???△4。尸三△/BQ(SAS),

???BQ=DP,Z-APD=Z.AQB,

-AP=AQ,乙PAQ=60。,

??.△ZPQ是等邊三角形，

???"QP=60°,

vPQ1BQ,

???48QP=90。，

A乙AQB=Z.AQP+乙BQP=60°+90°=150°,

???Z-APD=Z.AQB=150°,

/.Z-DPM=180°-/-APD=180°-150°=30°,

???Z-MAD=15°,

???^ADP=乙DPM-乙MAD=30°-15°=15°,

???Z-ADP=4MAD,

^AP=DP,

???AQ=BQ=PQ=AP,

???乙ABQ=乙BAQ=Z-MAD=15°,

:.乙PAH=Z.PAQ一(BAQ=60°-15°=45°,

-PHLABf

???乙AHP=乙BHP=90°,

???△ZPH是等腰直角三角形，

???AH=PH^AP-sin45°=號AP,

?:BQ=PQ,4PQB=9?！?

??.△BPQ是等腰直角三角形，

???乙PBQ=45°,

:.乙PBH=乙PBQ-乙ABQ=45°-15°=30°,

BH==號AP=匈p,

tan/PBHtan3002

???AB=AH+BH=亭4P+爭1P=竺/P,

,:AB=V6+V2J

:?警AP=

?MP=2；

拓展應(yīng)用：解：①當NBRP=90。時，如圖3,連接DP,PQ,過點3作BEL4Q于點E,

設(shè)4M交CD于點尸，過點尸作FG14C于點G,

圖3一

?.?四邊形ABC。是矩形,

???/.BAM+/.DAP=90°,/.ADC=90°,

???Z-BAM+Z-BAR=90°,

乙DAP=乙BAR,

??,AD=3,AB=4,

AD3

??商一］，

■■■AR=^AP,

AP3

?,族一1，

AD_AP

f，~AB~AR9

??.△ADP~AABR,

DPAD=*即BR=gDP,

~BR~AB

???AM平分NEMC,FD1AD,FGVAC,

??.FD=FG,

在中，AC=y/AD2+CD2=V32+42=5,

.A。

???smZ-ArC\D43

FG.3

■.--=smy^ACD=~,

DF3

**CF-5*

???DF+CF=CD=4,

?"F=53,"=*s

在中，4已=7AD?+DF2=?+針=竽

vZ.BAR=^LDAP,/.AEB=Z.ADF=90°,

AADF,

AEBEABAEBEJ_

???布=而=而，即Rn可=三=孽，

.-.AE=^-,8￡"=竿，

???4BRP=90。，

???N/RP+4BRE=90。，

???Z-ARP+(APR=90°,

:.乙BRE=Z-APR,

???tan乙BRE=tanZ.APRf

.BE_AR_4

??瓦一第—天

.?.ER=JBE=]X迪=幽

4455

??,AR+ER=AE,

.?爭P+*華，

AP=噂

4

②當NPBR=90。時，如圖4,過點P作PG14。于點G,PHLAB于點H,

3

/5._AG_AD_2V5

則sinzDAF=慕=等=翕=2晨，COSZnD71pF----

2

■.PG=^-AP,AG=^AP,

VAGAH=AAGP=4AHP=90°,

二.四邊形AGP"是矩形，

,-.AH=PG=^AP,PH=AG=^-AP,

BH=AB—AH=4—爭P,

222

BP=PH+BH=（等4P）?+（4一電力p）?=AP2—W4p+16,

在RtADPG中，DP2=DG2+PG2=（3-^-Apf+（^-Apf=AP2-^-AP+9,

■■■BR=^DP,

BR2=yDP2=^-AP2-喈AP+16,

在RtaaPR中，PR2=AP2+AR2=AP2+（^Apf=^-AP2,

在RtZXPBR中，PR2=BP2+BR2,

???，p2=4P2_皚4P+16+與4P2_瞽4P+16,

解得：4P=磬；

③當乙BPR=90。時，

由②知：BR2=^-AP2-^-AP+16,PR2=^-AP2,BP2=AP2-^AP+16,

PR2+BP2=BR2,

34P2p2_空與P+16=^-AP2-型包P+16,

9+A549151

解得：4。=0或4「=—竽，均不符合題意；

綜上所述，AP的長為乎或譬.

【點睛】本題考查了正方形、菱形、矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理,

采用分類討論的思想，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

題型二：中點四邊形

龍龍》大題典例

1.（2023?山西?中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形4BCD中，點、E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,D4的中點，順次連接得到

的四邊形EFGH是平行四邊形.

圖1

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

（yaringnon,Pierrel654—1722）是法國數(shù)學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交于點P,Q,過點。作DM1AC于點M,交HG于點、N.

???”6分別為4。,。。的中點，.田6||4&"6=9。.（依據(jù)1）

圖2

?喘i=.：DG=GC,：.DN=NM=^DM.

?.?四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，；.HE||GF,即HP||GQ.

■■HG||AC,即HGIIPQ,

1

???四邊形HPQG是平行四邊形.（依據(jù)2）.??SnHPQG=HG-MN=》/G-DM.

<S^ADC=《AC,DM=HG.DM,:.S口HPQG=AADC.同理，…

任務(wù)：

⑴填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形4BCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFG”為

矩形；（要求同時畫出四邊形48CD的對角線）

⑶在圖1中，分別連接4C,BD得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線長度的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

圖3

【答案】（1）三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的

定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

（2）答案不唯一，見解析

（3）平行四邊形EFGH的周長等于對角線4C與8D長度的和，見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；

（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；

（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得她結(jié)

論.

【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）

平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

（2）解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可.例如:

如圖即為所求

A

（3）瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于四邊形48C。的兩條對角線AC與長度的和,

證明如下：?.?點E冏G,H分別是邊48,8&6刀2的中點，

.-.EF=^AC,GH=^AC.

：.EF+GH=AC.

同理EH+FG=BD.

???四邊形EFGH的周長=EF+GH+EH+FG=AC+BD.

即瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于對角線ZC與BD長度的和.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線.熟練掌握三角形中位線定理是解題的

關(guān)鍵.

蘢塞》擲黃揖導

【模型介紹】依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.

中點四邊形的性質(zhì)：

已知點E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點，則

八1

①四邊形EFGH是平行四邊形②（＞EFGH=AC+BD③SEFGH='SABCD

【補充】

結(jié)論一：順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所組成的四邊形是矩形.

結(jié)論二：順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是菱形.

結(jié)論三：順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是正方形.

速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.

龍A笠式訓綣

1.（2022?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點0,E、F、G、H分別是48、

BC、CD、口4邊中點，連接EF、FG、GH、HE,分別交兩條對角線于點P、點Q、點R、點S,S.AC=BD.

（1）如圖1,求證：四邊形EFGH是菱形；

⑵如圖2,若4c垂直平分8D,在不添加任何字母及輔助線的情況下，請直接寫出圖中銳角Na,使Na正弦

值等于PR與4B的比值.

【答案】⑴見解析

（2）NB4C,ADAC,NBEF和NDHG

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到EF=/C,EH=^BD,GH=\AC,FG=^BD,進而得到

EF=FG=HG=EH,根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。B=。。，AB=AD,進而得到ABAC=ND4C,根據(jù)正弦定義解答即

可.

【詳解】（［）解：?./、F、G、”分別是力B、BC、CD、邊中點，

：.EH.FG分另lj是△4BD和△BCD的中位線，

：.EF=^AC,EH=^BD,GH=^AC,FG=^BD,

■■■AC=BD,

.-.EF=FG=HG=EH,

???四邊形EFGH是菱形.

（2）解：「AC垂直平分BD,

：.0B=0D,AB=ADt

'.'AC1BD,

：.Z-BA0=Z.DA0,

?；E、F、G、H分別是AB、BC、CD、邊中點,

.-.EFWAC,GHWAC,

??,BP=PO,DR=OR,

：.PR=OB,

ODpn

在RtMOB中，sinNB40=*=m

ADAD

.,Za是力。/DA。

■,■EFWAC,GHWAC,

=/-BEF,乙DAO=^DHG,

.?za是NBA。，ADAO,NBEF和NDHG.

【點睛】本題考查菱形的判定和銳角三角函數(shù)，熟練掌握菱形的判定定理：四邊相等的四邊形是菱形以及

銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?三模)折紙是一項有趣的活動，有的同學玩過折紙，可能折過小動物、飛機、

小船等.在折紙過程中，不僅可以得到一些美麗的圖形,而且其中還蘊含著豐富的數(shù)學知識.

如圖①，菱形紙片4BCD中，48=4,右4=60。.

BB

DD

圖①圖②圖③圖④

⑴活動一:

如圖②，折疊菱形紙片4BCD,使點4落在點8處，則折痕的長為；菱形紙片4BCD的面積是

(2)活動二：

如圖③，E,F,G,H分別是菱形紙片4BCD各邊的中點，分別沿著EF,FG,G”,HE折疊并展開.猜想四邊形EFG”

是什么特殊四邊形，并證明你的猜想；

⑶活動三：如圖④，先將菱形紙片4BCD沿4C折疊再展開，點E,F,G,H分別在邊4B,BC,CD,n4上且EFII4C,

再分別沿著EF,FG,GHHE折疊再展開，若四邊形EFG”是正方形，貝!ME=；

⑷活動四：如圖⑤，折疊菱形紙片4BCD,使點2落在2C邊的中點F處，則折痕MN的長為.

【答案】⑴2收8V3

(2)矩形，證明見解析.

（3）6-2V3

⑷Q

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可推知DE148,然后用解直角三角形的方法求得菱形的高，最后再算出菱

形的面積.

（2）分別連接對角線，然后根據(jù)三角形的中位線定理，并結(jié)合菱形對角線互相垂直的性質(zhì)證明四邊形EFGH

是矩形.

（3）充分利用含60。角的菱形與其內(nèi)接正方形的條件，將已知與待求的量通過相似三角形的成比例線段聯(lián)

系在一起，從而使問題求解.

（4）充分利用60。直角三角形的性質(zhì)和折疊的對稱性質(zhì)，將待求的量與已知量聯(lián)系在一起，從而解得待求

的量.

【詳解】（1）如圖2,根據(jù)折疊的性質(zhì)，△4DE三△8DE,

：.AE=BE,DE1AB.

所以4E=^AB=京4=2.

.一r）pr）p

在直角中，N4=60°,tanNA=tan60°=g,tanzX=—=—,

AEZ

??-V3=警DE=2y/3,

因此折痕DE的長為2K.

菱形4BCD的面積為：2s△4BD=2xx力BxDE）-2x|X4X（2V3）=8V3.

（2）如下圖，連接4如BD.

???￡、F、G、”分別是48、BC、CD、ZM的中點,

???由三角形中位線定理得,EF||AC.GH||AC,

.■.EF||GH,同理，EH||FG.貝UEFGH是平行四邊形.

又?.?菱形4BCD的對角線AC與BD相互垂直，EF||AC,FG||BD,

貝IJEF1FG,NEFG=90°,

,.四邊形EFGH是矩形.

(3)連接BD,與力C、EF交于點O、點0.設(shè)47、EH相交于點P.

???菱形對角線互相垂直，且平分內(nèi)角，

.-.AC1BD,zF/10=|x60°=30o.

由EF