2025年中考數(shù)學分類專項復習之三角形

2025年中考數(shù)學考點分類專題歸納

三角形

知識點一、三角形的有關概念和性質

1.三角形三邊的關系：

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.

2.三角形按“邊”分類：

f不等邊三角形

底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

3.三角形的重要線段：

(1)三角形的高

從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三

角形的高.

備注：三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內；直角

三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.

(2)三角形的中線

三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線.

備注：一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點，叫做三角形的重心.中線把三角形分成面積

相等的兩個三角形.

(3)三角形的角平分線

三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平

分線.

備注：一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點，這一點叫做三角形的內心.

4.三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.

知識點二、三角形的內角和與外角和

1.三角形內角和定理：三角形的內角和為180。.

推論：1.直角三角形的兩個銳角互余

1

2.有兩個角互余的三角形是直角三角形

2.三角形外角性質：

（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角.

3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.

知識點三、全等三角形的判定與性質

邊角邊（SAS）

角邊角（ASA）

判定角角邊（AAS）

邊邊邊（SSS）

直角三角形（HL）

對應邊相等，對應角相等，對應邊上的中線、高

性質

線、角平分線對應相等

備注判定三角形全等必須有一組對應邊相等

知識點四、全等三角形的證明思路

'找夾角fSAS

已知兩邊一找直角fHL

找另一邊f(xié)SSS

邊為角的對邊一找任一角fAAS

’找夾角的另一邊f(xié)SAS

已知一邊一角＜

邊為角的鄰邊找夾邊的另一角fASA

，找邊的對角―AAS

,找夾邊f(xié)ASA

已知兩角＜

找任一邊TAAS

知識點五、全等三角形證明方法

運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何

問題.可以適當總結證明方法.

2

1.證明線段相等的方法：

(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.

(2)利用角平分線的性質證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

(3)等式性質.

2.證明角相等的方法：

(1)利用平行線的性質進行證明.

(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.

(3)利用角平分線的判定進行證明.

(4)同角(等角)的余角(補角)相等.

(5)對頂角相等.

3.證明兩條線段的位置關系(平行、垂直)的方法；

可通過證明兩個三角形全等，得到對應角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.

4.輔助線的添加：

(1)作公共邊可構造全等三角形；

(2)倍長中線法；

(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；

(4)利用截長(或補短)法作旋轉變換的全等三角形.

5.證明三角形全等的思維方法：

(1)直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩

個角所在的兩個三角形及它們全等的條件.

(2)如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應根據(jù)圖形的其它性質

或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.

(3)如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關系，此時應添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形,

通過構造出全等三角形來研究平面圖形的性質.

知識點六、線段垂直平分線與角平分線

1.線段的垂直平分線

線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條

線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

3

2.角平分線的性質

(1)角的平分線的性質定理

角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

(2)角的平分線的判定定理

角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

3、與角平分線有關的輔助線

在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形；

在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.

知識點七、等腰三角形

1.等腰三角形

(1)定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形性質

①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；

②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合(簡稱“三線合一”).特別

地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.

(3)等腰三角形的判定

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(即“等角對等邊“).

2.等邊三角形

(1)定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

(2)等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形.

3.直角三角形的性質定理：

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

知識點八、勾股定理及勾股定理的逆定理

4

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊a、Z?的平方和等于斜邊C的平方.（即：a2+b2=c2）

2.勾股定理的應用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：

（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；

（3）求作長度為、加的線段.

3.勾股定理的逆定理

（1）原命題與逆命題

如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把

其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.

（2）勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長。、b、C,滿足“2+32=02,那么這個三角形是直角三角形.

應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：

①首先確定最大邊，不妨設最大邊長為C;

②驗證與/+尸是否具有相等關系，若a2+〃=c2,則4ABC是以NC為直角的直角三角形，反

之，則不是直角三角形.

4.勾股數(shù)

滿足》2+y2=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以X、y、Z為三

邊長的三角形一定是直角三角形.

常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、b、c）是勾股數(shù)，當t為正整數(shù)時，以S、初、a為三角形的三邊長，此三角形必為直角三

角形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；

2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.

3.假設三個數(shù)分別為a、b、c,且那么存在/=b+c成立.（例如④中存在7?=24+25、

5

92=40+41等)

知識點九、三角形的中位線

1.連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2.定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.1.（2024貴州貴陽）如圖，在4

/8C中有四條線段班，BE,EF,FG,其中有一條線段是△48C的中線，則該線段是（）

A.線段跳B.線段宏C.線段序D.線段尸G

2.頂角為30。的等腰三角形三條中線的交點是該三角形的（)

A.重心B.夕卜心C.內心D.中心

3.已知一個三角形的兩邊長分別為8和2,則這個三角形的第三邊長可能是（)

A.4B.6C.8D.10

4.（2024湖南長沙）下列長度的三條線段，能組成三角形的是)

A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15c加

C.5cm,5cm,10cmD.6cm,7c14C/7?

5.（2024湖北黃石）如圖，ZVlbC中，是8C邊上的高，AE,8尸分別是2班C、N/8C的平分線，NBAC

=50°,ZABC=60a,貝l]N曰6N/3=()

C.85°D.90°

6.（2024廣西防城港）如圖，是△48C的外角，CE平方乙ACD,若N/=60°,N8=40°,則

等于（）

6

E

60

A.40°B.45°0.50°D.55°

7.（2024貴州黔西南州）下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側△/口7全

8.（2024山東東營）如圖，點F在△08。的邊。8上，點/在△，員?內部，NDAE=NBAC=9G°,AD=AE,

給出下列結論：

①BD=CE；②NABKNECB=45。；③BDLCE；④8e=2（瘋+初）-切.其中正確的是（）

C.①②③D.①③④

9.（2024山東臨沂）如圖，ZACB=90°,AC=BC.ADLCE,BEVCE,垂足分別是點久E,47=3,的=1,

貝I］宏的長是（）

C.2A/2D.\/10

10.如圖，在N相〃中，以點。為圓心，任意長為半徑作弧，交射線加于點4交射線?！ㄓ邳c8,再分別

7

以48為圓心，刃的長為半徑作弧，兩弧在/肌加的內部交于點C,作射線0C.若%=5,AB=6,則

點8到/C的距離為（）

2412

A.5B.5C.4D.5

11.(2024黑龍江大慶)如圖，NB=NC=90。，M是8c的中點，ZW平分N47G,且,則NM48

=()

A.30°B.35°0.45°D.60°

12.（2024湖北黃岡）如圖，在△?!宓中，跳是加的垂直平分線，且分別交8a4C于點。和￡,NB=60：

20=25：則N劭。為（）

13.（2024浙江湖州）如圖，AD,小分別是△他?的中線和角平分線.若/8=4?,/CAD=20°、貝國的

度數(shù)是（）

BD

8

A.20°B.35°C.40°D.70°

14.（2024福建A卷）如圖，等邊三角形1中，ADLBC,垂足為優(yōu)點F在線段上，NEBC=45。，則

N4結等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

15.（2024山東淄博）如圖，在中，CM平為NACB交AB于點、M,過點用乍肺〃外交兒?于點小且

MN平分NAMC,若/〃=1,則6C的長為（）

A.4B.6C.4^/3D.8

16.（2024湖北黃岡）如圖，在RtZkMC中，ZACB=90°,CO為四邊上的高，宏為邊上的中線，47=2,

A.2B.3C.4D.2價

17.（2024陜西）如圖，在中，AC=Q,NABC=6Q°,ZC=45°,ADLBC,垂足為。，N/8C的平分

線交/。于點￡則然的長為（）

9

A

8

c.V

18.（2024四川瀘州）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲.如圖所

示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形較長

直角邊長為a,較短直角邊長為，若數(shù)=8,大正方形的面積為25,則小正方形的邊長為（）

B.60.4D.3

19.（2024湖南長沙）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一

塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角

形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，

1里=500米，則該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米

C.75平方千米D.750平方千米

20.（2024湖北荊州）如圖，兩條直線Rt△/第中，ZC=90°,AC=BC,頂點48分別在/,和/2

上，Z1=20°,則N2的度數(shù)是（）

A.45°B.55°0.65°D.75°

21.（2024四川攀枝花）如圖，等腰直角三角形的頂點AC分別在直線a、6上，若a〃6,N1=30°,則

N2的度數(shù)為（）

10

Aa

A.30°B.15°C.10°D.20°

22.（2024內蒙古包頭）如圖，在中，AB=AC,的頂點。，￡分別在股4;上，且4M90°,

AD=AE.若N3N仍￡145°,則的度數(shù)為（）

A.17.5°B.12.5°0.12°D.10°

_1

23.（2024江蘇蘇州）如圖，在△/!&?中，延長BC至伉使得如?BC,過4C中點E作序〃3（點尸位于

點F右側），豆EF=2CD,連接分；若48=8,則。尸的長為（）

24.（2024四川綿陽）如圖，在中，AC=3,BC=4,若4?,仍邊上的中線加垂直相交于。點,

貝IjAB=.

25.（2024甘肅白銀）已知a,b,c是△/6C的三邊長，a,6滿足|a-7|+（6-1）2=0,c為奇數(shù)，貝Uc=

26.（2024江蘇泰州）已知三角形兩邊的長分別為1、5,第三邊長為整數(shù)，則第三邊的長為

27.（2024四川巴中）如圖，在△/比1中，BO、G0分別平分N/8C、NACB.若N8OC=110°,則N4=

II

A

28.（2024湖南永州）一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、CE相交于點D,貝N8%=

29.在△/8C中，若N4=30°,NB=50°,貝.

30.（2024浙江金華）如圖，1的兩條高/〃，比相交于點尸，請?zhí)砑右粋€條件，使得△加必（不

添加其他字母及輔助線），你添加的條件是.

31.（2024浙江衢州）如圖，在△4861和△叱中，點8,F,C,F在同一直線上，BF=CE,AB//DE,請?zhí)砑?/p>

一個條件，使△/S儂△。優(yōu)這個添加的條件可以是（只需寫一個，不添加輔助線）.

32.（2024廣東深圳）如圖，四邊形43尸是正方形，NC&和N/好都是直角且點￡A,8三點共線，AB

=4,則陰影部分的面積是一.

12

D

33.如圖，AC=BC,請你添加一對邊或一對角相等的條件，使你所添加的條件是

34.（2024湖南永州）現(xiàn)有48兩個大型儲油罐，它們相距2府，計劃修建一條筆直的輸油管道，使得A

8兩個儲油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5km,輸油管道所在直線符合上述要求的設計方案有—

種.

35.（2024山東德州）如圖，GC為N/5的平分線，CMVOB,OC=5,OM=4,則點C到射線力的距離為_.

36.如圖，在中，川=10,&?=6,四的垂直平分線交加于點。，交/C于點￡則48g的周長是

37.在直角三角形1中，2ACB=9N,D、F是邊上兩點，且您所在直線垂直平分線段/〃，3平分

/BCE,BC=2#,則48=.

13

A

D

38.（2024四川南充）如圖，在△｛氏?中，4尸平分N&1C,/C的垂直平分線交8c于點F,NB=70°,NFAE

=19°,則_度.

39.（2024貴州遵義）如圖，△48。中.點。在8c邊上，BD=AD=AC,F為曲的中點.若NOIF=16°,則

NB為一度.

40.（2024天津，17,3分）如圖，在邊長為4的等邊△/861中，D,E分別為他8c的中點，F(xiàn)J_加于點

F,G為標的中點，連接。G,則。G的長為.

41.如圖，RtZ\/8C中，ZABC=90°,。為47的中點，若Nk55°,貝

42.（2024湖北荊州，15,3分）為了比較G+1與回的大小，可以構造如圖所示的圖形進行推算，其中

14

Z^90°,BC=3,〃在8C上且做=47=1.通過計算可得非+1—\例.（填或"V"或“=”）

43.如圖，在直角中，NC=90：AC=b,BC=8,P、。分別為邊8C、上的兩個動點，若要使△

的。是等腰三角形且△外。是直角三角形，則AQ=

44.（2024云南，6,3分）在△/回中，48=用,AC=5,若8c邊上的高等于3,則8c邊的長為.

45.（2024山東東營）如圖所示，圓柱的高/8=3,底面直徑仇=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從4處沿圓柱表

面爬到對角。處捕食，則它爬行的最短距離是（）

3^4+7T2

C,2D.3」1+M

46.（2024廣西賀州,18,3分）如圖，正方形四緲的邊長為12,點￡在邊四上，BE=8,過點￡作出〃

BC,分別交8久CD于G、尸兩點.若點名。分別為。G、龍的中點，則。。的長為.

47.（2024云南曲靖，11,3分）如圖：在中，48=13,&=12,點。，￡分別是48,6C的中點，連

接DE,CD