2025年中考數(shù)學(xué)分類專項(xiàng)復(fù)習(xí)之三角形

2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類專題歸納

三角形

知識(shí)點(diǎn)一、三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.三角形三邊的關(guān)系：

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.

2.三角形按“邊”分類：

f不等邊三角形

底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

3.三角形的重要線段：

(1)三角形的高

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三

角形的高.

備注：三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角

三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.

(2)三角形的中線

三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線.

備注：一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，叫做三角形的重心.中線把三角形分成面積

相等的兩個(gè)三角形.

(3)三角形的角平分線

三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平

分線.

備注：一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.

4.三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.

知識(shí)點(diǎn)二、三角形的內(nèi)角和與外角和

1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180。.

推論：1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余

1

2.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形

2.三角形外角性質(zhì)：

（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.

3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.

知識(shí)點(diǎn)三、全等三角形的判定與性質(zhì)

邊角邊（SAS）

角邊角（ASA）

判定角角邊（AAS）

邊邊邊（SSS）

直角三角形（HL）

對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線、高

性質(zhì)

線、角平分線對(duì)應(yīng)相等

備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等

知識(shí)點(diǎn)四、全等三角形的證明思路

'找夾角fSAS

已知兩邊一找直角fHL

找另一邊f(xié)SSS

邊為角的對(duì)邊一找任一角fAAS

’找夾角的另一邊f(xié)SAS

已知一邊一角＜

邊為角的鄰邊找夾邊的另一角fASA

，找邊的對(duì)角―AAS

,找夾邊f(xié)ASA

已知兩角＜

找任一邊TAAS

知識(shí)點(diǎn)五、全等三角形證明方法

運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何

問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.

2

1.證明線段相等的方法：

(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.

(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

(3)等式性質(zhì).

2.證明角相等的方法：

(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.

(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.

(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.

(4)同角(等角)的余角(補(bǔ)角)相等.

(5)對(duì)頂角相等.

3.證明兩條線段的位置關(guān)系(平行、垂直)的方法；

可通過證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.

4.輔助線的添加：

(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；

(2)倍長(zhǎng)中線法；

(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；

(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.

5.證明三角形全等的思維方法：

(1)直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩

個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.

(2)如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)

或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.

(3)如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形,

通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).

知識(shí)點(diǎn)六、線段垂直平分線與角平分線

1.線段的垂直平分線

線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條

線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

3

2.角平分線的性質(zhì)

(1)角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

(2)角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

3、與角平分線有關(guān)的輔助線

在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；

在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.

知識(shí)點(diǎn)七、等腰三角形

1.等腰三角形

(1)定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形性質(zhì)

①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；

②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合(簡(jiǎn)稱“三線合一”).特別

地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.

(3)等腰三角形的判定

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(即“等角對(duì)等邊“).

2.等邊三角形

(1)定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

(2)等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個(gè)角為60。的等腰三角形是等邊三角形.

3.直角三角形的性質(zhì)定理：

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

知識(shí)點(diǎn)八、勾股定理及勾股定理的逆定理

4

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊a、Z?的平方和等于斜邊C的平方.（即：a2+b2=c2）

2.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：

（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；

（3）求作長(zhǎng)度為、加的線段.

3.勾股定理的逆定理

（1）原命題與逆命題

如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把

其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.

（2）勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)。、b、C,滿足“2+32=02,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：

①首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為C;

②驗(yàn)證與/+尸是否具有相等關(guān)系，若a2+〃=c2,則4ABC是以NC為直角的直角三角形，反

之，則不是直角三角形.

4.勾股數(shù)

滿足》2+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以X、y、Z為三

邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.

常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、b、c）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以S、初、a為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三

角形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；

2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.

3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為a、b、c,且那么存在/=b+c成立.（例如④中存在7?=24+25、

5

92=40+41等)

知識(shí)點(diǎn)九、三角形的中位線

1.連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

2.定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.1.（2024貴州貴陽）如圖，在4

/8C中有四條線段班，BE,EF,FG,其中有一條線段是△48C的中線，則該線段是（）

A.線段跳B.線段宏C.線段序D.線段尸G

2.頂角為30。的等腰三角形三條中線的交點(diǎn)是該三角形的（)

A.重心B.夕卜心C.內(nèi)心D.中心

3.已知一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8和2,則這個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)可能是（)

A.4B.6C.8D.10

4.（2024湖南長(zhǎng)沙）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是)

A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15c加

C.5cm,5cm,10cmD.6cm,7c14C/7?

5.（2024湖北黃石）如圖，ZVlbC中，是8C邊上的高，AE,8尸分別是2班C、N/8C的平分線，NBAC

=50°,ZABC=60a,貝l]N曰6N/3=()

C.85°D.90°

6.（2024廣西防城港）如圖，是△48C的外角，CE平方乙ACD,若N/=60°,N8=40°,則

等于（）

6

E

60

A.40°B.45°0.50°D.55°

7.（2024貴州黔西南州）下列各圖中a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，則甲、乙、丙三個(gè)三角形和左側(cè)△/口7全

8.（2024山東東營）如圖，點(diǎn)F在△08。的邊。8上，點(diǎn)/在△，員?內(nèi)部，NDAE=NBAC=9G°,AD=AE,

給出下列結(jié)論：

①BD=CE；②NABKNECB=45。；③BDLCE；④8e=2（瘋+初）-切.其中正確的是（）

C.①②③D.①③④

9.（2024山東臨沂）如圖，ZACB=90°,AC=BC.ADLCE,BEVCE,垂足分別是點(diǎn)久E,47=3,的=1,

貝I］宏的長(zhǎng)是（）

C.2A/2D.\/10

10.如圖，在N相〃中，以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交射線加于點(diǎn)4交射線?！ㄓ邳c(diǎn)8,再分別

7

以48為圓心，刃的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/肌加的內(nèi)部交于點(diǎn)C,作射線0C.若%=5,AB=6,則

點(diǎn)8到/C的距離為（）

2412

A.5B.5C.4D.5

11.(2024黑龍江大慶)如圖，NB=NC=90。，M是8c的中點(diǎn)，ZW平分N47G,且,則NM48

=()

A.30°B.35°0.45°D.60°

12.（2024湖北黃岡）如圖，在△?!宓中，跳是加的垂直平分線，且分別交8a4C于點(diǎn)。和￡,NB=60：

20=25：則N劭。為（）

13.（2024浙江湖州）如圖，AD,小分別是△他?的中線和角平分線.若/8=4?,/CAD=20°、貝國的

度數(shù)是（）

BD

8

A.20°B.35°C.40°D.70°

14.（2024福建A卷）如圖，等邊三角形1中，ADLBC,垂足為優(yōu)點(diǎn)F在線段上，NEBC=45。，則

N4結(jié)等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

15.（2024山東淄博）如圖，在中，CM平為NACB交AB于點(diǎn)、M,過點(diǎn)用乍肺〃外交兒?于點(diǎn)小且

MN平分NAMC,若/〃=1,則6C的長(zhǎng)為（）

A.4B.6C.4^/3D.8

16.（2024湖北黃岡）如圖，在RtZkMC中，ZACB=90°,CO為四邊上的高，宏為邊上的中線，47=2,

A.2B.3C.4D.2價(jià)

17.（2024陜西）如圖，在中，AC=Q,NABC=6Q°,ZC=45°,ADLBC,垂足為。，N/8C的平分

線交/。于點(diǎn)￡則然的長(zhǎng)為（）

9

A

8

c.V

18.（2024四川瀘州）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所

示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)

直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為，若數(shù)=8,大正方形的面積為25,則小正方形的邊長(zhǎng)為（）

B.60.4D.3

19.（2024湖南長(zhǎng)沙）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一

塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角

形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長(zhǎng)度單位，

1里=500米，則該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米

C.75平方千米D.750平方千米

20.（2024湖北荊州）如圖，兩條直線Rt△/第中，ZC=90°,AC=BC,頂點(diǎn)48分別在/,和/2

上，Z1=20°,則N2的度數(shù)是（）

A.45°B.55°0.65°D.75°

21.（2024四川攀枝花）如圖，等腰直角三角形的頂點(diǎn)AC分別在直線a、6上，若a〃6,N1=30°,則

N2的度數(shù)為（）

10

Aa

A.30°B.15°C.10°D.20°

22.（2024內(nèi)蒙古包頭）如圖，在中，AB=AC,的頂點(diǎn)。，￡分別在股4;上，且4M90°,

AD=AE.若N3N仍￡145°,則的度數(shù)為（）

A.17.5°B.12.5°0.12°D.10°

_1

23.（2024江蘇蘇州）如圖，在△/!&?中，延長(zhǎng)BC至伉使得如?BC,過4C中點(diǎn)E作序〃3（點(diǎn)尸位于

點(diǎn)F右側(cè)），豆EF=2CD,連接分；若48=8,則。尸的長(zhǎng)為（）

24.（2024四川綿陽）如圖，在中，AC=3,BC=4,若4?,仍邊上的中線加垂直相交于。點(diǎn),

貝IjAB=.

25.（2024甘肅白銀）已知a,b,c是△/6C的三邊長(zhǎng)，a,6滿足|a-7|+（6-1）2=0,c為奇數(shù)，貝Uc=

26.（2024江蘇泰州）已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別為1、5,第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)為

27.（2024四川巴中）如圖，在△/比1中，BO、G0分別平分N/8C、NACB.若N8OC=110°,則N4=

II

A

28.（2024湖南永州）一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、CE相交于點(diǎn)D,貝N8%=

29.在△/8C中，若N4=30°,NB=50°,貝.

30.（2024浙江金華）如圖，1的兩條高/〃，比相交于點(diǎn)尸，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得△加必（不

添加其他字母及輔助線），你添加的條件是.

31.（2024浙江衢州）如圖，在△4861和△叱中，點(diǎn)8,F,C,F在同一直線上，BF=CE,AB//DE,請(qǐng)?zhí)砑?/p>

一個(gè)條件，使△/S儂△。優(yōu)這個(gè)添加的條件可以是（只需寫一個(gè)，不添加輔助線）.

32.（2024廣東深圳）如圖，四邊形43尸是正方形，NC&和N/好都是直角且點(diǎn)￡A,8三點(diǎn)共線，AB

=4,則陰影部分的面積是一.

12

D

33.如圖，AC=BC,請(qǐng)你添加一對(duì)邊或一對(duì)角相等的條件，使你所添加的條件是

34.（2024湖南永州）現(xiàn)有48兩個(gè)大型儲(chǔ)油罐，它們相距2府，計(jì)劃修建一條筆直的輸油管道，使得A

8兩個(gè)儲(chǔ)油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5km,輸油管道所在直線符合上述要求的設(shè)計(jì)方案有—

種.

35.（2024山東德州）如圖，GC為N/5的平分線，CMVOB,OC=5,OM=4,則點(diǎn)C到射線力的距離為_.

36.如圖，在中，川=10,&?=6,四的垂直平分線交加于點(diǎn)。，交/C于點(diǎn)￡則48g的周長(zhǎng)是

37.在直角三角形1中，2ACB=9N,D、F是邊上兩點(diǎn)，且您所在直線垂直平分線段/〃，3平分

/BCE,BC=2#,則48=.

13

A

D

38.（2024四川南充）如圖，在△｛氏?中，4尸平分N&1C,/C的垂直平分線交8c于點(diǎn)F,NB=70°,NFAE

=19°,則_度.

39.（2024貴州遵義）如圖，△48。中.點(diǎn)。在8c邊上，BD=AD=AC,F為曲的中點(diǎn).若NOIF=16°,則

NB為一度.

40.（2024天津，17,3分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△/861中，D,E分別為他8c的中點(diǎn)，F(xiàn)J_加于點(diǎn)

F,G為標(biāo)的中點(diǎn)，連接。G,則。G的長(zhǎng)為.

41.如圖，RtZ\/8C中，ZABC=90°,。為47的中點(diǎn)，若Nk55°,貝

42.（2024湖北荊州，15,3分）為了比較G+1與回的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算，其中

14

Z^90°,BC=3,〃在8C上且做=47=1.通過計(jì)算可得非+1—\例.（填或"V"或“=”）

43.如圖，在直角中，NC=90：AC=b,BC=8,P、。分別為邊8C、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使△

的。是等腰三角形且△外。是直角三角形，則AQ=

44.（2024云南，6,3分）在△/回中，48=用,AC=5,若8c邊上的高等于3,則8c邊的長(zhǎng)為.

45.（2024山東東營）如圖所示，圓柱的高/8=3,底面直徑仇=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從4處沿圓柱表

面爬到對(duì)角。處捕食，則它爬行的最短距離是（）

3^4+7T2

C,2D.3」1+M

46.（2024廣西賀州,18,3分）如圖，正方形四緲的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)￡在邊四上，BE=8,過點(diǎn)￡作出〃

BC,分別交8久CD于G、尸兩點(diǎn).若點(diǎn)名。分別為。G、龍的中點(diǎn)，則。。的長(zhǎng)為.

47.（2024云南曲靖，11,3分）如圖：在中，48=13,&=12,點(diǎn)。，￡分別是48,6C的中點(diǎn)，連

接DE,CD