百師聯(lián)盟2024年高二10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年度高二10月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)直線，：2x+4y+3=°的傾斜角為則cosa的值為（）

2.已知直線乙的方向向量為1=（左/），直線乙的方向向量為%=（2-左,左），若入〃%，則上=（）

A.-2B.1C.-2或1D.0或2

3.在四面體。中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=^OA,BN=ABC（A>Q）,若

——■31-1

MN=——a+-b+-c,則2=（）

422

1121

A.-B.-C.-D.一

2334

4.若｛摩瑟,1｝是空間的一個基底，那么對任意一個空間向量存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使得

a=xel+ye^+ze1,我們把有序?qū)崝?shù)組（x,%z）叫做基底忖可下向量2的斜坐標(biāo).設(shè)向量P在基底

｛力而｝下的斜坐標(biāo)為（-1,2,3）,則向量力在基底｛"3+5,5-B厚+口下的斜坐標(biāo)為（）

A.（2,-4,-1）B.（-2,-4,1）C.（-2,4,1）D.（2,-4,1）

5.平行六面體ABCD-4與。12的底面ABCD是矩形，其中AD=2,A3=4,且

/AADn/AABnGO'AA=4,M為4G，與2的交點(diǎn)，則線段的長為（）

已知從點(diǎn)（3,3）發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線2x-y+2=0反射，反射光線恰好過點(diǎn)（4,0）,則反射光線

所在的直線方程為（）

A.3%+y-12=0B.3%+7y-12=0

C.x+y-4=0D.x=4

7.圓C:（x—l/+y2=1與圓。：尤2+y2—2x+8y+8=0的公切線的條數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

8.已知圓C:(x+2y+y2=4,直線/:(m+l)x+4y-l+機(jī)=0(meR),則()

A.直線/恒過定點(diǎn)（—1,1）

B.直線/與圓C有兩個交點(diǎn)

當(dāng)m=1時，圓C上恰有兩個點(diǎn)到直線/的距離等于1

D.過直線/的平行線3x+4y—7m=0上一動點(diǎn)p作圓C的一條切線，切點(diǎn)為A,則|PAImin=4

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知空間向量G=（l,2,3）,2G+B=（O,3,7）7=（2,m,6）,且N/片，則下列說法正確的是（）

A.W=V6B.m=4

C.2b+cyLa

D?！璗

10.下列說法中錯誤的是（）

A.任何一條直線都有傾斜角，不是所有的直線都有斜率

若一條直線的斜率為1,則該直線的傾斜角為E

4

C.直線的斜率越大，傾斜角越大

D.設(shè)A(-若直線/：辦+>+1=。與線段A3有交點(diǎn)，則。的取值范圍是

(-<x),-5]o[4,+oo)

11.如圖，在正三棱柱ABC-44G中，瓦R分別為3cAG的中點(diǎn)，AC=2,則下列說法正確的是

()

A.若異面直線AF和5c所成的角的余弦值為：，則AA=2夜

B.若A&=G，則點(diǎn)C到平面AEF的距離為嚕^

C.存在A4,,使得BC工EF

D.若三棱柱ABC—A4G存在內(nèi)切球，則A4=殍

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(0,2,2),點(diǎn)3(5,-4,6),點(diǎn)。(2』,1),則通在五方向上的投影向量

的坐標(biāo)為.

13.已知實(shí)數(shù)滿足x—3y+7=0,且—則上的最小值為.

x-3

14.已知圓。1：(%—1)2+(>-2)2=12和圓。2：必+>2+6%+2y—6=0交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動,

點(diǎn)。在圓C,上運(yùn)動，則下列說法正確的是.

①點(diǎn)G和點(diǎn)C2關(guān)于直線8x+6y-1=0對稱；

②圓G和圓3的公共弦長為Y等；

③的取值范圍為［0,5+2jf|；

④若M為直線X-y+8=0上的動點(diǎn)，則|+的最小值為V109—26—4.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知AABC的頂點(diǎn)A(6,—2),頂點(diǎn)C在x軸上，A5邊上的高所在的直線方程為x+2y—2=0,AC

邊上的中線所在的直線方程為x-y+根=0.

(1)求直線A5的方程；

(2)求根的值.

16.如圖，在六棱柱A5CDEP-A4G2用耳中，底面是正六邊形，設(shè)

AB=a,AF=b,=c.

(1)用％尻5分別表示麗，麗.

(2)若cos/3A4j=cos/FAylj=g,A3=2,AAj=5,求：

(i)而?麗；

(ii)|祠.

17.已知點(diǎn)尸(2,2),圓C：(x—3y+(y—Ip=9.

(1)求圓C過點(diǎn)尸的最長弦、最短弦所在的直線方程；

(2)若圓C與直線x—y+a=0相交于A,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且。4LO3,求。的值.

18.如圖，已知四棱錐P—A8CD的底面A3CD是正方形，側(cè)面尸，底面A3CD,APCD是以CD

為底邊的等腰三角形，點(diǎn)E,G分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)R在棱A3上且=

(1)求證：FG〃平面5PE；

3

(2)若A3=6,cos/PDC=y,求直線FG與平面P3C所成的角的正弦值.

19.如圖，在平行六面體A3CD—A31G2中，，平面=2,。。=4,

DD,=2^3,DQlDjB.

(1)求證：DA1DB；

(2)求三棱錐。一4和。的體積；

(3)線段G2上是否存在點(diǎn)E，使得平面防。與平面ABB]A的夾角的余弦值為如？若存在，求

4

RE的長；若不存在，請說明理由.

2024-2025學(xué)年度高二10月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)直線,：2x+4y+3=°的傾斜角為則cosa的值為（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直線方程可得左=-』，結(jié)合同角三角關(guān)系運(yùn)算求解即可.

2

【詳解】直線/：＞=-1尤一的斜率為左=」，即tana=里吧=」＜0,

242coscr2

1兀

可得sino=——cosa,且一＜。＜兀，

22

又有sin2tz+cos2a=—cos2a=l,可得cosa=±二一，

45

又因?yàn)?＜&＜兀，所以cosa=—?

25

故選：D.

2.已知直線4的方向向量為［=（左,1）,直線4的方向向量為％=（2-左㈤，若乙〃4，則左=（）

A.-2B.1C.—2或1D.0或2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線平行可得I//Z,結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)閝=（左/），a2=（2-k,k）,

若k〃%，可知q〃a,，

則左2=2—左，解得上=—2或左=1.

故選：C.

3.在四面體。4BC中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=^OA,BN=ABC（A>0）,若

——?31-1

MN=——a+-b+-c,則2=（）

422

1121

A.-B.-C.—D.一

2334

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得解.

【詳解】如圖，

O

B

____?3_?

因?yàn)辂?%前，所以麗=4反+(1-4)旗,(4>0),又麗=]9，

所以麗=礪_而=4反+(1_田麗―0A=一a+(l-2)b+Acf

—?31一1

又MN=——a+—b+—c,

422

所以1—2=,且；1=工，解得：2=-.

222

故選：A

若｛摩可,1｝是空間的一個基底，那么對任意一個空間向量存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得

a=xel+ye^+ze1,我們把有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做基底忖可下向量。的斜坐標(biāo).設(shè)向量P在基底

｛力而｝下的斜坐標(biāo)為(-1,2,3),則向量力在基底｛"3+5,5-B厚+口下的斜坐標(biāo)為()

A.(2,-4,-1)B.(-2,-4,1)C.(-2,4,1)D.(2,-4,1)

【答案】D

【解析】

【分析】由題意利用待定系數(shù)法列出關(guān)于工，%z的方程組即可求解.

【詳解】設(shè)p=x^a-b+c\+y[a-b\+z[a+c^=(%+y+z)a+(-%-y)區(qū)+(%+z)c,

又p=-。+2另+3c,

%+y+z=—l（x=2

<-x-y=2,解得<y=—4,

x+z=3z=1

即〃=2（彳_彼+5）_4（5_袱）+（5+?。?

所以向量方在基底僅-B+己口-反方+己｝下的斜坐標(biāo)為(2,-4,1).

故選：D.

5.平行六面體ABC?！?AG2的底面ABCD是矩形，其中AO=2,AB=4,且

/44。=/443=60°,44=4,“為AG，4A的交點(diǎn)，則線段的長為()

C.y/17D.3V2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得菽=羽+,詬-,荏，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求模長.

22

【詳解】由題意可知：麗=麗+3瓦瓦=函+：(4/—4瓦)=無4+|■川萬—g通，

]1-21?2*?,-1?-

+—AD+—AB+AA-AD-AA,■AB——ABAD

44"'2

=16+l+4+4x2x1-4x4x1-0=17,所以|麗|=而，即線段8M的長為內(nèi).

故選：C.

6.已知從點(diǎn)(3,3)發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線2x-y+2=0反射，反射光線恰好過點(diǎn)(4,0),則反射光線

所在的直線方程為()

A.3x+y-12=0B.3%+7y-12=0

C.x+y-4=0D.%=4

【答案】C

【解析】

【分析】利用反射原理，先求出點(diǎn)A(3,3)關(guān)于直線2x-y+2=0的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求直線45的方

程即可.

如圖，設(shè)點(diǎn)A(3,3)關(guān)于直線2x—y+2=0的對稱點(diǎn)為A1(a,b),

b-31

a—32解得a二=-51,即A(T5),

則有＜

a+3b+3c八

2x

22

依題意，反射光線即直線A'5,因3(4,0),則直線A3的斜率為七，B=-1，

于是反射光線所在的直線方程為y=-(x-4),即x+y-4=0.

故選：c.

7.圓C:(x—iJ+V=1與圓。：必+產(chǎn)―2%+8丁+8=0的公切線的條數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】先由兩圓位置關(guān)系的判斷方法得到兩圓外切，再得到公切線條數(shù)即可.

【詳解】由題意，圓C:(x—1)?+/=1的圓心C(1,O),半徑彳=1,

圓。：/+/—2x+8y+8=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-l)2+(y+4)2=9,

故圓心。(1,-4),半徑々=3,

則圓心距CD=吁+(-4—0)2=4=彳+2，

所以兩圓外切，公切線條數(shù)為3條.

故選：D.

8.已知圓C:(x+2y+y2=4,直線/:(m+l)x+4y-l+機(jī)=O(meR),貝°()

A.直線/恒過定點(diǎn)(—1』)

B.直線/與圓C有兩個交點(diǎn)

C.當(dāng)m=1時，圓C上恰有兩個點(diǎn)到直線/的距離等于1

D.過直線/的平行線3x+4y—7m=0上一動點(diǎn)尸作圓C的一條切線，切點(diǎn)為A,則1尸川皿=4

【答案】B

【解析】

【分析】通過將直線方程變形找到定點(diǎn)，再根據(jù)圓心到直線的距離與圓半徑的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)

系，結(jié)合切線性質(zhì)，和勾股定理分析判斷即可.

［詳解］對于A選項(xiàng)，將直線/的方程(m+l)x+4y-l+m=0變形為〃(zx+l)+(x+4y_l)=0.

x+1=0

令〈”，c，解方程組，由x=—l代入x+4y—l=0得_l+4y_l=0,

x+4y-l=0

即4y=2,解得y=g.所以直線/恒過定點(diǎn)［一1,；；A選項(xiàng)錯誤.

對于B選項(xiàng)，圓C：(x+2)2+y2=4,圓心。(-2,0),半徑〃=2.

定點(diǎn)［tJ到圓心0(一2,°)的距離d=J(—1+2)2+g-o1=^1+|=^<2-

因?yàn)槎c(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線/與圓C有兩個交點(diǎn)，B選項(xiàng)正確.

對于C選項(xiàng)，當(dāng)m=1時，直線/的方程為2x+4y=0,即x+2y=0.

|-2+0|2

圓心C(—2,0)到直線I的距離dJ=——-=f

Vl2+22V5

“2—/=史"2x(2.236—I"?〉].

V5V52.236

所以圓C上有四個點(diǎn)到直線/的距離等于1,C選項(xiàng)錯誤.

對于D選項(xiàng)，對于直線3x+4y—7m=0,圓心C(—2,0)到直線3x+4y—7m=0的距離

|-6-7m|17m+61177n+6]\2

d二■\PA\=^d2-r2

22-4.

A/3+455)

當(dāng)機(jī)=一e時，d=|-6+61=0,|PA|70^4,此式無意義,

75

因?yàn)閐20,d最小為圓心到直線/恒過定點(diǎn)的距離1=|-3+2|=-

55

\pA\=,此式無意義，因?yàn)閨—4<0,

minI

實(shí)際上|PA\mi=”—尸,心是圓心到直線的最短距離,

6

這里d:是圓心到直線I恒過定點(diǎn)的距離d=—2，1\PA\itni.n=-4，此式無意義,

2

因?yàn)?4<0,D選項(xiàng)錯誤.

故選：B

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知空間向量G=(l,2,3),21+B=(O,3,7)7=(2,機(jī),6),且日//方，則下列說法正確的是()

A.|^|=V6B.加=4

C.(2b+c^LaD.c…=一察

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得B=(-2,-1,1),再利用模長的計(jì)算公式，可判斷選項(xiàng)

A的正誤；利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，可求得m=4,可判斷選項(xiàng)B的正誤；利用空間向量數(shù)量積的

坐標(biāo)運(yùn)算，可求得(2分+可心力0,即可判斷選項(xiàng)C的正誤；利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示，即可求得

所

cosb,c=-^-，從而判斷出選項(xiàng)D正確.

42

【詳解】對于選項(xiàng)A,設(shè)彼=(x,y,z),因?yàn)樾?(1,2,3),則2G+坂=(2+x,4+y,6+z)=(0,3,7),

2+x=0

所以<4+y=3,解得x=—2,y=—l,z=l,所以B=(―,

6+z=7

則W=7(-2)2+(-1)2+1=逐，所以選項(xiàng)A正確，

123

對于選項(xiàng)B,a=(1,2,3),?=(2,m,6),al1c,所以一二一=—,得到加=4,所以選項(xiàng)B正確，

2m6

對于選項(xiàng)C,因?yàn)?=(—2,—1,1),c=(2,4,6),所以23+乙=(—2,2,8),又萬=(1,2,3),

則(2另+己)與=—2+4+24=26。0,所以選項(xiàng)C錯誤，

-/、——4—4+6A/27

對于選項(xiàng)D,因?yàn)?=(—2,—1,1),c=(2,4,6),則cosb,5=k一—二—二，所以選項(xiàng)D正確，

V776x75642

故選：ABD.

10.下列說法中錯誤的是()

A.任何一條直線都有傾斜角，不是所有的直線都有斜率

B.若一條直線的斜率為1,則該直線的傾斜角為H

4

C.直線的斜率越大，傾斜角越大

D.設(shè)A(-1,4),3(1,3),若直線/："+y+l=。與線段A5有交點(diǎn)，則。的取值范圍是

(-oo,-5]u[4,+oo)

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)傾斜角和斜率的定義分析判斷即可；對于B：根據(jù)傾斜角的取值范圍即可；對于B：

舉反例說明即可；對于D：根據(jù)直線過定點(diǎn)，由定點(diǎn)與線段上的點(diǎn)所成直線的斜率范圍判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：由傾斜角的定義可知：任何一條直線都有傾斜角,

71

但不是所有的直線都有斜率，例如傾斜角。二—時，就沒有斜率，故A正確;

2

對于選項(xiàng)B：因?yàn)橹本€傾斜角ae［O,兀），不可能為I，故B錯誤；

7T3冗

對于選項(xiàng)C：例如傾斜角%=1%=了，貝!j對應(yīng)的斜率為左1=1,左2=-1,

即9＜，但占〉左2，故C錯誤;

對于選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€/：G+y+l=O過定點(diǎn)尸（0,-1）,斜率為左=-a,

3+1

貝UkpA=-；―7=-5,kpB---=44

—1—U1-0

由圖形可知：一〃（一5或一424,解得〃25或。《-4,

所以。的取值范圍是（—00,—4］。［5,+句，故D錯誤.

故選：BCD.

11.如圖，在正三棱柱ABC—44G中，E,歹分別為的中點(diǎn)，AC=2,則下列說法正確的是

A.若異面直線A尸和5c所成的角的余弦值為'，則AA=2夜

6

B.若A4=e,則點(diǎn)C到平面AEF的距離為嚕^

C.存在明，使得3CLER

若三棱柱ABC-44G存在內(nèi)切球，則A4=孚

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)條件建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)公式求解判

斷A項(xiàng)，利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算判斷B項(xiàng)，利用向量數(shù)量積的結(jié)果排除C項(xiàng)，根據(jù)內(nèi)切球的特征求

出其半徑即可排除D項(xiàng).

如圖，過點(diǎn)E作33］的平行線EM,交用q于點(diǎn)“，則平面ABC,

又AE_L8C,故可分別以EC,EA,EM所在直線為％%z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,G,0),B(-l,0,0),C(l,0,0).設(shè)=a,(a>0),

對于A,依題意,,〃)，

1R一,——i\AF-BC\11「

則”=(萬,一號,a),BC=(2,0,0)，由「。5〈」仁取〉卜鬲鬲=2^~^=%na=2d2,即

A4]=2A/2,故A正確；

對于B,依題意，EA=(0,V3,0),EF=(py-

設(shè)平面AEE的法向量為”=(x,y,z)，

EA-n=s/3y=0

則<.i/3廣，故可取”=(―2省,0,1),

EF-n=-x+—y+V3z=0

122*

又反=(1,0,0),故點(diǎn)C到平面AEF的距離為d=子利=理=拽9,故B正確;

|/z|V1313

對于C,設(shè)A4]=f,則/（!■，日,力，EF=（1,^,r）,

由前?麗=1/0可得，5C與EE不垂直，即C錯誤；

對于D,若三棱柱ABC-A4G存在內(nèi)切球，不妨設(shè)其半徑為r,則朋=2,

且內(nèi)切球在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)切圓，故由蟲X22=3義工義2廠,解得廠=且

423

則AA=2?,故D錯誤.

13

故選：AB.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0,2,2）,點(diǎn)3（5,-4,6）,點(diǎn)C（2,l,l）,則荏在直方向上的投影向量

的坐標(biāo)為

【答案】（4,一2,-2）

【解析】

AB-CA—?

【分析】先求出而和近的坐標(biāo)，再由痛在由方向上的投影向量概念，寫出計(jì)算公式一丁?CA,代

\CA\-

入向量坐標(biāo)計(jì)算即得.

【詳解】依題意，AB(5,-6,4),CA=(-2,1,1),

ABCA

因荏在5方向卜.的投影向量為■CA,

|C4|2

-10-6+4

則由——-——(-2,1,1)=(4,-2,-2),

6

可知而在近方向上的投影向量的坐標(biāo)為：（4,-2,-2）.

故答案為：（4,-2,-2）.

13.已知實(shí)數(shù)羽丁滿足x—3y+7=0,且—lWx<2,則一2二的最小值為

x-3

【答案】-3

【解析】

【分析】，為線段X—3y+7=o（-lWx<2）上的點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（3,0）的直線的斜率，畫出相應(yīng)圖形,

x-3

易得的C即為上的最小值，計(jì)算即可得.

x-3

【詳解】上為線段x—3y+7=0（-1WXW2）上的點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（3,0）的直線的斜率，

x-3

如圖，當(dāng)點(diǎn)（》?）在A點(diǎn)時，二二取最小，此時A（2,3）,

x-3

14.已知圓。1：（工一1）2+（>一2）2=12和圓。2：必+>2+6工+2'一6=0交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓G上運(yùn)動，

點(diǎn)。在圓C,上運(yùn)動，則下列說法正確的是.

①點(diǎn)G和點(diǎn)G關(guān)于直線8x+6y-1=0對稱；

②圓G和圓Q的公共弦長為*'；

③|尸0的取值范圍為［。,5+2有］；

④若M為直線％-y+8=0上的動點(diǎn)，則歸必+\MQ\的最小值為V109—2百—4.

【答案】②④

【解析】

【分析】求出圓心和半徑，再結(jié)合點(diǎn)線對稱知識可判斷①，先求出公共弦，再利用弦長公式即可判斷②，

由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P和。重合時，IPQI的值最小，當(dāng)尸，Q,G，Q四點(diǎn)共線時，|PQ|的值最大，進(jìn)

而可判斷③，求出。關(guān)于直線x-y+8=0對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷④.

【詳解】對于命題①，圓G：（x—l）2+（y—2y=12和圓。2：d+/+6%+2y—6=0,

圓心和半徑分別是G(1,2),G(—3,-1),4=2石,鳥=4,則兩圓心中點(diǎn)為［一1,￡|,

若點(diǎn)a和點(diǎn)C?關(guān)于直線8x+6y—1=0對稱，則中點(diǎn)在直線8x+6y—1=0上，

但—8+6x』—IwO,故①錯誤；

2

對于命題②，因?yàn)閳Aa：(x—iy+(y—2)2=12和圓C2：Y+y2+6x+2y—6=0,

/、18+12+1121

則兩圓的共公弦為8x+6y+1=0,所以G(1,2)到8x+6y+1=0的距離為d=」1=—,

V82+6210

所以圓G和圓C2的公共弦長為L=2歷方=2/2—帝='等，故命題②正確，

對于命題③，圓心距為J(l+3)2+(2+1)2=5,當(dāng)點(diǎn)尸和。重合時，|「。|的值最小，

當(dāng)P,GG四點(diǎn)共線時，|PQ|的值最大為9+26，

故的取值范圍為［0,9+26］,所以③錯誤；

對于D,如圖，設(shè)0關(guān)于直線x-y+8=0對稱點(diǎn)為A(根,〃)，

2-咒_

-----——1

m=-6/、

則《1一<C,解得<c,即G關(guān)于直線x—y+8=0對稱點(diǎn)為A（—6,9）,

S—烏8=0n=9

[22

連接AG交直線x->+8=0于點(diǎn)"，此時|P"|+|MQ|最小,

|PM\+\MQ\>\MC,\+\MC21-4-2>/3=|C^A|-4-2A/3

=J（-+）+（+）——yJ~=yj——A/-，

即+\MQ\的最小值為V1Q9—2百—4，所以④正確，

故答案為：②④.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知AABC的頂點(diǎn)A（6,—2）,頂點(diǎn)C在％軸上，A3邊上的高所在的直線方程為x+2y—2=0,AC

邊上的中線所在的直線方程為x-y+根=0.

（1）求直線A3的方程；

（2）求機(jī)的值.

【答案】⑴2x-y-14=0

（2）m=-5

【解析】

【分析】⑴由題意可得5=—1，即可得L，結(jié)合點(diǎn)A（6,—2）,即可得直線A3的方程；

（2）設(shè)C（/,0）,代入A5邊上的高所在的直線方程可得/的值，即可得AC中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合AC邊上的中

線所在的直線方程即可得解.

【小問1詳解】

由AB邊上的高所在的直線方程為x+2y-2=0,其斜率為一,，

2

則左AB[-=即鼬=2,又A（6,-2）,

則L：y=2（X—6）_2,即2%_y_14=0；

【小問2詳解】

設(shè)0）,由0）在x+2y—2=0上，即/—2=0,即/=2,

則AC中點(diǎn)坐標(biāo)為（4,一1）,故有4+1+加=0,即冽二一5.

16.如圖，在六棱柱A4CDE尸-ABiGAg耳中，底面底廠是正六邊形，設(shè)

AB=a,AF=b,AAX=c.

(1)用口尻5分別表示麗，麗.

(2)若cos/3A4j=cos/FL4yli=g,A3=2,A4]=5,求：

(i)而?麗；

(ii)|同.

【答案】(1)AjZ)=2a+2b—c；AE^=a+2b+c

(2)(i)23；(ii)7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正六邊形與六棱柱的幾何性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，可得答案;

(2)利用統(tǒng)一基底表示向量，結(jié)合數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律，可得答案.

【小問1詳解】

由題意，底面A8CDEE,連接對角線且交點(diǎn)記為。，如下圖：

因?yàn)榈酌鏋檎呅?，則3C=ER=A。，B.AOIIFEIIBC,

易知反;二而二加二通+/，

4D=^A+AB+BC+CO=-A^+AB+AB+AF+AF

=2A5+2AF—AAj=2a+2b—c；

=AF+FE+EEi=AF+AB+AF+￡￡1

=AB+2AF+AAj=a+2b+c.

【小問2詳解】

AC=XA+AB+BC=-AA+AB+AB+AF

=AB+AF-AA=a+b-c,

由AB=2,A4]=5,則同=W=2,同=5,

由cos/BA\=cos/FA\=g,則展B=同忖cosg=-2,

a-c=|S||c|cosZBA^=2,b-c=|^||c|cosZFAAi=2

(i)~A^C-Aj5=(2a+2b-c)-(2a+b-c)

=4同-+2忖+\c^+6a-b-4a-c-3b-c

=16+8+25—12—8—6=23,

(ii)陽2=\a+2b+cf=\af+4^+\cf+4a-b+2a-c+4b-c

=4+16+25-8+4+8=49,

M=7.

17.已知點(diǎn)尸(2,2),圓C：(x—3)2+(y-l)2=9.

(1)求圓C過點(diǎn)P的最長弦、最短弦所在的直線方程；

(2)若圓C與直線x—y+a=0相交于A,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且。4LO8,求。的值.

【答案】(1)最長弦所在直線的方程為x+y-4=0,最短弦所在直線的方程x->=0

(2)a=-l

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圓的性質(zhì)可知，最長弦過點(diǎn)C和點(diǎn)尸，最短弦與最長弦垂直，從而可得最短弦所在直線

的方程；

(2)由。4,03轉(zhuǎn)化為宓.赤=0,然后聯(lián)立直線和圓的方程，利用韋達(dá)定理可得關(guān)于。的方程，即可

求解.

【小問1詳解】

由題意知點(diǎn)尸在圓C內(nèi)，圓心C(3,l),半徑廠=3,

由圓的性質(zhì)可知，直徑是圓中的最長弦，此時直線過點(diǎn)尸(2,2),C(3,l),

所以圓C過點(diǎn)P的最長弦所在直線的方程為L=二三，化簡得x+y-4=0；

2-12-3

由圓的性質(zhì)可知，過點(diǎn)P的最短弦和圓心C與點(diǎn)尸的連線垂直,

所以設(shè)直線方程為X—y+m=o,將尸（2,2）代入得根=0,

所以圓C過點(diǎn)尸的最短弦所在直線的方程X->=0.

【小問2詳解】

x-y+a=0

消去y得(x—3『+(x+a—1)2=9,

由<]/(x-3\)2+(/y-l)\2=9'

化簡得2x?+(2a-8)x+(a-l)2=0.

因?yàn)閳AC與直線x—y+a=0相交于A,8兩點(diǎn)，

所以A=（2a—8）2—8（a—I1〉o,

即。2+4。一14<0，解得-2-3正<a<-2+3萬

、（a-

設(shè)8（%2，丫2），則%i+%2=—。+4,xrX2=-—―

因?yàn)椤?JLQB,所以樂.礪二0，即玉%2+X%=0.

%=再+。/\/\/\7

由<,得=（玉+〃）（％2+〃）=玉%2+〃（玉+%2）+〃

y2=x2+a

（。―1）2A2+6。+1

=--------a+4〃+。=-----------

22

從而也里+近±四土1=（。+1）2=0,解得O=—1.

22V7

18.如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面A3CD是正方形，側(cè)面PC。，底面A3CD,△「（；￡）是以CD

為底邊的等腰三角形，點(diǎn)E,G分別是DC,。尸的中點(diǎn)，點(diǎn)R在棱A3上且2尸=

（1）求證：尸G〃平面3尸石；

3

(2)若AB=6,cos/PDC=m，求直線PG與平面P3C所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵—

35

【解析】

【分析】(1)取PE的中點(diǎn)H,連接證明四邊形是平行四邊形，得線線平行，然后得

證線面平行；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面角；

【小問1詳解】

取PE的中點(diǎn)X,連接

因?yàn)辄c(diǎn)G是。P的中點(diǎn)，所以GH〃DE,且GH=，DE,

2

正方形中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BF=；AF,

所以8尸=工48=!?！?且A尸〃DE,

42

所以GH〃3F,且GH=BF,所以四邊形是平行四邊形,

所以GF〃BH,又GFa平面5PE,5"u平面8PE,

所以FG〃平面3PE.

【小問2詳解】

3

因?yàn)锳5=6,COS/PDC=M，E為OC中點(diǎn)，DE=3,

DE3

又cos/PDC=—=-

PD5

所以PC=PD=5,點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)，所以尸

X

又側(cè)面PC。，底面A3CD,側(cè)面PCDn底面ABC。=CD,PE7平面尸CD,所以PEL平面

ABCD,

如圖以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線EC,EP為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則磯0,0,0）,尸（0,0,4）1卜|,0）,。（0,—3,0）,3（6,3,0）,。（0,3,0）

濟(jì)=(一6,—3,2),而=(―6,—3,4),BC=(-6,0,0)

,、n-BC=-6x=0

設(shè)行=(x,y,z)是平面P3C的一個法向量，則＜_.

n-BP=-6x-3y+4z=0

取z=3得x=0?=4,所以元=(0,4,3),

n-FG-12+66

所以cos

736+9+4x5-35

設(shè)直線FG與平面PBC所成的角為e,貝也由6=卜。5（五,用，=1|=[

所以直線尸G與平面PBC所成的角的正弦值為9.

19.如圖，在平行六面體A3CD—AgGA中，?！?，平面45。￡）,4。=2,。。=4,

DDi=25DCJD[B.

(1)求證：DALDB-,

(2)求三棱錐c-4G。的體積；

(3)線段￡2上是否存在點(diǎn)E,使得平面防。與平面ABB]A的夾角的余弦值為