初中數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題【八大題型】（解析版）

二決為率中的聿值閥此【，，丈題型】

＞題型梳理

【題型1幾何圖形中線(xiàn)段最值問(wèn)題】.................................................................1

【題型2兩線(xiàn)段和的最值問(wèn)題】......................................................................5

【題型3周長(zhǎng)的最值問(wèn)題】.........................................................................13

【題型4面積的最值問(wèn)題】.........................................................................21

【題型5線(xiàn)段和差倍分的最值】....................................................................28

【題型6由二次函數(shù)性質(zhì)求二次函數(shù)的最值】........................................................36

【題型7由二次函數(shù)的最值求字母的值】............................................................40

【題型8由二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍】......................................................46

?舉一反三

【題型1幾何圖形中線(xiàn)段最值問(wèn)題】

1.（23—24九年級(jí).廣西欽州?期中）如圖，線(xiàn)段48=10,點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，在的同側(cè)分別以

為邊長(zhǎng)作正方形APCD和8PE尸，點(diǎn)分別是即，CD的中點(diǎn)，則AW的最小值是（）

【答案】。

【分析】設(shè)MN=y,PC=c,根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理列出靖關(guān)于2的二次函數(shù)關(guān)系式，求二次函數(shù)的最

值即可.

【詳解】解:作MG_LOC交。。延長(zhǎng)線(xiàn)于G,則四邊形CEMG為矩形,

CG=EM=^-EF^^-BP.

?」N是CD的中點(diǎn)，

；.CN=*1CD==1AP,

:.NG=CG+CN=!(AP+BP)=!AB=5.

設(shè)AiN=y,PC=o;,則MG=CE=10-2%

在RtAMNG中，由勾股定理得：MN2=MG2+GN2,

即必=52+(10-2Z)2.

V0<a;<10,

當(dāng)10—22=0,即u=5時(shí),癱小值=25,

二V最小值=5.即_MN的最小值為5;

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值.熟練掌握勾股定理和二次

函數(shù)的最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.(23-24九年級(jí)?安徽合肥?階段練習(xí))如圖，=6,點(diǎn)。是上的動(dòng)點(diǎn)，以AC,8。為邊在AB同側(cè)

作等邊三角形，河、N分別是CD、跳;中點(diǎn)，13最小值=()

A.3B.3V2

【答案】。

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，如圖所示，連接av,根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)得到乙4co=/BCE=60°,乙8?？?9/反羽=30°,9=46七=4及7，進(jìn)而推出ZMCN=

90°,設(shè)AC=2c,則BC=6-2x,BN=3—c,利用勾股定理得到CN?=3a;2-18a;+27,貝IMN?=4,一?了

+苧，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出MN?的最小值，即可求出AW的到最小值.

【詳解】解:如圖所示，連接CN,

?/ABCE,AACD是等邊三角形，點(diǎn)N是BE的中點(diǎn),

ZACD=4BCE=60°,4BCN=44BCE=30。,BN=/E=(C,

：.ZMCN=180°-AACD-NBCN=90°,

設(shè)AC=2c,則BC=6-2c,

BN—3—x,

：.C7V2=BC2-BN2=(6-2xf-(3-a:)2=32；2-18rc+27,

?.?點(diǎn)村是CD的中點(diǎn)，

...CM=5GD4AC=①，

/.MN2=CM2+C7V2="+3/_18,+27=4(c—f+冬,

'4,4

V4>O,

.?.當(dāng)±時(shí)，1GV?有最小值手，

.?.AGV有最小值之，，

故選D

3.(23-24九年級(jí)?廣東江門(mén)?階段練習(xí))如圖，在矩形ABCD中，=3,BC=4,將對(duì)角線(xiàn)入。繞對(duì)角線(xiàn)

交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且保持DP=AE,連接PE、

P斤，設(shè)AE=rr(0<a;<3).

_________F

（1）填空：PC=,FC=；（用含①的代數(shù)式表示）

（2）若"EF的面積為S,求S與①的函數(shù)關(guān)系及△尸EF面積的最小值；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PE，P尸是否成立？若成立，求出力的值;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴3—4加

小7丫4747

（3）不成立，理由見(jiàn)詳解

（分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得AD"BC,DC=AB=3,AO=CO,可證△AEO第4CFO,可得AE=CF=

c,由DP=AE=c,可得PC=3—rc;

⑵由SmFP~S梯形EDCF-S^DEP—S4CFP，可得SAMP="■力+6=（力—亨）+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可

求△PEF面積的最小值；

⑶若則可證空△CFP,可得。￡=CP,即3—/=4一力，方程無(wú)解，則不存在力的值使PE

±FF.

【詳解】（1）解：???四邊形ABCD是矩形

??.AD//BC,DC=AB=3,AO=CO

：.ADAC=AACB，且AO=OO,AAOE=ACOF

???/\AEO空ACFO（ASA）

:,AE=CF

'：AE=力，且DP=AE

DP=x,CF—x,DE=4—1,

??.PC=CD-DP=3-x

故答案為：3—N,X

（2）解:依題意

'**S/\EFP-S梯形EDCF-S^DEP~S^CFP,

:?SAEFP=+一弓工.（4—工）一^■工.（3—#2+6=（2一!）+彩

?.?△PEF的面積為S,

S與力的函數(shù)關(guān)系S=（/—1■）+等"

\4716

.??開(kāi)口向上，當(dāng)力=二時(shí)，AFEF面積的最小值為其

416

（3）解：不成立

理由如下:若PE_LPF,則AEPD+4FPC=90°

又?/AEPD+ADEP=90°

??.ZDEP=ZFFC,JLCF=DP=AE,AEDP=ZPCF=90°

???^DPE空ACFP（AAS）

:?DE=CP

：.3—x=4：—x

則方程無(wú)解，

不存在力的值使PE±PF,

即PE_LPF不成立.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，列代數(shù)式表達(dá)式、全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性

質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

4.（23—24九年級(jí).廣東廣州?期中）如圖，在正方形4BCD中，AB=7,尸是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，將△AD尸繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AABE,將AADF沿人尸翻折至△AGF,連接即、ED交于點(diǎn)H,連接GH,則

△SGH面積的最大值為.

【答案】瞿

16

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

連接BF,作FQ_LCD交于。，HM_LBC于M,連攜BF,BG,設(shè)BF交EG于點(diǎn)、O.證出△入￡△經(jīng)

△AFB,可得EG=BF,再證明AEFG篤AFEB,可得/GEF=/EFB,同理/FBG=/EGB,從而得到

/EFB=/FBG,設(shè)DF=EB=x,財(cái)。歹=7—力，再證出列出含力的面積公式，利用二次函

數(shù)配方即可得到最大值.

【詳解】解：??,四邊形ABCD是正方形，

??.AD//BC,

??.ADAE+/AEC=180°,

??.ZDAF+AEAF+/AEF+/FEC=180°,

???將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABE,

??.ZEAF=90°,AE=AFf

???NASR=45°,

???/DAF+/FEC=45°,

??.ZDAF+4FEC=AAEF,

連接BF,作FQ_LCD交BO于。，HM_LBC于M,連接BF,BG,設(shè)BF交EG于點(diǎn)、O.

???四邊形ABCD是正方形，

??.AB=BC=CD=7,ZC=90°,

???ZDAF=/FAG=/BAE,

：.AEAG=AFAB,

?：AE=AF,AG=AB,

：./XAEG篤△AFB(SAS),

：.EG=BF,

???EG=BF,EF=FE,FG=EB,

??.AE*FG空AF石B(SSS),

???/GEF=/EFB,

同理/FBG=/EGB,

???ZEOF=/BOG,

??.AEFB=AFBG,

J.EF//BG,

??SASQG=SgBQ，

設(shè)==則CF=7-x,

???FQ〃BE.FQ=DF=EB,

：.ZFQH=4EBH,

?：4QHF=4EHB,

???4FQH咨^EBH（AAS）,

：.FH=EH,

?：HM//CF,

：.EM=MC,

：.HM=^CF=^（7-x）,

2

■■S^EHG—S^EBH=x/2（7—工）=一■于（x—7x）=一占（X-卷）+瑞，

：.缶=工時(shí)，△EHG的面積最大，最大值為萼.

216

故答案為：普.

10

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定及二次函數(shù)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握全等三角形的判

定及二次函數(shù)的運(yùn)用.

【題型2兩線(xiàn)段和的最值問(wèn)題】

5.（（23-24?安徽合肥?一模）如圖,直線(xiàn)y=-x+3與力軸、沙軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=-x2+bx+

c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C,與立軸另一交點(diǎn)為4頂點(diǎn)為D

⑴求拋物線(xiàn)的解析式；

⑵在T軸上找一點(diǎn)式使EC+ED的值最小，求EC+EO的最小值；

（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得AAPB=ZOCB?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【答案】⑴9——x2+2,+3

⑵點(diǎn)E（~,0）,則EC+ED的最小值為5V2

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,2+22）或（1,一2—2，）

【分析】（1）直線(xiàn)g=—2+3與/軸、"軸分別交于B、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（3,0）、（0,3），將點(diǎn)B、

。的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）如圖1,作點(diǎn)。關(guān)于立軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,連接C。交,軸于點(diǎn)E,則此時(shí)EC+ED為最小，即可求解；

（3）分點(diǎn)P在re軸上方、點(diǎn)P在立軸下方兩種情況，分別求解.

【詳解】（1）解:對(duì)于直線(xiàn)y=—2+3,

當(dāng)2=0時(shí)，9=3;當(dāng)y=0時(shí)，—X+3=0,則2=3;

.-.B(3,0)>(7(0,3)

—9+3fe+c=0

將點(diǎn)B（3,0）、。（0,3）代入二次函數(shù)表達(dá)式得:

c=3

(b=2

解得:

[c=3

故函數(shù)的表達(dá)式為：y=—x2+2rr+3;

（2）如圖1中，作點(diǎn)。關(guān)于a;軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。，連接CZ7交2軸于點(diǎn)E,則此時(shí)EC+ED為最小，此時(shí)，點(diǎn)C的

坐標(biāo)為(0,-3),

又y=一d+2rc+3=—(a;—I)2+4,

/.函數(shù)頂點(diǎn)。坐標(biāo)為(1,4),

設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為V=+

將0(0,—3)、0(1,4)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：[3匕:，

解得,｛工，

直線(xiàn)的表達(dá)式為：9=7，-3,

當(dāng)g=0時(shí)，70—3=0,解得c=,，

故點(diǎn)鳳告,0),

則EC+ED的最小值為DC'=+(4+3)2=5^/2;

(3)解:對(duì)于y=—d+20+3,令y=0,則—X2+2/+3=0,

解得，x——1或c=3,

二點(diǎn)人的坐標(biāo)為(一1,0);

又B(3,0),

二AB=3—(—1)=4;

①當(dāng)點(diǎn)P在a:軸上方時(shí)，如圖2中，

?/05=0(7=3,則AOCB=45°=AAPB,

ZPAB=NPBA=y(180°-45°)=67.5°,/.APD=--Z.APB=22.5。

過(guò)點(diǎn)B作BH_LAP于點(diǎn)H,

：.NABH=90°-ZR4B=22.5°

4HBp=APBA—/ABH=67.5°-22.5°=45°=NAPB

圖2

:.BH=PH,

設(shè)PH=BH—m

則PB=PA=?e,

:.AH=PA-PH=(V2-l)m

由勾股定理得：力呼=AH2+BH1,

.，.16=W+[(V2—l)m]2,

解得:m2=8+4^2,

貝"PB2=2m2=16+82

則約=JPB2—22=2+2V2;

___________F

②當(dāng)點(diǎn)P在力軸下方時(shí)，同理可得以=-(2+22)；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2+272)或(1,一2—22).

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性等，其中(3)要注意

分類(lèi)求解，避免遺漏.

6.((23-24.江蘇宿遷.模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=/"一?t一3與立軸交于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)。為“軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=OB,。是線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)人，。重合).

(1)寫(xiě)出A、三點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。關(guān)于力軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)剛好落在拋物線(xiàn)上時(shí),求此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶如圖2,若點(diǎn)E是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接8D、CE,當(dāng)CD=AE時(shí)，求BD+CE的最小值.

【答案】(1)4(—3,0),B(4,0),。(0,4)

⑶百

【分析】⑴根據(jù)題意［y^ix'~ix~3得［x=^，卜=13,結(jié)合0。=OB寫(xiě)出4B、C三點(diǎn)坐標(biāo)即可；

［沙=01。=0〔沙=。

⑵設(shè)直線(xiàn)的解析式為沙=fcr+b,把4-3,0),。(0,4)分別代入解析式，確定直線(xiàn)的解析式，設(shè)點(diǎn)

。(/n,_1~7n+4),對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為。(m,—■4),代入拋物線(xiàn)解析式9=十d—^-x_3中，計(jì)算解答即可；

(3)過(guò)點(diǎn)。作CP〃/軸，且使得CP=CA,連接PB,PD，利用三角形全等，把線(xiàn)段和最小值轉(zhuǎn)化為三角形不

等式，解答即可.

本題考查了拋物線(xiàn)與a:軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求解析式,三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形不等式求最值，熟

練掌握相關(guān)知識(shí)，特別是三角形不等式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)根據(jù)題意得卜=4〃一3,

解得d二「

.-.A(-3,0),5(4,0),

.?.OB=4,

1/OC=OB,

.-.C(0,4).

(2)設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b,

把A(-3,0),C(0,4)分別代入解析式，得｛渭+仁°,

故直線(xiàn)AC的解析式為沙=a0；+4,

O

設(shè)點(diǎn),

則其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為D^m,-ym-4),

代入拋物線(xiàn)解析式g/2—力—3中，得

1124/

—m2-----m—3=---m—4,

443

整理,得3m2+13m+12=0,

解方程，得nz=—■,nz=-3(舍去),

O

止4?,44,.20

當(dāng)m=-—時(shí)，y=--vx—+4^—,

oooy

故。(一方，學(xué))?

(3)過(guò)點(diǎn)。作CP〃2軸，且使得CP=C4,連接PB,PD,

3,0),。(0,4),

AC—J(-3-0)2+(0-4)2=5,

:,CP=CA=5,

???P(—5,4),

???石(4,0),

??.FB=V(-5-4)2+(4-0)2=V97.

???CP〃力軸，

???4PCD=/CAE,

?：CP=CA,

(PC=CA

\-bpCD=ACAE

[CD=AE

：.AFCD空/XCAE{SAS)

：.PD=CE,

??.BO+CE的最小值變成了8O+PO的最小值，

?：BD+PD>PB,

故當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，BD+PO取得最小值，且最小值為

??.BO+CE的最小值為V97.

7.（（23—24.遼寧撫順.模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)。=力一4與9軸交于點(diǎn)與力軸交于點(diǎn)B,拋物線(xiàn)g=〃+

麻+c經(jīng)過(guò)4B兩點(diǎn),與力軸負(fù)半軸交于點(diǎn)。，長(zhǎng)度為的線(xiàn)段。尸在直線(xiàn)AB上滑動(dòng)，以O(shè)F為對(duì)角

線(xiàn)作正方形DEFG.

⑴求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)當(dāng)正方形DEFG與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)時(shí),求。點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；

⑶連接CE,OD,直接寫(xiě)出的最小值.

【答案]⑴9=x2—3x—4：

(2)0<m<4+V6

(3)5

【分析】(1)由夕=2一4得A(0,-4),B(4,0),再用待定系數(shù)法可得拋物線(xiàn)的解析式為9=d一3c—4;

(2)根據(jù)DF=2/，四邊形DEFG是正方形，得DE=EF=FG=DG=2,設(shè)D(m,m-4),則

^(m—2,m—4);當(dāng)正方形DEFG與拋物線(xiàn)y=/—3劣一4有唯一公共點(diǎn)E時(shí)，m—4=(m—2)2—3(m—2)

-4,可得此時(shí)。(4+0,血)；當(dāng)正方形DEFG與拋物線(xiàn)夕="—3rc—4有唯一公共點(diǎn)D時(shí)，可得此時(shí)

。(0,—4);畫(huà)出圖形可得答案；

⑶求出C(—1,0);設(shè)D(t,t—4),則E(t—2,4—4),CE+OD=V2x[小——)+弓+/(土-2)2+4],

——2)2+4可看作rr軸上的點(diǎn)R(t,0)至I點(diǎn)K(,,])和點(diǎn)T(2,—2)的距離之和，當(dāng)K,

五，T共線(xiàn)時(shí)，J(t—1-)2+^-+V(*-2)2+4取最小值，求出KT可得答案.

【詳解】(1)解：在g=力一4中，令力=0得g=—4,令g=0得力=4,

.\A(0,-4),B(4,0),

[(2——4

把4(0,4),8(4,0)代入沙二爐+近+力導(dǎo)：,

11。十40—4—U

解得:FU，

[c=-4

拋物線(xiàn)的解析式為沙=爐—3力一4;

⑵解：??,DF=2V2，四邊形DEFG是正方形，

:?DE=EF=FG=DG=2,

當(dāng)正方形DEFG與拋物線(xiàn)2/=/一3/一4有唯一公共點(diǎn)石時(shí),如圖:

把E(m—2,?n—4)代入g=力2—36—4得：

m—4=(m—2)2—3(m—2)—4,

解得772=4+，^或?72=4—(在_B左側(cè)，舍去);

此時(shí)。(4+方,通)；

當(dāng)正方形DEFG與拋物線(xiàn)g="—3/一4有唯一公共點(diǎn)。時(shí),如圖：

?71—4=m2—3m—4,

解得：772=0或771=4(與8重合,舍去),

此時(shí)。(0,—4);

由圖可知，當(dāng)04館44+JG時(shí)，正方形DSFG與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)；

???當(dāng)正方形班FG與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)時(shí)，。點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是0&山44+碗;

(3)解:在沙二爐—3力—4中，令g=0得：0="—3劣—4,

解得：力=4或力=—1,

C(—1,0);

設(shè)D(t9t—4),則E(t—2,t-4),

CE=J(方—I)?+(力—4)2—V2t2-10t+17—A/2^xJ(t—,

OD—(t—4)2—N2tz—81+16—A/2^xJ(力—2)2+4,

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，正方形性質(zhì)及應(yīng)用，最短路徑等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度..

8.((23-24?海南省直轄縣級(jí)單位?二模)如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+Sax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(l,0)、。(0,—3),交力軸

于另一點(diǎn)4點(diǎn)A在點(diǎn)8點(diǎn)的左側(cè))，點(diǎn)P是該拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn).

________b

⑴求拋物線(xiàn)的解析式；

tS^AOC時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)AC下方且S^AC=

（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸Z上是否存在點(diǎn)Q,使得QC+QB最小?若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值;若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）若點(diǎn)E在①軸上,是否存在以P、4C、E為頂點(diǎn)且以人。為一邊的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的

坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（l）g=（姨+]-力-3

（2）一1或一3

⑶存在，5

⑷存在,印―3,—3）,網(wǎng)—3；何,3）閭—3三五,3）

【分析】

對(duì)于⑴，直接將點(diǎn)B,。的坐標(biāo)代入關(guān)系式得出方程組，再求出解即可；

對(duì)于（2）,先求出點(diǎn)4。的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)的關(guān)系式，再求出S^AOC,可知S^pAC,

作PK〃夕軸，交入。于點(diǎn)K,設(shè)P,K的坐標(biāo)，并表示出PK,然后根據(jù)面積相等列出方程，并求出解；

對(duì)于（3）,先確定QC+QB最小時(shí)Q的位置，再根據(jù)勾股定理求出答案；

對(duì)于⑷，①當(dāng)點(diǎn)P在/軸下方時(shí)，有舄根據(jù)為=—3可求出答案；

②當(dāng)點(diǎn)P在2軸上方時(shí)，PC與是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)E,P的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)相

同得出方程，求出解可得答案.

【詳解】(1)

拋物線(xiàn)y—ax1+3ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,O)>C(0,-3),

fa+3a+c=0

"lc=-3，

解得卜T,

1c=-3

拋物線(xiàn)的解析式為y=^-x2-\--^-x—3;

44

⑵

令9=o,則=為2+$-3=0,

貝"力1二—4,冗2=1,

***>1(—4,0),

設(shè)直線(xiàn)47表達(dá)式為nAc=kx+b,又0(0,-3),

.J—4fc+b=0

,R=-3'

解得[2T,

,二一3

.3Q

-?VAC——■^2—3,

,**A(-4,0),(7(0,—3),

:.OA—4,OC=3,

?e?S^AOC—6,

,Q,Q

當(dāng)S"AC=WS”oc時(shí)，S"AC~5，

作PK_L/軸，交4。于點(diǎn)K,

3^,則K[m,--3^

貝1PK—yE~Vp——|-m2—3m,

2

則.{xc—x^)PK=,m+4m+3=0,

mi=—l,m2=-3.

即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為一1或一3.

⑶存在，

??,點(diǎn)A與點(diǎn)_B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸I對(duì)稱(chēng)，

???當(dāng)點(diǎn)。在直線(xiàn)AC與對(duì)稱(chēng)軸I交點(diǎn)處時(shí)QC+QB最小，

此時(shí)QC+QB=QC+QA=AC,

由(2)知04=4,0。=3,

:.47=5,所以這個(gè)最小值為5.

(4)

存在，設(shè)+加+,7n—3),

①當(dāng)點(diǎn)P在二軸下方時(shí)，有RCV/AEi,

<7(0,—3),

,?Vp——3，

則-^-m2+2m—3=-3,

44

mi=0(舍去),m2=—3,

:.R(—3,-3)

②當(dāng)點(diǎn)P在力軸上方時(shí)，PC與AE是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn),

設(shè)后(71,0),_?(?71,,77?<2+_|_?72—3),

A(—4,0),(7(0,—3),

m+0=n—4

{+3—3=0，

而_-3-V41__3+V41

則rn1---------------,m2----------------,

又-^-m2+2m—3—3=0,

44

qQ

—m2+—m—3=3,即加=3,

___________F

.?，(-3；@,3)閭-31@,3)

綜上所述，存在3個(gè)點(diǎn)：國(guó)—3,—3),同一31五⑷閭-3.711用.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的關(guān)系式，求一次函數(shù)的關(guān)系式，解一元二次方程，勾股定理，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)

求線(xiàn)段和最小，平行四邊形的性質(zhì)，注意多種情況討論，不要丟解.

【題型3局長(zhǎng)的最值問(wèn)題】

9.((23-24?遼寧丹東?模擬預(yù)測(cè))如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)c=-1的拋物線(xiàn)y=a(x—/i)2+k(a￥O)圖象與rr軸

交于點(diǎn)人、B(點(diǎn)、A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(2)如圖1,若點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)河為線(xiàn)段CO上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△4PC的面積最大

時(shí),求△APM周長(zhǎng)的最小值；

(3)如圖2,將原拋物線(xiàn)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°,得新拋物線(xiàn)y',在新拋物線(xiàn)y'的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q使得

△ACQ為等腰三角形？若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴夕=—'!~(力+1戶(hù)+.

(2)2713+275

⑶存在，(-7,“場(chǎng))或(-7.-V23)或(-7,7)

【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)2=一1,可得無(wú)=一1,再把點(diǎn)(2,0),(0,4)代入解析式即可求解；

(2)過(guò)點(diǎn)P作的平行線(xiàn)PN,當(dāng)直線(xiàn)PN與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，4APC面積最大，由此可對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的

坐標(biāo)；再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)最值問(wèn)題可求出△APM周長(zhǎng)的最小值；

(3)由(1)可得原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得y，的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出式的對(duì)稱(chēng)軸；則需要分類(lèi)

討論①當(dāng)AC=AQ時(shí)；②當(dāng)CA=CQ時(shí);③當(dāng)Q4=QC時(shí)，分別建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：：拋物線(xiàn)y=a(x—h)2+k(aWO)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=—1,

：.x=h=-1,

???拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)0(0,4),

.f(z(2+1)2+fc=0

???U(O+l)2+fc=4，

??.拋物線(xiàn)的解析式為：y3+1)2+1.

⑵由⑴知函數(shù)解析式為：y――今(劣+1)2+

4(—4,0),

直線(xiàn)AC:y—x-\-4：,

過(guò)點(diǎn)P作PN〃人C,設(shè)直線(xiàn)PN的解析式為：y=①+加，

當(dāng)△AP。的面積最大時(shí)，直線(xiàn)PN與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

令①+?7i=—*(a:+I)2+,整理得"+4a:+2m—8=0,

.?.△=42-4(2m-8)=0,

解得：m—6,

.?.爐+4c+4=0,

.?.，=—2,即P(—2,4);

作點(diǎn)人關(guān)于9軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,連接4P交9軸于點(diǎn)河，如圖1,此時(shí)AAPM的周長(zhǎng)最小,

???4—4,0),

???4(4,0),

A'P=V(-2-4)2+(4-0)2=2V13,AP=V(-2+4)2+(-4-0)2=275,

.?.△APAf周長(zhǎng)的最小值為：2/^+2，.

⑶由⑴知原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)一吟),繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)D'(—7,—

y'的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)多——7;

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(一7力，

若△ACQ是等腰三角形，則需要分類(lèi)討論：

①當(dāng)=時(shí)，如圖2;

(-4-0)2+(0-4)2=(-4+7)2+(0-1)2,解得t=±V23;

Q(-7,V23)或(-7,-V23);

②當(dāng)C4=CQ時(shí)；

A(-4-0)2+(0-4)2=(0+7)2+(4—,無(wú)解；

③當(dāng)QA=Q。時(shí)，如圖3,

(-4+7)2+(0-療=(0+7)2+(4—解得t=7,

AQ(-7.7).

綜上可知，存在,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-7,V23)或(一7,—?>(/23)

或(-7,7).

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積最值問(wèn)題，軸對(duì)稱(chēng)最值問(wèn)題,

等腰三角形存在性問(wèn)題，(2)關(guān)鍵是求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)關(guān)鍵是進(jìn)行正確的分類(lèi)討論，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式

建立方程.

10.(23—24九年級(jí).山東淄博?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn),=-十d+尻+。與2軸交于

A(-2,0),5(6,0)兩點(diǎn)，與“軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)P為直線(xiàn)上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線(xiàn)的解析式;

8

(2)過(guò)點(diǎn)A作AD//交拋物線(xiàn)于。，若點(diǎn)E為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),求工班周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)E的

坐標(biāo)；

⑶過(guò)點(diǎn)A作AD//BC交拋物線(xiàn)于。，過(guò)點(diǎn)E為直線(xiàn)AD上一動(dòng)點(diǎn),連接CP,CE,BP,BE,求四邊形

BPCE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)。=—^-a:2+/+3

(2)ABED的周長(zhǎng)最小為50+畫(huà)，E的坐標(biāo)為(2,—2)

⑶四邊形BPCE的面積最大為號(hào)■，此時(shí)P(3,號(hào))

—\x4—26+c=0

【分析】(1)把4(—2,0),3(6,0)兩點(diǎn)代入拋物線(xiàn)的解析式得到《f，求解即可得出答案；

—4x36+66+c=0

(2)求得。(0,3),待定系數(shù)法求出直線(xiàn)B。的解析式為"=一1~c+3,從而得出直線(xiàn)AD的解析式為夕=

1

——X—1,聯(lián)工《]得出。(8,—5),_8關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)4D與對(duì)稱(chēng)軸的爻點(diǎn)

2[y=-^x2-\-x-\-3

即為點(diǎn)石，此時(shí)E4=石石，的周長(zhǎng)為跳;+?！?石。=AD+BO最小，求出4D=5，5,=〃為，即

可得解；

(3)過(guò)點(diǎn)P作①軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)8。于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(加，一^m2+m+3),則Q(m?,—于m+3),則

2M2

PQ——^m+m+3—(—^?n+3)=——7Tzz，求出邊形BPCE=S^BCE+S邸CP=—|~+12,

由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】⑴解：。??拋物線(xiàn)。=―++c與力軸交于4(—2,0),B(6,0)兩點(diǎn)，

―\X4—2b+c=0

—~r

4X36+6b+c=0

解得p=;,

[c=3

拋物線(xiàn)的解析式為：g=―巳力之+N+3；

(2)解：由拋物線(xiàn)y——~，加2+/+3可得，當(dāng)i=0時(shí)，g=3,

???C(0,3),對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)力=------——=2,

2x(T)

設(shè)直線(xiàn)的解析式為夕=fcc+p,代入點(diǎn)B,點(diǎn)。的坐標(biāo)得，(2=3

[6k+p=0

解得卜=+,

lp=3

直線(xiàn)BC的解析式為y=—yrr+3,

?：AD//BC,

：.可設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y——■■+q,代入點(diǎn)A的坐標(biāo)得，—去X(—2)+q—0,

解得q=-1,

直線(xiàn)AD的解析式為“=——,一1,

1

iy=--^x—l

聯(lián)立g=---x2+T+3i,

4]。=+2+/+3，

解得f=8f=；2,

[y=-5[y=0

?e?-0(8,—5),

??,如圖，4,_B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

???直線(xiàn)AD與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)石，此時(shí)EA=EB,

??.EB+即=胡+即=4。最小，

???^BED的周長(zhǎng)為跳;+?！?石。=4。+石。最小，

???直線(xiàn)40的解析式為y——發(fā)力一1,當(dāng)力=2時(shí)，y=—2,

??.E的坐標(biāo)為(2,—2),

,?*AD—J(—2—8)2+[0—(—5)r=5^/5,BD—(8—6)24~(—5—0)2—A/29,

??.△BED的周長(zhǎng)最小為5V5+V29;

(3)解:如圖，過(guò)點(diǎn)P作/軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)Q,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,一■：7722+館+3),則Q(m,—由m+3),其中0VmV6,

/.PQ=--+m+3—(--^-館+3)=--^-m2+

4'2/42

???AD//BC,

SgCE=S^CA=x8x3=12,

S四邊形BPCE~SmcE+S^BCP—x6(一■^-m2+-|-?7i)+12=―^-m2+-|-m+12,

9_

當(dāng)館=------——=3時(shí)，四邊形BPCE的面積最大為孕，此時(shí)P(3,畢).

2x(-1)4'4，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、勾股定理、待定系數(shù)法求一次函

數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解此題的關(guān)鍵.

11.(23-24九年級(jí)?全國(guó)?期末)如圖拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-l,0),點(diǎn)C(O,3)，且08=OC.

___________W

⑴求拋物線(xiàn)的解析式及其對(duì)稱(chēng)軸；

(2)點(diǎn)D、E是直線(xiàn)T=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=1,點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，求四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小

值；

(3)點(diǎn)。為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接CP,直線(xiàn)CP把四邊形CBPA的面積分為3:5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y——X2+2c+3,函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：7=1;

(2)710+1+V13

(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-5)或(8,-45).

【分析】

(X)OB=OC,則點(diǎn)B(3,0),則拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=a(x+1)(a?-3)=ax2—2ax—3a,即可求解；

⑵CD+AE=4￡>+。。，則當(dāng)4、。、。三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CD+AE=4D+。。最小，周長(zhǎng)也最小，即可求解;

⑻SAPCB：SAPCA=EBx(y0-yp):,AEx(yc-yP)=BE:AE，即可求解.

【詳解】⑴

解：；OB=OC,.?.點(diǎn)B(3,0),

則拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=a(x+1)(z-3)=a(x2—2x—3)=ax2—2ax—3a,

故—3a=3,解得:a=-1,

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=—x2+2力+3①，

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：2=1;

⑵

解：四邊形4CE必的周長(zhǎng)=AC+DE+CD+AE,其中力。=60、DE=1是常數(shù)，

故CD+AE最小時(shí)，周長(zhǎng)最小，

取點(diǎn)。關(guān)于直線(xiàn)2=1對(duì)稱(chēng)點(diǎn)取(2,3)，則CD=CD,

取點(diǎn)^(-1,1)，則AD=AE,

故：CD+=+則當(dāng)4、。、。三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CD+AE=最小，周長(zhǎng)也最小，

圖1

四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值=AC+DE+CD+AE

=VW+1+A'D+DC

=m+1+4。

=V10+l+V13;

⑶

解:如圖，設(shè)直線(xiàn)CP交2軸于點(diǎn)E,

圖2

直線(xiàn)CP把四邊形CBK4的面積分為3:5兩部分，

又'''SXPCB；SI^CA=3EBx(yc—yP):—AEx(yc—yP)—BE：AE,

則BE：AE=3:5或5:3,

則AE=|■或

即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為墻,0)或怎,0),

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線(xiàn)CP的表達(dá)式：y=kx+i,

解得:k=—6或—2,

故直線(xiàn)CP的表達(dá)式為：y=—26+3或g=—6c+3②

聯(lián)立①②并解得：t=4或8(不合題意值已舍去)，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-5)或(8,-45).

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖象面積計(jì)算、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性等，通過(guò)確定點(diǎn)A點(diǎn)來(lái)求最小

值，是本題的難點(diǎn).

12.(23-24九年級(jí)?廣東廣州?階段練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)u=4+尻+c與非軸交于4、

8兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)人的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3).

⑴求拋物線(xiàn)的解析式；

⑵如圖1,E為△ABC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),

①求DE+EF的最小值②求△DEF周長(zhǎng)的最小值；

(3)如圖2,N為射線(xiàn)上的一點(diǎn)，河是地物線(xiàn)上的一點(diǎn)，M、N均在第一象限內(nèi)，B、N位于直線(xiàn)AM

的同側(cè)，且AM//CN,當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).(直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，不要求寫(xiě)解

答過(guò)程)

【答案】(l)y=a;2—2a;—3

⑵①②尊

(3)(-^-,--j或(1+V2T,—2+V21)或(6+-\/2T,3+V21).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解決；

⑵①設(shè)Q為。關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接QE,EF,根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)。i、E、F三

點(diǎn)共線(xiàn)，而且D}F_LBC時(shí)，ED+EF=DXE+EF最小，最小值為DVF,②設(shè)R為。關(guān)于直線(xiàn)4B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

以為。關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接。田，。2凡。。2.當(dāng)D\,E.F.2共線(xiàn)時(shí)，△DEF的周長(zhǎng)最小，最小

值為A2的長(zhǎng)；

⑶求出直線(xiàn)AM的解析式，利用方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)M■作,軸的平行線(xiàn)Z,過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線(xiàn)

交,軸于點(diǎn)P,交直線(xiàn)Z于點(diǎn)Q.分三種情形：當(dāng)4M=AN時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)AN=A<W時(shí)，分別構(gòu)建方

程求解.

【詳解】⑴解：:拋物線(xiàn)y=x2+bx-\-c經(jīng)過(guò)點(diǎn)1(—1,0),點(diǎn)(7(0,—3).

.fl—b+c=0

"[c:—3

1c=—3

/.拋物線(xiàn)的解析式為"="—24一3;

(2)令夕=0,則力2-2%-3二0,

解得x=—1或3,

???5(3,0),

:.OB=OC=3,

???ABOC是等腰直角三角形，/OCB=45°

①設(shè)A為。關(guān)于直線(xiàn)48的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接。逐，EF,

WMl

ED+EF—D]E+EF,

根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)。、石、F三點(diǎn)共線(xiàn)，而且時(shí)，ED+EF=AE+EF最

小，最小值為D*,

如圖1,過(guò)A點(diǎn)作AF_LBC,垂足為F,

此時(shí)△FGDi是等腰直角三角形，。尸=奪。01=空乂[2—(-3)]="|2，

故DE+EF的最小值為-|-V2;

②如解圖設(shè)為關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，。為關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接。田，

2,RD4BDBCD2F,DXD2.

由對(duì)稱(chēng)性可知=DF=D2F,ABEF的周長(zhǎng)=。田+防+。2尸,

；.當(dāng)。i,E.F.2共線(xiàn)時(shí)，ABEF的周長(zhǎng)最小，最小值為。12的長(zhǎng)，

令夕=0,則d―22—3=0,

解得