導數(shù)與不等式問題（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學一輪復習

第15講導數(shù)與不等式問題

（5類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第20題,16利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)研究不等式恒成立問題由導數(shù)求求在曲

分線上一點處的切線方程（斜率）函數(shù)的最值（含參）

2023年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)研究

分不等式恒成立問題

2022年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導數(shù)研究不等式恒成立問題利

分用導數(shù)研究函數(shù)的零

2021年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

分利用導數(shù)研究能成立問題函數(shù)極值點的辨析

2020年天津卷，第20題,16

利用導數(shù)證明不等式

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為16分

【備考策略】L理解、掌握導數(shù)與不等式的關(guān)系

2.能掌握不等式的恒成立與有解問題

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助圖像解決不等式問題

4.會證明不等式問題

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出函數(shù)，證明不等式成立，以及求解不等式恒成

立及有解問題。

「立?考點梳理，

知識講解

知識點一.不等式

1.恒成立問題的轉(zhuǎn)化：a>/(%)恒成立=>a>/(x)max;a</(%)恒成立a<f(x)min

2.能成立問題的轉(zhuǎn)化：。>/(%)能成立=>a>f(x)min;;a</(%)能成立=>a</QOmax

3.恰成立問題的轉(zhuǎn)化：。>/(乃在M上恰成立o。>/(汽)的解集為“

另一轉(zhuǎn)化方法:若％￡￡>,/(%)N4在D上恰成立,等價于/(久)在D上的最小值f(x)疝n=4若Xe0，/(x)<

B在D上恰成立，則等價于f(x)在D上的最大值/(;0m陋=B.

4.設(shè)函數(shù)/(%)、g(x),對任意的久ie[a,b],存在不e[c,d],使得/■(久力2。(右)，則/(久)血譏2g(x)m譏

5.設(shè)函數(shù)/(X)、g(x),對任意的e[a,b],存在比26[c,d],使得/(修)Wg(>2)，貝!1/(%)maxW9(乂)max

6.設(shè)函數(shù)/(X)、g(x),存在“1e[a,句,存在小e[c,d],使得/(5)2或句)，則/'(x)max2g(X)m譏

1

7.設(shè)函數(shù)/■(%)、g(x),存在xie[a,b],存在久2e[c,d],使得/(xj<g(x2),貝Jf(乃加皿W9(久)max

8.設(shè)函數(shù)/(%)、g(x),對任意的C[a,b],存在久26[c,d],使得fOi)=g(久2)，設(shè)/(久)在區(qū)間[。，6]上

的值域為A,g(x)在區(qū)間[c,可上的值域為8,則AuB.

9.若不等式/(久)>gO)在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)y=f(x)和圖象在函數(shù)y=g(x)圖

象上方.

10.若不等式/(%)<g。)在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)y=和圖象在函數(shù)y=g。)圖

象下方.

知識點二.恒成立問題的基本類型

在數(shù)學問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.

函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題，其表現(xiàn)形式通常有：①在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立；②某函數(shù)的定義

域為全體實數(shù)R；③某不等式的解為一切實數(shù)；④某表達式的值恒大于a等等…

恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想

方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也

成為歷年高考的一個熱點.

恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：

①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；⑤直接根據(jù)函數(shù)的

圖象.

考點一、導數(shù)與不等式解集問題

典例引領(lǐng)

I________________________

1.(24-25高三?上海?隨堂練習)若函數(shù)y=f(x),其中f(x)=%2-2%-41nx,則產(chǎn)(久)>0的解集為().

A.(0,+8)B.(—1,0)U(2,+8)

C.(2,+oo)D.(-1,0)

2.(2024?山東濰坊?三模)已知函數(shù)/(久)的導函數(shù)為尸0),且f(l)=e,當x>0時，f'M<^+ex,則不等

式留9>i的解集為()

ex

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(1,+oo)D.(0,1)U(1,+oo)

即時檢測

1.(2024.寧夏銀川.三模)已知定義在R上的奇函數(shù)/(%)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，尸(%)是/(%)的導函

數(shù)，當%>0時,3/(x)+x尸(久)>0,且f(2)=2,則不等式(久+l)3f(%+1)>16的解集為()

A.(1,+8)B.(—co,—2)U(2,+co)

C.(—co,1)D.(一8,—3)U(1,+8)

2.(2024?江西南昌三模)已知函數(shù)/(%)的定義域為R,M/(2)=-1,對任意x€R,f(x)+xf'(x)<0,則

不等式(x+1)/(%+1)>一2的解集是()

A.(―oo,1)B.(—8,2)C.(1,+oo)D.(2,+8)

3.(23-24高三下?北京?階段練習)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(2+x)=/(—%),且當x>1時,有支廣(x)+

f(x)>f(x),若/(2)=1,則不等式f(x)〈二的解集是.

4.(23-24高三下?上海?階段練習)已知函數(shù)“X)是定義在R上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為尸Q),且當x<0時，

2f(x)+xf(x)<0,則不等式(久-2023)2/(%-2023)一汽-1)>0的解集為_______.

5.(2024.四川成都.模擬預測)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)y=f0)的導函數(shù)為y=尸(%)，當x>0時，

xf(x)+f(x)<0,且/(2)=3,則不等式/O—1)>m的解集為.

考點二、單變量不等式的證明

典例引領(lǐng)

1.(2023?陜西榆林?二模)已知函數(shù)f(%)=In%+|%2(。ER).

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

(2)當a=2時，證明：/(x)<%2+x—1.

2.(2024?陜西榆林?三模)已知函數(shù)/(%)=minx—%+1.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當血=1時，證明：/(%)<ex-3x+1.

即0唧(

1.(2024高三?全國?專題練習)設(shè)函數(shù)/(%)=(%+a)\nx+b,曲線y=/(%)在點處的切線為X+y-

2=0.

(1)求y=/(%)的解析式；

(2)證明:/(%)>0.

2.(2024?河北保定?三模)已知函數(shù)/(%)=/一+inx,x=1為/(%)的極值點.

(1)求a；

(2)證明：/(%)<2x2—4x.

考點三、雙變量不等式的證明

典例引領(lǐng)

1.(2024?陜西安康?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=|x—1|+|用+2|x+l|.

(1)求不等式f(x)<4的解集；

(2)若/(%)的最小值為zu,正實數(shù)a,b滿足1+1=證明：小+b2+5之忠+3出).

2.(2024?貴州黔東南?二模)已知函數(shù)/(%)=In%—要孑在久=1處的切線為無軸.

(1)求實數(shù)。的值；

x-x<%1+%2

(2)若%1>外>0，證明:12

In%!—lnx22

即時檢測

1.(2024.山東荷澤?模擬預測)已知函數(shù)/'(%)=txlnx—x2+1(0<t<2).

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>6>0,證明:In昌<懸?

2.(2024?陜西榆林?一模)已知函數(shù)/(%)=%—7.

⑴求/(%)的極值；

(2)已知aGfo,-Ym/Csina)+n/(coscr)=tan-,證明：m+n>-.

\2/62

考點四、不等式恒成立問題

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(%)滿足/(%)=e%-久2+2%,若關(guān)于%的不等式/(%)>(2-a)%+1

在(0,+8)上恒成立，實數(shù)a的取值范圍為-

2.(24-25高三上?浙江金華?開學考試)已知函數(shù)f(%)=In%—ax+a.

⑴討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)當%>1時，不等式/(%)<ex-1-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

??即時檢測

1.(2024?黑龍江大慶?三模)已知a,bWR,函數(shù)f(%)=a——2%一41n%+b,且((1)=—4.

⑴求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)>0恒成立，求b的取值范圍.

2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)f(%)=xlnx,g(%)=—%2—ax—4(a6R).若對任意XG(0,+oo),

不等式/(%)>恒成立，求a的取值范圍.

3.(2024?陜西西安?三模)已知函數(shù)/(%)=(?+l)e%.

(1)當a=1時，求曲線y=/(%)在點(O,f(0))處的切線方程；

(2)若當％20時，/(%)21恒成立，求a的取值范圍.

4.(23-24高三上?江蘇南通?階段練習)已知函數(shù)/(%)=%-In%+2?+Ina.

(1)當a=l時，求函數(shù)y=/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(%)>2y]x-x+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

考點五、不等式有解問題

典例引領(lǐng)

1.(2023高三?全國?專題練習)若關(guān)于x的方程5爐=15%-租在[-1,2]上有解，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.[-10,10]B.[-10,+oo)C.(-oo,-10]D.[10,+oo)

2.(2024?西藏拉薩?二模)已知函數(shù)/(久)=xex+ax2+1.

(1)當a=0時，求函數(shù)/(%)的最值；

(2)若方程/(%)=ex+1在久G[1,3]上有解，求實數(shù)a的取值范圍.

即時檢測

I________L__________

1.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)f(%)=e%—/+a，xER,</?(%)=/(x)+x2—x.

(1)若9(%)的最小值為0,求a的值；

(2)當aV0.25時，證明：方程/(%)=2%在(0,+8)上有解.

2.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=x2—2alnx—2(aER).

⑴討論f(%)的單調(diào)性；

3.(23-24高三上?山西呂梁?階段練習)已知函數(shù)/(%)=e%—%2一1.

(1)求/(%)在％=1處的切線方程；

(2)若/(%)<a%在第G(0,+8)上有解，求實數(shù)a的取值范圍.

4.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(%)=QX—X.

⑴求函數(shù)/(%)的極值；

(2)若對任意x>0,/(久)>jax2+1有解，求a的取值范圍.

好題沖關(guān)?

基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2022?福建南平三模)對任意的％i，%26(1,3],當％i<%2時，/-冷-包>0恒成立，則實數(shù)a的取

3%2

值范圍是()

A.[3,+oo)B.(3,4-00)C.[9,4-oo)D.(9,+oo)

2.(2024?四川成都?二模)在區(qū)間[-4,刀上隨機取一個實數(shù)x,使xWsinx恒成立的概率是()

2113

A.-B.-C.-D.-

3234

3.(2022.重慶沙坪壩.模擬預測)若關(guān)于x的方程1=。%2。>0)有解，則實數(shù)a的取值范圍為.

4.(2024?江蘇揚州?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=ln(mx)—x(m>0).

(1)若f(%)40恒成立，求血的取值范圍；

(2)若f(%)有兩個不同的零點%1，%2，證明％1+%2>2.

5.(2024?湖北武漢?模擬預測)已知/(%)=-尸(1)/+%+21nx.

⑴求廣⑴并寫出/(%)的表達式；

(2)證明：/(%)<x-1.

6.(2023?吉林長春?模擬預測)已知函數(shù)/'(%)=|(x2-1)-In%.

(1)求/(%)的最小值；

(2)證明：嗚>2

7.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(%)=ex-1—ax+lnx(aeR),若不等式f(%)>In%—a+1對一

切久E[1,+8)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

能力提升

1.(23-24高三上.陜西咸陽?階段練習)已知函數(shù)/(￡)=/+cosx—1,若不等式/(ax+2)</(/+6)對

任意％eR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—4,4)B.(—8,4)U(4,+8)

C.(-4V2,4V2)D.(-8,4魚)U(4應,+oo)

2.(2024.寧夏銀川.模擬預測)已知QGN*,函數(shù)f(%)=e3%—久。>0恒成立，則a的最大值為()

A.2B.3C.6D.7

3.(2024?江蘇蘇州?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=Inx+a%+l,aC知

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當aW2時，證明：e2%.

X

4.(2024高三.全國.專題練習)設(shè)函數(shù)/(%)=aln%+g,曲線y=/(%)在點(1廳(1))處的切線方程為％+y-

3=0.

(1)求見5；

(2)證明:/(%)>e~x.

5.(2024?廣西?模擬預測)設(shè)函數(shù)/(%)=—dlnx+e2x,a>0.

(1)當a=e時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：/(%)—2a—aln2+alna>0.

6.(2024?四川內(nèi)江?三模)已知函數(shù)/(%)=In%+a(：—1),a>0.

(1)若f(%)>0恒成立，求a的取值集合；

(2)證明：—+—+???+—<ln3(neN^.

7n+ln+23nvy

7.(2024?福建福州?三模)已知函數(shù)/'(x)=ax-ln(l-x)(aGR).

(1)求曲線y=/(x)在點(OJ(O))處的切線方程；

(2)若/(x)>。恒成立，求a的值

真題感知

1.(2024.全國?高考真題)已知函數(shù)/(%)=a(%—1)-In%+1.

⑴求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a42時，證明：當久>1時，/(%)<恒成立.

2.(2023?全國?高考真題)已知函數(shù)/(%)=a(e%+a)—%.

⑴討論f(%)的單調(diào)性;

(2)證明：當。>0時，f(x)>21na+

3.(2023?天津?高考真題)已知函數(shù)/O)=G+yinO+D.

(1)求曲線y=/(*)在x=2處的切線斜率；

(2)求證:當％〉0時，/(%)>1；

（3）證明：|Vln（m）—（九+1）lrm+九41.

4.（2023?全國?高考真題）（1）證明：當0<%Vl時，x—x2<sinx<x；

(2)已知函數(shù)/(%)=cosa%-ln(l-12),若久=0是/(%)的極大值點，求a的取值范圍.

5.(2021?全國?高考真題)已知函數(shù)/(%)=%(1—In%).

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a,b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b,證明：2〈工+/<e