甘肅蘭州安寧區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試題

高二數(shù)學(xué)

一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題

目的一項(xiàng)）

1.直線工+與-3=0的傾斜角是（）

A.30°B,60°C.150°D120°

【答案】C

【解析】

【分析】由斜率可確定直線的傾斜角.

,瓜any~~~x+s/3k=一

【詳解】由兩-3=0得3,所以該直線的斜率為：3.

ta〃e=_B

設(shè)直線傾斜角為0,則0"。＜180。，且"〃一"T,所以8=150。

故選：C

2.已知尸（"）=0-5,尸（8）=03,PQB）=0.2,則尸（幺113）=（）

A.0.5B.0.6C,0.8D,1

【答案】B

【解析】

［分析］依題意根據(jù)尸（/U8）=尸（/）+尸（8）一尸計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)槭?）=0-5,尸⑻=03,P（AB）=0.2

則P（N5）/P⑷P⑻所以事件A與事件5不相互獨(dú)立，

P（AU8）=尸（/）+P（B?P（AB）=0.5+0.3-0.2=0,6

故選：B

3.若直線4：、+砂+6=（）與/2：（"2）x+3y+2"=°平行，則、與4間的距離為（

8萬(wàn)

A.6B.3

873

C.6D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由兩直線平行的判定有3一。伍―2）=°且2/-18N0求參數(shù)外應(yīng)用平行線距

離公式求4與4間的距離.

［詳解］?.?直線4：%+?+6=0與4：(a-2)x+3y+2a=0平行,

2

勺/c9ci=—1,/1—3x+3y—2=0,x—yH—=0

...3_。伍_2)=0且2a2_i8w0,解得支2，,3

6-2

3

d=,2

直線（與,2間的距離,「+<-1）一

故選：B.

4.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若％心3，。4成等比數(shù)列，S"是｛4｝的前〃項(xiàng)和，則

9等于（）

A.一8B.一6C.10D.0

【答案】D

【解析】

2

【分析】由a1，a3,成等比數(shù)列，可得名=aia4,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n

項(xiàng)和公式即可得出.

2

【詳解】Vai，a3,a4成等比數(shù)列，%=aia4,

...（%+2x2）2=a/（a1+3><2）,

化為2al=-16,

解得ax=-8.

9x8

.?.貝i]Sg=-8x9+2X2=O,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力

與計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（一2」），且直線’的一個(gè)法向量為v=（2「1）,則直線/的方程為（

）

A%+2y=0Bx+2y-4=0

Q2x-y+5-QD2x+y+3=0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線/的一個(gè)法向量為v=（2，—l）,得到號(hào)=2,寫出直線方程.

【詳解】因?yàn)橹本€/的一個(gè)法向量為丫=（2，一1）,

所以左=2,

則直線/的方程為vT=2（x+2）,即2x-了+5=0,

故選：C

6.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗

青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的

一半，羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問(wèn)各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、

羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的

主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗

是馬的一半.問(wèn)羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）

2550100252550100200400

A.不亍'〒B./7亍C,〒〒不D,

50100200

777

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)羊戶賠糧4升，馬戶賠糧%升，牛戶賠糧生升，易知/，出，的成等比數(shù)列,

4=2,%+。2+。3=50,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.

［詳解】設(shè)羊戶賠糧4升，馬戶賠糧在升，牛戶賠糧氣升，則，。2,。3成等比數(shù)列，且公比

,、―50_50。_100

4=2,%+%+%=50,則%。+4+4）=50,故%=1+2+2。丁,%~“「工

2

?3=2?i=-

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬

于基礎(chǔ)題.

7.點(diǎn)尸G，3）到直線/:辦+了-2a=°的距離為"，則d的最大值為（）

A.3B.4C.5D.7

【答案】A

【解析】

【分析】首先確定直線所過(guò)的定點(diǎn)，然后確定”的最大值即可.

【詳解】直線方程即了=一""一2）,據(jù)此可知直線恒過(guò)定點(diǎn)河（2,0）,

當(dāng)直線‘‘尸"時(shí)，"有最大值，

本題選擇/選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，兩點(diǎn)之間距離公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查

學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

8.曲線^=1+"^與直線質(zhì)—>—2左+4=°有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)上取值范圍是（

）

色』3口H

A.112'4」B.SRC.（3'4」D.

【答案】A

【解析】

【分析】曲線y=l+，4-/即+（y_i）2=4,（了汕，表示以2（0,1）為圓心，以2

為半徑的圓位于直線＞=1上方的部分（包含圓與直線＞=1的交點(diǎn)C和。），是一個(gè)半圓,

如圖直線y=《（x—2）+4過(guò)定點(diǎn)8（2,4）,要有2個(gè)交點(diǎn)，直線要在8C/E之間，求出

兩直的斜率可得結(jié)果

【詳解】解:曲線了=1+"-/即/+3-1）2=4,3油,表示以為圓心,

以2為半徑的圓位于直線＞=1上方的部分（包含圓與直線＞=1的交點(diǎn)C和。），是一個(gè)

半圓，如圖：

直線y=Hx-2）+4過(guò)定點(diǎn)8（2,4）,設(shè)半圓的切線BE的切點(diǎn)為E,

k,-4-1——3

則2C的斜率為“2+24.

設(shè)切線2E的斜率為《'，k'＞0,則切線3E的方程為了―4=k（x—2）,根據(jù)圓心/到線

距離等于半徑得

|0-1+4-2^1|5

一加,k=n,

由題意可得左〈左〈心C,12＜-4,

故選：A.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率

B.點(diǎn)?2）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為0，1）

C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為％+了-2=°

D.直線x—V—2=°與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，利用斜率定義可知，當(dāng)傾斜角為90。時(shí)，斜率不存在；B選項(xiàng)求解點(diǎn)關(guān)于

直線的對(duì)稱點(diǎn)，滿足兩點(diǎn)的斜率與》=x+l乘積為-1,中點(diǎn)在己知直線了='+1上，進(jìn)而求

出對(duì)稱點(diǎn)；C選項(xiàng)要考慮截距均為0的情況，D選項(xiàng)求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出

圍成的三角形的面積.

【詳解】當(dāng)傾斜角為90。時(shí)，斜率不存在，故A選項(xiàng)正確；設(shè)（°，2）關(guān)于直線了=“+1的對(duì)

[—1

m

〃+2加+]加=1

稱點(diǎn)為（血〃），則滿足〔22，解得：〔〃=1,故點(diǎn)（°，2）關(guān)于直線y=x+i的對(duì)

稱點(diǎn)為（1」），B正確；當(dāng)在X軸和y軸上截距都等于0時(shí)，此時(shí)直線為〉=x,故C錯(cuò)誤;

直線》一了一2=°與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，°）與（0，—2）,故與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形

-x2x2=2

的面積為2,D正確

故選：ABD

io.甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為5和甲、乙兩人各射擊一次，下列

說(shuō)法正確的是（）

11

----1----

A.目標(biāo)恰好被命中一次的概率為23

11

—x—

B.目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為23

1211

—X-----1-----X-

C.目標(biāo)被命中的概率為2323

D.目標(biāo)被命中的概率為23

【答案】BD

【解析】

【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件、對(duì)立事件的概率公式可判斷各選項(xiàng)的

正誤.

]_1

【詳解】甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為2和3,甲、乙兩人各射擊一次，

11121

—X--1---X—=—

在A中，目標(biāo)恰好被命中一次的概率為23232,故A錯(cuò)誤；

111

—x———

在B中，由相互獨(dú)立事件概率乘法公式得：目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為236,故

B正確；

邙-L二

在CD中，目標(biāo)被命中的概率為I3,故c錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

11.已知數(shù)列缶"｝的前〃項(xiàng)和為I,下列說(shuō)法正確的（）

A.若S"=I+1,則缶"｝是等差數(shù)列

B.若邑=3"—1,則也”｝是等比數(shù)列

C.若S'｝是等差數(shù)列,則風(fēng)=9a5

D.若｛%＞是等比數(shù)列,且則

【答案】BC

【解析】

【分析】對(duì)于A,求出生,°2,%即可判斷；

對(duì)于B,利用%=S"—S“T求出通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證是否滿足4=2,即可判斷；

對(duì)于C,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷；

對(duì)于D,當(dāng)q=i時(shí)，可得$「$3—用=—看,即可判斷.

【詳解】解：對(duì)于A,若S"=/+l,則％=H=2,

%=S2—S]=3,%=S3—S2=5,則｛%｝不是等差數(shù)列，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若S〃=3"-1,則%=4=2,當(dāng)〃22時(shí)，

%=S“-5?_1=r-l-（3--l）=2x3",滿足%=2,

所以a“=2x3"T,則｛%｝是等比數(shù)列，B正確；

,I及=9（4+」9）=9生

對(duì)于C,也"，是等差數(shù)列，則2,c正確；

對(duì)于D,若口｝是等比數(shù)列，當(dāng)4=1時(shí)，則岳A=3。1-4a；=—%-<0,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.已知圓又：/+3—2）2=1,點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓/的兩條切線，

切點(diǎn)分別為A,B,直線48與"P交于點(diǎn)C,則下列結(jié)論正確的是（）

A.四邊形R4MB周長(zhǎng)的最小值為2+6

B.I//的最大值為2

8

C若尸（1,0）,則三角形尸4s的面積為與

D.若"丁°,則us的最大值為a

【答案】CD

【解析】

【分析】首先設(shè)“口，

對(duì)于選項(xiàng)A,根據(jù)題意，表達(dá)四邊形尸?WB周長(zhǎng)關(guān)于/的函數(shù)，由/的取值范圍求函數(shù)的最

小值可判斷A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,根據(jù)等面積法，求出58|關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系，由/的取值范圍求函數(shù)的最大

值可判斷B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,根據(jù)題意，計(jì)算△尸48的底和高，求出面積判斷C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸（多°）,求出切線48的方程與直線P位的方程，二者聯(lián)立消去也得

到二者交點(diǎn)0的軌跡是圓，CQ的最大值為圓心。與°距離加半徑，可判斷D正確.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)則|8尸|=|月尸1=而臼而『=戶］

則四邊形周長(zhǎng)為2爐二i+2,則當(dāng)Z最小時(shí)周長(zhǎng)最小，又Z最小值為2,

所以四邊形周長(zhǎng)最小為2省+2,故A錯(cuò)誤；

S四邊形尸0MB=25想"=彳|2x—x1xVf2-1=—dAB\

對(duì)于選項(xiàng)B,2，即22

\AB\=^^-=2.IZ

所以/，因?yàn)楣?,所以故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)槭琣°）,所以.上色即，=叵所以""23t2出,

1Q

-\AB\\PC|=-

所以三角形P/5的面積為25,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)尸（見(jiàn)°）,2（再'凹）,則切線PN的方程為/》+（必一2）@—2）=1,

又因?yàn)橹本€P4過(guò)點(diǎn)Pg°），代入可得玉根+（乂一2）（0-2）=1化簡(jiǎn)得明-2必+3=0

設(shè)BQ,%),同理可得加工2-2%+3=0,

因此點(diǎn)48都過(guò)直線冽1_2^+3=0,即直線AB的方程為機(jī)x—2y+3=0,

y=--x+2

MP的方程為m

y=---x+2①

m

加x-2〉+3=0②

二者聯(lián)立得,

2x

m=------x2+y2-—y+3=0

由①式解出2-y,代入②式并化簡(jiǎn)得

配方d）Y,”2

（0,-）1

所以點(diǎn)C的軌跡是以4為圓心，4為半徑的圓,

OIcoI\OQ\+R=A+（-）+~=2+—=—

設(shè)其圓心為J,所以Ua的最大值為｛Y44444,故D正

確.

故選：CD.

【點(diǎn)睛】本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，具備運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和函數(shù)思想是解題的關(guān)鍵，對(duì)

于AB選項(xiàng)，設(shè)變量1上0=‘，用f分別表達(dá)周長(zhǎng)函數(shù)和距離函數(shù)求最值，對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)

出動(dòng)點(diǎn)尸（私°）,分別表達(dá)直線N5和"P的方程，聯(lián)立消去機(jī)，得到動(dòng)點(diǎn)C的軌跡，進(jìn)

一步求解答案.

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.對(duì)某班一次測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如下表所示：

分?jǐn)?shù)段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻率0.030.040170.360.250.15

則該班成績(jī)?cè)冢?°，1°°］內(nèi)的概率為.

2

【答案】04##5

【解析】

【分析】根據(jù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)表，即可求得成績(jī)?cè)冢?0」00］內(nèi)的概率，得到答案.

【詳解】根據(jù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)表，可得該班成績(jī)?cè)谂f。/。。］內(nèi)的概率為

0.25+0.15=0.4.

故答案為：°-4

14.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和I=3+2”,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為.

_（5,n—1

［答案］"2n-l,n>2

【解析】

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，/=￡=3+2】=5；當(dāng)〃“時(shí)，

_5,〃=1

久=—Si=3+2〃—(3+2〃T)=2",所以a，，=〃>2

15.已知a>。，b>。,直線L(aT)x+yT=°,￡x+2勿+1=0,且4U,則

21

----1----

ab的最小值為.

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)兩條直線的一般式方程及垂直關(guān)系，求出口，小滿足的條件，再由基本不等

式求出最小值即可.

【詳解】因?yàn)?U,所以（aT）xl+lx26=0,即a+2b=l,

211、/c7\cc4ba..l4ba_

----1----

+—y(a+26)=2+2+——+—>4+2J-------=8

因?yàn)閍>0,b>Q所以。6b))ab\ab

4b_a1

ci———

當(dāng)且僅當(dāng)a即24時(shí)等號(hào)成立,

21

----1----

所以。b的最小值為8.

故答案為：8.

16.已知圓C的圓心在直線x+>=0上，圓C與直線％—y=0相切，且在直線％—y—3=0

上截得的弦長(zhǎng)為后，則圓C的方程為.

【答案】（X—1尸+3+1）2=2.

【解析】

【分析】

設(shè)圓的圓心，由直線與圓相切可得半徑，再由垂徑定理即可得解.

【詳解】由圓C的圓心在直線x+y=0上，.??設(shè)圓C的圓心為3一°）,

2/—1?

r=―^=y[2\a\

又,?,圓。與直線x—y=0相切，，半徑72.

又圓C在直線X—3=0上截得的弦長(zhǎng)為后，

圓心（a,一4）到直線x—y—3=0的距離72,

（/7A2

/+辿=/（2"3）232

2------------1—=Za

???I），即22,解得0=1,

???圓C的方程為（x—1）2+0+1）2=2.

故答案為：（xT）2+3+l）2=2.

四,解答題（本大題共6小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演

算步驟）

17.已知MB。的三個(gè)頂點(diǎn)分別為“（T°）,3（2,1）,。（-2,3）,求：

（1）8c邊所在直線的方程；

（2）邊上中線力。所在直線的方程；

（3）邊的垂直平分線DE的方程

【答案】⑴x+2y-4=0

（2）2x—3y+6=0

（3）2x—jv+2-0

【解析】

【分析】（1）由兩點(diǎn)式求直線8c的方程；

（2）由條件求。的坐標(biāo)，再求直線40所在直線的方程；

（3）根據(jù)直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系求直線QE的斜率，再求其方程.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)橹本€BC經(jīng)過(guò)8（2,1）和,（一2,3）兩點(diǎn)，

y-1_x-2

由兩點(diǎn)式得5c的方程為3T—2—2,即x+2y-4=0-

【小問(wèn)2詳解】

?.?8（2,1）,C（-2,3）,。為8c的中點(diǎn)，

?二點(diǎn)。的坐標(biāo)為。2）,

A+Z=i_

由截距式得ZD所在直線方程為-32，即2x-3y+6=°.

【小問(wèn)3詳解】

k,—_3_-_1_—..1

8c的斜率1-2-22,則8c的垂直平分線￡）￡的斜率42=2,

由斜截式得直線DE的方程為N=2x+2,即2x—y+2=0.

18.某快餐配送平臺(tái)針對(duì)外賣員送餐準(zhǔn)點(diǎn)情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在

規(guī)定時(shí)間內(nèi)送達(dá)、延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)、延遲5至10分鐘送達(dá)、其他延遲情況，分別評(píng)定為

A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，各等級(jí)依次獎(jiǎng)勵(lì)3元、獎(jiǎng)勵(lì)0元、罰款3元、罰款6元.假定評(píng)定為等級(jí)

3]_

48,C的概率分別是了于32.

（1）若某外賣員接了一個(gè)訂單，求其不被罰款的概率；

（2）若某外賣員接了兩個(gè)訂單，且兩個(gè)訂單互不影響，求這兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為3元的

概率.

7

【答案】（1）§

3

（2）16

【解析】

【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；

（2）由條件可知兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元即事件（4'2）°（幺2片），同樣利用互斥事件和

的概率，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)事件4B,C,D分別表示“被評(píng)為等級(jí)4BCD,,,

由題意，事件也尻°，°兩兩互斥,

1

P（D）=1313

所以483232,

又/U3="不被罰款,,,

317

P（AuB）=P（A）+P⑻=：+H

所以488.

7

因此“不被罰款”的概率為1；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)事件4，4，C，'表示“第i單被評(píng)為等級(jí)4B,C,D“，i=1,2,

則“兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元”即事件（4層）°（44）,

且事件4為,44彼此互斥，

313

尸（4與）小電）丁=

，

p=尸［（/也）u（44）］=尸（/也）+/（44）=2=最

所以3216.

19.已知圓°的方程：/+/_2》_外+加=0.

（1）求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

275

（2）若圓°與直線/：x+2y-3=°交于M,N兩點(diǎn)，且?5,求加的值.

【答案】（1）m<5

（2）4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化簡(jiǎn)即可求得加的取值范圍；

（2）利用點(diǎn)到直線的距離及垂徑定理即可解得.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得：

2

:方程x?+j2_2x_4y+機(jī)=0,可化為（X-1）?+（^-2）=5-m；

此方程表示圓，

:.5-m>0f即加<5

【小問(wèn)2詳解】

圓的方程化為（XT?+3_2）2=5一加，圓心C（l,2）,半徑r=J5-掰,

^_|l+2x2-3|_2

則圓心COZ到直線/：x+2y-3=°的距離為Vl2+22出,

\MN\=^-r=672+（||W|）2

由于5,則有

20.已知也）是遞增的等比數(shù)列，出,。6=8%,且%+%=20.

（1）求數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S",且滿足S”=24+〃，又■=log2a?；求數(shù)列

也十%｝的前〃項(xiàng)和J

【答案】（1）%=21

^±0-2-+2

（2）2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于％應(yīng)的方程組求解即可；

（2）利用構(gòu)造法求出V的通項(xiàng)公式，然后使用分組求和法可得.

【小問(wèn)1詳解】

53

axq-axq-^q產(chǎn),

記數(shù)列回｝的公比為”由題知加2+%-=20,即）=2°,

1

q=-g

解得2或4=2,

又｛4｝是遞增的等比數(shù)列，所以4=2,所以%=i,

所以數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式為例=2“二

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，S]=4=2b]+1,得4=_]

當(dāng)〃22時(shí)，2=S“-S“T=2b“+〃-（2%+〃-1）,整理得"-1=2（%-1）

所以也T｝是以2為公比，4T=-2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，

所以”-1=-22二得”=-2〃+1,

又C“=log22"T=〃T,所以〃+g=-2"+1+〃-1=〃-2",

所以（=0-2）+（2-22）+（3一23）+-.+（〃一2"）

=（1+2+3+…+22+23+…+2"）

_n（n+l）2（1-+

——乙十乙

21-22

21.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上（含

9.50m）的同學(xué)將得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的

比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25.

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23.

丙：9.85,9.65,9.20,9.16

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）求甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中恰有2人獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率.

2

【答案】（1）5

7

（2）20

【解析】

【分析】（1）根據(jù)古典概型概率的計(jì)算公式直接計(jì)算概率；

（2）由（1）知，甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率，根據(jù)古典概型概率的計(jì)算

公式，分別計(jì)算出乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率，再計(jì)算出甲、乙、丙

在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中恰有2人獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)事件/為“甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)”，

因?yàn)楸荣惓煽?jī)達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的同學(xué)將得優(yōu)秀獎(jiǎng)，

甲以往的10次比賽成績(jī)中達(dá)到9?50m以上（含9.50m）的有9.80,

9.70,9.55,9.54,共4次，

42

P（A）=—=—

所以甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為105,

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知，甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為尸（介:

設(shè)事件3為：“乙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率”，

乙以往的6次比賽成績(jī)中達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的有9.78,9.56,9.51,共3次,

故

事件C為：“丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率”,

丙以往的4次比賽成績(jī)中達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的有9.85,9.65,共2次,

尸?=冷

故

則甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中恰有2人獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為:

P=P(ABC)+P(A￡C)+P(ABC)

2i<n2rni<2^ii7

二—X—X1H——X1X——F1X—X—=——

5212)5(2)2(5J2220

22.已知數(shù)列也"｝滿足/j%=2%-3(-iy(〃eN)

(1)若”=%T,求證：4+1=4%

(2)求數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)公式；

(3)若q+2a2+34+…+"%>42對(duì)一切正整數(shù)“恒成立,求實(shí)數(shù)幾的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解答

%=2"+(—1)”

(2)

/1、

(一°°,彳)

(3)2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系分奇偶項(xiàng)討論計(jì)算即可;

（2）結(jié)合（1）可得也"｝是以4=4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，計(jì)算可求數(shù)列｛4｝的

通項(xiàng)公式;

（3）分〃為奇數(shù)與偶數(shù)，求得S“，進(jìn)而分離變量，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，可得

2（〃-1）+登〉幾當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，2（〃f+封〉々求得最小值即可.

【小問(wèn)1詳解】

由q=L%+i=2%—3(-l)"GeN*)

一2〃+2=2%“+|-3(-1)2'用=2。2〃+|+3

可得。2〃+1=2a2“-3(-l)2n=2a2“-3

所以a2n+2=2(2%“-3)+3=4%,-3

所以黑廣a2n+2-1=4a2〃-4=4Q“-1)=4bti.

【小問(wèn)2詳解】

由％=1,%=2%-3(-l)i=5,所以4=%-1=5-1=4

結(jié)合⑴可得也｝是以4=4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

所以4=%-1=4X4〃T=4〃=22",所以⑸=22"+1,

2

又⑸=2a2用+3=22"+1,解得a2^=2-'-1>

〃_,2"-1,〃=2左-1,左eN*

所以”〔2"+1,〃=2左入1<,即a〃=2"+(-1)"

【小問(wèn)3詳解】

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，