高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題（三大題型）

微考點(diǎn)6-3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題(三大題型)

■考點(diǎn)解密J

求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：

①“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

②“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根

據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

③求證直線過定點(diǎn)(%,%),常利用直線的點(diǎn)斜式方程>-%=左(%-5).

④設(shè)直線為y=根據(jù)題目給出的條件，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用韋達(dá)定理找出人與，〃之間的

關(guān)系，即可求出定點(diǎn)。

■題型解密上

題型一：圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題

【精選例題】

22

【例1】已知P(O,1)為橢圓C：'+2=1(。>6>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)尸與橢圓C的兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積

為也.

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)不經(jīng)過點(diǎn)尸的直線/與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線PA與尸2斜率的乘積為一1,證明：直線/必過

定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)坐標(biāo).

【例2】已知橢圓C：5+/=l(a>b>0)的離心率《=白，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，白］

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)尸(2,0)且斜率不為零的直線與橢圓C交于反。兩點(diǎn)，8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A,求證：直線AD與無

軸交于定點(diǎn)Q.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動蘊(yùn)含豐富

的數(shù)學(xué)知識，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)：

步驟1：設(shè)圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一定點(diǎn)，記為廠；

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)尸(即折疊后圖中的點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合)；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與AE的交點(diǎn)為P；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.

現(xiàn)取半徑為4的圓形紙片，設(shè)點(diǎn)尸到圓心E的距離為2g,按上述方法折紙.以線段E尸的中點(diǎn)為原點(diǎn)，線

段EF所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A,B,點(diǎn)尸為軌跡C上異于A,B,的動點(diǎn)，設(shè)PB交直線x=4于

點(diǎn)T,連結(jié)AT交軌跡C于點(diǎn)。.直線AP、AQ的斜率分別為陽八kAQ.

(i)求證：后",心。為定值；

(ii)證明直線尸。經(jīng)過無軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

2.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)A(2,0),BQ,券)，M,N為橢圓E上關(guān)于x

軸對稱的兩點(diǎn)(不與點(diǎn)2重合)，2(1,0),直線與橢圓E交于另一點(diǎn)C,直線。尸垂直于直線NC,尸為

垂足.

⑴求E的方程；

(2)證明：⑴直線NC過定點(diǎn)，(ii)存在定點(diǎn)R,使歸用為定值.

題型二：圓錐曲線中圓過定點(diǎn)問題

【精選例題】

【例。已知橢圓C：.+.=1(a〉6>0)的離心率為暗,其左、右焦點(diǎn)分別為耳，％,T為橢圓C上

任意一點(diǎn)，△耕巴面積的最大值為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知4(0,1),過點(diǎn)的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)N,直線AM,AN與x軸的交點(diǎn)分別為

P,Q,證明：以尸。為直徑的圓過定點(diǎn).

【例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓G：=+E=l(a>b>0)過點(diǎn)(2,1),離心率為正，其左右

ab2

焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2.

⑴若點(diǎn)P與耳，F(xiàn)?的距離之比為;，求直線尤-在y+若=0被點(diǎn)P所在的曲線C?截得的弦長；

(2)設(shè)A，4分別為橢圓C1的左、右頂點(diǎn)，。為上異于A，4的任意一點(diǎn)，直線A。，4。分別與橢圓C1

的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,N,求證：以MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(diǎn).

【跟蹤訓(xùn)練】

尤2V21

1.設(shè)橢圓C:=+A=l(">>>0)的離心率為點(diǎn)A為橢圓上一點(diǎn)，A￡A8的周長為6.

ab乙

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)動直線/：>=丘+機(jī)與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)。.問：x軸上是否存在定

點(diǎn)/,使得以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

2.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知橢圓C：二+3=1(。>6>0)的長軸長為4,且經(jīng)過點(diǎn)S,、歷e),其中e

ab

為橢圓c的離心率.

⑴求橢圓c的方程；

⑵過點(diǎn)尸（0,1）的直線/交橢圓C于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為直線A9交X軸于點(diǎn)2，過點(diǎn)

。作/的垂線垂足為"，求證：點(diǎn)反在定圓上.

題型三：圓錐曲線中圓過定值問題

【精選例題】

【例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓c：=+《=1（°>6>0）的離心率為無，且右焦點(diǎn)B到直線

a1b22

2_

/：X=-幺的距離為6石.

C

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓C上的任一點(diǎn)〃（4,幾），從原點(diǎn)。向圓M:（x-與）2+（y-%）2=8引兩條切線，設(shè)兩條切線的斜

率分別為匕，魚（秘2工。），

（0求證：《&為定值；

（/■/■）當(dāng)兩條切線分別交橢圓于P,Q時，求證：I。尸產(chǎn)+|。?！簽槎ㄖ?

【例2】已知橢圓C：0+訝=1（4>6>0）離心率e=,且經(jīng)點(diǎn)

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵過橢圓。右焦點(diǎn)的直線/交橢圓于A,5兩點(diǎn)，交直線尤=2于點(diǎn)O,且。1,手,設(shè)直線3,QD,QB

的斜率分別為印，k2,%,若占片0,證明牛b為定值.

【例3】已知橢圓C：5+*l(a”>0)過點(diǎn)4-2,-1),離心率e=亭.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的斜率為左直線/交橢圓C于另一點(diǎn)B,若的面積為2,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線/的斜

率上的值；

⑶設(shè)過點(diǎn)。《0)的直線/'交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線M4,附分別交直線x=T于點(diǎn)尸，Q.求證：線段

PQ的中點(diǎn)T為定點(diǎn).

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，。為圓。：d+y2=i上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A,B,連接54并

延長至點(diǎn)W,使得M到=1,點(diǎn)W的軌跡記為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)若過點(diǎn)K(-2,0)的兩條直線4，4分別交曲線C于M，N兩點(diǎn),且4-L/2,求證：直線MN過定點(diǎn)；

⑶若曲線C交y軸正半軸于點(diǎn)S,直線x=x。與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G,H,直線SH,SG分別交x軸于P,

。兩點(diǎn).請?zhí)骄浚骸份S上是否存在點(diǎn)R,使得NORP+NORQ=5?若存在，求出點(diǎn)R坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

22

3.已知橢圓。卞+本/八匕〉。)的長軸長為4,離心率為?定點(diǎn)尸(TO).

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線AB與橢圓C分別交于點(diǎn)A3(尸不在直線AB上)，若直線以，尸8與橢圓C分別交于點(diǎn)M,N,

且直線48過定點(diǎn)Q，g,|],問直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

4.已知橢圓C：5+/=1(°>“0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,其離心率為半，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)(不

同于A,B兩點(diǎn)),且鉆面積的最大值為3K.

(1)求C的方程;

（2）若點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AP交直線x=4于點(diǎn)G,過點(diǎn)。且與直線BG垂直的直線記為/,直線8尸交y

軸于點(diǎn)E,直線3尸交直線/于點(diǎn)F試判斷\知BE\是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.

■考點(diǎn)過關(guān)練已

22

1.設(shè)橢圓E：=+4=1（。＞。＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為C,D,且焦距為2方為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢

ab

3

圓上且異于C,。兩點(diǎn).若直線MC與的斜率之積為-;

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)尸（4,0）作一條斜率不為0的直線與橢圓E相交于A,8兩點(diǎn)（A在8,P之間），直線M與橢圓E

的另一個交點(diǎn)為H，求證：點(diǎn)A,H關(guān)于無軸對稱.

22

2.已知橢圓E：=+4=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,|明|=1,尸是橢圓￡上

ab

一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），。是坐標(biāo)原點(diǎn)，Q在線段尸尸2上，且。Q〃尸《，|OQ|+|QP|=2.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/與X軸交于點(diǎn)C、與橢圓￡交于點(diǎn)M,N,8與N關(guān)于無軸對稱，直線與X軸交于點(diǎn)。，證

明：|oc|.|oq為定值.

3.已知T為圓M：卜+血丁+丁=房上任一點(diǎn)，N/0）,MQ=AMT,Xe[0,1],且滿足（次+的）?病=0.

（1）求動點(diǎn)Q的軌跡「的方程；

⑵過點(diǎn)尸（0,1）的直線與軌跡「相交于A,8兩點(diǎn)，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)R,使瑞=舄恒成立？若存

在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.橢圓C：5+A=l(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)分別為月，%,離心率為無，R為橢圓C上任意一點(diǎn)，R不在

a~2

x軸上，心的面積的最大值為百.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)P(bl)的直線/與橢圓C相交于跖N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)3(0,1),求證：直線的斜率之和心M+L

為定值，并求出定值.

5.已知QM:(尤+2『+y2=i,oN:(x-2y+y2=49,動圓尸與圓M外切且與圓N內(nèi)切.圓心尸的軌跡

為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

⑵是否存在過點(diǎn)。［1g］的直線/交曲線C于A,B兩點(diǎn),

使得點(diǎn)。為中點(diǎn)時，直線/的斜率與直線。。的斜

率乘積為定值？如果存在，求出這個定值，如果不存在，說明理由.

2222

6.已知橢圓c*+1=l(“>b>0)的長軸為雙曲線=1的實(shí)軸，且橢圓C過點(diǎn)尸(2,1).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)4B是橢圓C上異于點(diǎn)P的兩個不同的點(diǎn)，直線E4與尸B的斜率均存在,分別記為勺“，若k/=-g,

試問直線A3是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.

8.已知橢圓C：，+/=l(a＞b＞0)的離心率為日，且過點(diǎn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)已知過右焦點(diǎn)尸的直線,與C交于A,8兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一個定點(diǎn)P，使Z.OPA=Z.OPB?若存在,

求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22

9.已知橢圓C：=+4=1(。＞人＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，居，上、下頂點(diǎn)分別為4,&,且四邊形444名

ab

是面積為8的正方形.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)M,N為C上且在x軸上方的兩點(diǎn)，MF}//NF2,好與NF；的交點(diǎn)為尸，試問|尸團(tuán)+|尸閶是否為定值？若

是，求出該定值；若不是，請說明理由.

22

10.已知橢圓E:1T+a=1(。＞6＞。)的左、右焦點(diǎn)分別為川-點(diǎn)尸在橢圓E上，且滿足

PE,_Lx軸，tan^PE