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專題04構(gòu)造函數(shù)法解決不等式問題(典型題型歸類訓(xùn)練)
目錄
一、必備秘籍........................................................1
二、典型題型........................................................2
題型一:構(gòu)造歹(x)=x"/(x)或/(x)=/^("eZ,且"0)型...............2
題型二:構(gòu)造%x)=<f(x)或E(x)=4^(〃eZ,且此0)型..............3
e
題型三:構(gòu)造*x)=/(x)sinx或2功=幺立型..........................12
sinx
題型四:構(gòu)造尸(x)=/(x)cosx或/(%)=以0型..........................4
cos%
三、專項(xiàng)訓(xùn)練.....................................................4
一、必備秘籍
1、兩個(gè)基本還原
①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)="(X)g(X)r②)(X)g(:)—'X)g'(X)=[弋],
[g(x)rg(o
2、類型一:構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)
①enx[f'(x)+7礦(創(chuàng)=[e""(x)r高頻考點(diǎn)1:ex[f'(x)+/(%)]=[e"(x)T
②/t[礦(x)+叭x)]=[x"(x)y
高頻考點(diǎn)1:W'(x)+/a)=H(x)r高頻考點(diǎn)2x[xf\x)+2f(x)]=[x2f(x)]'
③尸(x)J(x)=[與r高頻考點(diǎn)1;尸(X)["X)=[答了
eeee
④V'(x)—7爐(X)=[/(x)了
一xn+xn
著師生上,礦(無)—/(%)「/(初,一切生上、礦⑴一2/(%)/(x)
局頻考點(diǎn)1:」」=圖頻考點(diǎn)2J、Frr
XXXX
⑤f\x)sinx+/(x)cosX=[/(%)sinx]r
⑥ff(x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]r
序號(hào)條件構(gòu)造函數(shù)
1尸(x)g(x)+/(x)g'(x)>0F(x)=f(x)g(x)
2八x)+/(x)<0F(x)=exf(x)
3f'(x)+nf(x)<0尸(X)=emf(x)
4xf'(x)+/(x)>0F(x)=xf(x)
5礦(x)+2/(x)W0尸(x)=xRx)
6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)
7f\x)sinx+/(x)cos%>0F(x)=/(x)sinx
8/'(x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=/(x)cosx
3、類型二:構(gòu)造可商函數(shù)
①八X)-匹)gr(x)-/(x)/(X)
nxLnxJT/八7xL八%」
eeee
小4?'(%)-7爐(x)_r/(x)v
U〃+i—LY〃」
JiJi
一期京上,葉(工)一/(工)/(x)—酬主上cV(x)-2/(x)/(%),
局頻考點(diǎn)1:\rv身頻考點(diǎn)2:」J=
X"XXX
③r(x)sinx-/(x)cosx=1/叫,
sin2xsinx
fr(x)cosx+f(x)sinx_f(x)
◎----------------------L-----J
COS-XCOSX
二、典型題型
F(x)=/W
題型一:構(gòu)造4x)=x"(x)或'xn(AieZ,且〃wo)型
1.(2023下?重慶榮昌?高二重慶市榮昌中學(xué)校??计谥?定義在R上的偶函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(力,且
當(dāng)x<0時(shí),V'(x)+2〃x)<0.則()
A.小>坐B.9/(3)>/(1)
4e
C.4/(-2)<9/(-3)D.牛>2^1
2.(2023下,四川綿陽(yáng)?高二鹽亭中學(xué)??茧A段練習(xí))若函數(shù)y=〃x)滿足礦(%)>-,⑺在R上恒成立,
且貝!J()
A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)
C.af^a)<bf[b}D,af(b)<bf(a)
3.(2023下?陜西咸陽(yáng)?高二統(tǒng)考期中)已知定義在R上的函數(shù)/(尤),其導(dǎo)函數(shù)為尸(力,當(dāng)x>0時(shí),
罰(另一〃力<0,若a=2〃l),b=f(2),則“,b,。的大小關(guān)系是()
A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c
4.(2023?甘肅張掖?甘肅省民樂縣第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知/(X)為偶函數(shù),且當(dāng)xe[0,+?)時(shí),
+才(x)<0,其中尸(x)為了⑺的導(dǎo)數(shù),則不等式(1-耳〃彳-1)+2對(duì)'(2#>0的解集為.
5.(2023上?黑龍江?高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)??茧A段練習(xí))已知了(無)是定義域?yàn)椋▂,0)U(0,y)的偶函數(shù),
且〃2)=0,當(dāng)x<0時(shí),V,(x)-/(x)>0,則使得〃x)>0成立的x的取值范圍是.
p(x)=/⑴
題型二:構(gòu)造%x)=e'"(x)或一?。?GZ,且〃W0)型
1.(2023上?福建莆田?高三莆田一中校考期中)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為廣(力,且滿足
r(x)-/(x)<o(jì),/(o)=i,則()
A.ef(-l)<lB./(l)>eC.fD./(l)>Vef^
2.(2023上?四川內(nèi)江?高三期末)己知/''(%)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,£|=2e,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
對(duì)任意xeR,恒有尸(x)+2〃x)>0,則不等式〃力―2e23>。的解集為()
-0+co
A.(F,e)B.[°5~|C.Ip]D.(e,+oo)
3.(2023下?河南洛陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末)已知「(%)是定義在R上的函數(shù)/(力的導(dǎo)函數(shù),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)元,
都有〃尤)=勺0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)+f'(x)>0.若〃a+l)Ze2"/(3a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()
11]「1廠
A.B.
L24J[_42_
(1]「1[(1]「1)
C.-QO,--」-,+ooD.-QO,--U-,+oo
I2」14JI4」[2J
P(x\-
題型四:構(gòu)造尸(%)=/(%)cosx或cos%型
1.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知定義在(-若]上的函數(shù)小)滿足=當(dāng)天的仁]時(shí),不等式
/(尤)$加+/(%)8沫<0恒成立(/(x)為了(尤)的導(dǎo)函數(shù)),若acosl=〃-l),6cosg=/(-ln疵),
則()
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a
2.(2023下?山東聊城?高二校考階段練習(xí))定義在(0,2上的函數(shù)/(x),己知尸(%)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有
cosx-/'(x)+sinx-/(犬)<0成立,則有()
C.尼卜可0D.何電(回中
三、專項(xiàng)訓(xùn)練
一、單選題
1.(2023上?上海徐匯?高三上海市第二中學(xué)??计谥?己知定義在R上的函數(shù)y=/(x),其導(dǎo)函數(shù)y=/〈x)
滿足:對(duì)任意xeR都有/(尤)</'(",則下列各式恒成立的是()
A.f(l)<e-f(0),f(2023)<e2023-f(0)B./(l)>e-/(0),/(2023)>e2023./(0)
C./(l)>e-/(0),/(2023)<e2023-/(0)D./(l)<e./(0),/(2023)>e2023?/(0)
2.(2023?河南開封?統(tǒng)考三模)設(shè)定義在(0,+s)上的函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)廣(x),且滿足對(duì)''(X)+2"X)=¥,
/(e)=^.則/,]、[sin.、/(tan:的大小關(guān)系為()
A./Qp[sin|]</[tan^B.f[sm^<f[^</[tan^
C.小nJD.小
3.(2023下?云南保山?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)丫=〃尤)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)xe(3,0)時(shí)不等
式〃x)+#'(x)<0成立,若a=303./(3°3),人=。0gli3)"(log.3),c=logl9-fflog.A貝心,b,c的大
3\37
小關(guān)系是()
A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c
4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)y=/(x)在R上可導(dǎo),且滿足獷'(力+〃尤)>0恒成立,常數(shù)a,b(,>6),
則下列不等式一定成立的是()
A.af(a)>bf(b)B.af(b)>bf^a)
C.af^a)<bf(b)D,af(b)<bf(a)
5.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)尤式y(tǒng),0)時(shí)不等式
f(x)+#'(x)<0成立,若“=3°3./(3°3),b=(logjt3)"(log)I3),c=log3?log3j,則。,瓦。的大小關(guān)系是
()
A.c>b>aB.c>a>b
C.a>c>bD.b>a>c
6.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)已知/⑺是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足刃/(%)40,對(duì)
任意正數(shù)〃、b,若a<b,則必有()
A.<bf{d)B.bf(a)<af(b)
C.af{a)<f(b)D.bf(b)<f(a)
7.(2023?云南?校聯(lián)考三模)設(shè)函數(shù)〃尤)在R上的導(dǎo)數(shù)存在,且礦+則當(dāng)㈤時(shí),()
A.qf(b)<好(a)B.xf^x)+b<bf(b)+x
C.xf^x)+a<af(a)-\-xD.qf(b)>bf(a)
8.(2023下?湖北?高二校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(?的定義域?yàn)镽,7'(%)為/(九)的導(dǎo)函數(shù),且/(%)+/(力>。,
則不等式(》+2)〃彳+2)=2/1)的解集是()
A.(-2,1)B.(T,-2)D(1,+8)
C.-l)u(2,+◎D.(-1,2)
9.(2023下?湖北武漢?高二武漢市洪山高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,尸(%)是其導(dǎo)函
數(shù),若3/(x)+T(x)>0,/(1)=1,則不等式〃x)>e33的解集是()
A.(0,+8)B.(L+oo)C.(-8,0)D.(0,1)
10.(2023下?湖北武漢?高二華中師大一附中??计谥?〃尤)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),有
礦(x)+2〃x)>0恒成立,則()
A./(1)>4/(2)B./(-1)<4/(-2)
C.4〃2)<9〃3)D.4/(-2)<97(-3)
專題04構(gòu)造函數(shù)法解決不等式問題(典型題型歸類訓(xùn)練)
目錄
一、必備秘籍.................................................................1
二、典型題型.................................................................2
題型一:構(gòu)造歹(x)=x"/(x)或/(%)=△?(”eZ,且〃wO)型..................2
題型二:構(gòu)造%x)=<f(x)或E(x)=4^(〃eZ,且此0)型.................3
e
題型三:構(gòu)造*x)=/(x)sinx或2功=幺立型...............................12
sinx
題型四:構(gòu)造尸(x)=/(x)cosx或/(%)=以立型...............................4
cos%
三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................................4
一、必備秘籍
1、兩個(gè)基本還原
①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)="(X)g(X)r②)(X)g(:)—'X)g'(X)=[弋],
[g(x)rg(o
2、類型一:構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)
①enx[f'(x)+7礦(創(chuàng)=[e""(x)r高頻考點(diǎn)1:ex[f'(x)+/(%)]=[e"(x)T
②x"T[xf'(x)+nf(x)]=[x"f(x)]'
高頻考點(diǎn)i:#'(x)+/a)=wa)r高頻考點(diǎn)24v,w+2/(x)]=[x2/?r
八…X)以馬r(x)-/(x)/(X)
eeee
①礦(x)-叭X)=[7(x)了
一xn+xn
高頻考點(diǎn)1:礦⑴/⑴=〔也了高頻考點(diǎn)2且迎產(chǎn)。=[/*],
XXXX
⑤f\x)sinx+/(x)cosX=[/(%)sinx]r
⑥f\x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]r
序號(hào)條件構(gòu)造函數(shù)
1尸(x)g(x)+f(x)g'(x)>0F(x)=f(x)g(x)
2r(x)+/(x)<oF(x)=e^(x)
3f'(x)+nf(x)<0F(x)=emf(x)
4xf'(x)+f(x)>0F(x)=xf(x)
5xf'(x)+2f(x)<0歹(x)=xRx)
6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)
7/'(x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx
8ff(x)cosx-f(x)sinx>0F(x)=f(x)cosx
3、類型二:構(gòu)造可商函數(shù)
f\x)-nf{x}f(x)高頻考點(diǎn)1:上立一于(x)[/(,,
①小=〔小〕
ee
xf(x)-可⑺=f(x)
②n+1Ln」
JiJi
礦(x)-2/(x)"(x)
高頻考點(diǎn)1:礦5)](,=①必'高頻考點(diǎn)2:3=[2]
XXXX
/'(x)sinx—/(x)cosx/(x),
③.=L.J
sin2xsinx
r(x)cosx+/(x)sinx=1/(x)了
⑥
COS2XCOSX
二、典型題型
p(x\=>(x)
題型一:構(gòu)造%x)=x"(x)或X"(〃ez,且〃wo)型
1.(2023下?重慶榮昌?高二重慶市榮昌中學(xué)校??计谥?定義在R上的偶函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且
當(dāng)x<0時(shí),獷'(x)+2〃x)<0.則()
A.迪>翌B.9/(3)>/(1)
4e
C.47(-2)<9/(-3)D.迫>匕丹
9e
【答案】D
【詳解】由當(dāng)x<0時(shí),V'(x)+2/(x)<0,
得//(力+24(x)>0,
設(shè)g(x)=f/(x),則(x)=(x)+(x)>0,
所以g(x)=d〃x)在(-8,0)上單調(diào)遞增,
又函數(shù)”X)為偶函數(shù),
所以g(x)=//(x)為偶函數(shù),
所以g(X)=在在(-8,0)上單調(diào)遞增,在(0,+8)上單調(diào)遞減,
所以g(e)<g(2),即e2/(e)<22/(2),所以竽<理,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
g(3)<g(l),即32"3)<『〃1),所以9〃3)<〃1),B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
g(—2)>g(—3),BP(-2)2/(-2)>(-3)2/(-3).所以4〃-2)>9〃-3),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
g(e)>g(3)=g(—3),即e2〃e)>(-3)2〃-3),所以迪D選項(xiàng)正確;
故選:D.
2.(2023下?四川綿陽(yáng)?高二鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí))若函數(shù)y=滿足礦(x)>-/(x)在R上恒成立,
且a>b,貝!J()
A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)
C.af(a)<bf(b)D.af(b)<bf(a)
【答案】B
【詳解】解:設(shè)g(x)=^(x),則g'(x)=x『'(x)+f(x)>0,
由礦(x)>-f(x),可知苗(x)+〃x)>0,所以g(元)在R上是增函數(shù),
又a>b,所以g(a)>g(b),即"(a)>妙0),
故選:B.
3.(2023下?陜西咸陽(yáng),高二統(tǒng)考期中)已知定義在R上的函數(shù)/(尤),其導(dǎo)函數(shù)為尸(龍),當(dāng)x>0時(shí),
才(同一〃力<0,若a=2〃l),b=f(2),c="g),則“,b,。的大小關(guān)系是()
A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c
【答案】D
【詳解】令g(x)=&,彳?—,0)50,口),
X
則g,(尤)=
,/當(dāng)x>0時(shí),V'(九)一/(九)V。,
即g'(M<。,g(力在(0,+8)單調(diào)遞減,
‘限半咱,
即/(2)<2〃1)<4/出,
b<a<c.
故選:D.
4.(2023?甘肅張掖?甘肅省民樂縣第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知“X)為偶函數(shù),且當(dāng)xe[0,y)時(shí),
f(x)+xf\x)<0,其中尸(x)為的導(dǎo)數(shù),貝|不等式(1一司/(了-1)+2獷(22>0的解集為.
【答案】(一8,-1)
【詳解】令函數(shù)g(x)=V(x),當(dāng)xe[0,心)時(shí),g,(x)=/(x)+#(x)<0,即函數(shù)g(x)在[0,+s)上單調(diào)遞減,
由〃尤)為偶函數(shù),得g(-x)=-4(r)=-#(*)=-g(x),即函數(shù)g。)是奇函數(shù),于是g(x)在R上單調(diào)遞減,
不等式(1一x)/(x-l)+2對(duì)(2x)>0o2xf(2%)>(x-1)/(x-1)og(2x)>g(x-l),
因此2x<x7,解得x<-l,所以原不等式的解集是(f,-I).
故答案為:
5.(2023上?黑龍江?高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)??茧A段練習(xí))己知〃尤)是定義域?yàn)?y,0)U(0,y)的偶函數(shù),
且"2)=0,當(dāng)x<0時(shí),W(x)-〃x)>0,則使得〃x)>0成立的x的取值范圍是.
【答案】(―嗎―2)"2,+8)
【詳解】記g(x)=3,貝ijg'(x)==⑺;,
XX
故當(dāng)xvO,才⑺-〃x)>0,所以g'(x)>0,因此g(x)在(—8,0)上單調(diào)遞增,
又當(dāng)0)u(0M)時(shí),g(~x)=,(T)==_g⑺,
-x—x
因此g(無)為(-8,o)u(o,y)奇函數(shù),故g(無)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
又g(2)=^^=0,因止匕當(dāng)x<—2和0<x<2時(shí),g(x)<0,
當(dāng)一2Vx<0和x>2時(shí),g(x)>0,
因止匕〃x)=xg(x)>。,即可得x<-2和x>2,
故/'(x)>0成立的x的取值范圍是(t,-2)"2,+8),
故答案為:(t,—2)u(2,+e)
p(x\=/(X)
題型二:構(gòu)造%x)=e'"(x)或一浮(neZ,且"0)型
1.(2023上?福建莆田?高三莆田一中??计谥?已知定義域?yàn)镽的函數(shù)“X),其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且滿足
r(x)-/(x)<o,/(o)=i,則()
A.e/'(-l)<lB./(l)>eC.五/(J
【答案】C
/⑺一“尤)
【詳解】令g(x)=駕,則g,(x)⑺,
v7exe
因?yàn)槭?x)-〃x)<0在R上恒成立,
所以g'(x)<0在R上恒成立,故g(x)在R上單調(diào)遞減,
g(-l)>g(O),即綽1=儀_1)>4=1,故A不正確;
ee
g⑴<g(o),gpZW<ZM,gp/(l)<e/,(o)=e,故B不正確;
ee
/
g[£|<g⑼,Buyj</(o)_1,即故c正確;
g]£|>g⑴,即四,即〃1)<八/(£|,故D不正確;
故選:D
2.(2023上?四川內(nèi)江?高三期末)己知尸(無)是函數(shù)/⑴的導(dǎo)函數(shù),/][=2e,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
對(duì)任意xeR,恒有/("+2〃尤)>0,則不等式〃力―2e22>。的解集為()
A.(f,e)B.18,;]C.D.(e,+oo)
【答案】C
【詳解】依題意,令函數(shù)g(%)=e2x/(x),xeR,求導(dǎo)得g'(%)=e2*"<%)+2/(%)]>0,
則函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,-2e22>0oe2VW>2e2,
而/(g)=2e,則g(g)=e"(g)=2e2,因此有g(shù)(x)>g(;),解得無>g,
所以原不等式的解集為(g,+s).
故選:D
3.(2023下?河南洛陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末)已知尸(x)是定義在R上的函數(shù)/'(x)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)尤,
都有當(dāng)x>0時(shí),/(x)+r(x)>0.若〃a+l)Ne2*V(3a),則實(shí)數(shù)0的取值范圍為()
e
111「1「
A.B.一-
L24j|_42_
(1]「1[(1]1
C.l-oo,---,+ooID.l-oo,--U—,+00
2
【答案】B
【詳解】解:因?yàn)椤ㄇ?勺4,所以與0=eT(x)=ef〃r),
令g(x)=e*/(x),則g(-x)=g(x),
所以g(無)為偶函數(shù),
當(dāng)尤>0時(shí),/(x)+r(x)>0,
所以g'(x)=e[〃x)+/'(x)]>0,
所以函數(shù)g(x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增,
根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,
因?yàn)椤╝+l)Ne*V(3a),
所以e"+&(a+l)Ne3"/(3a),
所以g(a+l)Zg(3a),即卜+電3a|,即(a+1)&9a②,
l|J8A2-2a—1<0>則(4a+l)(2a—1)<0,
解得-;Vawg.故數(shù)a的取值范圍為:一廿
故選:B.
4.(2023上?新疆伊犁?高三奎屯市第一高級(jí)中學(xué)??茧A段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(力+/(力>0,
且有〃3)=3,則〃x)>3e3T的解集為.
【答案】(3,內(nèi))
【詳解】設(shè)/(X)=〃X)?e*,則9(x)=r(尤)e+〃x).e*=e[〃x)+((x)],
〃x)+r(x)>。,
F'(x)>0,
二廠(x)在R上單調(diào)遞增.
又“3)=3,則F⑶=〃3>e3=3e3.
V〃句>3氏等價(jià)于/(力/>303,即P(x)>尸(3),
二x>3,即所求不等式的解集為(3,”).
故答案為:(3,”).
5.(2018上?江西贛州?高三統(tǒng)考期中)函數(shù)“尤)的定義域和值域均為(0,+助,/⑺的導(dǎo)函數(shù)為廣(%),
且滿足/(x)<f\x)<2/(x),則;的取值范圍是.
【答案】(e-2,e-')
【詳解】設(shè)旦⑴=竽,則g,(x)J,⑺?、恕?。
g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增,所以g(2018)<g(2019),
/(2018)/(2019)/(2018)1
;
、le20i8泮9"2019)e
令〃(》)=",則〃⑺
一xex
二/z(x)在(0,+功上單調(diào)遞減,所以〃(2018)>7/(2019),
“2018)>/(2019)7(2018)
403640382
ee/(2019)e
/(2018)17(2018)1
不上,“2019)£□f(2019)7,
故答案為:(e』eT)
p(x)=/(X)
題型三:構(gòu)造網(wǎng)x)=/(%)sinx或sinx型
1.(2023下?四川成都?高二期末)記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若Ax)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí)恒
有/(x)cosx+/'(x)sinx>。成立,則()
【詳解】令g(x)=f(x)sinx,則g'(x)=f(x)cosx+f'(x)sinx,
當(dāng)xe]-1■,()卜寸恒有/(x)cosx+/(x)sinx>0,所以g'(x)>0,
則g(x)=〃x)sinx在1-1■,()]上單調(diào)遞增,
所以?-,貝!1—,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
2
,則_1/(一
g>8,即/,選項(xiàng)B正確;
,則,又了(無)為奇函數(shù),所以,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
由,選項(xiàng)D錯(cuò)誤;
故選:B
71
2.(2023?青海海東?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知尸(%)是奇函數(shù)/(尤)的導(dǎo)函數(shù),且當(dāng)xw0,加時(shí),
/(x)+/f(x)tanx>0,則()
【答案】A
【詳解】當(dāng)0<x<?寸,cosx>0,則由〃尤)+/'(x)tanx>。,得了(x)cosx+r(x)sinx>0;
7T
當(dāng)一<了<?時(shí),cosx<0,則由/(x)+/'(x)tanx>0,得/(%)8$%+/'(%,111%<0.
2
令g(%)=〃%)sin%,則g1x)=/(x)cosx+r(x)sin%,
故g(X)在(。,^上單調(diào)遞增,在(5,萬(wàn))上單調(diào)遞減.
又/(X)是奇函數(shù),所以g(x)=/(x)sinx是偶函數(shù),
3.(2023上?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習(xí))定義在卜號(hào)0卜上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為
f\x),且當(dāng)xe]o,S時(shí),/(x)tanx-/(x)>0,則不等式/(x)<2?inx的解集為,
【答案】W[%)
【詳解】令/。)=幺乃,因?yàn)榱?X)是定義在(。,弓]上的奇函數(shù),
sinxI27<2JJR。1
貝”(3鐺=上=/”
sin(-x)-sinxsin%
所以尸(X)為偶函數(shù).
當(dāng)苫已[。,5)時(shí),sinx>0,cosx>0,
由已知f'(x)tanx-/(x)>0,
所以9⑴=八"—=cosx(rwtanx./w)>o,
sinxsinx
則F(無)在/)上單調(diào)遞增,
由/(%)<2/弓)sinx可化為<——
6smxsin工
6
即廠(%)<F(―),得0<%<不;
/(-7)
當(dāng)工£sinx<0,則上也〉6
-對(duì)sinxsin(-今
O
7T
即FW>F(--),
O
由F(x)為偶函數(shù),則p(無)在卜卦)上單調(diào)遞減,
/pzt兀兀
26
所以不等式/(x)<2/舟inx的解集為[4,高]。*
故答案為:
F(x)_ZW
題型四:構(gòu)造尸(%)=/(x)cosx或COSX型
1.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知定義在(-右鼻卜.的函數(shù)/⑴滿足〃T)=〃X),當(dāng)x40,£|時(shí),不等式
/(尤)sinx+r(x)co&x<0恒成立(尸(力為/(尤)的導(dǎo)函數(shù)),若acosl=〃-l),fecos^-=/(-InVe),
。=2/(鼻,則()
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a
【答案】c
【詳解】由題意得函數(shù)F(x)為偶函數(shù),構(gòu)造函數(shù)G(X)="?,
COSX
/'(x)cosx+/(x)siwc
所以=
(COSXJcos2x
易知當(dāng)彳€隰卜寸,G'(x)<0,所以函數(shù)G(無)在“)上單調(diào)遞減.
2
因?yàn)椤癱osl=/(—l)=/(l),則°=四=3(1),
cosl
因?yàn)楹瘮?shù)G(無)在上單調(diào)遞減,且
\232
所以,gpZ?>tz>c,
故選:D.
2.(2023下?山東聊城?高二校考階段練習(xí))定義在(0,3上的函數(shù)/(無),已知尸(%)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有
cosx-/'(九)+sinx-/(九)<0成立,則有()
【答案】C
【詳解】解:令g(x)=犯,
COSX
貝?。輌,(x)=cosx"'(x)+sinx"⑺
cos2X
因?yàn)閏osx?/'(x)+sinx?7(x)v0,
所以/(x)<0,
則g(X)=3在g]上單調(diào)遞減.
cosX\)
717171
cos—cos—cos—
346
故選:D
三、專項(xiàng)訓(xùn)練
一、單選題
1.(2023上?上海徐匯?高三上海市第二中學(xué)??计谥?已知定義在R上的函數(shù)y=7(%),其導(dǎo)函數(shù)y=r(x)
滿足:對(duì)任意xeR都有/(x)</'(x),則下列各式恒成立的是()
A./(l)<e./(0),/(2023)<e2023-/(0)B./(l)>e-/(0),/(2023)>e2023./(0)
C./(l)>e-/(0),/(2023)<e2023-/(0)D./(l)<e-/(0),/(2023)>e2023■/(0)
【答案】B
【詳解】記g(x)=0,則,
e(e)e
因?yàn)?(x)</'(x),即r(x)-〃x)>0,
所以g〈X)>0,所以8(力=羋1在R上單調(diào)遞增,
故如=孚>即用“。23)=管hg(°)=*
整理得/(1)>e-/(O),/(2023)>e2023./(O).
故選:B
2.(2023?河南開封?統(tǒng)考三模)設(shè)定義在(0,+s)上的函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)((x),且滿足礦(X)+2/(X)=F,
〃e)=*.則/g)、/[sin|k/[anj的大小關(guān)系為()
<小心D.小
c.
【答案】C
【詳解】H^V,(.r)+2f(^)=^,所以9廣(耳+2獷(%)=111》,
設(shè)g(x)=xV(x),則g,(x)=x2/,(x)+2V(x)=lnx,
令〃X)=用,則:⑺「”文
設(shè)力(犬)=xlnx-2g(%),貝!j/zr(x)=lnx+l-2gz(x)=l-lnx,
「?當(dāng)0<%<e時(shí),"(x)>0,"(%)單調(diào)遞增;當(dāng)元〉e時(shí),”(尤)<0,"(%)單調(diào)遞減,
丸⑺</z(e)=elne-2g(e)=e—2e2x-=0,
2e
:r(x)<o,/(X)在(。,+“)上單調(diào)遞減,
又sin—<一<tan一,理由如下:
333
如圖,設(shè)NAO3=g,射線。5與單位圓相交于點(diǎn)6,過點(diǎn)6作BD_L%軸于點(diǎn)
過點(diǎn)A作AC,x軸交射線05于點(diǎn)C,連接AB,
設(shè)扇形A03的面積為岳,
則SBOA(3WSBA,gp|oA.BD<|x|oA<|oAAC,
解得BD<;<AC,
其中BD=sin-,AC=tan-,故sin」<—<tan—,
33333
故選:D
3.(2023下?云南保山?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)y=〃x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)xe(9,0)時(shí)不等
式〃x)+H(x)<0成立,若。=3°3"(3°3),&=(log,3).f(logi3),c=logl9-/pogl91則。,…的大
3\37
小關(guān)系是()
A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c
【答案】B
【詳解】構(gòu)造函數(shù)尸(x)=43,則由題意可知當(dāng)xe(y,0)時(shí)F,(x)=/a)+丁(無)<。,
所以函數(shù)尸(刈=獷(無)在區(qū)間(-雙。)上單調(diào)遞減,
又因?yàn)閥=/(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以F(x)=^/'(X)是定義在R上的偶函數(shù),
所以F(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,
/、
又。=尸(3刃,「=尸(1嗚3),c=Flogl9=F(-2)=F(2),
I37
因?yàn)?<33〈若,0<l0gli3<1,所以0<l0gli3<3必<2,
所以尸(log7t3)<P(3°3)〈尸⑵,即6<q<c,B正確.
故選:B.
4.(2023,全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)y=/(x)在R上可導(dǎo),且滿足步(x)+〃x)>0恒成立,常數(shù)°力(。>與,
則下列不等式一定成立的是()
A.af(a)>bf(b)B.af>bf(a)
C.af(a)<bf(b)D,af(b)<bf(a)
【答案】A
【詳解】令g(x)=4(x),則g'(x)=xf(x)+f(x)>。恒成立,故g(x)在R上單調(diào)遞增.
a>b,
r.g(a)>g(b),即4(4)>好。).
故選:A
5.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)已知函數(shù)y=〃x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)xe(3,0)時(shí)不等式
/(可+?'(耳<0成立,若〃=30-3"(產(chǎn))/=(log兀3)"(10鼠3),°=陛3:/卜83,,則〃,瓦。的大小關(guān)系是
()
A.c>b>aB.c>a>b
C.a>c>bD.b>a>c
【答案】B
【詳解】構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x),則由題意可知當(dāng)尤?y,0)時(shí)F(x)=/(x)+礦(x)<0,
所以函數(shù)b(x)=獷(x)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減,
又因?yàn)閥=〃x)是定義在R上的奇函數(shù),所以尸(冷=獷(可是定義在R上的偶函數(shù),
所以網(wǎng)”在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞增,
。=網(wǎng)3。-3),Z?=F(log,t3),0"]唱)=爪-2)=爪2),
因?yàn)?<3°3〈出,0<logff3<l,
033
所以10gli3<3<2,所以尸(log1t3)<F(3°-)<F(2),
即b<a<c,
故選:B
6.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)已知Ax)是定義在(0,內(nèi))上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足礦(比)-/(尤)40,對(duì)
任意正數(shù)。、b,若。<6,則必有()
A.af(b)<bf(a)B.bf{a)<af(b)
C.af(a)<f(b)D.bf(b)<f(a)
【答案】A
【詳解】由V,(無)一/(x)won[9]J(x);丁嘰.
若工也不是常函數(shù),則工區(qū)在(0,+?0上單調(diào)遞減,又Kb,則=妙⑷>/他);
xxab
若*1為常函數(shù),則10"⑷=/伍).綜上,af(b}<bf{a}.
故選:A
7.(2023?云南?校聯(lián)考三模)設(shè)函數(shù)
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