長沙市天心區(qū)2023年九年級上學期《數(shù)學》期末試題與參考答案

6/30長沙市天心區(qū)2023年九年級上學期《數(shù)學》期末試題與參考答案一、選擇題在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本題共10個小題，每小題3分，共30分。1.下列各數(shù)中是無理數(shù)的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：A.是有理數(shù)，不符合題意；B.是無理數(shù)，符合題意；C.是有理數(shù)，不符合題意；D.是有理數(shù)，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：π；開不盡方的數(shù)；以及像等有這樣規(guī)律的數(shù)．2.下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.趙爽弦圖 B.笛卡爾心形線C.科克曲線 D.斐波那契螺旋線【答案】C【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】A．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確；D．不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；故選C．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．3.今年一季度，湖南省對“一帶一路”沿線國家進出口總額達21470000000元，數(shù)據(jù)“21470000000”用科學記數(shù)法表示為()A. B. C. D.【答案】C【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，n是負數(shù)．【詳解】解：，故選：C．【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4.如圖，，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質解答即可．【詳解】解：，，，，故選B．【點睛】本題考查平行線的性質，關鍵是根據(jù)平行線的性質解答．5.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運算法則進行運算即可；【詳解】解：，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確；故選D．【點睛】本題考查整式的運算；熟練掌握合并同類項法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運算法則是解題的關鍵．6.一元二次方程的根的情況是()A.沒有實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根 D.有兩個不相等的實數(shù)根【答案】D【分析】將原方程化為一般式，由根的判別式，即可得出答案．【詳解】將原方程化為一般式為：，因為，所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：D7.一個圓錐的底面半徑，高，則這個圓錐的側面積是()A. B. C. D.【答案】C【分析】利用勾股定理易得圓錐的母線長，圓錐的側面積＝π×底面半徑×母線長．【詳解】解：因為圓錐的底面半徑是6，高是8，所以圓錐的母線長=，所以這個圓錐的側面展開圖的面積．故選：C．【點睛】本題考查圓錐的側面積，解題的關鍵在于熟練掌握圓錐的側面積的計算公式：．8.已知拋物線經(jīng)過和兩點，則n的值為()A. B. C.2 D.4【答案】D【分析】根據(jù)和兩點，確定，確定b的值，回代解析式計算即可．【詳解】因為拋物線經(jīng)過和兩點，且它們是對稱點，所以，解得，所以拋物線解析式為，所以，故選D．【點睛】本題考查了拋物線對稱點坐標與對稱軸的關系，熟練掌握這個關系是解題的關鍵．9.如圖，在中，已知，，分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在兩側分別交于P、Q兩點，作直線交于點D，交于點E．若，則的長為()A. B.5 C.6 D.【答案】A【分析】連接，過A點作于點F，根據(jù)作圖可知：垂直平分，即可得，，在中，，同理可得，利用勾股定理即可得，易得，即有，問題隨之得解．【詳解】解：連接，過A點作于點F，如圖，根據(jù)作圖可知：垂直平分，所以，，因為，，所以，，所以，，在中，，，所以，所以，因為，，所以，所以，，，因為，所以，所以，因為，所以在中，，故選：A．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖法，垂直平分線的性質，勾股定理，含角的直角三角形的性質等知識，掌握含角的直角三角形的性質是解答本題的關鍵．10.如圖，A點在半徑為2的⊙O上，過線段OA上的一點P作直線l，與⊙O過A點的切線交于點B，且∠APB=60°，設OP=x，則△PAB的面積y關于x的函數(shù)圖像大致是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】動點問題的函數(shù)圖象，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值．利用AB與⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角邊表示出來，從而用x表示出三角形的面積，根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)的圖象：【詳解】因為AB與⊙O相切，所以∠BAP=90°，因為OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°，所以AB=，所以△APB的面積，（0≤x≤2）．所以△PAB的面積y關于x的函數(shù)圖像是經(jīng)過（2，0）的拋物線在0≤x≤2的部分．故選D．二、填空題本題共6個小題，每小題3分，共18分。11.因式分解=_________________________．【答案】．【詳解】試題分析：原式=．故答案為．考點：提公因式法與公式法的綜合運用．12.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是_____．【答案】##【分析】先根據(jù)二次根式有意義條件列出關于的不等式，求出的范圍即可．【詳解】因為代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，所以，所以故答案為：【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0．13.已知，的是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則_____．【答案】【分析】利用根與系數(shù)的關系定理計算即可．【詳解】因為，的是一元二次方程的兩個實數(shù)根，所以．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關系定理，正確理解定理是解題的關鍵．14.若點在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是_______．【答案】【分析】把依次代入解析式求解，即可比較．【詳解】解：因為反比例系數(shù)，所以函數(shù)在第二象限和第四象限內(nèi)的函數(shù)值隨的增大而增大，，，故答案為：．【點睛】此題主要考查函數(shù)值的大小，解題的關鍵把代入求解．15.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為，點，，均在小正方形的頂點上，且點，在上，，則的長為__________．【答案】【分析】先找到圓心O，得到∠BOC=45°，利用弧長公式即可求解．【詳解】解：連接AD，作線段AB、AD的垂直平分線，交點即為的圓心O，從圖中可得：的半徑為OB=5，連接OC，因為∠BAC=22.5°，所以∠BOC=222.5°=45°，的長為．．故答案為：【點睛】本題考查了弧長公式，找到的圓心是解題的關鍵．16.如圖，在矩形中，點為的中點，點為射線上一動點，與關于所在直線對稱，連接，分別交、于點、，，．若與相似，則的長為_____．【答案】1或3【分析】分兩種情況：①當時，；②當時，，分別求解即可．【詳解】當時，，因為四邊形是矩形，所以，，，所以，所以，所以，，因為與關于所在直線對稱，所以，所以，當時，，因為，所以，在中，因為，所以故答案為：1或3【點睛】本題主要考查翻折變換，矩形的性質，解直角三角形，相似三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關知識點．三、解答題共8個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25每小題10分，共72分，解答應寫出必要的文字說明或演算步驟。17.計算：20+（）﹣1?﹣4tan45°．【答案】3【分析】先計算20、、（）﹣1、tan45°，再按運算順序求值即可．【詳解】20+（）﹣1?﹣4tan45°＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【點睛】本題考查了零指數(shù)、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值等知識點，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式的運算及特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關鍵．18.先化簡，再求值：其中．【答案】，3【分析】先對分式通分、因式分解、約分等化簡，化成最簡分式，后代入求值．【詳解】解：===，當時，=．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，運用因式分解，通分，約分等技巧化簡是解題的關鍵．19.如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個單位．（1）過直線m作四邊形的對稱圖形；（2）求四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）8【分析】（1）先作出四邊形ABCD各個頂點關于直線m的對稱點，再順次連接起來，即可；（2）四邊形對角線的乘積÷2，即可求解．【詳解】（1）如圖所示：（2）．【點睛】本題主要考查畫軸對稱圖形以及四邊形的面積，掌握軸對稱圖形的性質，是解題的關鍵．20.為了解班級學生參加課后服務的學習效果，何老師對本班部分學生進行了為期一個月的跟蹤調查，他將調查結果分為四類：A：很好；B：較好；C：一般；D：不達標，并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題：（1）此次調查的總人數(shù)為________；（2）扇形統(tǒng)計圖中“不達標”對應的圓心角度數(shù)是________°；（3）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（4）為了共同進步，何老師準備從被調查的A類和D類學生中各隨機抽取一位同學進行“一幫一”互助學習．請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選兩位同學恰好是相同性別的概率．【答案】（1）20人（2）36（3）見解析（4）【分析】（1）由條形統(tǒng)計圖中B類學生數(shù)及扇形統(tǒng)計圖中B類學生的百分比即可求得參與調查的總人數(shù)；（2）由扇形統(tǒng)計圖可求得不達標的學生所占的百分比，它與360°的積即為所求的結果；（3）現(xiàn)兩種統(tǒng)計圖及（1）中所求得的總人數(shù)，可分別求得C類、D類學生的人數(shù)，從而可求得這兩類中未知的學生數(shù)，從而可補充完整條形統(tǒng)計圖；（4）記A類學生中的男生為“男1”，兩個女生分別記為“女1”、“女2”，記D類學生的一男一女分別為“男”、“女”，列表即可求得所有可能的結果數(shù)及所選兩位同學恰好是相同性別的結果數(shù)，從而可求得概率．【小問1詳解】由條形統(tǒng)計圖知，B類學生共有6+4=10（人），由扇形統(tǒng)計圖知，B類學生所占的百分比為50%，則參與調查的總人數(shù)為：（人）故答案：20人【小問2詳解】由扇形統(tǒng)計圖知，D類學生所占的百分比為：，則扇形統(tǒng)計圖中“不達標”對應的圓心角度數(shù)是：360°×10%=36°故答案為：36【小問3詳解】C類學生總人數(shù)為：20×25%=5（人），則C類學生中女生人數(shù)為：（人）D類學生總人數(shù)為：20×10%=2（人），則C類學生中男生人數(shù)為：（人）補充完整的條形統(tǒng)計圖如下：【小問4詳解】記A類學生中的男生為“男1”，兩個女生分別記為“女1”、“女2”，記D類學生的一男一女分別為“男”、“女”，列表如下：男1女1女2男男男1男女1男女2女女男1女女1女女2則選取兩位同學的所有可能結果數(shù)為6種，所選兩位同學恰好是相同性別的結果數(shù)有3種，所以所選兩位同學恰好是相同性別的概率為：【點睛】本題是統(tǒng)計圖的綜合，考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，簡單事件的概率，關鍵是讀懂兩個統(tǒng)計圖并能從圖中獲取信息．21.如圖，中，，相交于點，，分別是，的中點．（1）求證：；（2）設，當為何值時，四邊形是矩形？請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）當時，四邊形是矩形，理由見解析【分析】（1）連接，先根據(jù)平行四邊形的性質可得，再根據(jù)線段中點的定義可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質即可得證；（2）先根據(jù)矩形的判定可得當時，四邊形是矩形，再根據(jù)線段中點的定義、平行四邊形的性質可得，由此即可得出的值．【小問1詳解】證明：如圖，連接，四邊形是平行四邊形，，分別是，的中點，，四邊形是平行四邊形，．【小問2詳解】解：由（1）已證：四邊形是平行四邊形，要使平行四邊形是矩形，則，，，即，，故當時，四邊形是矩形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定等知識點，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題關鍵．22.學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的．請設計出最省錢的購買方案，并說明理由．【答案】（1）A的單價30元，B的單價15元（2）購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少【分析】（1）設A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；（2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為個，購買獎品的花費為W元，根據(jù)題意得到由題意可知，，，根據(jù)一次函數(shù)的性質，即可求解；【詳解】解：（1）設A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意，得，，A的單價30元，B的單價15元；（2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為個，購買獎品的花費為W元，由題意可知，，，，當時，W有最小值為570元，即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少；【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，一次函數(shù)的應用；能夠根據(jù)條件列出方程組，將最優(yōu)方案轉化為一次函數(shù)性質解題是關鍵．23.如圖，在中，，點O在上，以線段的長為半徑的與相交于點D，分別交、于點E、F，連接并延長，交的延長線于點G．若，的半徑為3．（1）求證：是的切線．（2）若，求的長．（3）連接，當四邊形為菱形，求長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）；【分析】（1）與相交于點D根據(jù)圓的基本性質得到，根據(jù)三角形外角得到，結合已知得到從而證明，結合可證，得到結論；（2）由（1）可知在中，，根據(jù)勾股定理求得，結合得到，利用相似三角形的性質得到，代入求解即可；（3）如圖，連接，根據(jù)菱形的性質結合已知易證為等邊三角形，結合（1）可求得，在中解三角形即可求得，結合得到，利用相似三角形的性質得到，代入求解即可．【小問1詳解】證明：與相交于點D，所以，又是半徑是的切線【小問2詳解】解：由（1）可知，的半徑為3在中，，因為，，即，，【小問3詳解】如下圖，連接，當四邊形為菱形時，，，為等邊三角形，，由（1）可知，在中，所以，因為，，即，解得：【點睛】本題主要考查圓的基本性質，三角形的外角，平行線的判定與性質，切線的證明，相似三角形的判定和性質，菱形的性質以及解直角三角形；解此題的關鍵在于熟練掌握與靈活運用其知識點．24.北京冬奧會上，由于中國冰雪健兒們的發(fā)揮出色，中國金牌總數(shù)位列第三，向世界證明了中國是冰雪運動強國！青蛙公主谷愛凌發(fā)揮出色一人斬獲兩金一銀．在數(shù)學上，我們不妨約定：在平面直角坐標系中，將點稱為“愛凌點”，經(jīng)過點的函數(shù)，稱為“愛凌函數(shù)”．（1）若點是“愛凌點”，關于x的數(shù)都是“愛凌函數(shù)”，則_____，_____，_____．（2）若關于x的函數(shù)和都是“愛凌函數(shù)”，且兩個函數(shù)圖象有且只有一個交點，求k的值．（3）如圖，點、是拋物線上兩點，其中D在第四象限，C在第一象限對稱軸右側，直線AC、AD分別交y軸于F、E兩點：①求點E，F(xiàn)的坐標；（用含，的代數(shù)式表示）；②若，試判斷經(jīng)過C、D兩點的一次函數(shù)是否為“愛凌函數(shù)”，并說明理由．【答案】（1）2；-1；-1；（2）；（3）①；；②經(jīng)過C、D兩點的一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是“愛凌函數(shù)”；理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，代入求解即可；（2）首先用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，然后應用一元二次方程根的判別式求出k的值；（3）首先根據(jù)前提條件推出x1與x2的關系，然后利用C，D坐標用x1和x2表示出直線斜率kCD，進一步代入點C或者點D的坐標，表示出截距b，然后將坐標（2，1）代入一次函數(shù)，和前面的結論比較是否符合條件．【小問1詳解】解：因為（3r＋4s，r＋s）為“愛凌點”，所以，解得：，將（2，1）代入y＝x2?x＋t得：，解得t＝?1．故答案為：2；-1；-1．【小問2詳解】當k≠0時，將（2，1）分別代入y＝kx＋b與y＝中，得，即，因為兩個函數(shù)圖象有且只有一個交點，所以kx＋1?2k＝只有一個根，即：kx2＋（1?2k）x?2＝0，Δ＝（1?2k）2＋8k＝0，所以k＝?．當k=0時，y=b，因為函數(shù)y=b是“愛凌函數(shù)”，所以b=1，此時，符合題意，所以k＝【小問3詳解】①令x2?3x＋2＝0，得：，x2=2，所以A（1，0），B（2，0），因為C、D兩點在拋物線上，所以C（x1，x12?3x1＋2），D（x2，），設AD的函數(shù)關系式為：，則，解得：，所以，令x＝0，則，所以，設AC的函數(shù)關系式為：，則，解得：，所以，令x＝0，則，所以；②y＝kx＋b是“愛凌函數(shù)”，理由如下：因為若OE?OF＝1，所以，所以（2?x2）（x1?2）?1＝0，所以2x1?x1x2＋2x2?5＝0，因為一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過C、D兩點，所以，解得：，所以CD的關系式為：y＝（x1＋x2?3）x＋2?x1x2，將（2，1）代入得：2（x1＋x2?3）＋2?x1x2=1，即2x1?x1x2＋2x2?5＝0，與前提條件OE?OF＝1所得出的結論一致，所以經(jīng)過C，D的一次函數(shù)y＝kx＋b是“愛凌函數(shù)”．