長沙市天心區(qū)2023年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/26長沙市天心區(qū)2023年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共10個小題，每小題3分，共30分。共10題；共30分。1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．據(jù)此定義即可得到答案．【詳解】解：A、是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)角不可能為，故不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)角不可能為，故不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)角可以為，故是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選D．【點睛】此題考查了中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．2.已知☉O的半徑r=2cm,☉O的圓心到直線l的距離d=

cm,則直線l與☉O的位置關(guān)系是(

)A.相離

B.相交

C.相切

D.無法確定【答案】B【分析】因為⊙O的半徑r=2cm，圓心O到直線l的距離為d=，所以d<r，所以直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交．【詳解】因為因為⊙O的半徑r=2cm，圓心O到直線l的距離為d=,所以d<r,所以直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交.故選:B.【點睛】考查了直線與圓的位置關(guān)系,設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．3.若為二次函數(shù)，則的值為（

）A.-2或1 B.-2 C.-1 D.1【答案】D【分析】由二次函數(shù)定義可知m2+m=2，同時滿足.【詳解】解：由題意可知m2+m=2，解得m=-2或1，因為，所以m=1，故選擇D.4.如圖，把菱形ABCD沿AH折疊，使B點落在BC上的E點處，若∠B＝70°，則∠EDC的大小為()A.10° B.15° C.20° D.30°【答案】B【詳解】根據(jù)菱形的對角相等得∠ADC=∠B=70°．因為AD=AB=AE，所以∠AED=∠ADE．根據(jù)折疊得∠AEB=∠B=70°．因為AD∥BC，所以∠DAE=∠AEB=70°，所以∠ADE=∠AED=55°．所以∠EDC=70°-55°=15°．故選B．5.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷中錯誤的是（）A.圖象的對稱軸是直線 B.當(dāng)時，隨的增大而減小C.一元二次方程的兩個根是， D.當(dāng)時，【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析對稱軸和圖象與x軸的交點，一一進(jìn)行判斷即可.【詳解】由圖像可知，對稱軸是x＝，在對稱軸右側(cè)，圖像是下降趨勢，所以當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，圖像與x軸的兩個交點是－1，3，所以方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是－1，3，當(dāng)－1＜x＜3時，圖像在x軸上方，所以y＞0，故選D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.如圖，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE沿著DE對折，點A落在BC邊上的點F，若∠B=50°，則∠BDF的度數(shù)為（

）A.50°B.70°C.75°D.80°【答案】D【詳解】試題解析：因為點D、E分別邊AB、AC的中點，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥BC，所以∠ADE=∠B=50°，因為△DEF是△DEA經(jīng)過翻折變換得到的，所以∠EDF=50°，所以∠BDF=180°﹣2∠ADE=180°﹣100°=80°．故選D．7.二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是（）A.（﹣1，﹣2） B.（﹣1，2） C.（1，﹣2） D.（1，2）【答案】A【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可求得頂點坐標(biāo)．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．故選：A．8.已知：如圖，為⊙的直徑，，交⊙于點，交⊙于點，度．給出以下五個結(jié)論：①；②；③；④劣弧是劣弧的倍；⑤．其中正確的是（）A.②③④ B.①②④C.①②⑤ D.①②③⑤【答案】B【詳解】解：連接，是⊙直徑，則．因為，，所以，．因為且，所以平分，，故②正確，又，所以，故③正確，因為，，所以，，所以劣弧是劣弧的倍，④正確；因為，，所以，，故③錯誤；因為，所以，又，所以，故⑤錯誤，故正確的有①②④．故選．9.如圖，在⊙O中，∠BOC=54°，則∠BAC的度數(shù)為（）A.27° B.28° C.36° D.54°【答案】A【分析】由同弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半，可得，從而可得答案．【詳解】解：故選：【點睛】本題考查的是圓周角定理，掌握“同弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．”是解題的關(guān)鍵．10.下列對拋物線y=-2(x-1)2+3性質(zhì)的描寫中，正確的是(

)A.開口向上 B.對稱軸是直線x=1 C.頂點坐標(biāo)是(-1，3) D.函數(shù)y有最小值【答案】B【分析】由拋物線的解析式可求得開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，再逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、因為?2＜0，所以拋物線的開口向下，故A錯誤，不符合題意；B、拋物線的對稱軸為：x＝1，故B正確，符合題意；C、拋物線的頂點為（1，3），故C錯誤，不符合題意；D、因開口向下，故該函數(shù)有最大值，故D錯誤，不符合題意.故答案為：B.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y=a(x?h)2+k中，頂點坐標(biāo)為(h,k)，對稱軸為x=h．二、填空題本大題共6個小題，每小題3分，共18分）（共6題；共18分。11.拋物線的頂點坐標(biāo)是_________．【答案】（-4，-5）【分析】已知拋物線解析式為頂點式，可直接寫出頂點坐標(biāo)．【詳解】因為二次函數(shù)的解析式為y=-3（x+4）2-5，所以其頂點坐標(biāo)為：（-4，-5）．【點睛】考查二次函數(shù)的性質(zhì)，將解析式化為頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k，頂點坐標(biāo)是（h，k），對稱軸是x=h．12.如圖，是半圓的直徑，，則的長為__．【答案】【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：連接，由圓周角定理得，，所以的長=．故答案：．【點睛】本題考查的是圓周角定理及弧長的計算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式：（弧長為l,圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．13.平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)是__________．【答案】【分析】根據(jù)原點對稱的坐標(biāo)都互為相反數(shù)計算即可．【詳解】因為點關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)是,故答案為：．【點睛】本題考查了原點對稱，熟練掌握原點對稱的坐標(biāo)都互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．14.拋物線向上平移3個單位長度后得到的拋物線表達(dá)式為__．【答案】##【分析】根據(jù)拋物線平移的變化規(guī)律“左加右減、上加下減”可求解．【詳解】解：將拋物線向上平移3個單位長度后，得到的拋物線的表達(dá)式為，即：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟知函數(shù)平移的變化規(guī)律“左加右減、上加下減”是解題的關(guān)鍵．15.若二次函數(shù)的的圖像經(jīng)過點，則_________．【答案】【分析】利用拋物線過點，則點的坐標(biāo)滿足解析式，把點代入即可．【詳解】二次函數(shù)的y=ax2的圖像經(jīng)過點(1,?2)，-2=a，a=-2．故答案為：-2．【點睛】本題考查二次項系數(shù)問題，關(guān)鍵掌握圖像經(jīng)過點，點的坐標(biāo)滿足解析式使問題得以解決．16.如圖，等腰中，，平分，若，則____．【答案】【分析】過點D作DE⊥AC，DF⊥BC，過點A作AM⊥BC，可得DF=DE，由，得，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：過點D作DE⊥AC，DF⊥BC，過點A作AM⊥BC，因為平分，所以DF=DE，因為，即：，所以，因為，AM⊥BC，所以CM=BC，所以，故答案是：．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分。（共9題；共72分）17.計算：【答案】【分析】首先計算二次根式的乘法，再化簡后計算二次根式的加法即可．【詳解】解：原式＝，＝，＝【點睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．18.解方程：【答案】，【分析】由公式法解一元二次方程，即可求出方程的解．【詳解】解：，因為，所以所以所以，【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法解一元二次方程．19.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上，點E在BC邊上，且點E在小正方形的頂點上，連接AE．（1）在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關(guān)于直線AE對稱，點F與點B是對稱點；（2）請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積．【答案】（1）畫圖見解析；（2）6【分析】（1）由AE為網(wǎng)格正方形的對角線，作出點B關(guān)于AE的對稱點F，然后連接AF、EF即可；（2）根據(jù)圖象，重疊部分為兩個直角三角形的面積的差，列式計算即可得解．【詳解】（1）△AEF如圖所示；（2）重疊部分的面積=×4×4﹣×2×2=8﹣2=6．考點：作圖-軸對稱變換20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸相交于點，與軸相交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．（1）求這條拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線與軸的另一個交點為，點是拋物線上一點，點是直線上的一點，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接，在的內(nèi)部作射線與拋物線的對稱軸相交于點，且使得，請你直接寫出線段的長度．【答案】（1）；（2）；（3）8【分析】（1）先根據(jù)直線求出A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法把A、B坐標(biāo)代入y＝ax2+6x+c解方程組即可得答案；（2）讓拋物線y=0求出C坐標(biāo)，設(shè)Q坐標(biāo)，根據(jù)平移表示P坐標(biāo)代入拋物線可得方程求解即可；（3）CD與AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐標(biāo)，再求CN解析式及D坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】（1）由直線，當(dāng)x=0時，y=-5，當(dāng)y=0時，，所以，，因為經(jīng)過、兩點，代入得，解得，所以．（2）在中令y＝0得，解得x1＝1，x2＝5，所以C（1，0），點P是拋物線上一點，點Q是直線AB上一點，因為在中，點平移到，點平移到，平移規(guī)律為：橫軸方向，縱軸方向；所以設(shè)，則，因為在拋物線上，所以，所以．（3）設(shè)CD與AB交于N，拋物線對稱軸交x軸于E，如圖：因為B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），E（3，0），所以CQ=＝2，BQ＝3，因為∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，所以△CQN∽△BQC，所以，即＝，所以QN＝，設(shè)N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），所以＝，所以t＝或t＝，因為在∠QCB內(nèi)作射線CD，所以t＝，所以N（，﹣），設(shè)CN解析式為y＝kx+b，將N（，﹣），C（1，0）代入得：，解得，所以CN解析式為y＝﹣5x+5，令x＝3得y＝﹣10，所以D（3，﹣10），所以DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)，一次函數(shù)解析式、平行四邊形判定與性質(zhì)及相似三角形判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是設(shè)出坐標(biāo)，利用相似三角形性質(zhì)求出QN的長度．21.如圖，在網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1，圓弧經(jīng)過圖中格點三點．（1）線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，按要求作出線段．（2）連接交圓弧于點E，計算線段與圓弧圍成的面積．（結(jié)果保留）【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點D，然后連接即可；（2）設(shè)的中點為O，由圓周角定理可得，連接，由等腰直角三角形性質(zhì)得，由勾股定理求出，進(jìn)而得到，然后根據(jù)進(jìn)行計算．【小問1詳解】解：如圖，線段AD即為所求；【小問2詳解】解：設(shè)AB中點為O，連接．因為，所以AB是該圓弧所在圓的直徑，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以．【點睛】本題考查了畫旋轉(zhuǎn)圖形，求扇形的面積，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，求扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．22.某商店打算以40元/千克的價格購進(jìn)一批商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的銷售量（千克）與售價（元）之間的關(guān)系如下表：x45505560y190180170160（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若要控制成本不超過3200元的情況下，保證利潤達(dá)到3200元，該如何定價？【答案】（1）；（2）定價120元．【分析】（1）根據(jù)表格利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)利潤達(dá)到3200元列出方程求得定價，注意合理取舍．【詳解】解：（1）由表格知：是的一次函數(shù)，設(shè)，，解得：，，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．（2）由題意得：，即：，解得：或，成本，得，，定價為120元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)及一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是了解利潤和銷售量之間的關(guān)系，難度中等．23.如圖，在△ABC中，AB=13，AC=23，點D在AC上，若BD=CD=10，AE平分∠BAC．（1）求AE的長；（2）若F是BC中點，求線段EF的長．【答案】（1）12；（2）5【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得DE=5，根據(jù)勾股定理計算AE的長即可；（2）根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【詳解】解：（1）因為AC=23，CD=10，所以AD=23-10=13，因為AB=13，所以AB=CD，因為AE平分∠BAC，所以DE=BE，AE⊥BD，因為BD=10，所以DE=5，所以AE=，（2）因為E是BD的中點，F(xiàn)是BC中點，所以EF=CD=×10=5．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握這些性質(zhì)是關(guān)鍵．24.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝x2﹣2mx+4m（m為常數(shù)）的圖象記為G，圖象G的最低點為P(x0，y0)．（1）當(dāng)m＝0時，寫出這個函數(shù)的表達(dá)式，并在所給坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)的圖象G．（2）當(dāng)y0＝﹣1時，求m的值．（3）求y0的最大值．（4）當(dāng)m＞0，且當(dāng)圖象G與x軸有兩個交點時，左邊交點的橫坐標(biāo)為x1，直接寫出x1的取值范圍．【答案】（1），作圖見解析；（2）；（3）；（4）2＜＜4．【分析】（1）當(dāng)m=0時，解析式為，利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；（2）把解析式化成頂點式，令頂點縱坐標(biāo)為，解關(guān)于m的方程：，解方程即可求得答案．（3）把化成頂點式，利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)即可求得結(jié)果；（4）先求得拋物線與x軸有一個交點時的m的取值，再根據(jù)當(dāng)?shù)淖畲笾禃rm的值，再確定當(dāng)時的函數(shù)值＞從而即可解決問題．【詳解】解：（1）當(dāng)m=0時，這個函數(shù)的表達(dá)式為，列表：描點并連線：圖象如下：（2）由，因為時，所以（3）因為，所以當(dāng)m=2時，的最大值是4．（4）當(dāng)拋物線頂點在x軸上時，，所以m=4或，＞因為，當(dāng)m=2時，的最大值是4，所以如圖，觀察圖象可知，當(dāng)時，＞所以當(dāng)圖象G與x軸有兩個交點時，設(shè)左邊交點的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是2＜＜4，【點睛】本題屬于考查了拋物線與x軸的交點，一元二次方程的解法，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，最值問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．25.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）求證：