長(zhǎng)沙市天心區(qū)2023年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/26長(zhǎng)沙市天心區(qū)2023年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分。共10題；共30分。1.下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．據(jù)此定義即可得到答案．【詳解】解：A、是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)角不可能為，故不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)角不可能為，故不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)角可以為，故是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了中心對(duì)稱圖形，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．2.已知☉O的半徑r=2cm,☉O的圓心到直線l的距離d=

cm,則直線l與☉O的位置關(guān)系是(

)A.相離

B.相交

C.相切

D.無(wú)法確定【答案】B【分析】因?yàn)椤袿的半徑r=2cm，圓心O到直線l的距離為d=，所以d<r，所以直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交．【詳解】因?yàn)橐驗(yàn)椤袿的半徑r=2cm，圓心O到直線l的距離為d=,所以d<r,所以直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交.故選:B.【點(diǎn)睛】考查了直線與圓的位置關(guān)系,設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．3.若為二次函數(shù)，則的值為（

）A.-2或1 B.-2 C.-1 D.1【答案】D【分析】由二次函數(shù)定義可知m2+m=2，同時(shí)滿足.【詳解】解：由題意可知m2+m=2，解得m=-2或1，因?yàn)?，所以m=1，故選擇D.4.如圖，把菱形ABCD沿AH折疊，使B點(diǎn)落在BC上的E點(diǎn)處，若∠B＝70°，則∠EDC的大小為()A.10° B.15° C.20° D.30°【答案】B【詳解】根據(jù)菱形的對(duì)角相等得∠ADC=∠B=70°．因?yàn)锳D=AB=AE，所以∠AED=∠ADE．根據(jù)折疊得∠AEB=∠B=70°．因?yàn)锳D∥BC，所以∠DAE=∠AEB=70°，所以∠ADE=∠AED=55°．所以∠EDC=70°-55°=15°．故選B．5.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A.圖象的對(duì)稱軸是直線 B.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小C.一元二次方程的兩個(gè)根是， D.當(dāng)時(shí)，【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析對(duì)稱軸和圖象與x軸的交點(diǎn)，一一進(jìn)行判斷即可.【詳解】由圖像可知，對(duì)稱軸是x＝，在對(duì)稱軸右側(cè)，圖像是下降趨勢(shì)，所以當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是－1，3，所以方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根是－1，3，當(dāng)－1＜x＜3時(shí)，圖像在x軸上方，所以y＞0，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.如圖，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，將△ADE沿著DE對(duì)折，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F，若∠B=50°，則∠BDF的度數(shù)為（

）A.50°B.70°C.75°D.80°【答案】D【詳解】試題解析：因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別邊AB、AC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥BC，所以∠ADE=∠B=50°，因?yàn)椤鱀EF是△DEA經(jīng)過(guò)翻折變換得到的，所以∠EDF=50°，所以∠BDF=180°﹣2∠ADE=180°﹣100°=80°．故選D．7.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（﹣1，﹣2） B.（﹣1，2） C.（1，﹣2） D.（1，2）【答案】A【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．故選：A．8.已知：如圖，為⊙的直徑，，交⊙于點(diǎn)，交⊙于點(diǎn)，度．給出以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④劣弧是劣弧的倍；⑤．其中正確的是（）A.②③④ B.①②④C.①②⑤ D.①②③⑤【答案】B【詳解】解：連接，是⊙直徑，則．因?yàn)?，，所以，．因?yàn)榍遥云椒?，，故②正確，又，所以，故③正確，因?yàn)椋?，所以，，所以劣弧是劣弧的倍，④正確；因?yàn)?，，所以，，故③錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，又，所以，故⑤錯(cuò)誤，故正確的有①②④．故選．9.如圖，在⊙O中，∠BOC=54°，則∠BAC的度數(shù)為（）A.27° B.28° C.36° D.54°【答案】A【分析】由同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半，可得，從而可得答案．【詳解】解：故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，掌握“同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．”是解題的關(guān)鍵．10.下列對(duì)拋物線y=-2(x-1)2+3性質(zhì)的描寫(xiě)中，正確的是(

)A.開(kāi)口向上 B.對(duì)稱軸是直線x=1 C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1，3) D.函數(shù)y有最小值【答案】B【分析】由拋物線的解析式可求得開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、因?yàn)?2＜0，所以拋物線的開(kāi)口向下，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B、拋物線的對(duì)稱軸為：x＝1，故B正確，符合題意；C、拋物線的頂點(diǎn)為（1，3），故C錯(cuò)誤，不符合題意；D、因開(kāi)口向下，故該函數(shù)有最大值，故D錯(cuò)誤，不符合題意.故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y=a(x?h)2+k中，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)，對(duì)稱軸為x=h．二、填空題本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）（共6題；共18分。11.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________．【答案】（-4，-5）【分析】已知拋物線解析式為頂點(diǎn)式，可直接寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式為y=-3（x+4）2-5，所以其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，-5）．【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)的性質(zhì)，將解析式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是x=h．12.如圖，是半圓的直徑，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_．【答案】【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，由圓周角定理得，，所以的長(zhǎng)=．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理及弧長(zhǎng)的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)公式：（弧長(zhǎng)為l,圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．13.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】【分析】根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)都互為相反數(shù)計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了原點(diǎn)對(duì)稱，熟練掌握原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)都互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．14.拋物線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的拋物線表達(dá)式為_(kāi)_．【答案】##【分析】根據(jù)拋物線平移的變化規(guī)律“左加右減、上加下減”可求解．【詳解】解：將拋物線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的表達(dá)式為，即：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟知函數(shù)平移的變化規(guī)律“左加右減、上加下減”是解題的關(guān)鍵．15.若二次函數(shù)的的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則_________．【答案】【分析】利用拋物線過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式，把點(diǎn)代入即可．【詳解】二次函數(shù)的y=ax2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,?2)，-2=a，a=-2．故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查二次項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵掌握?qǐng)D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式使問(wèn)題得以解決．16.如圖，等腰中，，平分，若，則____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥BC，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，可得DF=DE，由，得，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥BC，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，因?yàn)槠椒?，所以DF=DE，因?yàn)?，即：，所以，因?yàn)?，AM⊥BC，所以CM=BC，所以，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分。（共9題；共72分）17.計(jì)算：【答案】【分析】首先計(jì)算二次根式的乘法，再化簡(jiǎn)后計(jì)算二次根式的加法即可．【詳解】解：原式＝，＝，＝【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．18.解方程：【答案】，【分析】由公式法解一元二次方程，即可求出方程的解．【詳解】解：，因?yàn)?，所以所以所以，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法解一元二次方程．19.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)E在BC邊上，且點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，連接AE．（1）在圖中畫(huà)出△AEF，使△AEF與△AEB關(guān)于直線AE對(duì)稱，點(diǎn)F與點(diǎn)B是對(duì)稱點(diǎn)；（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積．【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）6【分析】（1）由AE為網(wǎng)格正方形的對(duì)角線，作出點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F，然后連接AF、EF即可；（2）根據(jù)圖象，重疊部分為兩個(gè)直角三角形的面積的差，列式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）△AEF如圖所示；（2）重疊部分的面積=×4×4﹣×2×2=8﹣2=6．考點(diǎn)：作圖-軸對(duì)稱變換20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．（1）求這條拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接，在的內(nèi)部作射線與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)，且使得，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）；（3）8【分析】（1）先根據(jù)直線求出A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法把A、B坐標(biāo)代入y＝ax2+6x+c解方程組即可得答案；（2）讓拋物線y=0求出C坐標(biāo)，設(shè)Q坐標(biāo)，根據(jù)平移表示P坐標(biāo)代入拋物線可得方程求解即可；（3）CD與AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐標(biāo)，再求CN解析式及D坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】（1）由直線，當(dāng)x=0時(shí)，y=-5，當(dāng)y=0時(shí)，，所以，，因?yàn)榻?jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，代入得，解得，所以．（2）在中令y＝0得，解得x1＝1，x2＝5，所以C（1，0），點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，因?yàn)樵谥?，點(diǎn)平移到，點(diǎn)平移到，平移規(guī)律為：橫軸方向，縱軸方向；所以設(shè)，則，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以．（3）設(shè)CD與AB交于N，拋物線對(duì)稱軸交x軸于E，如圖：因?yàn)锽（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），E（3，0），所以CQ=＝2，BQ＝3，因?yàn)椤螿CD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，所以△CQN∽△BQC，所以，即＝，所以QN＝，設(shè)N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），所以＝，所以t＝或t＝，因?yàn)樵凇螿CB內(nèi)作射線CD，所以t＝，所以N（，﹣），設(shè)CN解析式為y＝kx+b，將N（，﹣），C（1，0）代入得：，解得，所以CN解析式為y＝﹣5x+5，令x＝3得y＝﹣10，所以D（3，﹣10），所以DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)，一次函數(shù)解析式、平行四邊形判定與性質(zhì)及相似三角形判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是設(shè)出坐標(biāo)，利用相似三角形性質(zhì)求出QN的長(zhǎng)度．21.如圖，在網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，圓弧經(jīng)過(guò)圖中格點(diǎn)三點(diǎn)．（1）線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，按要求作出線段．（2）連接交圓弧于點(diǎn)E，計(jì)算線段與圓弧圍成的面積．（結(jié)果保留）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，然后連接即可；（2）設(shè)的中點(diǎn)為O，由圓周角定理可得，連接，由等腰直角三角形性質(zhì)得，由勾股定理求出，進(jìn)而得到，然后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，線段AD即為所求；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)AB中點(diǎn)為O，連接．因?yàn)椋訟B是該圓弧所在圓的直徑，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形，求扇形的面積，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，求扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．22.某商店打算以40元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的銷(xiāo)售量（千克）與售價(jià)（元）之間的關(guān)系如下表：x45505560y190180170160（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若要控制成本不超過(guò)3200元的情況下，保證利潤(rùn)達(dá)到3200元，該如何定價(jià)？【答案】（1）；（2）定價(jià)120元．【分析】（1）根據(jù)表格利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)利潤(rùn)達(dá)到3200元列出方程求得定價(jià)，注意合理取舍．【詳解】解：（1）由表格知：是的一次函數(shù)，設(shè)，，解得：，，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．（2）由題意得：，即：，解得：或，成本，得，，定價(jià)為120元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)及一元二次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解利潤(rùn)和銷(xiāo)售量之間的關(guān)系，難度中等．23.如圖，在△ABC中，AB=13，AC=23，點(diǎn)D在AC上，若BD=CD=10，AE平分∠BAC．（1）求AE的長(zhǎng)；（2）若F是BC中點(diǎn)，求線段EF的長(zhǎng)．【答案】（1）12；（2）5【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得DE=5，根據(jù)勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【詳解】解：（1）因?yàn)锳C=23，CD=10，所以AD=23-10=13，因?yàn)锳B=13，所以AB=CD，因?yàn)锳E平分∠BAC，所以DE=BE，AE⊥BD，因?yàn)锽D=10，所以DE=5，所以AE=，（2）因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，所以EF=CD=×10=5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握這些性質(zhì)是關(guān)鍵．24.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝x2﹣2mx+4m（m為常數(shù)）的圖象記為G，圖象G的最低點(diǎn)為P(x0，y0)．（1）當(dāng)m＝0時(shí)，寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，并在所給坐標(biāo)系中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖象G．（2）當(dāng)y0＝﹣1時(shí)，求m的值．（3）求y0的最大值．（4）當(dāng)m＞0，且當(dāng)圖象G與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，左邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，直接寫(xiě)出x1的取值范圍．【答案】（1），作圖見(jiàn)解析；（2）；（3）；（4）2＜＜4．【分析】（1）當(dāng)m=0時(shí)，解析式為，利用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象即可；（2）把解析式化成頂點(diǎn)式，令頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，解關(guān)于m的方程：，解方程即可求得答案．（3）把化成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)即可求得結(jié)果；（4）先求得拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的m的取值，再根據(jù)當(dāng)?shù)淖畲笾禃r(shí)m的值，再確定當(dāng)時(shí)的函數(shù)值＞從而即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為，列表：描點(diǎn)并連線：圖象如下：（2）由，因?yàn)闀r(shí)，所以（3）因?yàn)?，所以?dāng)m=2時(shí)，的最大值是4．（4）當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，，所以m=4或，＞因?yàn)椋?dāng)m=2時(shí)，的最大值是4，所以如圖，觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，＞所以當(dāng)圖象G與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)左邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是2＜＜4，【點(diǎn)睛】本題屬于考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，一元二次方程的解法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．25.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）求證：