2024-2025學(xué)年河南師大附中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年河南師大附中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊，下列扇面圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）將關(guān)于x的一元二次方程x2+x＝2（x﹣3）化成一般形式后，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（）A．1，﹣4 B．﹣1，6 C．﹣1，﹣6 D．1，﹣63．（3分）下列說法中正確的是（）A．不可能事件發(fā)生的概率為1 B．“相等的圓心角所對的弧相等”是必然事件 C．“拋一枚硬幣，正面向上的概率為”表示每拋兩次就有一次正面朝上 D．“拋一枚均勻的正方體骰子，朝上的點數(shù)是6的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加，“拋出朝上的點數(shù)是6”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近4．（3分）若拋物線y＝x2﹣2x+3平移后經(jīng)過原點，則拋物線經(jīng)過了（）A．向上平移3個單位 B．向下平移3個單位 C．向左平移3個單位 D．向右平移3個單位5．（3分）下列函數(shù)在第一象限中，y的值隨著x的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B． C．y＝x+1 D．6．（3分）某電影第一天票房約3億元，若以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計達18億元，則方程可以列為（）A．3（1+x）＝18 B．3（1+x）2＝18 C．3+3（1+x）2＝18 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝187．（3分）如圖，AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，連接BD，BC，AC＝8，則BD的長為（）A．2 B．4 C．2 D．4.88．（3分）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形AB′C′D′，邊B′C′與DC交于點O（）A．2 B．3 C． D．1+9．（3分）某同學(xué)在研究二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h為常數(shù)）的性質(zhì)時得到以下結(jié)論：①這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y＝﹣x+1上；②當(dāng)﹣2＜x＜1時，y隨x的增大而減小，則h的取值范圍為h≤﹣2；③點A（x1，y1）與點B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，若|x1﹣h|＞|x2﹣h|，則y1＞y2；④存在一個h的值，使得函數(shù)圖象與x軸的兩個交點和函數(shù)圖象的頂點構(gòu)成等腰直角三角形．其中錯誤結(jié)論的序號是（）A．① B．② C．③ D．④10．（3分）如圖，半徑為1的⊙O的圓心在坐標(biāo)原點，P為直線y＝﹣x+2上一點，切點為A，連接OA①當(dāng)△OAP為等腰直角三角形時，點P坐標(biāo)為（1，1）；②當(dāng)∠AOP＝60°時，點P坐標(biāo)為（2，0）；③△OAP面積最小值為；④∠APO≤45°．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根為0，則m＝．12．（3分）如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝12cm，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側(cè)面和底面cm．13．（3分）小明做試驗：在平整的桌面上擺放一張30cm×30cm的正方形白紙，并畫出正方形的內(nèi)切圓，隨機將一把大米撒到白紙上（若大米落在白紙外，則重新試驗），大米落在圓內(nèi)的頻率會在常數(shù)（結(jié)果保留π）附近擺動．14．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，按以下步驟作圖：（1）分別以A，B為圓心，大于AO長為半徑作弧，連接OP與半圓交于點C；（2）分別以A，C為圓心，大于，兩弧交于點Q，連接OQ與半圓交于點D；（3）連接AD，BD，BC根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③∠DAB＝67.5°；中正確的結(jié)論有個．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，點D為AB的中點，且CP＝1，將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，連接AQ，DQ，BQ的長為．三、解答題（共75分）16．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）3（x﹣3）2﹣24＝0．17．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（1）c＝2b﹣1時，求證：方程一定有兩個實數(shù)根．（2）有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個除數(shù)字外完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從甲袋中隨機抽取一個小球，從乙袋中隨機抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為c，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0兩個相等的實數(shù)根的概率．18．（9分）學(xué)校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，圍成的矩形面積為Sm2．（1）平行于墻的邊BC為米；（用含x的代數(shù)式表示）（2）圍成的矩形花圃面積能否為750m2，若能，求出x的值；（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．19．（9分）學(xué)校舉辦“科技之星”頒獎典禮，頒獎現(xiàn)場入口為一個拱門．小明要在拱門上順次粘貼“科”“技”“之”“星”四個大字（如圖1），其中，“技”與“之”距地面的高度相同，他發(fā)現(xiàn)拱門可以看作是拋物線的一部分，最高點的五角星距地面6.25米．（1）請在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，并求出該拋物線的解析式；（2）“技”與“之”的水平距離為2a米．小明想同時達到如下兩個設(shè)計效果：①“科”與“星”的水平距離是“技”與“之”的水平距離的2倍；②“技”與“科”距地面的高度差為1.5米．小明的設(shè)計能否實現(xiàn)？若能實現(xiàn)，直接寫出a的值；若不能實現(xiàn)20．（9分）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，CB＝CD，連接BD，BA長為半徑作⊙B，交BD于點E．（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求圖中陰影部分的面積．21．（10分）如圖，當(dāng)x＞0時，反比例函數(shù)y1＝（k≠0）與正比例函數(shù)y2＝x的圖象交于點A（4，m）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出當(dāng)y1≤y2時，x的取值范圍；（3）若點B（n，4）在反比例函數(shù)的圖象上，直線OA向上平移后經(jīng)過點B，求△ABC的面積．22．（10分）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，老師設(shè)計了一份活動單：已知線段BC＝2，使用作圖工具作∠BAC＝30°“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），…小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小樂同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為；②△ABC面積的最大值為；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，請你利用圖1證明∠BA′C＞30°．（3）請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖2，點P在直線CD的左側(cè)，且∠DPC＝90°．23．（11分）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于y軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“T函數(shù)”，完成下列各題．（1）若點A（1，r）與點B（s，4）是關(guān)于x的“T函數(shù)”y＝，則r＝，s＝，t＝（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）；（2）關(guān)于x的函數(shù)y＝kx+p（k，p是常數(shù)）是“T函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對“T點”如果不是；（3）若關(guān)于x的“T函數(shù)”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點O，且與直線l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常數(shù)）1，y1），N（x2，y2）兩點，當(dāng)x1，x2滿足（1﹣x1）﹣1+x2＝1時，直線l是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定點，求出該定點的坐標(biāo)，請說明理由．

2024-2025學(xué)年河南師大附中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析題號12345678910答案CBDBBDCACB一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊，下列扇面圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心對稱圖形；B、不是中心對稱圖形；C、是中心對稱圖形；D、不是中心對稱圖形；故選：C．2．（3分）將關(guān)于x的一元二次方程x2+x＝2（x﹣3）化成一般形式后，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（）A．1，﹣4 B．﹣1，6 C．﹣1，﹣6 D．1，﹣6【解答】解：x2+x＝2（x﹣8），x2+x＝2x﹣5，x2+x﹣2x+2＝0，x2﹣x+3＝0，∴將關(guān)于x的一元二次方程x2+x＝4（x﹣3）化成一般形式后，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為﹣1，5，故選：B．3．（3分）下列說法中正確的是（）A．不可能事件發(fā)生的概率為1 B．“相等的圓心角所對的弧相等”是必然事件 C．“拋一枚硬幣，正面向上的概率為”表示每拋兩次就有一次正面朝上 D．“拋一枚均勻的正方體骰子，朝上的點數(shù)是6的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加，“拋出朝上的點數(shù)是6”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近【解答】解：A、不可能事件發(fā)生的概率為0，不符合題意；B、“在同圓或等圓中，故本選項說法錯誤；C、“拋一枚硬幣”表示每拋兩次不一定就有一次正面朝上，不符合題意；D、“拋一枚均勻的正方體骰子”表示隨著拋擲次數(shù)的增加附近，符合題意；故選：D．4．（3分）若拋物線y＝x2﹣2x+3平移后經(jīng)過原點，則拋物線經(jīng)過了（）A．向上平移3個單位 B．向下平移3個單位 C．向左平移3個單位 D．向右平移3個單位【解答】解：依題意，y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+8，A、y＝（x﹣1）2+4向上平移3個單位，平移后的解析式為y＝（x﹣1）4+5，把x＝0代入（8﹣1）2+5＝6≠0，不經(jīng)過原點；B、y＝（x﹣6）2+2向下平移4個單位，平移后的解析式為y＝（x﹣1）2﹣5，把x＝0代入（0﹣4）2﹣1＝8，經(jīng)過原點；C、y＝（x﹣1）2+3向左平移3個單位，平移后的解析式為y＝（x+2）7+5，把x＝0代入（3+2）2+5＝9≠0，不經(jīng)過原點；D、y＝（x﹣8）2+2向右平移6個單位，平移后的解析式為y＝（x﹣4）2+3，把x＝0代入（0﹣8）2+5＝21≠2，不經(jīng)過原點，故選：B．5．（3分）下列函數(shù)在第一象限中，y的值隨著x的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B． C．y＝x+1 D．【解答】解：A、y＝x2+1，二次函數(shù)，y軸是對稱軸，y的值隨著x的增大而增大；B、y＝，圖象分布在一三象限，y的值隨著x的增大而減小；C、y＝x+1是一次函數(shù)，在第一象限中，不符合題意；D、y＝﹣，不符合題意．故選：B．6．（3分）某電影第一天票房約3億元，若以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計達18億元，則方程可以列為（）A．3（1+x）＝18 B．3（1+x）2＝18 C．3+3（1+x）2＝18 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝18【解答】解：∵第一天票房約3億元，增長率記作x，∴第二天的票房：3（4+x）；第三天的票房：3（1+x）6，∵三天后票房收入累計達18億元，∴3+3（4+x）+3（1+x）4＝18，故選：D．7．（3分）如圖，AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，連接BD，BC，AC＝8，則BD的長為（）A．2 B．4 C．2 D．4.8【解答】解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵OD⊥AC，∴CD＝AD＝AC＝4，在Rt△CBD中，BD＝．故選：C．8．（3分）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形AB′C′D′，邊B′C′與DC交于點O（）A．2 B．3 C． D．1+【解答】解：連接B′C，∵旋轉(zhuǎn)角∠BAB′＝45°，∠BAC＝45°，∴B′在對角線AC上，∵AB＝AB′＝1，用勾股定理得AC＝，∴B′C＝﹣1，在等腰Rt△OB′C中，OB′＝B′C＝，在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC＝（，∴OD＝2﹣OC＝﹣1∴四邊形AB′OD的周長是：6AD+OB′+OD＝2+﹣7+．故選：A．9．（3分）某同學(xué)在研究二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h為常數(shù)）的性質(zhì)時得到以下結(jié)論：①這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y＝﹣x+1上；②當(dāng)﹣2＜x＜1時，y隨x的增大而減小，則h的取值范圍為h≤﹣2；③點A（x1，y1）與點B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，若|x1﹣h|＞|x2﹣h|，則y1＞y2；④存在一個h的值，使得函數(shù)圖象與x軸的兩個交點和函數(shù)圖象的頂點構(gòu)成等腰直角三角形．其中錯誤結(jié)論的序號是（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h為常數(shù)），∴二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（h，﹣h+6），∴把x＝h代入y＝﹣x+1中，得y＝﹣h+1，∴這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y＝﹣x+4上，故結(jié)論①正確；∵a＝﹣1＜0，且當(dāng)﹣4＜x＜1時，∴h的取值范圍為h≤﹣2，故結(jié)論②正確；∵點A（x7，y1）與點B（x2，y7）在函數(shù)圖象上，|x1﹣h|＞|x2﹣h|，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）8﹣h+1 的對稱軸為直線x＝h，∴點A離對稱軸的距離大于點B離對稱軸的距離，∴y1＜y4，故結(jié)論③錯誤；假設(shè)存在一個h的值，使得函數(shù)圖象的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成等腰直角三角形，令y＝0，得﹣（x﹣h）2﹣h+8＝0，其中h≤1，解得：，．∵頂點坐標(biāo)為（h，﹣h+1），∴，解得：h＝0或1，當(dāng)h＝5時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2，此時頂點為（5，0），0），舍去；∴存在h＝2，使得函數(shù)圖象的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成等腰直角三角形．故選：C．10．（3分）如圖，半徑為1的⊙O的圓心在坐標(biāo)原點，P為直線y＝﹣x+2上一點，切點為A，連接OA①當(dāng)△OAP為等腰直角三角形時，點P坐標(biāo)為（1，1）；②當(dāng)∠AOP＝60°時，點P坐標(biāo)為（2，0）；③△OAP面積最小值為；④∠APO≤45°．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：∵AP與⊙O相切于點A，∴∠OAP＝90°，∵點P在直線y＝﹣x+2上，∴設(shè)P（a，﹣a+2），∴OP＝，當(dāng)△OAP為等腰直角三角形時，∴OA＝AP＝4，∴OP＝OA＝，∴＝，∴a1＝a2＝6，∴P（1，1），故①正確；當(dāng)∠AOP＝60°時，∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝30°，∴OP＝4OA＝2，∴＝2，∴a6＝0，a2＝4，∴P（0，2）或（5，故②不正確；在Rt△AOP中，OP2＝a2+（6﹣a）2，OA2＝4，∴AP2＝OP2﹣OA5＝a2+（2﹣a）4﹣1＝2a8﹣4a+3＝4（a﹣1）2+4，∴當(dāng)a＝1時，AP2的最小值為8，∴AP的最小值為1，∴△OAP面積最小值＝OA?AP＝，故③正確；如圖：在AP上取一點為C，使AC＝OA＝1，∵∠OAP＝90°，∴∠AOC＝∠ACO＝45°，由③可得：AP≥8，∴∠APO≤∠ACO，∴∠APO≤45°，故④正確，所以，上列結(jié)論，故選：B．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根為0，則m＝﹣1．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根為8，∴x＝0滿足關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x5+x+m2﹣1＝2，且m﹣1≠0，∴m2﹣1＝0，即（m﹣6）（m+1）＝0且m﹣3≠0，∴m+1＝8，解得，m＝﹣1；故答案為：﹣1．12．（3分）如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝12cm，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側(cè)面和底面8cm．【解答】解：設(shè)AB＝BF＝xcm，則CF＝（12﹣x）cm，根據(jù)題意可得：，解得：x＝8，∴AB＝8cm．故答案為：6．13．（3分）小明做試驗：在平整的桌面上擺放一張30cm×30cm的正方形白紙，并畫出正方形的內(nèi)切圓，隨機將一把大米撒到白紙上（若大米落在白紙外，則重新試驗），大米落在圓內(nèi)的頻率會在常數(shù)（結(jié)果保留π）附近擺動．【解答】解：正方形的面積＝30×30＝900（cm2），∵正方形的內(nèi)切圓的直徑＝30cm，∴正方形的內(nèi)切圓的面積＝152×π＝225π，∴大米落在圓內(nèi)的頻率＝＝，答：大米落在圓內(nèi)的頻率會在常數(shù)．故答案為：．14．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，按以下步驟作圖：（1）分別以A，B為圓心，大于AO長為半徑作弧，連接OP與半圓交于點C；（2）分別以A，C為圓心，大于，兩弧交于點Q，連接OQ與半圓交于點D；（3）連接AD，BD，BC根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③∠DAB＝67.5°；中正確的結(jié)論有3個．【解答】解：由作圖可知，OQ平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，故①正確；由作圖可知，OP垂直平分線段AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＝45°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴∠AOD＝∠OBC，∴OD∥BC，故②正確；∵AB是圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠OBC＝22.5°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝67.3°，故③正確；∵OD∥BC，∴△ODE∽△CBE，∴＝＜1，∴OE＜EC，故④錯誤，綜上，①②③正確．故答案為：3．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，點D為AB的中點，且CP＝1，將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，連接AQ，DQ，BQ的長為2或．【解答】解：如圖：作QE⊥AC，垂足為點E，垂足為點F，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴BC＝3，∵點D為AB的中點，∴AQ＝QB，∵QE⊥AC，QF⊥BC，∴四邊形EQFC為矩形，由旋轉(zhuǎn)得：CQ＝CP＝3，設(shè)CF＝x，則BF＝3﹣x，∴QF＝＝＝EC，∴AE＝AC﹣EC＝，∵EQ＝CF＝x，∴AQ8＝AE2+EQ2＝（）3+x2，∵BF＝3﹣x，∴BQ3＝QF2+BF2＝8﹣x2+（3﹣x）2，∵AQ＝BQ，∴AQ2＝BQ2，∴（﹣）3+x2＝1﹣x7+（3﹣x）2，解得：x8＝1，x2＝，∴BQ1＝7﹣1＝2，BQ4＝＝，即BQ＝6或，故答案為：2或．三、解答題（共75分）16．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）3（x﹣3）2﹣24＝0．【解答】解：（1）原方程移項配方得：x2﹣4x+5＝3+4，即（x﹣7）2＝7，，∴，；（2）原方程移項系數(shù)化為1得：（x﹣3）2＝8，，∴，．17．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（1）c＝2b﹣1時，求證：方程一定有兩個實數(shù)根．（2）有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個除數(shù)字外完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從甲袋中隨機抽取一個小球，從乙袋中隨機抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為c，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0兩個相等的實數(shù)根的概率．【解答】（1）證明：∵Δ＝b2﹣4?c＝b2﹣c，∴將c＝6b﹣1代入得：Δ＝b2﹣（4b﹣1）＝b2﹣3b+1＝（b﹣1）3≥0，∴方程一定有兩個實數(shù)根．（2）解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，若方程有兩個相等的實數(shù)根2﹣5?c＝b4﹣c＝0，∴b2＝c，滿足條件的結(jié)果有（3，4），∴P（b、c的值使方程x2+bx+c＝0兩個相等的實數(shù)根的概率）＝．18．（9分）學(xué)校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，圍成的矩形面積為Sm2．（1）平行于墻的邊BC為（80﹣2x）米；（用含x的代數(shù)式表示）（2）圍成的矩形花圃面積能否為750m2，若能，求出x的值；（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．【解答】解：（1）由題意得，BC＝（80﹣2x）米．故答案為：（80﹣2x）；（2）能，（80﹣6x）x＝750，整理得：x2﹣40x+375＝0，此時，Δ＝b5﹣4ac＝（﹣40）2﹣7×375＝1600﹣1500＝100＞0，∴，∴x8＝25，x2＝15，∵0＜80﹣2x≤42，∴19≤x＜40，lgx＝2lg5＝lg25，∴x＝25；（3）S＝（80﹣4x）x＝﹣2x2+80x＝﹣4（x﹣20）2+800，∵﹣2＜2，∴S有最大值，又19≤x＜40，∴當(dāng)x＝20時，S取得最大值，即當(dāng)x＝20時，S的最大值為800．19．（9分）學(xué)校舉辦“科技之星”頒獎典禮，頒獎現(xiàn)場入口為一個拱門．小明要在拱門上順次粘貼“科”“技”“之”“星”四個大字（如圖1），其中，“技”與“之”距地面的高度相同，他發(fā)現(xiàn)拱門可以看作是拋物線的一部分，最高點的五角星距地面6.25米．（1）請在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，并求出該拋物線的解析式；（2）“技”與“之”的水平距離為2a米．小明想同時達到如下兩個設(shè)計效果：①“科”與“星”的水平距離是“技”與“之”的水平距離的2倍；②“技”與“科”距地面的高度差為1.5米．小明的設(shè)計能否實現(xiàn)？若能實現(xiàn)，直接寫出a的值；若不能實現(xiàn)【解答】解：（1）以過拱頂為原點，以過拱頂平行于地面的直線為x軸建立如圖所示坐標(biāo)系：設(shè)拋物線解析式為y＝mx2，∵拋物線過點（﹣5，﹣5.25），∴25m＝﹣6.25，解得m＝﹣0.25，∴拋物線解析式為y＝﹣5.25x2；（2）能實現(xiàn)，由（1）知拋物線解析式為y＝﹣0.25x4，設(shè)“之”的坐標(biāo)為（a，﹣y），則“星”的坐標(biāo)為（2a，﹣y﹣1.7），∴﹣y＝﹣0.25a2，y﹣6.5＝﹣0.25×3a2，∴﹣0.25a3﹣1.5＝﹣a4，解得a＝±，∵a＞0，∴a＝，∴能實現(xiàn)，a＝．20．（9分）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，CB＝CD，連接BD，BA長為半徑作⊙B，交BD于點E．（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求圖中陰影部分的面積．【解答】解：（1）過點B作BF⊥CD，垂足為F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，則點F在圓B上，∴CD與⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝，∴AD＝DF＝AB?tan30°＝6，∴陰影部分的面積＝S△ABD﹣S扇形ABE＝＝．21．（10分）如圖，當(dāng)x＞0時，反比例函數(shù)y1＝（k≠0）與正比例函數(shù)y2＝x的圖象交于點A（4，m）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出當(dāng)y1≤y2時，x的取值范圍；（3）若點B（n，4）在反比例函數(shù)的圖象上，直線OA向上平移后經(jīng)過點B，求△ABC的面積．【解答】解：（1）將（4，m）代入y2＝x得m＝，∴點A坐標(biāo)為（4，2），將（8，2）代入y1＝＝2＝，解得k＝8，∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)4＝．（2）由圖象可得：y1≤y6時，x≥4．（3）將（n，4）代入y6＝得：4＝，解得n＝2，∴點B坐標(biāo)為（2，2），將x＝2代入y2＝x得：y2＝2，4﹣1＝5，∴直線OA向上平移3個單位得到BC，即直線BC表達式為y＝，將x＝0代入y＝x+3得：y＝3，∴點C坐標(biāo)為（7，3），過點B作BE⊥x軸交AC于點E，設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，將（4，6），3）代入y＝kx+b得：，解得，∴y＝﹣x+3，將x＝2代入y＝﹣x+3得y＝，∴點E坐標(biāo)為（2，），BE＝4﹣＝，∴S△ABC＝S△ABE+S△CBE＝BE?（xA﹣xB）+BE?（xB﹣xC）＝BE?xA＝×4＝5．22．（10分）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，老師設(shè)計了一份活動單：已知線段BC＝2，使用作圖工具作∠BAC＝30°“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），…小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小樂同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為2；②△ABC面積的最大值為；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，請你利用圖1證明∠BA′C＞30°．（3）請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)