湖南省長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)湖南師大附中2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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湖南省長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)湖南師大附中2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.盒中有6個(gè)小球,其中4個(gè)白球,2個(gè)黑球,從中任取個(gè)球,在取出的球中,黑球放回,白球則涂黑后放回,此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù),則()A., B.,C., D.,2.點(diǎn)在曲線上,過(guò)作軸垂線,設(shè)與曲線交于點(diǎn),,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0,則稱點(diǎn)為曲線上的“水平黃金點(diǎn)”,則曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.33.已知是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面,對(duì)下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②5.已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.6.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C.2 D.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為,是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn),若,則線段的中點(diǎn)到軸的距離為()A.5 B.3 C. D.28.已知不重合的平面和直線,則“”的充分不必要條件是()A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B.且C.且 D.內(nèi)的任何直線都與平行9.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.10.已知數(shù)列,,,…,是首項(xiàng)為8,公比為得等比數(shù)列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.411.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},則A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}12.觀察下列各式:,,,,,,,,根據(jù)以上規(guī)律,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足:,,若對(duì)任意的正整數(shù)均有,則實(shí)數(shù)的最大值是_____.14.若滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_________.15.若變量,滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______.16.展開(kāi)式中項(xiàng)系數(shù)為160,則的值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)數(shù)列滿足,是與的等差中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點(diǎn).(1).求證:平面平面;(2).若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)某大學(xué)生在開(kāi)學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開(kāi)學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個(gè)開(kāi)學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以(單位:盒,)表示這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量,(單位:元)表示這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn).(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量的平均數(shù)和眾數(shù);(2)將表示為的函數(shù);(3)以需求量的頻率作為各需求量的概率,求開(kāi)學(xué)季利潤(rùn)不少于4800元的概率.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)設(shè),且當(dāng)時(shí),不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)為了保障全國(guó)第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行,國(guó)家統(tǒng)計(jì)局從東部選擇江蘇,從中部選擇河北、湖北,從西部選擇寧夏,從直轄市中選擇重慶作為國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū),然后再逐級(jí)確定普查區(qū)域,直到基層的普查小區(qū),在普查過(guò)程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn),然后確定對(duì)象,最后入戶登記,由于種種情況可能會(huì)導(dǎo)致入戶登記不夠順利,這為正式普查提供了寶貴的試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn),在某普查小區(qū),共有50家企事業(yè)單位,150家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶,普查情況如下表所示:普查對(duì)象類別順利不順利合計(jì)企事業(yè)單位401050個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶10050150合計(jì)14060200(1)寫(xiě)出選擇5個(gè)國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)采用的抽樣方法;(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對(duì)象的類別有關(guān)”;(3)以該小區(qū)的個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶為樣本,頻率作為概率,從全國(guó)個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶中隨機(jī)選擇3家作為普查對(duì)象,入戶登記順利的對(duì)象數(shù)記為,寫(xiě)出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.82822.(10分)在中,角所對(duì)的邊分別為,,的面積.(1)求角C;(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望,由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球,所以.表示取出一個(gè)黑球,,所以.表示取出兩個(gè)球,其中一黑一白,,表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇?,,表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?,,所?所以,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,屬于中檔題.2、C【解析】

設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個(gè)不同的解,所以曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問(wèn)題,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.3、C【解析】試題分析:如下圖所示,則,因?yàn)榕c的夾角為,即,所以,設(shè),則,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故選C.考點(diǎn):1.向量加減法的幾何意義;2.正弦定理;3.正弦函數(shù)性質(zhì).4、C【解析】

①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確;②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確;③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過(guò)特殊值法進(jìn)行排除,屬于簡(jiǎn)單題目.5、C【解析】

根據(jù)題意,知當(dāng)時(shí),,由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,當(dāng)時(shí),,∴由對(duì)稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.6、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)出,即可得出虛部.【詳解】解:=,故虛部為-2.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.7、D【解析】

由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為中點(diǎn)到軸的距離.【詳解】解:由拋物線方程可知,,即,.設(shè)則,即,所以.所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.8、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行,則相交或,排除;B.且,故,當(dāng),不能得到且,滿足;C.且,,則相交或,排除;D.內(nèi)的任何直線都與平行,故,若,則內(nèi)的任何直線都與平行,充要條件,排除.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.9、B【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與軸有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn),合乎題意.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.10、A【解析】

根據(jù)題意依次計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列值的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、D【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧?,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算.【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)數(shù)字,,,,,,,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,可得數(shù)列滿足,則,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理,解題關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系,從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達(dá)式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因?yàn)?累加可得.若,注意到當(dāng)時(shí),,不滿足對(duì)任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時(shí),成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對(duì)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實(shí)數(shù)的最大值是2.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問(wèn)題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時(shí)注意結(jié)合參數(shù)的范圍問(wèn)題進(jìn)行分析.屬于難題.14、4【解析】

作出可行域如圖所示:由,解得.目標(biāo)函數(shù),即為,平移斜率為-1的直線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),.15、7【解析】

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),有最大值,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.16、-2【解析】

表示該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng),令其指數(shù)為3,再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為令,所以,則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析,(2)【解析】

(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫(xiě)出的通項(xiàng)即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.即有,所以.(2)由(1)知,數(shù)列的通項(xiàng)為:,故.【點(diǎn)睛】考查等差中項(xiàng)的定義和分組求和的方法;中檔題.18、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析:(1)根據(jù)平面有,利用勾股定理可證明,故平面,再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論;(2)在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用二面角的余弦值為建立方程求得,在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析:(Ⅰ)平面平面因?yàn)?所以,所以,所以,又,所以平面.因?yàn)槠矫?,所以平面平面.(Ⅱ)如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則.設(shè),則取,則為面法向量.設(shè)為面的法向量,則,即,取,則依題意,則.于是.設(shè)直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的正弦值為.19、(1),眾數(shù)為150;(2);(3)【解析】

(1)由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率,由此能求出這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量的眾數(shù)和平均數(shù);(2)由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此能將表示為的函數(shù);(3)利用頻率分布直方圖能求出利潤(rùn)不少于4800元的概率.【詳解】(1)由直方圖可估計(jì)需求量的眾數(shù)為150,由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:∴估計(jì)需求量的平均數(shù)為:(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴(3)由(2)知當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),得∴開(kāi)學(xué)季利潤(rùn)不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查函數(shù)解析式的求法,考查概率的估計(jì),是中檔題,解題時(shí)要注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用.20、(1);(2).【解析】

(1)通過(guò)分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果;(2)將不等式整理為,根據(jù)能成立思想可知,由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),可化為,由,解得;由,解得;由,解得.綜上所述:所以原不等式的解集為.(2),,,,有解,,即,又,,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問(wèn)題;關(guān)鍵是明

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