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吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)區(qū)第四中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若雙曲線的離心率,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為()A. B.2 C. D.12.已知圓:,圓:,點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值是()A. B.9 C.7 D.3.定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A. B. C. D.4.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,則()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交,且交線垂直于 D.α與β相交,且交線平行于5.已知函數(shù),其中表示不超過(guò)的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且,則()A. B. C. D.7.已知的共軛復(fù)數(shù)是,且(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn),若|FA|=2|FB|,則|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.49.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若,則實(shí)數(shù)a的值為()A. B.3 C. D.11.已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.12.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[32二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,若它的體積是,則_________,該幾何體的表面積為_(kāi)________.14.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為_(kāi)_________.15.已知三棱錐,,是邊長(zhǎng)為4的正三角形,,分別是、的中點(diǎn),為棱上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)除外),,若異面直線與所成的角為,且,則______.16.正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心,另外三個(gè)頂點(diǎn)圓柱下底面的圓周上,記正四面體的體積為,圓柱的體積為,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知,且的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14,求實(shí)數(shù)取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列中,(實(shí)數(shù)為常數(shù)),是其前項(xiàng)和,且數(shù)列是等比數(shù)列,恰為與的等比中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,當(dāng)時(shí),的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意,都有.19.(12分)已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a5=45,a2+a6=1.(I)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:…,求{bn}的前n項(xiàng)和.20.(12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,點(diǎn)A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點(diǎn)E.(1)求證:四邊形ACC1A1為矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.21.(12分)(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系,已知曲線(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于,兩點(diǎn),求點(diǎn)到,的距離之積.22.(10分)在中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別是,,,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)雙曲線的解析式及離心率,可求得的值;得漸近線方程后,由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率,則,,解得,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,則雙曲線漸近線方程為,即,不妨取右焦點(diǎn),則由點(diǎn)到直線距離公式可得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用,漸近線方程的求法,點(diǎn)到直線距離公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),,故的最大值為,故選B.考點(diǎn):圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對(duì)稱性,求出所求式子的最大值.3、D【解析】
根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù),得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱,排除AB,計(jì)算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù),即fx+1=-f-x+1,函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別,確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.4、D【解析】
試題分析:由平面,直線滿足,且,所以,又平面,,所以,由直線為異面直線,且平面平面,則與相交,否則,若則推出,與異面矛盾,所以相交,且交線平行于,故選D.考點(diǎn):平面與平面的位置關(guān)系,平面的基本性質(zhì)及其推論.5、C【解析】
根據(jù)表示不超過(guò)的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進(jìn)而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過(guò)的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項(xiàng)A,函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項(xiàng)D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個(gè)定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)題干的理解,屬于函數(shù)新定義問(wèn)題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.6、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計(jì)算能力.7、D【解析】
設(shè),整理得到方程組,解方程組即可解決問(wèn)題.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,所以,解得:,所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,此點(diǎn)位于第四象限.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識(shí),考查了方程思想,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
方法一:設(shè),利用拋物線的定義判斷出是的中點(diǎn),結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線的定義求得,進(jìn)而求得.方法二:設(shè)出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),由拋物線的定義,結(jié)合求得的關(guān)系式,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,寫出韋達(dá)定理,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】方法一:由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為,直線恒過(guò)定點(diǎn),過(guò)分別作于,于,連接,由,則,所以點(diǎn)為的中點(diǎn),又點(diǎn)是的中點(diǎn),則,所以,又所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,所以.方法二:拋物線的準(zhǔn)線方程為,直線由題意設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為,則由拋物線定義得又①②由①②得.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.9、B【解析】
利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.【詳解】若,則,故或,當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行;當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行.所以當(dāng)時(shí),推不出,故“”是“”的不充分條件,當(dāng)時(shí),可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷,前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來(lái)考慮,后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系,本題屬于中檔題.10、B【解析】
根據(jù)題意,求得函數(shù)周期,利用周期性和函數(shù)值,即可求得.【詳解】由已知可知,,所以函數(shù)是一個(gè)以4為周期的周期函數(shù),所以,解得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期的求解,涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬綜合基礎(chǔ)題.11、C【解析】
設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點(diǎn)為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12、A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)fgx二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、;【解析】試題分析:如圖:此幾何體是四棱錐,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,平面平面,并且,,所以體積是,解得,四個(gè)側(cè)面都是直角三角形,所以計(jì)算出邊長(zhǎng),表面積是考點(diǎn):1.三視圖;2.幾何體的表面積.14、【解析】
將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體,體對(duì)角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法,由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知,該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上,該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為,長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,所以球半徑為,體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補(bǔ)體法,通過(guò)補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
取的中點(diǎn),連接,,取的中點(diǎn),連接,,,直線與所成的角為,計(jì)算,,根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案。【詳解】取的中點(diǎn),連接,,依題意可得,,所以平面,所以,因?yàn)椋謩e、的中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以,所以平面,故,故,故兩兩垂直。取的中點(diǎn),連接,,,因?yàn)椋灾本€與所成的角為,設(shè),則,,所以,化簡(jiǎn)得,解得,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長(zhǎng)度,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.16、【解析】
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,求出底面外接圓的半徑與高,代入體積公式求解.【詳解】解:設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,則底面積為,底面外接圓的半徑為,高為.∴正四面體的體積,圓柱的體積.則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),;(2)【解析】
(1)解絕對(duì)值不等式得,根據(jù)不等式的解集為列出方程組,解出即可;(2)求出的圖像與直線及交點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)分割法將四邊形的面積分為兩個(gè)三角形,列出不等式,解不等式即可.【詳解】(1)由得:,,即,解得,.(2)的圖像與直線及圍成的四邊形,,,,.過(guò)點(diǎn)向引垂線,垂足為,則.化簡(jiǎn)得:,(舍)或.故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求法,以及絕對(duì)值不等式在幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【解析】
(1)令可得,即.得到,再利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,再根據(jù)恰為與的等比中項(xiàng)求解,(3)由(2)得到時(shí),,,求得,再代入證明。【詳解】(1)解:令可得,即.所以.時(shí),可得,當(dāng)時(shí),所以.顯然當(dāng)時(shí),滿足上式.所以.,所以數(shù)列是等差數(shù)列,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,恰為與的等比中項(xiàng),所以,解得,所以(3)時(shí),,,而時(shí),,,所以當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,∴對(duì)任意,都有,【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系,等差數(shù)列,等比數(shù)列的定義和性質(zhì)以及數(shù)列放縮的方法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題,19、(I);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則依題設(shè).由,可得.由,得,可得.所以.可得.(Ⅱ)設(shè),則.即,可得,且.所以,可知.所以,所以數(shù)列是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.所以前項(xiàng)和.考點(diǎn):等差數(shù)列通項(xiàng)公式、用數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式.20、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)通過(guò)勾股定理得出,又,進(jìn)而可得平面,則可得到,問(wèn)題得證;(2)如圖,以為原點(diǎn),,,所在直線分別為軸,軸,軸,求出平面的法向量和平面的法向量,利用空間向量的夾角公式可得答案.【詳解】(1)因?yàn)槠矫妫?,又因?yàn)?,,,所以,因此,所以,因此平面,所以,從而,又四邊形為平行四邊形,則四邊形為矩形;(2)如圖,以為原點(diǎn),,,所在直線分別為軸,軸,軸,所以,平面的法向量,設(shè)平面的法向量,由,由,令,即,所以,,所以,所求二面角的余弦值是.【點(diǎn)睛】本題考查空間垂直關(guān)系的證明,考查向量法求二面角的大小,考查學(xué)生計(jì)算能力,是中檔題.21、(1)曲線:,直線的直角坐標(biāo)方程;(2)1.【解析】試題分析:(1)先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線化為普通方程,再根據(jù)將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
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