《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題09一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)全題型壓軸題）含答案及解析

專題09一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①圖象識(shí)別題 1②函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題 3③不等式整數(shù)解問(wèn)題 4④函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題 4⑤不等式恒成立問(wèn)題 6①圖象識(shí)別題1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T(mén)區(qū)第一中學(xué)?？既＃┣€是造型中的精靈，以曲線為元素的LOGO給人簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單的審美感受，某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了如圖所示的雙型曲線LOGO，以下4個(gè)函數(shù)中最能擬合該曲線的是（

）A． B．C． D．4．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）函數(shù)，的圖像大致為（

）A． B．C． D．5．（多選）（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象可以是（

）A． B．C． D．②函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題1．（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）過(guò)點(diǎn)作曲線切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)可以作出三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023春·陜西西安·高二陜西師大附中校考期末）若曲線有三條過(guò)點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為．5．（2023春·湖北襄陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若過(guò)點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.③不等式整數(shù)解問(wèn)題1．（多選）（2023·山東泰安·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式有且只有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．3．（2023春·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，關(guān)于的不等式有且只有四個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．（2023春·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.④函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題1．（2023春·四川宜賓·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為2．（2023春·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)的圖象與曲線的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（2023春·江西撫州·高二江西省樂(lè)安縣第二中學(xué)校考期末）已知函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（2023春·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．5．（2023春·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的切線有且僅有兩條，求的值；(2)若對(duì)于任意，直線與曲線都有唯一交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高二校考期中）已知函數(shù).(1)求的極小值；(2)討論關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù).7．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)令函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)k使得沒(méi)有零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)k的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．⑤不等式恒成立問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)任意的，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為.3．（2023秋·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（2023春·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，若，對(duì)總有成立，求的取值范圍．5．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線，求的取值范圍及切線的條數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

專題09一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①圖象識(shí)別題 1②函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題 5③不等式整數(shù)解問(wèn)題 9④函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題 14⑤不等式恒成立問(wèn)題 21①圖象識(shí)別題1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，故排除A；注意到，則為奇函數(shù)，故可排除B；又注意到時(shí)，，故可排除D.故選：C2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，且，所以函?shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，故選：D3．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T(mén)區(qū)第一中學(xué)?？既＃┣€是造型中的精靈，以曲線為元素的LOGO給人簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單的審美感受，某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了如圖所示的雙型曲線LOGO，以下4個(gè)函數(shù)中最能擬合該曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由函數(shù)，其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以排除B；由函數(shù)，可得，故排除C；由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得且，則，故排除D．由函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，所以A項(xiàng)符合題意.故選：A.4．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）函數(shù)，的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，排除A；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，排除D；對(duì)于B，C，關(guān)鍵看還是，因?yàn)椋?，又，所以，所以，而，所以，所以排除C．故選：B5．（多選）（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象可以是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】因?yàn)榕c均為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除B；當(dāng)時(shí)的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，由于為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮的情況即可，當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故A正確；當(dāng)時(shí)的定義域?yàn)?，由于為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮的情況即可，即，，所以，則時(shí)，時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D正確；當(dāng)時(shí)的定義域?yàn)?，由于為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮的情況即可，此時(shí)，對(duì)于函數(shù)，與軸交于正半軸，對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，無(wú)論是否與軸有交點(diǎn)，函數(shù)在靠近處函數(shù)值均大于，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；故選：AD②函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題1．（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）過(guò)點(diǎn)作曲線切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，則，所以過(guò)的切線方程為，即，故有且僅有兩根，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，，，所以的圖象如下：故有且僅有兩根，則b的取值范圍為．故選：A．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)可以作出三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與相切于點(diǎn)，，，則切線方程為：，又切線過(guò)點(diǎn)，，令，則問(wèn)題等價(jià)于與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，由此可得圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可以作出三條直線與曲線相切.故選：A.3．（2023春·陜西西安·高二陜西師大附中?？计谀┤羟€有三條過(guò)點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，則又，則，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，則，即令，則，則時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，則時(shí)取得極小值，時(shí)取得極大值，又，當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí)，，又由題意得方程有3個(gè)根，則與圖像有3個(gè)交點(diǎn)，則.則曲線有三條過(guò)點(diǎn)的切線時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為.

故答案為：4．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為．【答案】【詳解】令，，則，，設(shè)，則曲線在處切線為，設(shè)，則曲線在處切線為，由題意，消去得，由題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，又當(dāng)時(shí)，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，曲線與曲線有兩條公切線時(shí)，的值為．故答案為：．5．（2023春·湖北襄陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若過(guò)點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，因?yàn)椋?，?令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為將點(diǎn)代入得，整理得，即關(guān)于的方程有三個(gè)不同根，等價(jià)于的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn).因?yàn)?，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.③不等式整數(shù)解問(wèn)題1．（多選）（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，可得，即不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出與的圖象如下圖所示：

由題意及圖象可知，要使不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則，即，解得，故符合題意的有A、B.故選：AB2．（2023春·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式有且只有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋坏仁接星抑挥?個(gè)整數(shù)解即不等式有且只有2個(gè)整數(shù)解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則直線恒過(guò)點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與直線的圖像，如圖所示．由圖像可知，不滿足條件，則，要使不等式有且只有2個(gè)整數(shù)解，則這兩個(gè)整數(shù)解是2和3，則有解得，故答案為：．3．（2023春·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，關(guān)于的不等式有且只有四個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】由，可得，令，解得，令，解得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的最大值為，當(dāng)趨于時(shí)，趨于；當(dāng)趨于時(shí)，趨于，且，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象如圖，

①當(dāng)時(shí)，由不等式，得或，當(dāng)時(shí)，，有無(wú)數(shù)多個(gè)整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，其解集為的子集，不含有整數(shù)解；所以不合題意；②當(dāng)時(shí)，由不等式，當(dāng)?shù)?，得，則解集為，整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；③當(dāng)時(shí)，由不等式，得或，當(dāng)時(shí)，解集為，無(wú)整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴坏仁接星覂H有四個(gè)整數(shù)解，又，，，，且，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以四個(gè)整數(shù)解只能為、、、，所以，即．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.4．（2023春·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】由題意知，關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)正整數(shù)解．設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出的大致圖象，如圖．

設(shè)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，直線AM，BM在圖象下方，由題意可知，和是不等式的兩個(gè)正整數(shù)解，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．5．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高校考期末）已知不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【詳解】原不等式等價(jià)于，設(shè)，，令，得當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取極大值，又，且時(shí)，，因此的圖像如下，

直線恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，只需要滿足，即，解得.則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.④函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題1．（2023春·四川宜賓·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【詳解】令，有三個(gè)零點(diǎn)即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)，或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，極小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象與有三個(gè)交點(diǎn)，即.故答案為：.

2．（2023春·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)的圖象與曲線的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意，得，即，令，由題意，直線與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取極小值，當(dāng)時(shí)，取極大值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，作出的大致圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2023春·江西撫州·高二江西省樂(lè)安縣第二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；，在處的切線方程為：；恒過(guò)定點(diǎn)，若與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則與圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)或時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)；即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.4．（2023春·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，無(wú)極小值；(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．極大值為，無(wú)極小值．（2），定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．令且，則直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)?shù)娜≈到咏?時(shí)，的值接近，的極大值為，又知時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．又知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，當(dāng)?shù)娜≈到咏鼤r(shí)，的值趨向，當(dāng)?shù)娜≈第呄驎r(shí)，的值趨向，所以函數(shù)的大致圖像如圖所示．由圖像可知，要滿足題設(shè)條件，則或，故的取值范圍為．5．（2023春·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的切線有且僅有兩條，求的值；(2)若對(duì)于任意，直線與曲線都有唯一交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)作函數(shù)切線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線方程為，即，又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以.令，則，所以，，遞減；，，遞增；，，遞減.當(dāng)時(shí)，取極小值；當(dāng)時(shí)，取極小值，，時(shí)；時(shí)，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由題意，直線與的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.（2）由題可得有唯一解，即有唯一解．令，若，則與題設(shè)，矛盾，故.又因?yàn)?，；，，結(jié)合題意可得在上單調(diào)遞增，即，所以，結(jié)合（1）可得，所以.6．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高二?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求的極小值；(2)討論關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù).【答案】(1)極小值為(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?令，得，當(dāng)時(shí)，，隨的變化的情況如下：0極小值所以在上的極小值是.（2）當(dāng)，單調(diào)遞減且的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且的取值范圍是.令，，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的解，由（1）知當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解.由的單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值的范圍知，當(dāng)或時(shí)，原方程有唯一解；當(dāng)時(shí)，原方程有兩解.7．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)令函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)k使得沒(méi)有零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)k的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，；(3)【詳解】（1），因?yàn)榍€在點(diǎn)處取得極值，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）由（1），，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；（3）存在，理由如下，由（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；所以，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得的大致圖象如下，

若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則函數(shù)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以.⑤不等式恒成立問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為．【答案】2e【詳解】由題意，可得，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若與直線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，所以該切線方程為，注意到切線過(guò)點(diǎn)，則，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為，即實(shí)數(shù)a的最大值為2e．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)任意的，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為.【答案】/0.5【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，所以的圖象在函數(shù)的圖象上方相切.當(dāng)m>0時(shí),的圖象與x軸的交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上.由圖可知當(dāng)正數(shù)m最小時(shí),直線與在內(nèi)相切.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到.令,解得x=0.所以,所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)代入得：.故答案為：.3．（2023秋·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】依題意，變形為，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，則直線應(yīng)介于函數(shù)與函數(shù)之間，由易知