《高考數(shù)學壓軸題通法訓練•高分必刷系列》專題09一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導數(shù)研究函數(shù)圖象及性質全題型壓軸題）含答案及解析

專題09一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導數(shù)研究函數(shù)圖象及性質）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①圖象識別題 1②函數(shù)切線條數(shù)問題 3③不等式整數(shù)解問題 4④函數(shù)零點，方程根，兩個函數(shù)圖象交點問題 4⑤不等式恒成立問題 6①圖象識別題1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學校考三模）曲線是造型中的精靈，以曲線為元素的LOGO給人簡約而不簡單的審美感受，某數(shù)學興趣小組設計了如圖所示的雙型曲線LOGO，以下4個函數(shù)中最能擬合該曲線的是（

）A． B．C． D．4．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）函數(shù)，的圖像大致為（

）A． B．C． D．5．（多選）（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)的圖象可以是（

）A． B．C． D．②函數(shù)切線條數(shù)問題1．（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）過點作曲線切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，若過點可以作出三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023春·陜西西安·高二陜西師大附中?？计谀┤羟€有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為.4．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為．5．（2023春·湖北襄陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若過點可作三條直線與曲線相切，求實數(shù)a的取值范圍.③不等式整數(shù)解問題1．（多選）（2023·山東泰安·?？寄M預測）已知函數(shù)，若不等式有且只有三個整數(shù)解，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，若不等式有且只有2個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為．3．（2023春·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，關于的不等式有且只有四個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是．4．（2023春·安徽安慶·高二安慶市第二中學?？茧A段練習）已知關于x的不等式的解集中恰有兩個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為.④函數(shù)零點，方程根，兩個函數(shù)圖象交點問題1．（2023春·四川宜賓·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為2．（2023春·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)的圖象與曲線的圖象有3個公共點，則實數(shù)的取值范圍是.3．（2023春·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學校考期末）已知函數(shù)與有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為.4．（2023春·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有兩個零點，求的取值范圍．5．（2023春·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若過點作函數(shù)的切線有且僅有兩條，求的值；(2)若對于任意，直線與曲線都有唯一交點，求實數(shù)的取值范圍.6．（2023春·陜西咸陽·高二?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求的極小值；(2)討論關于的方程的解的個數(shù).7．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習）設函數(shù)，曲線在點處取得極值．(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)令函數(shù)，是否存在實數(shù)k使得沒有零點？若存在，請求出實數(shù)k的范圍；若不存在，請說明理由．⑤不等式恒成立問題1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的最大值為．2．（2023·全國·高三專題練習）對任意的，若關于的不等式恒成立，則的最小值為.3．（2023秋·云南·高三云南民族大學附屬中學?？计谀┮阎坏仁綄θ我夂愠闪ⅲ瑒t實數(shù)的取值范圍是.4．（2023春·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若關于的方程在區(qū)間上恰有2個不同的實數(shù)解，求的取值范圍；(2)設函數(shù)，若，對總有成立，求的取值范圍．5．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有經(jīng)過原點的切線，求的取值范圍及切線的條數(shù)，并說明理由；(3)設函數(shù)的兩個極值點分別為，且滿足，求實數(shù)的取值范圍.

專題09一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導數(shù)研究函數(shù)圖象及性質）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①圖象識別題 1②函數(shù)切線條數(shù)問題 5③不等式整數(shù)解問題 9④函數(shù)零點，方程根，兩個函數(shù)圖象交點問題 14⑤不等式恒成立問題 21①圖象識別題1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】當時，，即在上單調(diào)遞增，故排除A；注意到，則為奇函數(shù)，故可排除B；又注意到時，，故可排除D.故選：C2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】解：因為函數(shù)的定義域為：，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，令，得，當時，，當時，，所以當時，取得極小值，故選：D3．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學?？既＃┣€是造型中的精靈，以曲線為元素的LOGO給人簡約而不簡單的審美感受，某數(shù)學興趣小組設計了如圖所示的雙型曲線LOGO，以下4個函數(shù)中最能擬合該曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由函數(shù)，其定義域為，關于原點對稱，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以排除B；由函數(shù)，可得，故排除C；由函數(shù)，當時，可得且，則，故排除D．由函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，由時，，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，且，所以A項符合題意.故選：A.4．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）函數(shù)，的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A，因為關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，排除A；對于D，因為，所以，排除D；對于B，C，關鍵看還是，因為，所以，又，所以，所以，而，所以，所以排除C．故選：B5．（多選）（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)的圖象可以是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】因為與均為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于軸對稱，故排除B；當時的定義域為，且當時，此時，當或時，由于為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮的情況即可，當時，方程的兩根為，，所以當或時，當時，所以在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故A正確；當時的定義域為，由于為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮的情況即可，即，，所以，則時，時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D正確；當時的定義域為，由于為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮的情況即可，此時，對于函數(shù)，與軸交于正半軸，對稱軸為，開口向上，無論是否與軸有交點，函數(shù)在靠近處函數(shù)值均大于，即，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯誤；故選：AD②函數(shù)切線條數(shù)問題1．（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）過點作曲線切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設切點為，由，則，所以過的切線方程為，即，故有且僅有兩根，設，則，當時，，此時單調(diào)遞增；當，，此時單調(diào)遞減，又當時，，，，所以的圖象如下：故有且僅有兩根，則b的取值范圍為．故選：A．2．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，若過點可以作出三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設過點的切線與相切于點，，，則切線方程為：，又切線過點，，令，則問題等價于與有三個不同的交點，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，由此可得圖象如下圖所示，由圖象可知：當時，與有三個不同的交點，即當時，過點可以作出三條直線與曲線相切.故選：A.3．（2023春·陜西西安·高二陜西師大附中?？计谀┤羟€有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】設點為曲線上一點，則又，則，則曲線在點處的切線方程為，又切線過點，則，即令，則，則時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，則時取得極小值，時取得極大值，又，當時，恒成立，時，，又由題意得方程有3個根，則與圖像有3個交點，則.則曲線有三條過點的切線時實數(shù)的取值范圍為.

故答案為：4．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為．【答案】【詳解】令，，則，，設，則曲線在處切線為，設，則曲線在處切線為，由題意，消去得，由題意，方程有兩個不同的實數(shù)根，令，則，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，故當時，取極大值；當時，取極小值，又當時，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當，即時，直線與的圖象有兩個交點，從而方程有兩個不同的實數(shù)根，所以，曲線與曲線有兩條公切線時，的值為．故答案為：．5．（2023春·湖北襄陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若過點可作三條直線與曲線相切，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，因為，所以，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故實數(shù)的取值范圍是.（2）設切點為，則，所以切線方程為將點代入得，整理得，即關于的方程有三個不同根，等價于的圖象與直線有三個交點.因為，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，所以實數(shù)的取值范圍是.③不等式整數(shù)解問題1．（多選）（2023·山東泰安·?？寄M預測）已知函數(shù)，若不等式有且只有三個整數(shù)解，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】因為定義域為，由，可得，即不等式有且只有三個整數(shù)解，令，則，所以當時，當時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當時，當時，易知函數(shù)的圖象恒過點，在同一平面直角坐標系中作出與的圖象如下圖所示：

由題意及圖象可知，要使不等式有且只有三個整數(shù)解，則，即，解得，故符合題意的有A、B.故選：AB2．（2023春·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，若不等式有且只有2個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為．不等式有且只有2個整數(shù)解即不等式有且只有2個整數(shù)解，設，則，當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)，又，當時，，當時，，設，則直線恒過點，在同一直角坐標系中，作出函數(shù)與直線的圖像，如圖所示．由圖像可知，不滿足條件，則，要使不等式有且只有2個整數(shù)解，則這兩個整數(shù)解是2和3，則有解得，故答案為：．3．（2023春·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學校考期中）已知函數(shù)，關于的不等式有且只有四個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】由，可得，令，解得，令，解得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的最大值為，當趨于時，趨于；當趨于時，趨于，且，故當時，，當時，，函數(shù)的圖象如圖，

①當時，由不等式，得或，當時，，有無數(shù)多個整數(shù)解；當時，其解集為的子集，不含有整數(shù)解；所以不合題意；②當時，由不等式，當?shù)?，得，則解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；③當時，由不等式，得或，當時，解集為，無整數(shù)解；當時，因為不等式有且僅有四個整數(shù)解，又，，，，且，又因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以四個整數(shù)解只能為、、、，所以，即．所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.4．（2023春·安徽安慶·高二安慶市第二中學?？茧A段練習）已知關于x的不等式的解集中恰有兩個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】由題意知，關于的不等式恰有兩個正整數(shù)解．設，則，當或時，；當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出的大致圖象，如圖．

設的圖象恒過定點，設，則，又當時，直線AM，BM在圖象下方，由題意可知，和是不等式的兩個正整數(shù)解，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．5．（2023春·吉林長春·高二長春十一高?？计谀┮阎坏仁角∮?個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【詳解】原不等式等價于，設，，令，得當時，，所以在上單調(diào)遞增，當時，，所以在上單調(diào)遞減，當時，取極大值，又，且時，，因此的圖像如下，

直線恒過點.當有無數(shù)個整數(shù)解，不滿足條件；當時，只需要滿足，即，解得.則實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.④函數(shù)零點，方程根，兩個函數(shù)圖象交點問題1．（2023春·四川宜賓·高二校考期中）已知函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【詳解】令，有三個零點即與的圖象有三個交點，，當，或時，，當時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，極小值為，當時，，當時，，結合圖象與有三個交點，即.故答案為：.

2．（2023春·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)的圖象與曲線的圖象有3個公共點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意，得，即，令，由題意，直線與的圖象有3個公共點，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，當時，取極小值，當時，取極大值，當時，當時，作出的大致圖象，如圖，由圖可知，當時，直線與的圖象有3個公共點，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2023春·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學?？计谀┮阎瘮?shù)與有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】的定義域為，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；，在處的切線方程為：；恒過定點，若與有兩個不同交點，則與圖象如下圖所示，由圖象可知：當或時，與有兩個不同交點；即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.4．（2023春·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有兩個零點，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，無極小值；(2)【詳解】（1）當時，，定義域為，，當時，，當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．極大值為，無極小值．（2），定義域為，當時，，所以不是函數(shù)的零點，要使有兩個零點，則方程有兩個不同的實數(shù)根．令且，則直線與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點．，令，解得或，當時，，當時，，當時，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當?shù)娜≈到咏?時，的值接近，的極大值為，又知時，，當時，．又知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，當?shù)娜≈到咏鼤r，的值趨向，當?shù)娜≈第呄驎r，的值趨向，所以函數(shù)的大致圖像如圖所示．由圖像可知，要滿足題設條件，則或，故的取值范圍為．5．（2023春·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若過點作函數(shù)的切線有且僅有兩條，求的值；(2)若對于任意，直線與曲線都有唯一交點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設過點作函數(shù)切線的切點為，因為，所以切線方程為，即，又因為切線過點，所以.令，則，所以，，遞減；，，遞增；，，遞減.當時，取極小值；當時，取極小值，，時；時，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由題意，直線與的圖象有且僅有兩個交點，所以.（2）由題可得有唯一解，即有唯一解．令，若，則與題設，矛盾，故.又因為，；，，結合題意可得在上單調(diào)遞增，即，所以，結合（1）可得，所以.6．（2023春·陜西咸陽·高二?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求的極小值；(2)討論關于的方程的解的個數(shù).【答案】(1)極小值為(2)答案見解析【詳解】（1）的定義域為，.令，得，當時，，隨的變化的情況如下：0極小值所以在上的極小值是.（2）當，單調(diào)遞減且的取值范圍是；當時，單調(diào)遞增且的取值范圍是.令，，兩函數(shù)圖象交點的橫坐標是的解，由（1）知當時，原方程無解.由的單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值的范圍知，當或時，原方程有唯一解；當時，原方程有兩解.7．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習）設函數(shù)，曲線在點處取得極值．(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)令函數(shù)，是否存在實數(shù)k使得沒有零點？若存在，請求出實數(shù)k的范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，；(3)【詳解】（1），因為曲線在點處取得極值，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意；（2）由（1），，當，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；（3）存在，理由如下，由（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；所以，，，當時，，當時，，可得的大致圖象如下，

若函數(shù)沒有零點，則函數(shù)與的圖象沒有交點，所以.⑤不等式恒成立問題1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的最大值為．【答案】2e【詳解】由題意，可得，則，當時，；當時，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若與直線相切，設切點為，則切線斜率，所以該切線方程為，注意到切線過點，則，整理得，解得或，當時，；當時，，結合圖象，可得實數(shù)a的取值范圍為，即實數(shù)a的最大值為2e．2．（2023·全國·高三專題練習）對任意的，若關于的不等式恒成立，則的最小值為.【答案】/0.5【詳解】因為關于的不等式恒成立，所以的圖象在函數(shù)的圖象上方相切.當m>0時,的圖象與x軸的交點在x軸的負半軸上.由圖可知當正數(shù)m最小時,直線與在內(nèi)相切.對函數(shù)求導得到.令,解得x=0.所以,所以切點的坐標為，把點代入得：.故答案為：.3．（2023秋·云南·高三云南民族大學附屬中學?？计谀┮阎坏仁綄θ我夂愠闪?，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】依題意，變形為，對任意恒成立，即對任意恒成立，設，則直線應介于函數(shù)與函數(shù)之間，由易知