《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題18數(shù)列（解答題壓軸題）含答案及解析

專題18數(shù)列（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①數(shù)列求通項(xiàng)，求和 1②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題 5③數(shù)列與函數(shù) 8④數(shù)列與概率 11①數(shù)列求通項(xiàng)，求和1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)集合，將集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為，求．2．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，從①；②，；③中任選一個(gè)條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.3．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（取整函數(shù)表示不超過的整數(shù)，如），求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．6．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得不等式成立的n的最小值．7．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┮阎獢?shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，證明：.9．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，，成等差數(shù)列．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)若，的前項(xiàng)和．證明：．12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）①；②；③.②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題1．（2023·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測）圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實(shí)數(shù)．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，請說明理由．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在曲線上.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的值.3．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023·浙江·二模）記為正數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是等差數(shù)列.(1)求；(2)求最小的正整數(shù)，使得存在數(shù)列，.5．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）對(duì)于數(shù)列，，其中，對(duì)任意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”.已知為數(shù)列的“接近數(shù)列”，且，.(1)若（是正整數(shù)），求，，，的值；(2)若（是正整數(shù)），是否存在（是正整數(shù)），使得，如果存在，請求出的最小值，如果不存在，請說明理由；(3)若為無窮等差數(shù)列，公差為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是.6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出以下條件：①，，成等比數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③是與的等差中項(xiàng)．從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，______．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．③數(shù)列與函數(shù)1．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中校考模擬預(yù)測）設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對(duì)任意的、均成立，則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若，試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:時(shí)，恒成立)(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對(duì)任意的、，均有;(3)設(shè)為定義在上函數(shù)，且存在正常數(shù)使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列滿足:，試證明:對(duì)任意的正整數(shù).2．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)記，，，．證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)．若對(duì)任意均有成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數(shù)使得對(duì)任意，，都有成立?若存在，求的最小可能值；若不存在，說明理由．3．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期中）已知，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)容易證明對(duì)任意的都成立，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，、為函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)均大于1的不同兩點(diǎn)，試證明：；(3)數(shù)列滿足，，證明：．4．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)令，討論的單調(diào)性；(2)證明：；(3)若，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是其定義域內(nèi)的區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)，而是上的嚴(yán)格減函數(shù)，則稱是上的“弱增函數(shù)”.若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，而是嚴(yán)格減數(shù)列，則稱是“弱增數(shù)列”.(1)判斷函數(shù)是否為上的“弱增函數(shù)”，并說明理由（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，若是上的“弱增函數(shù)”，求的最大值；(3)已知等差數(shù)列是首項(xiàng)為4的“弱增數(shù)列”，且公差d是偶數(shù).記的前項(xiàng)和為，設(shè)是正整數(shù)，常數(shù)，若存在正整數(shù)和，使得且，求所有可能的值.6．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對(duì)于任意，函數(shù)，在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)大于0的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列．問：是否存在實(shí)數(shù)a使得中的部分項(xiàng)：，，，（其中時(shí)，）構(gòu)成一個(gè)無窮等比數(shù)列若存在；求出a；若不存在請說明理由．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列公差為，前n項(xiàng)和為.(1)若，，求的通項(xiàng)公式；(2)若，、、成等比數(shù)列，且存在正整數(shù)p、，使得與均為整數(shù)，求的值；(3)若，證明對(duì)任意的等差數(shù)列，不等式恒成立.④數(shù)列與概率1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一部電視連續(xù)劇共有集，某同學(xué)看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的觀看計(jì)劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的集電視劇隨機(jī)分配在天內(nèi)；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知這部電視劇最精彩的部分在第集，設(shè)該同學(xué)觀看第一集后的第天觀看該集．(1)求的分布列；(2)證明：最有可能在第天觀看最精彩的第集．2．（2023春·河北唐山·高二?？计谀┑?2屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?．（2023·全國·高三專題練習(xí)）小明進(jìn)行射擊練習(xí)，他第一次射擊中靶的概率為0.7，從第二次射擊開始，若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為0.9，否則中靶概率為0.7.(1)求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；(2)①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)校籃球隊(duì)30名同學(xué)按照1，2，…，30號(hào)站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號(hào)傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第號(hào)同學(xué)得到球后傳給號(hào)同學(xué)的概率為，傳給號(hào)同學(xué)的概率為，直到傳到第29號(hào)（投籃練習(xí)）或第30號(hào)（投籃練習(xí)）時(shí)，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，30號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第號(hào)的概率為．(1)求的值；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)比較29號(hào)和30號(hào)投籃命中的概率大?。?．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，隨機(jī)抽查了高一年級(jí)100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)根據(jù)整個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)成績可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算，（1）中樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機(jī)變量，則，，)(3)該年級(jí)1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計(jì)了一個(gè)每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時(shí)，就有機(jī)會(huì)參與一次小程序中”玩游戲，得獎(jiǎng)勵(lì)積分”的活動(dòng)，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎(jiǎng)品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點(diǎn)一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點(diǎn)擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎(jiǎng)勵(lì)0分）或第15格（獎(jiǎng)勵(lì)5分）時(shí)，游戲結(jié)束，每天的積分自動(dòng)累加，設(shè)小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求（獲勝的概率）的值.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年4月23日是第27個(gè)“世界讀書日”，某校組織“讀書使青春展翅，知識(shí)讓生命飛翔”主題知識(shí)競賽，規(guī)定參賽同學(xué)每答對(duì)一題得2分，答錯(cuò)得1分，不限制答題次數(shù).已知小明能正確回答每題的概率都為，且每次回答問題是相互獨(dú)立的，記小明得分的概率為，.(1)求，的值；(2)求.7．（2023春·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）某商場擬在周年店慶進(jìn)行促銷活動(dòng)，對(duì)一次性消費(fèi)超過200元的顧客，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若向上點(diǎn)數(shù)不超過4點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為9分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為10分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行9輪游戲.(1)當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若累計(jì)得分為的概率為，初始分?jǐn)?shù)為0分，記（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競賽活動(dòng)，該學(xué)校準(zhǔn)備了個(gè)相同的箱子，其中第個(gè)箱子中有個(gè)數(shù)學(xué)題，個(gè)物理題．每一輪競賽活動(dòng)規(guī)則如下：任選一個(gè)箱子，依次抽取三個(gè)題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動(dòng)結(jié)束；若此輪活動(dòng)中，三個(gè)題目全部答對(duì)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品．(1)已知學(xué)生甲在每一輪活動(dòng)中，都抽中了個(gè)數(shù)學(xué)題，個(gè)物理題，且甲答對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)題的概率為，答對(duì)每一個(gè)物理題的概率為．①求學(xué)生甲第一輪活動(dòng)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品的概率；②已知，學(xué)生甲理論上至少要進(jìn)行多少輪活動(dòng)才能獲得四個(gè)獎(jiǎng)品？并求此時(shí)、的值．(2)若學(xué)生乙只參加一輪活動(dòng)，求乙第三次抽到物理題的概率．

專題18數(shù)列（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①數(shù)列求通項(xiàng)，求和 1②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題 11③數(shù)列與函數(shù) 18④數(shù)列與概率 28①數(shù)列求通項(xiàng)，求和1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)集合，將集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，且；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，∴（），∴當(dāng)時(shí)，，即，則，∴．綜上，對(duì)任意都成立．（2），集合的非空子集有個(gè)，其中最小元素為1的集合中，含1個(gè)元素的集合有1個(gè)，含2個(gè)元素的集合有個(gè)，含3個(gè)元素的集合有個(gè)，……，含個(gè)元素的集合有個(gè)，所以最小元素為1的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，同理，最小元素為2的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，……，最小元素為的子集個(gè)數(shù)為1個(gè)，∴，，∴，則．2．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，從①；②，；③中任選一個(gè)條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)證明見解析.【詳解】（1）選擇①：因?yàn)?，則，兩式相減得，即，而，，則，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.選擇②：因?yàn)?，則，于是當(dāng)時(shí)，，即，由，得，即有，因此，，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.選擇③：因?yàn)椋?，則，即，顯然，于是，即是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而，即，因此，而滿足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，則，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，于是，則，所以.3．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【詳解】（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴.（2）因?yàn)椋浴喈?dāng)時(shí)，，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（取整函數(shù)表示不超過的整數(shù)，如），求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【詳解】（1），，即，當(dāng)時(shí)，，又適合上式，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，.（2），，則，，.5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由已知得，因?yàn)椋?，得，又．所以，所以，?duì)于數(shù)列，因?yàn)?/p>

①當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，

②，由①②得，即，又，也適合上式，故，當(dāng)時(shí)，又，所以；（2）由（1）可得：，則，則數(shù)列的前項(xiàng)和為：，所以：．6．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得不等式成立的n的最小值．【答案】(1)(2)20【詳解】（1）因?yàn)樗裕?，，所以．又因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，，所以是一個(gè)增數(shù)列，因?yàn)?，，所以滿足題意的n的最小值是20．7．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┮阎獢?shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，可得，解得；當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：令，由，可得，所以，因?yàn)椋傻?，所?8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所?所以，所以為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差，所以，所以（2）證明：因?yàn)?，所?所以，因?yàn)?，所以，?9．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時(shí)，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，也滿足上式．故．（2）由（1）可知：．記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上：10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，取倒得，所以，即，即，因?yàn)?，所以是，的等比?shù)列，所以.（2）在之間有2個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，合計(jì)個(gè)3，所以.11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，，成等差數(shù)列．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)若，的前項(xiàng)和．證明：．【答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，成等比數(shù)列，，得．，則得，．又成等差數(shù)列，，，，．（2）證明：，==若為偶數(shù)，，為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，取最大值，且，又，．若為奇數(shù)，，為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，取最小值，且，又，．所以，．12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）①；②；③.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【詳解】（1）因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)上述式子恒成立，當(dāng)時(shí)兩邊同除可得，即，所以為常數(shù)數(shù)列，即，所以，即，當(dāng)時(shí)上述也成立，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（2）設(shè)的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得，所以；若選①，則，所以.若選②，則，所以.若選③，則，所以.②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題1．（2023·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實(shí)數(shù)．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【詳解】（1）設(shè)，第一行從左到右成等差數(shù)列的公差為，則，由，得，即有，于是，又，解得，因此，所以，即．（2）由（1）知，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式等價(jià)于恒成立，而恒成立，則；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不等式等價(jià)于恒成立，而恒成立，則，因此，所以存在，使得恒成立．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在曲線上.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）將點(diǎn)代入曲線得：，故，又，符合上式，所以，則，故為1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）可知：，若，則，此時(shí)，易知單調(diào)遞增，，即；若，則，此時(shí)，易知單調(diào)遞減，故，故又時(shí)，，，即；綜上所述，對(duì)于，滿足不等式恒成立.3．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，又不滿足上式，所以.（2）由（1）知，∴，∴，①，②①?②得：，整理得，又因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)，恒成立，所以，∵，∴在上單調(diào)遞增，，由，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（2023·浙江·二模）記為正數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是等差數(shù)列.(1)求；(2)求最小的正整數(shù)，使得存在數(shù)列，.【答案】(1)1(2)3【詳解】（1）由題意是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，則，故.（2）由（1）可知，一方面，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，由于m為正整數(shù)，故，另一方面，時(shí)，﹐滿足條件，綜上所述，正整數(shù)m的最小值是3．5．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）對(duì)于數(shù)列，，其中，對(duì)任意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”.已知為數(shù)列的“接近數(shù)列”，且，.(1)若（是正整數(shù)），求，，，的值；(2)若（是正整數(shù)），是否存在（是正整數(shù)），使得，如果存在，請求出的最小值，如果不存在，請說明理由；(3)若為無窮等差數(shù)列，公差為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是.【答案】(1)，，，(2)存在，(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉閿?shù)列的“接近數(shù)列”，，所以，只能是，，，；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即，得，進(jìn)一步有，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即，得，進(jìn)一步有，綜上所述：，由前項(xiàng)和公式化簡得，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令無解；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，所以，，即.因此，存在（是正整數(shù)），使得，且；（3）充要條件為：.①若時(shí)，由題意對(duì)于任意正整數(shù)均有恒成立，且，則，，從而，即.因?yàn)?，，所以，?因此為等差數(shù)列，且公差也為；②若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，又，即，亦即對(duì)任意正整數(shù)都成立，所以，，又，得.因此，所求充要條件為.6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出以下條件：①，，成等比數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③是與的等差中項(xiàng)．從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，______．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）選①，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，有，化簡得．則，，所以的通項(xiàng)公式為．選②，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，有，化簡得，即，解得，則，所以的通項(xiàng)公式為．選③，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由是與的等差中項(xiàng)，得，即，則有，化簡得，即，解得，則，所以的通項(xiàng)公式為．（2）由是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，由（1）知，即有，則，于是得，兩式相減得：，因此，又，不等式，等價(jià)于，于是得，恒成立，令，則，則時(shí)，，即數(shù)列遞增，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．③數(shù)列與函數(shù)1．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對(duì)任意的、均成立，則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若，試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:時(shí)，恒成立)(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對(duì)任意的、，均有;(3)設(shè)為定義在上函數(shù)，且存在正常數(shù)使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列滿足:，試證明:對(duì)任意的正整數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)，由對(duì)任意的、，，可知函數(shù)是上的“平緩函數(shù)”.對(duì)于函數(shù)，由對(duì)任意的、，，因此函數(shù)也是上的“平緩函數(shù)”；（2）由已知可得，由于函數(shù)是周期函數(shù)，故不妨設(shè)、.當(dāng)時(shí)，由為上的“平緩函數(shù)”得；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，，此時(shí)由為上的“平緩函數(shù)”得綜上所述，命題得證；（3）由為上的“平緩函數(shù)”，且得，則對(duì)任意的，，因此2．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)記，，，．證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)．若對(duì)任意均有成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數(shù)使得對(duì)任意，，都有成立?若存在，求的最小可能值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).【詳解】（1）由題，，兩邊取倒數(shù)得，，即，所以數(shù)列為首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列.（2）令，，則恒成立.,當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增.又，所以則成立.故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，故在單調(diào)遞減；當(dāng)，，故在單調(diào)遞增.故與矛盾.綜上，，所以m的最大值是.（3）令，，則，所以在單調(diào)遞減，又，所以，即.令分別取得，，，，累加得，即整理得要使存在正整數(shù)使得對(duì)任意，，都有成立，只需，即，化簡得，所以.又且為正整數(shù)，故.所以存在正整數(shù)使得對(duì)任意，，都有成立，的最小可能值是.3．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎?，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)容易證明對(duì)任意的都成立，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，、為函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)均大于1的不同兩點(diǎn)，試證明：；(3)數(shù)列滿足，，證明：．【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，令，解得，令，解得，所以函?shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以在恒成立，又由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的圖象始終夾在直線和直線之間，且的圖象不會(huì)和直線和直線相交，又因?yàn)橹本€和直線的夾角為，因此恒成立，命題得證.（3），恒成立，且，所以當(dāng)時(shí)，，又由（1）可知數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，，，，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，即即，所以，則，所以.4．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)令，討論的單調(diào)性；(2)證明：；(3)若，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1），而，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上遞減，上遞減；②當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得.所以在上遞減，在上遞減，在上遞增；③當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得.所以在上遞減，在上遞減，在上遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞減，在上遞增.（2）由（1）得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，此時(shí)，又當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立.令，得到，.（3）①，當(dāng)時(shí)，不等式顯然，所以此時(shí)不成立；②，不等式顯然成立.③，令，則，令，則.所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以，令，則，則，令，即，則，所以當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增則，所以.綜上所述，.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是其定義域內(nèi)的區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)，而是上的嚴(yán)格減函數(shù)，則稱是上的“弱增函數(shù)”.若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，而是嚴(yán)格減數(shù)列，則稱是“弱增數(shù)列”.(1)判斷函數(shù)是否為上的“弱增函數(shù)”，并說明理由（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，若是上的“弱增函數(shù)”，求的最大值；(3)已知等差數(shù)列是首項(xiàng)為4的“弱增數(shù)列”，且公差d是偶數(shù).記的前項(xiàng)和為，設(shè)是正整數(shù)，常數(shù)，若存在正整數(shù)和，使得且，求所有可能的值.【答案】(1)是上的“弱增函數(shù)”，理由見解析(2)1(3)所有可能的值為和【詳解】（1）函數(shù)是上的“弱增函數(shù)”，理由如下：顯然，是上的嚴(yán)格增函數(shù)，對(duì)于函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故是上的嚴(yán)格減函數(shù)，從而是上的“弱增函數(shù)”.（2）記，由題意得，，由是上的“弱增函數(shù)”可得函數(shù)是上的嚴(yán)格增函數(shù)，而是上的嚴(yán)格減函數(shù)，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，且是區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)，令，則，當(dāng)，即時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)是區(qū)間上的嚴(yán)格減函數(shù)，由是上的“弱增函數(shù)”，得，所以，所以的最大值為1.（3），由是“弱增數(shù)列”得，即.又因?yàn)閐是偶數(shù)，所以，從而.故，由得，所以當(dāng)時(shí)，，即，故若，則不存在和，使得.從而.若，解得，滿足；若，解得，滿足；若，解得，不滿足.當(dāng)時(shí)，，故不存在大于5的正整數(shù)，使得.綜上，所有可能的值為和.6．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對(duì)于任意，函數(shù)，在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)大于0的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列．問：是否存在實(shí)數(shù)a使得中的部分項(xiàng)：，，，（其中時(shí)，）構(gòu)成一個(gè)無窮等比數(shù)列若存在；求出a；若不存在請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；【詳解】（1）解：由題知，所以，令得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（2）解：當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)只需即可，即因?yàn)闉檎麛?shù)，，所以對(duì)一切成立因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．（3）解：由于得，下面證明時(shí)滿足題意.①，則．則．由（2），是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以．所以，是恒為1的常數(shù)列，符合題意．②．，由于是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以．，由于是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以．所以，是嚴(yán)格增數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列也為嚴(yán)格增數(shù)列．所以，．當(dāng)時(shí)，．但這與矛盾故不符合題意．③時(shí)，，由于是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以．，由于是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以．所以，是嚴(yán)格減數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列也為嚴(yán)格減數(shù)列．所以，．當(dāng)時(shí)，．但這與矛盾故不符合題意．綜上，使數(shù)列部分項(xiàng)可以構(gòu)成等比數(shù)列的充要條件是：．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列公差為，前n項(xiàng)和為.(1)若，，求的通項(xiàng)公式；(2)若，、、成等比數(shù)列，且存在正整數(shù)p、，使得與均為整數(shù)，求的值；(3)若，證明對(duì)任意的等差數(shù)列，不等式恒成立.【答案】(1)；(2)15；(3)證明見解析．【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，，所以；（2）設(shè)的公差為，由、、成等比數(shù)列得，，∵，∴，，都是正整數(shù)，，都是整數(shù)，顯然是正整數(shù)，設(shè)，（都是正整數(shù)），代入得，∴，，則，若，，則，不合題意，若，則，，若，，則，，不合題意，若，，則，，所以或，即．（3）的定義域是R，，∴是奇函數(shù)，又，設(shè)，則，，從而，即，所以是增函數(shù)，是等差數(shù)列，則，若（），則，，，，（），∴，∴，若（），則，，，，（），∴，∴，綜上，對(duì)任意的等差數(shù)列，．④數(shù)列與概率1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一部電視連續(xù)劇共有集，某同學(xué)看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的觀看計(jì)劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的集電視劇隨機(jī)分配在天內(nèi)；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知這部電視劇最精彩的部分在第集，設(shè)該同學(xué)觀看第一集后的第天觀看該集．(1)求的分布列；(2)證明：最有可能在第天觀看最精彩的第集．【答案】(1)分布列見解析(2)證明見解析【詳解】（1）要在第一集后的第天中觀看后集電視劇，考慮第集在時(shí)的概率，則在第天要看集（即第2集到第集），在第天看第集，在第天要看第集（即最后一集），所以，，解得，且，故的分布列是：（2）設(shè)，，下面求中的最大項(xiàng)，因?yàn)?，由于，則，，所以，即，解得，且，所以時(shí)，有，同理可得時(shí)，有．所以，所以中的最大項(xiàng)為，即最有可能在第天觀看第集．2．（2023春·河北唐山·高二?？计谀┑?2屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。敬鸢浮?1)分布列見解析；期望為(2)①證明見解析；②【詳解】（1）方法一：的所有可能取值為，在一次撲球中，撲到點(diǎn)球的概率，所以，，所以的分布列如下：0123方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)可能的取值為，易知，所以，故的分布列為：0123所以的期望．（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，即，又，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．②由①可知，所以，所以，故．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）小明進(jìn)行射擊練習(xí)，他第一次射擊中靶的概率為0.7，從第二次射擊開始，若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為0.9，否則中靶概率為0.7.(1)求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；(2)①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.【答案】(1)(2)①第2次中靶的概率為，第3次中靶的概率為；②小明第n次中靶的概率為【詳解】（1）小明射擊3次恰有2次中靶包括以下三種情況：第一種：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率為；第二種：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率為；第三種：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率為;所以，小明射擊3次恰有2次中靶的概率為（2）小明第2次中靶的概率由以下兩種情況組成：第一種：第一次中靶、第二次也中靶，其概率為；第二種：第一次未中靶、第二次中靶，其概率為；所以，小明第2次中靶的概率為.因此，小明第2次未中靶的概率為同理，第3次中靶的概率包括以下兩種情況：第一種：第二次中靶、第三次也中靶，其概率為；第二種：第二次未中靶、第三次中靶，其概率為；則小明第3次中靶的概率為②設(shè)小明第n次中靶的概率為，則第次中靶的概率為，第n次中靶的概率由以下兩種情況組成：第一種：第次中靶，第n次也中靶，其概率為；第二種：第次未中靶，第n次中靶，其概率為；第n次中靶的概率即，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；所以，即當(dāng)時(shí)，符合該式；所以，小明第n次中靶的概率為4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)?；@球隊(duì)30名同學(xué)按照1，2，…，30號(hào)站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號(hào)傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第號(hào)同學(xué)得到球后傳給號(hào)同學(xué)的概率為，傳給號(hào)同學(xué)的概率為，直到傳到第29號(hào)（投籃練習(xí)）或第30號(hào)（投籃練習(xí)）時(shí)，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，30號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第號(hào)的概率為．(1)求的值；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)比較29號(hào)和30號(hào)投籃命中的概率大?。敬鸢浮?1)(2)證明見解析(3)29號(hào)投籃命中概率大于30號(hào)投籃命中概率．【詳解】（1）解：依題意，籃球傳到4號(hào)有以下三種途徑：1號(hào)傳2號(hào)傳3號(hào)傳4號(hào)其概率為；1號(hào)傳2號(hào)傳4號(hào)其概率為；1號(hào)傳3號(hào)傳4號(hào)其概率為，因此．（2）解：依題意籃球傳到第號(hào)，再傳給號(hào)其概率為；籃球傳到第號(hào)，再傳給號(hào)其概率為，因此有，可得，且，所以是首先為，公比為的等比數(shù)列．（3）解：，，，，，，由累加法，可得，所以，，所以號(hào)投籃命中的概率為號(hào)投籃命中的概率為，因?yàn)?，所?9號(hào)投籃命中概率大于30號(hào)投籃命中概率．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，隨機(jī)抽查了高一年級(jí)100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)根據(jù)整個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)成績可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算，（1）中樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機(jī)變量，則，，)(3)該年級(jí)1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計(jì)了一個(gè)每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時(shí)，就有機(jī)會(huì)參與一次小程序中”玩游戲，得獎(jiǎng)勵(lì)積分”的活動(dòng)，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎(jiǎng)品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點(diǎn)一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點(diǎn)擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎(jiǎng)勵(lì)0分）或第15格（獎(jiǎng)勵(lì)5分）時(shí)，游戲結(jié)束，每天的積分自動(dòng)累加，設(shè)小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求（獲勝的概率）的值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析，【詳解