備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)真題題源解密突破01與三角形、四邊形、圓有關(guān)的計(jì)算與證明（含圖形變化）含答案及解析

重難點(diǎn)突破突破01與三角形、四邊形、圓有關(guān)的計(jì)算與證明（含圖形變化）目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一與三角形有關(guān)的計(jì)算與證明?考向二與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明?考向三與圓有關(guān)的計(jì)算與證明與三角形、四邊形、圓有關(guān)的計(jì)算，每年連續(xù)考查，與三角形有關(guān)的計(jì)算，常以一般三角形或特殊三角形為背景，結(jié)合全等、相似、勾股定理考查求線段長(zhǎng)或角度；與四邊形有關(guān)的計(jì)算，考查的形式有矩形、正方形的折疊求線段長(zhǎng)或角度，矩形與坐標(biāo)系結(jié)合求點(diǎn)坐標(biāo)；與圓有關(guān)的計(jì)算，以直角三角形和圓為背景，涉及切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)或角度.?考向一與三角形有關(guān)的計(jì)算與證明1．（2023?江西）如圖，在?ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°）得到AP，連接PC，PD．當(dāng)△PCD為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為．2．（2022?南昌）問(wèn)題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：①如圖1，在正三角形ABC中，M，N分別是AC，AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝60°，則BM＝CN；②如圖2，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝90°，則BM＝CN．然后運(yùn)用類(lèi)比的思想提出了如下命題；③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝108°，則BM＝CN．任務(wù)要求：（1）請(qǐng)你從①，②，③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問(wèn)當(dāng)∠BON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM＝CN成立；（不要求證明）②如圖5，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝108°時(shí)，試問(wèn)結(jié)論BM＝CN是否還成立．若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022?萊蕪）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2．如圖，將直角頂點(diǎn)B放在原點(diǎn)，點(diǎn)A放在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A也隨之在y軸上向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B停止移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為．4．（2023?濟(jì)寧）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，，則BD＝5．（2022?武漢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是 ．6．（2023?衢州）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于∠BAC內(nèi)一點(diǎn)F．連結(jié)AF并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G．連結(jié)DG，EG．添加下列條件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC7．（2023?鞍山）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M為CD邊上一點(diǎn)，連接AM，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，在AM，AN上分別截取AE，AF，使AE＝AF＝BC，連接EF，交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H．若AM＝，CH＝2，則AG的長(zhǎng)為．8．（2022?襄陽(yáng)）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接AC，BC，AD，AD與BC相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥BC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若＝，CG＝2，求陰影部分的面積．9．（2022?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于F，BG⊥AE于G，BG＝，則△EFC的周長(zhǎng)為（）A．11 B．10 C．9 D．8?考向二與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明1．（2023?十堰）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD上的點(diǎn)，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面積等于24，BD＝8，則EF+GH＝．2．（2022?黔東南州）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長(zhǎng)為（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+13．（2019?撫順）如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，連接EM，MF，F(xiàn)N，NE，要使四邊形EMFN為正方形，則需添加的條件是（）A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC5．（2022?賀州）如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，EF是中位線，EG⊥AB于G，F(xiàn)H⊥AB于H，梯形的高h(yuǎn)＝（AB+DC）．沿著GE，HF分別把△AGE，△BHF剪開(kāi)，然后按圖中箭頭所指方向，分別繞著點(diǎn)E，F(xiàn)旋轉(zhuǎn)180°，將會(huì)得到一個(gè)什么樣的四邊形？簡(jiǎn)述理由．6．（2022?鄂州）如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2，如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBn?nDn．下列結(jié)論正確的是（）①四邊形A4B4C4D4是菱形；②四邊形A3B3C3D3是矩形；③四邊形A7B7C7D7周長(zhǎng)為；④四邊形AnBn?nDn面積為．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④7．（2022?阿壩州）順次連接菱形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形8．（2022?呼和浩特）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)．若AC＝8，BD＝6，則四邊形EFGH的面積為．9．（2021?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點(diǎn)四邊形EFGH一定是；A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形（2）若四邊形ABCD的面積為S1，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1＝S2；（3）在四邊形ABCD中，沿中點(diǎn)四邊形EFGH的其中三邊剪開(kāi)，可得三個(gè)小三角形，將這三個(gè)小三角形與原圖中未剪開(kāi)的小三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)畫(huà)出一種拼接示意圖，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)全等的三角形．10．（2023?朝陽(yáng)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接EA，將線段EA繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在射線CB上的點(diǎn)F處，連接EC．【問(wèn)題引入】（1）請(qǐng)你在圖1或圖2中證明EF＝EC（選擇一種情況即可）；【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在（1）中你選擇的圖形上繼續(xù)探索：延長(zhǎng)FE交直線CD于點(diǎn)M．將圖形補(bǔ)充完整，猜想線段DM和線段BF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，AB＝3，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)N，使NE＝AE，連接DN．當(dāng)△ADN的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段DE的長(zhǎng)．．?考向三與圓有關(guān)的計(jì)算與證明1．（2023?荊州）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（），點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，B為上一點(diǎn)，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，則的長(zhǎng)為（）A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm2．（2023?湖北）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，連接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，則∠ADC＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°3．（2023?無(wú)錫）如圖，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)D為⊙O的切線，CD與AB相交于點(diǎn)E．DF∥AB，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CF＝CD．（1）求∠F的度數(shù)；（2）若DE?DC＝8，求⊙O的半徑．4．（2023?聊城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，∠ADC的平分線DE交AC于點(diǎn)E．以AD上的點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作⊙O，恰好過(guò)點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半徑．5．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，連接BC，過(guò)點(diǎn)C的直線垂直于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的長(zhǎng)．6．（2023?瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．7．（2023?大連）如圖1，點(diǎn)A，B，C在O上，AC是⊙O的直徑，AD平分∠BAC，與⊙O相交于點(diǎn)D．連接OD，與BC相交于點(diǎn)E．（1）求∠OEC的度數(shù)．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG∥FA，與AC相交于點(diǎn)G．若AD＝2，DE＝4，求DG的長(zhǎng)．8．（2023?紹興）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數(shù)；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的長(zhǎng)．9．（2023?泰州）已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，∠C為所對(duì)的圓周角．知識(shí)回顧（1）如圖①，⊙O中，B、C位于直線AO異側(cè)，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度數(shù)；②若⊙O的半徑為5，AC＝8，求BC的長(zhǎng)；逆向思考（2）如圖②，若P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用（3）如圖③，在（2）的條件下，若∠APB＝90°，點(diǎn)C在⊙P位于直線AP上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D在⊙P上，滿(mǎn)足CD＝CB﹣CA的所有點(diǎn)D中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．10．（2023?遂寧）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AD＝CD，過(guò)點(diǎn)D的直線l交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N且∠ADM＝∠DAC．（1）求證：MN是⊙O的切線；（2）求證：AD2＝AB?CN；（3）當(dāng)AB＝6，sin∠DCA＝時(shí)，求AM的長(zhǎng)．11．（2023?宿遷）（1）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AC上，連接DE、DB，．求證：從①DE與⊙O相切；②DE⊥AC中選擇一個(gè)作為已知條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整（填寫(xiě)序號(hào)），并完成證明過(guò)程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求陰影部分的面積．

重難點(diǎn)突破突破01與三角形、四邊形、圓有關(guān)的計(jì)算與證明（含圖形變化）目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考命題趨勢(shì)（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一與三角形有關(guān)的計(jì)算與證明?考向二與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明?考向三與圓有關(guān)的計(jì)算與證明與三角形、四邊形、圓有關(guān)的計(jì)算，每年連續(xù)考查，與三角形有關(guān)的計(jì)算，常以一般三角形或特殊三角形為背景，結(jié)合全等、相似、勾股定理考查求線段長(zhǎng)或角度；與四邊形有關(guān)的計(jì)算，考查的形式有矩形、正方形的折疊求線段長(zhǎng)或角度，矩形與坐標(biāo)系結(jié)合求點(diǎn)坐標(biāo)；與圓有關(guān)的計(jì)算，以直角三角形和圓為背景，涉及切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)或角度.?考向一與三角形有關(guān)的計(jì)算與證明1．（2023?江西）如圖，在?ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°）得到AP，連接PC，PD．當(dāng)△PCD為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為90°或180°或270°．【思路點(diǎn)撥】P點(diǎn)在以A為圓心，AB為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，有固定軌跡，△PCD為直角三角形，要分三種情況討論求解．【完整解答】解：由題意可知，P點(diǎn)在以A為圓心，AB為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．如圖：延長(zhǎng)BA與⊙A交于P3，連接P3C．∵P3C＝2AB＝BC，又∵∠B＝60°，∴△P3BC為等邊三角形，∴AC⊥AB．在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴CD⊥AC．∴∠ACD＝90°，∴當(dāng)P在直線AC上時(shí)符合題意，∴α1＝90°，α2＝270°．連接P3D，∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD，∴四邊形ACDP3為平行四邊形．∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°，即：P運(yùn)動(dòng)到P3時(shí)符合題意．∴α3＝180°．記CD中點(diǎn)為G，以G為圓心，GC為半徑作⊙G．AG＝＝＝＝＞，∴⊙A與⊙G相離，∴∠DPC＜90°．故答案為：90°、180°、270°．【考點(diǎn)剖析】本題考查了直角三角形的定義，等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)及判定，以及圓周角定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．題目新穎、靈活，解法多樣，需要敏銳的感知圖形的運(yùn)動(dòng)變化才能順利解題．2．（2022?南昌）問(wèn)題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：①如圖1，在正三角形ABC中，M，N分別是AC，AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝60°，則BM＝CN；②如圖2，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝90°，則BM＝CN．然后運(yùn)用類(lèi)比的思想提出了如下命題；③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝108°，則BM＝CN．任務(wù)要求：（1）請(qǐng)你從①，②，③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問(wèn)當(dāng)∠BON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM＝CN成立；（不要求證明）②如圖5，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝108°時(shí)，試問(wèn)結(jié)論BM＝CN是否還成立．若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）正三角形ABC中，可通過(guò)全等三角形來(lái)證明BM＝CN，由于∠BON＝∠MBC+∠BCO＝60°，而∠ACB＝∠ACN+∠OCB＝60°，因此∠ACN＝∠MBC，又知道∠A＝∠BCM＝60°，AC＝BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM＝CN；正方形和正五邊形的證明過(guò)程與正三角形的一樣，都是通過(guò)全等三角形來(lái)得出線段的相等，證三角形的過(guò)程中都是根據(jù)∠BON和多邊形的內(nèi)角相等得出一組兩三角形中的一組對(duì)應(yīng)角相等，然后根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和邊相等，得出BCM和CND全等，進(jìn)而得出BM＝CN；（2）①由（1）的證明過(guò)程可知道∠MON的度數(shù)應(yīng)該是正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，當(dāng)∠BON＝時(shí)，結(jié)論BM＝CN成立，②可參照（1）先得出三角形BCD和CDE全等，然后通過(guò)證三角形CEN和BDM全等來(lái)得出結(jié)論，在證三角形CEN和BDM全等的過(guò)程中也是通過(guò)∠BON與正五邊形的內(nèi)角相等得出一組對(duì)應(yīng)角相等，然后根據(jù)正五邊形的內(nèi)角減去第一對(duì)全等三角形中得出的相等角來(lái)得出另一組對(duì)應(yīng)角相等，可通過(guò)△BCD≌△CDE得出CE＝BD，那么可得出三角形CEN和BDM全等，由此可得證．【完整解答】解：（1）選命題①在圖1中，∵△ABC是正三角形，∴BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°．∵∠BON＝60°，∴∠CBM+∠BCN＝60°．∵∠BCN+∠ACN＝60°，∴∠CBM＝∠ACN．∴△BCM≌△CAN（ASA）．∴BM＝CN．選命題②在圖2中∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°．∵∠BON＝90°，∴∠CBM+∠BCN＝90°．∵∠BCN+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN．∴△BCM≌△CDN（ASA）．∴BM＝CN．選命題③在圖3中，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°．∵∠BON＝108°，∴∠CBM+∠BCN＝108°．∵∠BCN+∠DCN＝108°，∴∠CBM＝∠DCN．∴△BCM≌△CDN（ASA）．∴BM＝CN．（2）①當(dāng)∠BON＝時(shí)，結(jié)論BM＝CN成立．②BM＝CN成立．在圖5中，連接BD、CE，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∠CDE＝∠DEA＝108°．∴∠BCD＝∠DEA，∴△BCD≌△CDE（SAS）．∴BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠BON＝108°，∴∠OBC+∠OCB＝108°．∵∠OCB+∠OCD＝108°，∴∠OBC＝∠OCD（即∠MBC＝∠NCD）．∴∠MBC﹣∠DBC＝∠NCD﹣∠ECD，即∠DBM＝∠ECN．∴∠CDE﹣∠BDC＝∠DEA﹣∠CED，即∠BDM＝∠CEN．∴△BDM≌△CEN（ASA）．∴BM＝CN．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了全等三角形，正多邊形等幾何知識(shí)，是一道幾何型探究題，層層深入，體現(xiàn)了一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程，考查學(xué)生的邏輯思維能力及歸納探索諸多方面的能力，是一道很好的壓軸題．本題是一道非常典型的幾何探究題，很好地體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生漸漸地從易走到難，是新課標(biāo)形勢(shì)下的成熟壓軸題．3．（2016?萊蕪）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2．如圖，將直角頂點(diǎn)B放在原點(diǎn)，點(diǎn)A放在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A也隨之在y軸上向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B停止移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為2+2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意首先取A1B1的中點(diǎn)E，連接OE，C1E，當(dāng)O，E，C1在一條直線上時(shí)，點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離最大，進(jìn)而求出答案．【完整解答】解：如圖所示：取A1B1的中點(diǎn)E，連接OE，C1E，當(dāng)O，E，C1在一條直線上時(shí)，點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝4，點(diǎn)OE為斜邊中線，∴OE＝B1E＝A1B1＝2，又∵B1C1＝BC＝2，∴C1E＝＝2，∴點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為：OE+C1E＝2+2．故答案為：2+2．【考點(diǎn)剖析】此題主要考查了軌跡以及勾股定理等知識(shí)，正確得出C點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．4．（2023?濟(jì)寧）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，，則BD＝3﹣．【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再根據(jù)∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，從而可得tan∠DAH＝tan∠EAC＝，利用銳角三角函數(shù)求得AH＝ABsin60°＝3，再由，求得DH＝3﹣，即可求得結(jié)果．【完整解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∵AH⊥BC，∴，∴∠BAD+∠DAH＝30°，∵∠DAE＝30°，∴∠BAD+∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC，∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝，∵BH＝AB＝3，∵AH＝ABsin60°＝6×＝3，∴，∴DH＝，∴BD＝BH﹣DH＝3﹣，故答案為：3﹣．【考點(diǎn)剖析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明∠DAH＝∠EAC是解題的關(guān)鍵．5．（2022?武漢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是80．【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CI于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥CI于點(diǎn)N，由正方形的性質(zhì)可證得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，F(xiàn)N＝CJ，可證得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，從而可得CN，可得BJ與AJ，即可求解．【完整解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CI，交CI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥CI于點(diǎn)N，∵△ABC為直角三角形，四邊形ACDE，BCFG為正方形，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四邊形ABHL為正方形，∴AL＝AB＝10，∵四邊形AJKL為矩形，∴四邊形AJKL的面積為：AL?AJ＝10×8＝80，故答案為：80．【考點(diǎn)剖析】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．6．（2023?衢州）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于∠BAC內(nèi)一點(diǎn)F．連結(jié)AF并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G．連結(jié)DG，EG．添加下列條件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知AG是三角形的角平分線，再結(jié)合選項(xiàng)所給的條件逐次判斷能否得出BG＝CG即可．【完整解答】解：根據(jù)題中所給的作圖步驟可知，AB是△ABC的角平分線，即∠BAG＝∠CAG．當(dāng)AB＝AC時(shí)，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（SAS），所以BG＝CG，故A選項(xiàng)不符合題意．當(dāng)AG⊥BC時(shí)，∠AGB＝∠AGC＝90°，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（ASA），所以BG＝CG，故B選項(xiàng)不符合題意．當(dāng)∠DGB＝∠EGC時(shí)，因?yàn)椤螧AG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，所以△ADG≌△AEG（SAS），所以∠AGD＝∠AGE，又∠DGB＝∠EGC，所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，即∠AGB＝∠AGC．又∠AGB+∠AGC＝90°，所以∠AGB＝∠AGC＝90°，則方法同（2）可得出BG＝CG，故C選項(xiàng)不符合題意．故選：D．【考點(diǎn)剖析】本題考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023?鞍山）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M為CD邊上一點(diǎn)，連接AM，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，在AM，AN上分別截取AE，AF，使AE＝AF＝BC，連接EF，交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H．若AM＝，CH＝2，則AG的長(zhǎng)為．【思路點(diǎn)撥】解法一：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AM＝AN，DM＝BN，∠MAN＝90°，∠DAM＝∠BAN，∠AMD＝∠ANB，連接DE，BF，由等線段減等線段相等可得FN＝EM，于是可通過(guò)SAS證明△BFN≌△DEM，得到BF＝DE，易得AF＝AB，AE＝AD，由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣∠BAF），∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE），由∠DAE＝∠BAF得到∠ABF＝∠AFB＝∠ADE＝∠AED，易得△AFE為等腰直角三角形，根據(jù)等角減等角相等可知∠GFB＝∠GDE，于是可通過(guò)AAS證明△GFB≌△GDE，得到FG＝DG，BG＝EG，進(jìn)而可通過(guò)SSS證明△AFG≌△ADG，得到∠DAH＝∠NAH，由平行線的性質(zhì)可得∠AHN＝∠NAH，則AN＝NH＝AM＝，設(shè)BH＝x，則AB＝BC＝x+2，BN＝，在Rt△ABN中，利用勾股定理建立方程，求得x1＝6，，即BH＝6或，過(guò)點(diǎn)G作PG∥BC，交AB于點(diǎn)P，易得△APG∽△ABH，由相似三角形的性質(zhì)得，易得△PBG為等腰直角三角形，PG＝PB，分兩種情況討論：①當(dāng)BH＝6時(shí)，AB＝BC＝8，則＝，進(jìn)而可設(shè)AP＝4a，PG＝3a＝PB，由AB＝AP+PB＝8，解得，在Rt△APG中，利用勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，AD＝CD＝AB＝，此時(shí)點(diǎn)M在CD的延長(zhǎng)線上，與題意不符．解法二：同解法一可得AN＝NH＝AM＝，設(shè)BH＝x，BN＝y(tǒng)，則BC＝x+2＝AB，AN＝x+y，以此可建立關(guān)于x，y的方程組，解得：或，再同解法一討論即可得出【完整解答】解：解法一：∵將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋90°得到△ABN，∴AM＝AN，DM＝BN，∠MAN＝90°，∠DAM＝∠BAN，∠AMD＝∠ANB，如圖，連接DE，BF，∵AE＝AF＝BC，F(xiàn)N＝AN﹣AF，EM＝AM﹣AE，∴FN＝EM，在△BFN和△DEM中，，∴△BFN≌△DEM（SAS），∴BF＝DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，AB＝AD＝BC，∴AF＝AB，AE＝AD，∴△ABF和△AED都是等腰三角形，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣∠BAF），∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE），∵∠DAE＝∠BAF，∴∠ABF＝∠AFB＝∠ADE＝∠AED，∵AF＝AE，∠MAN＝90°，∴△AFE為等腰直角三角形，∴∠AEG＝∠AFG＝45°，∵∠GDE＝∠ADE﹣∠ADB＝∠ADE﹣45°，∠GFB＝∠AFB﹣∠AFG＝∠AEB﹣45°，∴∠GFB＝∠GDE，在△GFB和△GDE中，，∴△GFB≌△GDE（AAS），∴FG＝DG，BG＝EG，在△AFG和△ADG中，，∴△AFG≌△ADG（SSS），∴∠FAG＝∠DAG，即∠DAH＝∠NAH，∵AD∥BC，∴∠DAH＝∠AHN，∴∠AHN＝∠NAH，∴AN＝NH＝AM＝，設(shè)BH＝x，則AB＝BC＝BH+CH＝x+2，，在Rt△ABN中，AN2＝BN2+AB2，∴，解得：x1＝6，，∴BH＝6或，如圖，過(guò)點(diǎn)G作PG∥BC，交AB于點(diǎn)P，∴△APG∽△ABH，∴，即，∵PG∥BC，∴∠GPB＝180°﹣∠PBH＝180°﹣90°＝90°，∵PBG＝45°，∴∠PGB＝90°﹣∠PBG＝45°＝∠PBG，∴PG＝PB，①當(dāng)BH＝6時(shí)，AD＝CD＝AB＝BH+CH＝8，∴＝＝，∴設(shè)AP＝4a，PG＝3a＝PB，∵AB＝AP+PB＝8，∴4a+3a＝8，解得：，在Rt△APG中，＝＝5a＝；②當(dāng)時(shí)，AB＝CD＝BC＝BH+CH＝，在Rt△ADM中，DM＝＝＝8，∵DM＝8＞CD＝，∴點(diǎn)M在CD的延長(zhǎng)線上，與題意不符．綜上，AG的長(zhǎng)為．解法二：同解法一可得AN＝NH＝AM＝，設(shè)BH＝x，BN＝y(tǒng)，∴BC＝BH+CH＝x+2＝AB，AN＝BH+BN＝x+y，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，∴，解得：，，同解法一討論，即可得出AG＝．故答案為：．【考點(diǎn)剖析】本題考查了正方形的性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．8．（2022?襄陽(yáng)）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接AC，BC，AD，AD與BC相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥BC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若＝，CG＝2，求陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OD，證明OD⊥DE即可；（2）根據(jù)＝相等，再由（1）中＝可得，，從而得到∠CAD＝∠BAD＝∠ABC＝30°，在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)求出AC、AG的長(zhǎng)，從而求出△CAG的面積，在Rt△ABD中利用銳角三角函數(shù)求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)DE∥BC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出陰影部分的面積．【完整解答】（1）證明：連接OD，如圖所示，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴OD⊥BC∵DE∥BC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接BD，如圖所示，∵＝，∴BD＝AC∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴的度數(shù)＝的度數(shù)＝的度數(shù)＝60°，∴∠CAD＝∠BAD＝30°．∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACG中，tan∠CAD＝，sin∴CA＝，AG＝∵CG＝2，∴CA＝2×＝6，AG＝4．∴BD＝CA＝6，∴S△ACG＝CG?AC＝6．在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，∴AD＝＝＝6．∵DE∥BC，∴△CAG∽△EAD，∴，即，∴S△EAD＝．∴S陰影部分＝S△EAD﹣S△ACG＝．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了切線的判定定理、垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的性質(zhì)，其中利用過(guò)圓心，平分弧然后根據(jù)垂徑定理證明半徑垂直于弦是解題的關(guān)鍵．9．（2022?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于F，BG⊥AE于G，BG＝，則△EFC的周長(zhǎng)為（）A．11 B．10 C．9 D．8【思路點(diǎn)撥】判斷出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長(zhǎng)度，繼而得到EC的長(zhǎng)度，在Rt△BGE中求出GE，繼而得到AE，求出△ABE的周長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，可得出△EFC的周長(zhǎng)．【完整解答】解：∵在?ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠BAF＝∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF＝∠F＝∠DAF，∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝6，AD＝DF＝9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且CF＝CE，∴EC＝FC＝DF﹣DC＝9﹣6＝3，＝，在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，∴AG＝＝2，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周長(zhǎng)等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長(zhǎng)為8．故選：D．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，此題難度較大．?考向二與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明1．（2023?十堰）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD上的點(diǎn)，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面積等于24，BD＝8，則EF+GH＝6．【思路點(diǎn)撥】連接AC交BD于點(diǎn)O，先根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算出對(duì)角線AC的長(zhǎng)，再證△BEF∽△BAC，得出，同理可證△DHG∽△DAC，得出，兩式相加，即可求出EF+GH的值．【完整解答】解：連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∵菱形的面積等于24，BD＝8，∴，∴AC＝6，∵BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣∠EBF），∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠ABC），∴∠BEF＝∠BAC，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴，∵BA＝DA，∴，同理可證△DHG∽△DAC，∴，∴，即，∴EF+GH＝AC＝6，故答案為：6．【考點(diǎn)剖析】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，求出EF+GH＝AC是此題的關(guān)鍵．2．（2022?黔東南州）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長(zhǎng)為（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+1【思路點(diǎn)撥】方法一：如圖，延長(zhǎng)DA、BC交于點(diǎn)G，利用正方形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)可得：∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，運(yùn)用解直角三角形可得AG＝2，DG＝2+2，再求得∠G＝30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出答案．方法二：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DF于點(diǎn)G，作EH⊥BC于點(diǎn)H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH＝，再證明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH＝，即可求得答案．【完整解答】解：方法一：如圖，延長(zhǎng)DA、BC交于點(diǎn)G，∵四邊形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB?tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故選D．方法二：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DF于點(diǎn)G，作EH⊥BC于點(diǎn)H，則∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四邊形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE?sin∠EBH＝2?sin30°＝2×＝1，BH＝BE?cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四邊形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故選：D．【考點(diǎn)剖析】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，題目的綜合性很好，難度不大．3．（2019?撫順）如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，連接EM，MF，F(xiàn)N，NE，要使四邊形EMFN為正方形，則需添加的條件是（）A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC【思路點(diǎn)撥】證出EN、NF、FM、ME分別是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位線，得出EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，證出四邊形EMFN為平行四邊形，當(dāng)AB＝CD時(shí)，EN＝FM＝ME＝NF，得出平行四邊形EMFN是菱形；當(dāng)AB⊥CD時(shí)，EN⊥ME，則∠MEN＝90°，即可得出菱形EMFN是正方形．【完整解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，∴EN、NF、FM、ME分別是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位線，∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，∴四邊形EMFN為平行四邊形，當(dāng)AB＝CD時(shí)，EN＝FM＝ME＝NF，∴平行四邊形EMFN是菱形；當(dāng)AB⊥CD時(shí)，EN⊥ME，則∠MEN＝90°，∴菱形EMFN是正方形；故選：A．【考點(diǎn)剖析】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定以及三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023?貴港）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)．連接AF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：△ADF≌△GCF；（2）若EF＝7.5，BC＝10，求AD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)梯形的性質(zhì)，利用AAS可判定△ADF≌△GCF；根據(jù)中位線定理，可得到BC+AD＝15，已知BC的長(zhǎng)，那么AD的長(zhǎng)自然就出來(lái)了．【完整解答】（1）證明：∵AD∥BC，（AD∥BG）∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G．（2分）∵DF＝CF，∴△ADF≌△GCF．（4分）（2）解法一：由（1）得△ADF≌△GCF，∴AF＝FG，AD＝CG．（5分）∵AE＝BE，∴EF為△ABG的中位線．∴EF＝BG．（6分）∴BG＝2×7.5＝15．（7分）∴AD＝CG＝BG﹣BC＝15﹣10＝5．（8分）解法二：∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴EF是梯形ABCD的中位線．（5分）∴EF＝（AD+BC），（6分）即7.5＝（AD+10）．（7分）∴AD＝5．（8分）【考點(diǎn)剖析】此題主要考查學(xué)生對(duì)梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定及中位線定理的理解及運(yùn)用．5．（2022?賀州）如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，EF是中位線，EG⊥AB于G，F(xiàn)H⊥AB于H，梯形的高h(yuǎn)＝（AB+DC）．沿著GE，HF分別把△AGE，△BHF剪開(kāi)，然后按圖中箭頭所指方向，分別繞著點(diǎn)E，F(xiàn)旋轉(zhuǎn)180°，將會(huì)得到一個(gè)什么樣的四邊形？簡(jiǎn)述理由．【思路點(diǎn)撥】首先發(fā)現(xiàn)顯然是一個(gè)矩形．再根據(jù)所給的梯形的高結(jié)合梯形的中位線定理即證明了矩形的一組鄰邊相等，即是正方形．【完整解答】解：將會(huì)得到一個(gè)正方形，理由如下：∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB∴EG∥FH∵EF是梯形ABCD的中位線，∴EF∥GH，EF＝（DC+AB），∴EF＝GH∵梯形的高h(yuǎn)＝（DC+AB）∴梯形的高h(yuǎn)＝GH設(shè)△AGE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°后點(diǎn)G落在G'處，△BHF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)H落在H'處則∠G'＝90°，G'，H'在DC所在的直線上．∴GG'是梯形ABCD的高∴∠G'＝∠G'GH＝∠H'HG＝90°，∴四邊形G'GHH'是矩形∵GG'＝GH∴四邊形G'GHH'是正方形【考點(diǎn)剖析】考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定及梯形的中位線的綜合運(yùn)用．6．（2022?鄂州）如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2，如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBn?nDn．下列結(jié)論正確的是（）①四邊形A4B4C4D4是菱形；②四邊形A3B3C3D3是矩形；③四邊形A7B7C7D7周長(zhǎng)為；④四邊形AnBn?nDn面積為．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長(zhǎng)與四邊形ABCD中各邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系規(guī)律，然后對(duì)以下選項(xiàng)作出分析與判斷：①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)作出判斷；②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)作出判斷；③由四邊形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)之和，來(lái)計(jì)算四邊形A5B5C5D5的周長(zhǎng)；④根據(jù)四邊形AnBn?nDn的面積與四邊形ABCD的面積間的數(shù)量關(guān)系來(lái)求其面積．【完整解答】解：①連接A1C1，B1D1．∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；∵AC⊥BD，∴A1B1⊥A1D1，∴四邊形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1＝A1C1（矩形的兩條對(duì)角線相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位線定理），∴四邊形A2B2C2D2是菱形；∴四邊形A3B3C3D3是矩形；∴根據(jù)中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；故①②正確；③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，A7B7＝A5B5＝A3B3＝A1B1＝AC，B7C7＝B5C5＝B3C3＝B1C1＝BD，∴四邊形A7B7C7D7的周長(zhǎng)是2×（a+b）＝，故③正確；④∵四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，∴S四邊形ABCD＝ab÷2；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，四邊形AnBn?nDn的面積是，故④錯(cuò)誤；綜上所述，①②③正確．故選：A．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時(shí)，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關(guān)系．7．（2022?阿壩州）順次連接菱形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的中位線定理可得EH∥BD，EF∥AC，GH∥AC，F(xiàn)G∥BD進(jìn)而得到四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)AC⊥DB可證明EF⊥EH，進(jìn)而得到答案．【完整解答】解：∵E，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴EH∥BD，同理，EF∥AC，GH∥AC，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，EF∥GH，則四邊形EFGH是平行四邊形．又∵AC⊥BD，EH∥BD，∴AC⊥EH，∵EF∥AC，∴EF⊥EH，∴平行四邊形EFGH是矩形．故選：B．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了矩形的判定定理，正確理解菱形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022?呼和浩特）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)．若AC＝8，BD＝6，則四邊形EFGH的面積為12．【思路點(diǎn)撥】有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．利用中位線定理可得出四邊形EFGH矩形，根據(jù)矩形的面積公式解答即可．【完整解答】解：∵點(diǎn)E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn)，∴EF∥BD，且EF＝BD＝3．同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，F(xiàn)G∥HE且EF⊥FG．∴四邊形EFGH是矩形．∴四邊形EFGH的面積＝EF?EH＝3×4＝12，即四邊形EFGH的面積是12．故答案為：12．【考點(diǎn)剖析】本題考查的是中點(diǎn)四邊形．解題時(shí)，利用了矩形的判定以及三角形的中位線定理，矩形的判定定理有：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形．9．（2021?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點(diǎn)四邊形EFGH一定是B；A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形（2）若四邊形ABCD的面積為S1，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1＝2S2；（3）在四邊形ABCD中，沿中點(diǎn)四邊形EFGH的其中三邊剪開(kāi)，可得三個(gè)小三角形，將這三個(gè)小三角形與原圖中未剪開(kāi)的小三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)畫(huà)出一種拼接示意圖，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)全等的三角形．【思路點(diǎn)撥】（1）連接AC、BD．先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由菱形的對(duì)角線互相垂直，得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形；（2）由E為AB中點(diǎn)，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK與△ABM相似，△AEN與△ABM相似，利用面積之比等于相似比的平方，得到△EBK面積與△ABM面積之比為1：4，且△AEN與△EBK面積相等，進(jìn)而確定出四邊形EKMN面積為△ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為△MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為△DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為△ADM面積的一半，四個(gè)四邊形面積之和即為四個(gè)三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半；（3）利用中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)得出拼接方法，進(jìn)而得出全等三角形．【完整解答】解：（1）如圖1，連接AC、BD．∵E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴?EFGH是矩形；故選：B．（2）如圖2，設(shè)AC與EH、FG分別交于點(diǎn)N、P，BD與EF、HG分別交于點(diǎn)K、Q，∵E是AB的中點(diǎn)，EF∥AC，EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，∴＝，S△AEN＝S△EBK，∴＝，同理可得＝，＝，＝，∴＝，∴四邊形ABCD的面積為S1，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1＝2S2；（3）如圖3，四邊形NEHM是平行四邊形；△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．【考點(diǎn)剖析】此題主要考查了中點(diǎn)四邊形以及相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，利用三角形中位線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．10．（2023?朝陽(yáng)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接EA，將線段EA繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在射線CB上的點(diǎn)F處，連接EC．【問(wèn)題引入】（1）請(qǐng)你在圖1或圖2中證明EF＝EC（選擇一種情況即可）；【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在（1）中你選擇的圖形上繼續(xù)探索：延長(zhǎng)FE交直線CD于點(diǎn)M．將圖形補(bǔ)充完整，猜想線段DM和線段BF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，AB＝3，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)N，使NE＝AE，連接DN．當(dāng)△ADN的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段DE的長(zhǎng)．．【思路點(diǎn)撥】（1）選擇圖1，根據(jù)正方形性質(zhì)可得：BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，進(jìn)而證得△BEA≌△BEC（SAS），結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得結(jié)論；選擇圖2，同理可證得結(jié)論；（2）猜想DM＝BF，選擇圖1，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC交BD于點(diǎn)H，則∠HFB＝90°，利用正方形的性質(zhì)即可證得△HEF≌△DEM（ASA），再利用等腰三角形性質(zhì)即可得出答案；選擇圖2，同理可證得結(jié)論；（3）取AD的中點(diǎn)G，連接EG，根據(jù)三角形中位線定理可得EG＝DN，由△ADN的周長(zhǎng)＝AD+DN+AN＝3+2（AE+EG），可得當(dāng)△ADN的周長(zhǎng)最小時(shí)，AE+EG最小，此時(shí)，C、E、G三點(diǎn)共線，利用勾股定理可得BD＝3，再證得△DEG∽△BEC，可得＝＝，即BE＝2DE，利用BE+DE＝BD，即可求得答案．【完整解答】（1）證明：選擇圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，∵BE＝BE，∴△BEA≌△BEC（SAS），∴EA＝EC，由旋轉(zhuǎn)得：EA＝EF，∴EF＝EC．選擇圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，∵BE＝BE，∴△BEA≌△BEC（SAS），∴EA＝EC，由旋轉(zhuǎn)得：EA＝EF，∴EF＝EC．（2）解：猜想DM＝BF．理由如下：選擇圖1，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC交BD于點(diǎn)H，則∠HFB＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠HFB＝∠BCD，∴FH∥CD，∴∠HFE＝∠M，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠FCD＝90°，∴∠EFC+∠M＝90°，∠ECD+∠ECF＝90°，∴∠M＝∠ECM，∴EC＝EM，∴EF＝EM，∵∠HEF＝∠DEM，∴△HEF≌△DEM（ASA），∴DM＝FH，∵∠HBF＝45°，∠BFH＝90°，∴∠BHF＝45°，∴BF＝FH，∴DM＝BF．若選擇圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠HFB＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠HFB＝∠BCD，∴FH∥CD，∴∠H＝∠EDM，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠EFC+∠FMC＝90°，∠ECF+∠ECM＝90°，∴∠FMC＝∠ECM，∴EC＝EM，∴EF＝EM，∵∠HEF＝∠DEM，∴△HEF≌△DEM（AAS），∴FH＝DM，∵∠DBC＝45°，∴∠FBH＝45°，∴∠H＝45°，∴BF＝FH，∴DM＝BF．（3）解：如圖3，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，∵NE＝AE，∴點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，∴EG＝DN，∵△ADN的周長(zhǎng)＝AD+DN+AN＝3+2（AE+EG），∴當(dāng)△ADN的周長(zhǎng)最小時(shí)，AE+EG最小，此時(shí)，C、E、G三點(diǎn)共線，如圖4，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝3，AD∥BC，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝3，∵點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，∴DG＝AD＝，＝，∵AD∥BC，∴△DEG∽△BEC，∴＝＝，∴BE＝2DE，∵BE+DE＝BD＝3，∴2DE+DE＝3，即3DE＝3，∴DE＝．【考點(diǎn)剖析】本題是正方形綜合題，考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等是解題關(guān)鍵．?考向三與圓有關(guān)的計(jì)算與證明1．（2023?荊州）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，B為上一點(diǎn)，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，則的長(zhǎng)為（）A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)垂徑定理求出AD的長(zhǎng)，由題意得OD＝OA﹣BD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的值，然后再利用三角比計(jì)算出所對(duì)的圓心角的度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)即可．【完整解答】解：∵OB⊥AC，∴AD＝AC＝150m，∠AOC＝2∠AOB，在Rt△AOD中，∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，∴+（OA﹣150）2＝OA2，解得：OA＝300m，∴sin∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴的長(zhǎng)＝＝200πm．故選：B．【考點(diǎn)剖析】本題考查的是垂徑定理，勾股定理及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，根據(jù)垂徑定理得出AD的長(zhǎng)，再由勾股定理求出半徑是解答此題的關(guān)鍵，同時(shí)要熟記圓弧長(zhǎng)度的計(jì)算公式．2．（2023?湖北）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，連接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，則∠ADC＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)外角性質(zhì)得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，再由AB是⊙O的直徑得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．【完整解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，故選：D．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)以及直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023?無(wú)錫）如圖，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)D為⊙O的切線，CD與AB相交于點(diǎn)E．DF∥AB，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CF＝CD．（1）求∠F的度數(shù)；（2）若DE?DC＝8，求⊙O的半徑．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OD，利用切線性質(zhì)和平行線性質(zhì)求得∠AOD＝90°，再利用圓周角定理求得∠ACD的度數(shù)，最后利用等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；（2）結(jié)合（1）中所求易證得△DAE∽△DCA，再利用相似三角形性質(zhì)及勾股定理即可求得答案．【完整解答】解：（1）如圖，連接OD，∵FD為⊙O的切線，∴∠ODF＝90°，∵DF∥AB，∴∠AOD＝180°﹣∠ODF＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∵CF＝CD，∴∠F＝∠CDF＝＝67.5°；（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠EAD＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADE＝∠CDA，∴△DAE∽△DCA，∴＝，∴DA2＝DE?DC＝8，∵DA＞0，∴DA＝2，∵OA2+OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0，∴OA＝2，即⊙O的半徑為2．【考點(diǎn)剖析】本題考查圓與相似三角形的綜合應(yīng)用，（2）中利用相似三角形的判定及性質(zhì)求得DA2＝DE?DC＝8是解題的關(guān)鍵．4．（2023?聊城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，∠ADC的平分線DE交AC于點(diǎn)E．以AD上的點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作⊙O，恰好過(guò)點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半徑．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OE，由題意得到OD＝OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OED＝∠ODE，求得∠OED＝∠CDE，根據(jù)平行線的判定定理得到OE∥CD，根據(jù)∠ACB＝90°，得到OE⊥AC，于是得到結(jié)論；（2）過(guò)D作DF⊥AB，根據(jù)角平分線的小知道的CD＝DF，根據(jù)勾股定理得到BD＝＝20，求得AC＝BC?tan∠ABC＝24，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【完整解答】（1）證明：連接OE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ODE，∴∠OED＝∠CDE，∴OE∥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：過(guò)D作DF⊥AB，∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝DF，∵CD＝12，tan∠ABC＝，∴BF＝＝16，∴BD＝＝20，∴BC＝CD+BD＝32，∴AC＝BC?tan∠ABC＝24，∴＝12，∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD，∴，∴，解得EO＝15﹣3，∴⊙O的半徑為15﹣3．【考點(diǎn)剖析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，連接BC，過(guò)點(diǎn)C的直線垂直于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OC，證PD⊥CO即可；（2）利用線段成比例列方程即可．【完整解答】（1）證明：連接OC，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥DB，∵PD⊥BD，∴PD⊥CO，∴PC為⊙O的切線；（2）解：連接AE，設(shè)OB＝OC＝r，∵PC＝2BO＝2r，∴OP＝＝3r，∵PB＝10，∴3r+r＝10，即r＝．∵OC∥DB，∴△PCO∽△PDB，∴，∴，∴BD＝，∵AB是⊙O的直徑，∴AE⊥BD，∴AE∥PD，∴，∴，∴BE＝．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了切線，相似三角形等相關(guān)知識(shí)，找準(zhǔn)線段成比例列方程是關(guān)鍵．6．（2023?瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】首先求出AB＝10，先證△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性質(zhì)可求出OE，BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CE的長(zhǎng)和AE的長(zhǎng)，然后再證△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DE．【完整解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：，連接AE，OE，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC與半圓相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴，即：，由得：，由得：，∴，在Rt△ACE中，AC＝8，，由勾股定理得：，∵BE為半圓的切線，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴，∴DE?AB＝BE?AE，即：，∴．故選：B．【考點(diǎn)剖析】此題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，弦切角定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算．7．（2023?大連）如圖1，點(diǎn)A，B，C在O上，AC是⊙O的直徑，AD平分∠BAC，與⊙O相交于點(diǎn)D．連接OD，與BC相交于點(diǎn)E．（1）求∠OEC的度數(shù)．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG∥FA，與AC相交于點(diǎn)G．若AD＝2，DE＝4，求DG的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圓周角定理證得兩直線平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）定理得到邊的關(guān)系，求出線段的長(zhǎng)，再利用等面積法求解即可．【完整解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠OAD，∵OAD＝∠ODA，∴∠BAD＝∠ODA，∴AB∥OD，∴∠B＝∠OEC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝90°；（2）連接DC，如圖：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，設(shè)半徑為r，則OA＝OD＝OC＝r，OE＝r﹣4，AB＝2OE＝2r﹣8，AC＝2r，在Rt△ADC中，DC2＝AC2﹣AD2＝CE2+DE2＝OC2﹣OE2+DE2，∴（2r）2﹣（2）2＝r2﹣（r﹣4）2+42，解得r＝7或﹣5（舍去），∴AC＝14，DC＝，∵AF是切線，∴AF⊥AC，∵DG∥FA，∴DG⊥AC，∴S△ADC＝＝，∴＝，解得DG＝2．【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握?qǐng)A周角定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023?紹興）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數(shù)；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）由垂直的定義得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ACD的度數(shù)；（2）由勾股定理求出CD的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理得到，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出CE的長(zhǎng)．【完整解答】解：（1）∵AE⊥CD于點(diǎn)E，∴∠AEC＝90°∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；（2）∵CD是⊙O的切線，∴半徑OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB+BD＝3，∴CD＝＝．∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴，∴，∴CE＝．【考點(diǎn)剖析】本題考查切線的性質(zhì)，垂線，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形外角的性質(zhì)求出∠ACD的度數(shù)，由勾股定理求出CD的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理即可求出CE的長(zhǎng)．9．（2023?泰州）已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，∠C為所對(duì)的圓周角．知識(shí)回顧（1）如圖①，⊙O中，B、C位于直線AO異側(cè)，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度數(shù)；②若⊙O的半徑為5，AC＝8，求BC的長(zhǎng)；逆向思考（2）如圖②，若P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用（3）如圖③，在（2）的條件下，若∠APB＝90°，點(diǎn)C在⊙P位于直線AP上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D在⊙P上，滿(mǎn)足CD＝CB﹣CA的所有點(diǎn)D中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)∠AOB+∠C＝135°，結(jié)合圓周角定理求∠C的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；（2）只要說(shuō)明點(diǎn)P到圓上A、B和另一點(diǎn)的距離相等即可；（3）根據(jù)CD＝CB﹣CA，構(gòu)造一條線段等于CB﹣CA，利用三角形全等來(lái)說(shuō)明此線段和CD相等．【完整解答】（1）解：①∵∠AOB+∠C＝135°，∠AOB＝2∠C，∴3∠C＝135°，∴∠C＝45°．②連接AB，過(guò)A作AD⊥BC，垂足為M，∵∠C＝45°，AC＝8，∴△ACM是等腰直角三角形，且AM＝CM＝4，∵∠AOB＝2∠C＝90°，OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝5，在直角三角形ABM中，BM＝＝3，∴BC＝CM+BM＝4+3＝7．（2）延長(zhǎng)AP交圓于點(diǎn)N，則∠C＝∠N，∵∠APB＝2∠C，∴∠APB＝2∠N，∵∠APB＝∠N+∠PBN，∴∠N＝∠PBN，∴PN＝PB，∵PA＝PB，∴PA＝PB＝PN，∴P為該圓的圓心．（3）過(guò)B作BC的垂線交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E