廣東某中學(xué)2024年高二11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024—2025學(xué)年（上）高二級(jí)期中考試

數(shù)學(xué)

命題：高二數(shù)學(xué)備課組校對(duì)：高二數(shù)學(xué)備課組

本試卷共5頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卷上。

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的

相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改

液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷收回。

第一部分選擇題（共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.己知(l+i)2=1+3。則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.1B.—iC.-1D.i

2.一組數(shù)據(jù)23,11,31,14,16,17,19,27的百分之七十五分位數(shù)是()

A.14B.15C.23D.25

3.在四面體。ABC中，瓦？=方，痂=后,而=己6為三角形48。的重心,。在。6上,且灰=［而,

則都為()

2-1-8_1-K八8-1-2.1-1_

AA.——a+—b+—cnB.—a——b——cC.——a+—b+—cnD.—a——b——c

999999999999

4.已知隨機(jī)事件4和B互斥，且P(4UB)=O,6,P(B)=0,3,則P(Z)等于()

A.0.8B.0.7C.0.5D.0.2

5.已知直線2過(guò)定點(diǎn)力(2,3,1),且方向向量為3=(0,1,1),則點(diǎn)P(4,3,2)到/的距離為

()

高二數(shù)學(xué)第1頁(yè)，共5頁(yè)

6.雙曲線C與橢圓皆+*=1有相同的焦點(diǎn)，一條漸近線的方程為x-2y=。，則雙曲線C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A——2=1B^―———\c-——\2

A.4PV936G936-D—4—x%=l

22

7.已知橢圓E：0+g=l（a>6〉O）的右焦點(diǎn)為F（3,0）,過(guò)點(diǎn)尸的直線交橢圓E于48兩點(diǎn),

若4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—1）,則橢圓E的方程為（）

A

-"=1D.---1---=i

2718才I?"

,2

8.橢圓C:=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是鼻,尸2,斜率為1的直線1過(guò)左焦點(diǎn)%，

V2V2-

交C于4,B兩點(diǎn)，且△ABF2的內(nèi)切圓的面積是兀，若橢圓C的離心率的取值范圍為

L63J

則線段4B的長(zhǎng)度的取值范圍是（）

A[6V2,12V2|B.[6,12]C.[4,8]D.[4V2,8V2|

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD—&B1C1/中，E,F分別是AB,BC中點(diǎn)，則（）

A.BQ〃平面&DE

B.直線BC】與平面BBiAD所成的角為45°

C.平面4遇F1平面BiDE

D.點(diǎn)E到平面4小尸的距離為避

4

22

10.已知點(diǎn)P是左、右焦點(diǎn)為F1，尸2的橢圓C：=1上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.若4尸/尸2=90。，則△FIP4的面積為4企

B.使為直角三角形的點(diǎn)尸有6個(gè)

C.4片|—2-巳1的最大值為6—2企

D.若加（1,￡）,則IPF1I+|PM|的最大、最小值分別為4遮+塔和4遮一號(hào)

高二數(shù)學(xué)第2頁(yè)，共5頁(yè)

11.如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)F1(—2,0)與到點(diǎn)/2(2,0)的距離之

積為4,據(jù)此判斷，下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)。(2魚(yú),0)在曲線C上

B.點(diǎn)M(x,l)(x>0)在C上，則|M%|=2V2

C.點(diǎn)Q在橢圓工+r=1上，若F1QIF2Q，則Qec

62

D.過(guò)F2作％軸的垂線交c于4B兩點(diǎn)，貝!11aBl<2

第二部分非選擇題(共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

sin(2。一兀)

12.已知點(diǎn)P(2,l)在角6的終邊上，則i+sin(71—%)--

2v—1

13.若/(x)=(x+a)?In亍?為偶函數(shù)，則。=________

乙X-L

X2v?X?v?

14.如圖，橢圓彳■+方■=1(?！?〉0)與雙曲線一2--2—1(加>0，〃>0)

4^LxAZ

有公共焦點(diǎn)Fi(—c,0),92(。，0)(c>0)，橢圓的離心率為雙曲線的離心率為02,點(diǎn)P

為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且4止尸2=60°，/為△FfFz的內(nèi)心，F(xiàn)i，LG三點(diǎn)共線,

且正?7?=0,久軸上點(diǎn)4B滿足萬(wàn)=萬(wàn)萬(wàn)，BG=fiGP,則0送2的最小值

為5%+“2的最小值為

高二數(shù)學(xué)第3頁(yè)，共5頁(yè)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟。

15.(13分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線x-y+1=0上，且與直線

2x+j=0相切于坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,2)的直線，被圓M截得的弦長(zhǎng)為3企,求直線，的方程.

(15分)已知三角形ABC的內(nèi)角45c所對(duì)的邊分別為a,he，若佛喀士梟=亮三

16.

Siri71_ismDc

且a=2.

7T

(1)若5=g-,求C；

(2)點(diǎn)。在邊BC上且力。平分ABAC,若4D=百，求三角形力BC的周長(zhǎng).

丫2v2且離心率為P，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),

17.(15分)橢圓C；]+方=1(。>6>0)過(guò)點(diǎn)P(V3,1)

過(guò)F的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),定點(diǎn)力(一4,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若aAMN面積為3b，求直線MN的方程.

18.(17分)在四棱錐尸-45CQ中，底面ZBCD為直角梯形，AD//BC,ADLAB,側(cè)面尸

底面ABC。，PA=PB=AD=；BC=2,且￡,尸分別為尸C,C。的中點(diǎn)，

(1)證明：DE〃平面P4B；

(2)若直線PF與平面PH8所成的角為60°，

①求平面P4B與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

②平面4DE將四棱錐P-4BCD分成上、下兩部分，求平面/龐

以下部分幾何體的體積.

高二數(shù)學(xué)第4頁(yè)，共5頁(yè)

22j

19.（17分）已知雙曲線C：]一方=1（。>0,6>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為4,漸近線方程為y=±]x.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為4,^2,過(guò)點(diǎn)8（3,0）作與x軸不重合的直線2與C交于P,Q

兩點(diǎn),直線AXP與A2Q交于點(diǎn)S,直線A{Q與A2P交于點(diǎn)工

G）設(shè)直線AF的斜率為左，直線A2Q的斜率為內(nèi)，若勺=環(huán)，求為的值；

（譏）求△4ST的面積的取值范圍.

高二數(shù)學(xué)第5頁(yè)，共5頁(yè)

廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024—2025學(xué)年(上)高二級(jí)期中考試?數(shù)學(xué)

參考答案

l.C2.D3.C4.B5.A6.A7.A8.B

9.【答案】ACD10.【答案】BCD11.【答案】ACD

12.tan6=-13.a=014.漁；2+西

222

9.【答案】ACD【解析】在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-4/1的小中，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系,

貝必(1,0,0),B(l,1,0),41(1,0,1),M(0,1,1),Di(0,0,l),0),F6,1,0),

對(duì)于A,西=(—1,0,1),礪=(11,0),西=(0，,1),顯然西=畫(huà)一屁,

即可平行于平面用。￡,而8Go平面為DE,因此BC"/平面耳DE,A正確;

對(duì)于B,D1F=(1,1,-1),D1F-DE=1xl+lx|=1^0,即有。尸不垂直于DE,

而DEu平面片因此。尸不垂直于平面耳B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,=0),24；-(0,0,1),而詼=(1,；,0),顯然詼.菊=0,

詼?方=lx(-g)+gxl=0,即DE1AA^DE1AF,AA1C4F=A,AAVAFu平面

于是。E1平面力而DEu平面BiDE,因此平面力遇尸1平面/DE,C正確；

____.1_____

對(duì)于D,。尸=(//,—1),。遇；=(L。,。),設(shè)平面的一個(gè)法向量元=(%,y,z),

萬(wàn)?A4=x=0

A一一?1

則_——?1令y=l,得〃=(0,1,1),又4E=(0,I，T)，

n-DXF=—x+y-z=0

高二上數(shù)學(xué)期中考試答案第1頁(yè)，共8頁(yè)

所以點(diǎn)￡到平面仲產(chǎn)的距離d=內(nèi)a="/ix"=,D正確.

|n|V24

故選：ACD

22

10.【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)：由橢圓方程土+匕=1，所以/=8，/=4,所以

84

°2=/_〃=4,所以ARPF?的面積為S=心tan",=4,故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：當(dāng)尸公,片名或尸￡，片鳥(niǎo)時(shí)△片尸鳥(niǎo)為直角三角形，這樣的點(diǎn)尸有4個(gè)，

設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為S,T,則閨見(jiàn)=4,|0S|=2,.-.\0S\=曰四8|,同理|。7|=|■⑶名|，

知/4S￡=N片*=90。，所以當(dāng)尸位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)△耳隼也為直角三角形，

其他位置不滿足，滿足條件的點(diǎn)尸有6個(gè)，故B正確；

C選項(xiàng)：由于|尸片卜2|尸閭=2"歸周—2|P周=4忘—3次

所以當(dāng)怛閭最小即|尸詞="c=2亞—2時(shí)，忸團(tuán)―21Pgi取得最大值6—2行，故C正

確；

D選項(xiàng)：因?yàn)閨「用+\PM\=2a-\PF2\+\PM\=4逝+\PM卜耽|,

又忸叫-|尸尸2卜根用=手，則PGI+PM的最大、最小值分別為40+?和

472--.當(dāng)點(diǎn)P位于直線版與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD

2-

11.【答案】ACD

【解析】對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)閨。刷|。用=（2亞+2）（2血-2）=4,由定義知DeC,故A正確;

對(duì)選項(xiàng)B,點(diǎn)M（x,l）（x>0）在C上，則|Aff；I%|=+2）2+1][（x-2）2+1]=4,化簡(jiǎn)

高二上數(shù)學(xué)期中考試答案第2頁(yè)，共8頁(yè)

得xJ6/+9=0,所以工=追，|岫|=百+2-+1R2斯,B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C,橢圓

22

土+匕=1上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為耳（-2,0）與F2（2,0）,

62

則寓0|+月0|=2",又片。，名。,所以陽(yáng)球+上碟=］6,故

由9.優(yōu)@=（閨。"優(yōu)◎）一（怩域+優(yōu)硝=4，所以。6C,C正確;對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)/（2/）,

4

則M同=2可，因?yàn)?eC,則I/值加,又|4月『=16+『,

所以孩=16+必，化簡(jiǎn)得_/+16/-16=0,故/=4百-8,所以/_1=4石-9＜0,

故回＜1,所以|/邳＜2,故D正確，故選ACD.

12.【詳解】由點(diǎn)P（2,l）在角，的終邊上可得，tanO=；,

sin（26—兀）-sin2^-2sincossin。_1

_____1_____L——_______________________-.......——tan0—

則.（7il+cos282cos之。cos。2.

1+sin——20

（2J

13.［解析］設(shè)g（%）=ln咎，易知9（久）的定義域?yàn)椋?8,一3）“；，+8）,且

乙人-1-.L\乙，\4/

_7y_17_|_1?Y—1

g（-x）=In=lnnr—7=一In廠丁=一g（x）,所以g。）為奇函數(shù).若/（久）=

—zx+l2x—i2x+l

2Y—1

（久+a）ln忘三為偶函數(shù)，則y=久+a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a=0,（在公共定義域內(nèi)：

奇士奇=奇，偶土偶=偶，奇義奇=偶，偶＞＜偶=偶,奇*偶=奇）

14.解：①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為㈤川=2c,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)

為2勿，不妨設(shè)點(diǎn)尸在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義：|%|-|伍|=2而，由橢圓的定義：

\PFi\+\PF2\=2a,可得：|用|=/?+a,|用|=a-R,又N￡掰=60。，由余弦定理得:

2222

\PF1\+\PF2\-|冏|?|掰|=出用2=4。2,即（研a）+（a-a）-（研a）?（a-m）

=4c2,整理得：aW=4c2,所以：即W+W=4三2LLX^=-^~,

c2c2ef￡相egele2

可得e、e2昱,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

p22

2ele2

②：/為4打桃的內(nèi)心，所以空為/明月的角平分線，則有JPF.1!=llf_L,同理：

|AFi|AI

高二上數(shù)學(xué)期中考試答案第3頁(yè)，共8頁(yè)

匹1IP.|PF1I_I?|IP||PFt|+|PF2|_2a_1

IPF2IIP

左

|AF2|"AI-|AF1||AF2|"AI|"|AII'|AFi|+|AF2|G

即?；AI=AIP.IIAI|="故|人|=d，為△￡你的內(nèi)心,

%I,G三點(diǎn)共線，即為/杼的角平分線，進(jìn)而是角杼避的平分線，則有.GB

|BF|_IBFJIB?!|-|BF|

2又I班|w|班l(xiāng)，GB2區(qū)=%gplBGI

|PFrlpFil

2rc|PF12m

I-|PF2I

=e2\GP|，*.*BG=HGP,IBGl=IuIIGPl，AIuI=e2,

所以5"+r=5ei2+e221（5ei2+e22）（a+號(hào)）］（8+等+高）238+2后）=2+乎，當(dāng)且僅

當(dāng)e22=VBei2時(shí)，等號(hào)成立.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15（13分）解析：（1）1?圓〃的圓心在直線x—y+l=O上，設(shè)加+1）,貝（J

5x（—2）=—1,解得加=—2,即的-2,-1）,......2分

m

：.圓的半徑為中1=逐，.......3分

圓版的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2『+（y+l）2=5;.......5分

⑵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,2）的直線1被圓〃截得的弦長(zhǎng)為372,

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí),直線1的方程為x=0,

此時(shí)直線1被圓〃截得的弦長(zhǎng)為2J7Z=2,不符,舍去；.......7分

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí),設(shè)直線1的方程為^=丘+2,即Ax-y+2=0,.......8分

5,卜……。分

17

解得左=1或左=號(hào)，直線/的方程為x—y+2=0或17x—7y+14=0.13分

（說(shuō)明：這里少一種結(jié)果扣2分）

高二上數(shù)學(xué)期中考試答案第4頁(yè)，共8頁(yè)

16.（15分）解析：（1）由正弦定理可知，_=_2_=_J,

siib4sinBsinC

sin（4+C）_sin（兀-5）siiiSb_a-c

siiL4+sinCsiivl+sinCsirvl+sinCa+cb-c.........2分

伍—c）=（a+c）（a—c）?〃一兒=/一°2即〃+/一/=A。........3分

,b2+c2-a21

COS/i—__________—_

由余弦定理知—2bc~2,.......4分

JT

A&（O,nV-.A=-

又'’3........5分（不寫(xiě)范圍扣1分）

由2=巴,8=巴知C=?！囊话?4.又△/Be為直角三角形，

36362'

..a2故4也.......7分

/.SIIL4=———二一'暇。=----?/萬(wàn)

c2c3

⑵點(diǎn)〃在邊上且平分/胡。，所以S^Bc=SaB°+S》s，.......8分

即,28?ZC?Siih4=-AB-AD-sinZBAD+-ACAD-smZCAD，.......9分

222

-Z）csin60°=-c-V3sin300+-b-^sin30°>即6c=6+c?①.......1。分

222

又由于/+/-a?=兒，即62+，一4=6°，即（b+c）2=4+3bc?②.......11分

①代入②得到（6+cP—3僅+c）—4=0，

所以6+c=4或6+c=_］（舍去），.......14分

所以△48。的周長(zhǎng)為a+6+C=2+4=6-......15分

(說(shuō)明：解答過(guò)程中從頭到尾不寫(xiě)“正弦定理、余弦定理”扣1分)

17.

cV6

e=—=——

a3

311

(1)由已知可得＜1分解得6=收，........3分

?2b2'

c=2

a2=b2+c2

22

所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.......4分

高二上數(shù)學(xué)期中考試答案第5頁(yè)，共8頁(yè)

（2）當(dāng)直線MM與x軸重合時(shí)，不符合題意,5分

設(shè)直線MV的方程為》=叩+2,...............6分

聯(lián)立可得W+3W+4町-2=。，.......7分

A=16m2+8（m2+3）=24（m2+l）＞0,..............8分

4勿22

設(shè)由韋達(dá)定理可得/+“=一中，/％=一門(mén)，.......9分

則I"一刃=〔（乂+3）2-4“%=11分

m2+3

則黑…上爪-乃曰義兩衛(wèi)=3百，.......12分

解得加=±1,...............14分所以直線跖V的方程為y=±（尤-2）..................15分

（說(shuō)明：這里少一種結(jié)果扣2分）

ME=~BC

18?【解答】（1）取P8中點(diǎn)M,連接/M,EM,???￡為尸C的中點(diǎn)，.-.ME//BC,2

又「AD〃:BC,AD=^BC,:.ME//AD,ME=4D,二四邊形4DEW為平行四邊形，

:.DEHAM,?.?DEU平面尸42,Wu平面尸.1DE〃平面RIB；...............4分

（2）平面尸48_L平面/BCD,平面E43c平面/2CD=/8,3CU平面/BCD,

BC1AB,BC1PAB,................6分

取中點(diǎn)G,連接尸G,則尸G//3C,.?.尸G,平面上”，

1O

ZGPF=60°,GF=-（AD+BC）=3,tan60°=—,:.PG=73,又

2PG

PA=PB=2,:.AG=GB=14-3=l,AB=1,

①如圖以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB為無(wú)軸，G尸為N軸，G尸為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，…8分

高二上數(shù)學(xué)期中考試答案第6頁(yè)，共8頁(yè)

二定=(1,4,一百)，麗=(-2,-2,0),設(shè)平面PGD的一個(gè)法向量，或=(x,y,z),

n,-PC=x+4y-A/§Z=0—(\

貝|J」一,取了=1,則%=-M,若r，.....io分

nl-CD=-2x-2y=0''

平面上43的一個(gè)法向量可取元=(0,1,0),............11分

設(shè)平面尸與平面PCD所成銳二面角為。，，cosO=普雪=；=￡,

網(wǎng)同5

所以平面尸48與平面PCD所成銳二面角的余弦值Y5............12分

5

②如圖，BC〃AD,從而AD垂直于AM,四邊形AMED為矩形