函數(shù)的概念與性質(zhì)（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題04函數(shù)的概念與性質(zhì)5題型分類

彩題如工總

題型1:函數(shù)的概念與表示

題型5：函數(shù)的對稱性

題型2：函數(shù)的單調(diào)性與最值

專題04函數(shù)的概念與性質(zhì)

5題型分類

題型4：函數(shù)的周期性

題型3：函數(shù)的奇偶性

彩和渡寶庫

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,3是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任

意一個數(shù)X,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系方在集合5中都有

概念

唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱/：A-3為從集合A到

集合5的一個函數(shù)

對應(yīng)關(guān)系y=/(x),

三要素定義域X的取值范圍

值域與x對應(yīng)的y的值的集合伏x）|x?A}

2.函數(shù)的單調(diào)性

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)五x）的定義域為/,區(qū)間DG/,如果Vxi,X2^D

當(dāng)X1<X2時，都有>y（X2），

當(dāng)X1<X2時，者B有人X1）</（X2）,那么就

那么就稱函數(shù)而0在區(qū)間D上單

定義稱函數(shù)汽X）在區(qū)間。上單調(diào)遞增，特別

調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)汽X）在

地，當(dāng)函數(shù)次X）在它的定義域上單調(diào)遞

它的定義域上單調(diào)遞減時，我們

增時，我們就稱它是增函數(shù)

就稱它是減函數(shù)

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/，如果存在實數(shù)“滿足

(l)Vxez,都有人x)WM；(l)Vx￡L都有而

條件

(2)3xoe/,使得次x())=M(2)3xoGZ,使得式xo)=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

4.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

一般地，設(shè)函數(shù)五x)的定義域為/,如果Vx?/,都有一

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

X^I,且八一x)=Ax)，那么函數(shù)人X)就叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)人勸的定義域為/,如果Vx?/,都有一

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

X^I,且五一x)=一五》)，那么函數(shù)人X)就叫做奇函數(shù)

5.函數(shù)的周期性

周期函數(shù)：對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)7?，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都

有/(x+n=/(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱了為這個函數(shù)的周期.

彩他題秘籍

(_)

函數(shù)的概念與表示

1.函數(shù)的三要素

(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

2.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)

稱為分段函數(shù).

4.函數(shù)的定義域

(1)無論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合.

(2)若《￥)的定義域為［a,b］,則復(fù)合函數(shù)五g(x))的定義域由不等式a4(x)@求出.

(3)若復(fù)合函數(shù)Hg(x))的定義域為［a,b］,則Hx)的定義域為g(x)在［a,加上的值域.

5.函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法.

(2)待定系數(shù)法.

(3)換元法.

(4)解方程組法.

6.分段函數(shù)求值問題的解題思路

(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)用(0)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的

值，切記要代入檢驗.

題型1：函數(shù)的概念與表示

1-1.(2024高二下.寧夏吳忠?學(xué)業(yè)考試)如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是()

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的概念判斷

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對于一個x,只能有唯一的y與之對應(yīng)，只有D滿足要求

故選：D

1-2.(2024高三.全國?課后作業(yè))下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是().

A./(x)=lgx2,g(x)=21g無

_l_1

B.f(Jr)=lg:r-g(x)=lg(x+l)-lg(x-l)

X-I

C〃")=舊'g(v)=舊

D./(X)=(A/7),g(x)=E

【答案】C

【分析】對四個選項從定義域和對應(yīng)關(guān)系兩個方面一一驗證，即可得到正確答案.

【詳解】對于A："x)=lgV的定義域為R,g(x)=21gx的定義域為(0,+8).因為定義域不同，所以〃尤)和

g(x)不是同一個函數(shù).故A錯誤；

對于B：〃無)=lg=的定義域為g(x)=lg(x+l)—lg(x—1)的定義域為(1,+s).因為定

義域不同，所以〃尤)和g(x)不是同一個函數(shù).故B錯誤；

對于C：〃")=正|的定義域為(fl),g(p)=RZ；的定義域為(-1,1),所以定義域相同.又對應(yīng)關(guān)系也

相同，所以為同一個函數(shù).故C正確；

對于D：〃x)=(4『的定義域為［0,+功，g(x)=G的定義域為R.因為定義域不同，所以和g(尤)不

是同一個函數(shù).故D錯誤；

故選：C

1-3.(2024.全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)=\，八，則()

［無一3無一4,x>0'''

A.-6B.0C.4D.6

【答案】A

【分析】

由分段函數(shù)解析式，利用周期性求得〃T)=〃l)=-6,進(jìn)而求目標(biāo)函數(shù)值.

【詳解】

由分段函數(shù)知：當(dāng)x<0時，周期7=1,

所以/(T)=/(T+5)=/⑴=1-3—4=-6,

所以了(/(T))=/(-6)=/(-6+7)=/(l)=Y.

故選：A

14（2024?北京朝陽?二模）函數(shù)［的定義域為______.

Vx+1

【答案】{尤卜訓(xùn)

【分析】解不等式x-120即可得函數(shù)的定義域.

【詳解】令:二20,可得尤-晚0,解得X2L

X+1

故函數(shù)的定義域為何61}.

故答案為:{x|xNl}.

1-5.（2024高三?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)“X）的定義域為［J,則函數(shù)y=/，-x-1的定義域

為.

【答案】

【分析】由題意知-gw無2-x-gwg,解不等式即可求得答案.

【詳解】因為函數(shù)y=/（x）的定義域為，

所以在函數(shù)、=/1/一工一（］中，一］三尤解得1—二WxWO或,

I2J22222

故答案為:

1-6.（2024高一上?湖南邵陽?期末）已知/（x）=ln（f-辦+1）的定義域為R,那么。的取值范圍為

【答案】（-2,2）

【分析】根據(jù)題意可知，爐一分+1>。的解集為R,由公<。即可求出.

【詳解】依題可知，/-依+1>0的解集為R,所以A=a2-4<0，解得-2<a<2.

故答案為：（-2,2）.

1-7.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若函數(shù)>=/（x）的值域是［-1,3］,則函數(shù)g（x）=3-2/a+l）的值域為

【答案】[-3,5]

【分析】根據(jù)y=/(x)的值域是[T3],分步求出g(x)=3-2/(x+l)的值域.

【詳解】因為函數(shù)>=/(幻的值域是[-1,3],

所以函數(shù)y=/(x+D的值域為

則y=-2f(x+l)的值域為[-6,2],

所以函數(shù)g(x)=3-2/。+1)的.值域為[-3,5].

故答案為：卜3,5].

1-8.(2024高三?全國?課后作業(yè))函數(shù)y=J二三+&7I的值域為.

【答案】[石，指]

【分析】先求函數(shù)的定義域，由于yzo,在結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和根式的性質(zhì)求函數(shù)的值域.

-----(------[1-X20

【詳解】由丫=正(7+071有意義可得c、八，所以-

[2+x>0

y=Jl—x+42+x的定義域為[-2,1],

y—1冗++x產(chǎn)—J1-%+2+%+2，1-x?J2+；

設(shè).=-[%+工]，貝！)/￡一38，丫二/2，+2+3，貝！)y￡[月,#].

故答案為：[6,6].

1-9.(2024高一.上海.專題練習(xí))求下列函數(shù)的值域

3+x

(1)y=--

4-x

5

(2)

,一2尤2-4無+3；

(3)y=yjl-2x—x；

_x2+4x+3

(4)>x2+x~6'

(5)y=4一，3+2%-九2；

(6)y=x+Jl-2x；

(7)y=(%-3+(5-.；

(8)y=-J-X1-6x-5

3x+l

(9)y二

x—2

2%2—九十1

(10)(%>5).

y=2x-l

【答案】(1)(一°°,—l)u(—1,十°°)；(2)(0,5]；(3)-5，+°°)；(4){y|ywl且(5)[2,4]；(6)；

(7)2]；(8)[0,2]；(9)(—°°,3)U(3,+°o)；(10)A/2+—,+00j.

【分析】(1)先分離常數(shù)，利用分式函數(shù)有意義直接得到值域即可;

(2)直接利用二次函數(shù)性質(zhì)求分母取值范圍，再求y的取值范圍即得結(jié)果；

(3)先求定義域，再利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)取值范圍即可；

(4)變形得y=l+^-,(x^-3)f即可得解；

x—2

(5)利用二次函數(shù)的單調(diào)性逐步求值域即可；

(6)令:75萬，則》=號，將函數(shù)變形為y=-《+f+(jW0,利用二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得;

(7)求出函數(shù)定義域，y=與+5M平方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域即可；

(8)直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性逐步求值域即可；

(9)先分離常數(shù)，利用分式函數(shù)有意義直接得到值域即可；

(10)先進(jìn)行換元r=2x-1>0,再利用對勾函數(shù)單調(diào)性求解值域即可.

【詳解】解：(1)分式函數(shù)>=誓=-1-1，

4一九x-4

定義域為{x|x*4},故白;/。，所有>片-1，

故值域為-l)D(-l,+oo)；

57

(2)函數(shù)y=-2--------中，分母1=2兀2_4兀+3=2(1-1)+1>1,

2x-4x4-3

則y=；e(0,5],故值域為(0,5]；

(3)函數(shù)y=中,令1-2x20得

易見函數(shù)y=，l-2x和。=-%都是減函數(shù),

故函數(shù)y=5/r^-x在xwg時是遞減的，故尤=g時/n=-g，

故值域為

z.xx2+4x+3x+13/、

(4)股算不？=口=1+三，(x~3),

故值域為卜|>21且y片；

(5)y=4-J3+2%-%2=4-(x—I)2+4,X￡[-l,3]

ffi]0<-(x-l)2+4<4,XG[0,4],

/.0<7-(.^-I)2+4<2,「.4-244-J-(十-I)?+4W4-0，

即24”4,故值域為[2,4]；

(6)函數(shù)y=x+Jl-2x,定義域為卜8,；,令/=Jl-2v=0,

1—r1—產(chǎn)產(chǎn)1

所以X=」_,所以y==+r=-L+r+_Lj20,對稱軸方程為r=l,

2222

所以t=l時，函數(shù)y1mx=-;+1+；=1,故值域為(一8』；

一fx-3>0

(7)由題思得|,解得3工145,

p-x>0

貝IJ/=2+2j(x-3)(5-x)=2+2J-(x-4『+l,3《尤W5,

故一(x—4)2+le[0,l],2^-(x-4)2+le[0,2],2<y2<4,

由y的非負(fù)性知，y[2<y<2,故函數(shù)的值域為[a,2]；

(8)函數(shù)y=j2-6x-5=J-(x+3)2+4,定義域為-(x+3)2+4e[0,4],故

>=J_(x+3『+4e[0,2],即值域為[0,2]；

(9)函數(shù)了=主[=3+二，定義域為卜|尤片2},

故￡片0,所有y*3,故值域為(F,3)U(3,+8)；

2X2-X+1=(2X-1『+(2X-1)+2=1^x-l)1

(10)函數(shù)>=++2；

2元一12(2x7)

eq1「If2^11

令A(yù)f=2x-L則由x>—知，t>0,j=-t+-+-,

22<t)2

根據(jù)對勾函數(shù)，+/在(0，血)遞減，在[①+8)遞增，

可知.=3時，Vmin=120+；=拒+；,故值域為0+；,+co).

【點睛】方法點睛：

求函數(shù)值域常見方法：

(1)單調(diào)性法：判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域(包括常見一次函數(shù)、二次函數(shù)、分式函數(shù)、對勾函

數(shù)等)；

(2)換元法：將復(fù)雜函數(shù)通過換元法轉(zhuǎn)化到常見函數(shù)上，結(jié)合圖象和單調(diào)性求解值域；

(3)判別式法：分式函數(shù)分子分母的最高次幕為二次時，可整理成關(guān)于函數(shù)值y的二次方程，方程有解，

判別式大于等于零，即解得y的取值范圍，得到值域.

1-10.(2024高三?全國?專題練習(xí))求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知-sinx)=cos。，求〃x)的解析式；

⑵已知小+￡|=/+福，求〃x)的解析式；

⑶已知〃x)是一次函數(shù)且3〃x+l)—2/(x-l)=2x+17,求的解析式；

⑷已知滿足”(x)+〃f)=3x,求/(x)的解析式.

【答案】(D〃x)=2x-x2,XG[0,2]

(2)〃x)=爐-2,X￡(-OO,-2]U[2,-K?)

(3)/(x)=2x+7

(4)〃x)=3x

【分析】(1)設(shè)l-sinx=f,由換元法可得出答案.

(2)由[一2,由配湊法可得答案.

(3)可設(shè)式尤)=亦+優(yōu)。#)),利用待定系數(shù)法可得答案.

(4)將x用-x替換，由方程消元法可得答案.

【詳解】(1)設(shè)l—sin%=，，te[0,2],則sinx=lT

*.*/(1-sinx)=cos2x=1-sin2x

y(r)=i-(i-r)2=2r-r2,?e[o,2]

即/(x)=2x-x2,xe[0,2]

2

(2)：/(尤+!)=尤2+二=

x+—I—2

XXX

由勾型函數(shù)y=X+工的性質(zhì)可得，其值域為（-8,-2]U[2,+4

X

所以〃%)=尤2一2,xe(-00,-2]u[2,+a?)

（3）由Ax）是一次函數(shù)，可設(shè)?O=ar+b（＜#0）,

/.3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b\=2x+17,即ax+(5a+b)=2x+ll,

a=2,CL—2,

5i=17解得

b=7,

?'?/(x)的解析式是fl,x)=2x+y.

(4)2/(x)+/(-x)=3x,①

???將x用-x替換，得2〃T)+"X)=-3X,②

由①②解得Xx)=3x.

函數(shù)的單調(diào)性與最值

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）VX1，*2￡/且刈#*2,有出@=3＞0（＜0）或的一X2），（X1）—/2）]＞0（＜0）臺/（X）在區(qū)間/上單

XI-X2

調(diào)遞增（減）.

（2）在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù).

1

(3)y=fM(f(x)>0或/(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=的單調(diào)性相反.

/)

（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.

2.確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法

（1）定義法.

（2）導(dǎo)數(shù)法.

（3）圖象法.

（4）性質(zhì)法.

3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

（1）比較函數(shù)值的大小時，先轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.

（2）求解函數(shù)不等式時，由條件脫去“產(chǎn)，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義

域.

（3）利用單調(diào)性求參數(shù)的取值（范圍）.根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程（組）（不等式

（組））或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值.

題型2:函數(shù)的單調(diào)性與最值

（3a-l）x+4a（x<l）

2-L（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=、，滿足對任意的實數(shù)為，羽且玉片超，

a尤,刈

都有［『（％）-〃々）］（玉-々）<0,則實數(shù)a的取值范圍為（）

A?卜Ib-H］c-［?!}口.加

【答案】C

【分析】利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性然后轉(zhuǎn)化分段函數(shù)推出不等式組，即可求出。的范圍.

【詳解】對任意的實數(shù)無產(chǎn)毛，都有"（X）-/（X2）］a—上）<0,即"?成立,

可得函數(shù)圖像上任意兩點連線的斜率小于0,說明函數(shù)是減函數(shù)；

3ci—1<0

可得：,

3a-l+^a>a

解得?！辍獆,

故選：C

2-2.（2024高三上?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）若函數(shù)=在區(qū)間［0』上的最大值為3,則實數(shù)

m-

【答案】3

【分析】

先分離變量/(何=如?=2+二，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，分類研究即可.

X+lX+1

【詳解】

???函數(shù)〃f=2+3

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

當(dāng)機(jī)＞2時，在［0內(nèi)上單調(diào)遞減，最大值為〃0)=加=3；

當(dāng)機(jī)＜2時，〃耳=彳詈在［0,1］上單調(diào)遞增，最大值為〃1)=智=3,

即根=4,顯然根=4不合題意,

故實數(shù)加=3.

故答案為：3

2-3.(2024?河南.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且/(〃尤)-2-2%)=10,則/(x)在

［-2,2］上的值域為.

一7-

【答案】--J0

【分析】易知/(尤)一2「2龍是一個固定的數(shù)記為/,得至U〃x)=2'+2x+，，進(jìn)而有了⑺一2'-2/=/,即

/(f)=2,+3/=10,求得t=2,利用函數(shù)的單調(diào)性求得其值域.

【詳解】因為f(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，

所以存在唯一的/eR,使得了⑺=10,

貝i］/(x)-2J2x=r,f(t)-'2!-2t=t,即"。=2'+3t=10,

因為函數(shù)y=2'+3/為增函數(shù)，且22+3x2=10,所以/=2,

f(x)=2T+2x+2.

易知“X)在［一2,2］上為增函數(shù)，且〃一2)=-(，"2)=10,

「7-

則“X)在［-2,2］上的值域為--510.

7

故答案為：-“1。.

2-4.（2024高三下?河南?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=優(yōu).+3尤+1（。>。且。片1）,若曲線y=〃尤）在點（0,〃。））

處的切線與直線x+2y-l=0垂直，則〃尤）在［-1,2］上的最大值為.

【答案】7+4

e

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)兩直線垂直得到切線在（0,〃0））的斜率為2,得到方程，求出由/（X）是增函

數(shù)求出/'（x）2/（-l）=3-e>0,得到了⑺的單調(diào)性，得到最大值.

【詳解】由題意得廣（x）="lna+3,所以解（0）=lna+3,

因為切線與直線尤+2y-l=0垂直，而x+2y-l=0的斜率為一;，

所以切線斜率為2,即lna+3=2,解得a=J,

所以f（x）=eT+3x+l,且7''（■）=9+3,

顯然（（力是增函數(shù),

當(dāng)xe［-l,2］時，r（x）>r（-l）=3-e>0,

所以〃x）在［-1,2］上單調(diào)遞增，故"X）1mx="2）=7+士.

e

故答案為：7+—

e

2-5.（2024?天津河西?模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，對任意/，x2G［2,-KO）,且王。馬

都有成立.若q=〃iog3i8),b=f(\n(In10、

，貝!J。，Z?,c的大小關(guān)系是（）

\7

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

In10

2

【分析】利用奇偶性和對稱性判斷函數(shù)y=/（X）在（2,+⑹上的單調(diào)性，再比較10g318,In亞,e大小，結(jié)

合y=/（%）的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】解：因為函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù),

所以函數(shù)y=的對稱軸為x=2,

又因為對任意七，x,e[2,y),且占都有>0成立.

石-x2

所以函數(shù)y=〃x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，

2

2

而3=log327>log318>log39=2,In^Ine—InA/2=2—In\/2<2,e-2__ein7io_>3,

In102

所以e2>log318>2>ln-j=,

所以c>a,

因為函數(shù)y=〃x)的對稱軸為x=2,

所以b=/=/4-ln=/(2+ln碼,

而a="log?18)=/(log?9x2)="2+logs2),

因為In0<log32,

e

所以2<4-ln<log18<3

a3

所以,

所以Z?<a<c.

故選：A.

彩做題秘籍（二）

函數(shù)的奇偶性

1.函數(shù)的奇偶性

（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性.

（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

2.函數(shù)奇偶性的判斷

（1）定義域關(guān)于原點對稱，否則即為非奇非偶函數(shù).

（2）判斷五x）與八一x）是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性

的等價等量關(guān)系式（/00+八一x）=0（奇函數(shù)）或人乃一A—x）=0（偶函數(shù)））是否成立.

3.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求

已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

題型3:函數(shù)的奇偶性

/、x?—3*,x<0,..

3-1.(2024廣東湛江?二模)已知奇函數(shù)/(》)=(、,c貝1晨力=________.

g(x)+l,x>0,

【答案】—d+3，-l

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，先求當(dāng)x>0時，-x<0,/(%)=-/,(-%),再進(jìn)一步求解g(x).

【詳解】當(dāng)x>0時，f<0,/(x)=g(x)+1=-/(-x)=-[(-x)2-34-x)]=-x2+3\

貝Ug(x)=f2+3-1.

故答案為：-/+3，一1.

3-2.(2024高三.全國.專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=-爐+4尤-3,

則函數(shù)〃尤)的解析式為.

x2+4x+3,x<0

【答案】〃x)=0,x=。

—尤2+4x—3,尤>0

【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解即可.

【詳解】由于函數(shù)〃尤)是R上的奇函數(shù)，則〃0)=0.

當(dāng)x>0時，/(尤)=-x2+4x—3,

設(shè)x<0,貝i]-x>0,貝!|/'(一彳)=一無2-4無一3=—/(%),

所以，a)=d+4x+3.

x2+4x+3,x<0

綜上所述，〃無)=<0,尤=0.

—x2+4x—3,x>0

尤2+4x+3,尤<0

故答案為：/(元)=<0,尤=。

-x2+4.x-3,x>0

【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式的步驟：

(1)設(shè)：要求哪個區(qū)間的解析式，X就設(shè)在哪個區(qū)間；

(2)代：利用己知區(qū)間的解析式代入進(jìn)行推導(dǎo)；

(3)轉(zhuǎn):根據(jù)/(*)的奇偶性,把〃-x)寫成-/(幻或〃x),從而解出了(%).

3-3.(2024?新疆阿勒泰?一模)若函數(shù)〃x)=2e2*+ae%+l為偶函數(shù)，貝1］。=.

【答案】2

【分析】由偶函數(shù)的概念列方程即可求得.

【詳解】???函數(shù)〃力=2e2x++1為偶函數(shù)

/./(x)=2e2x+ae-2x+l=f(-x)=2e-2x+tze2x+1

BP(2-a)e2x=(2-a)e-2x

又,/e2x>0,e-2x>0,e2x^e-2x(x^0),.\2-a=0,a=2

故答案為：2

3-4.(2024高三下?江西?階段練習(xí))若函數(shù)〃%)=1。&(16*+1)-依是偶函數(shù)，貝打。g.2=.

【答案】1

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求得。的值即可.

【詳解】??"(X)為偶函數(shù)，定義域為R,

???對任意的實數(shù)X都有了⑺寸(T),

x

即log2(16*+1)-方=log2(16~+1)+or,

Y-vx

2ax=log2(16+-logo(16+l^=log216=4x,

由題意得上式對任意的實數(shù)無恒成立，

*,*2。=4,解得〃=2,所以logq2=1

故答案為：1

3-5.（2024高一上.安徽蚌埠?期末）已知定義在R上的函數(shù)/（力,g（x）滿足:①“0）=1；②g（x）為奇函

數(shù)；③Vxe(0,4<o),g(x)>0；④任意的x,yeR,/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y).

（1）判斷并證明函數(shù)〃x）的奇偶性;

（2）判斷并證明函數(shù)八%）在（0,+?）上的單調(diào)性.

【答案】（1）偶函數(shù)，證明見解析；（2）/（%）在（0,+?）上單調(diào)遞增，證明見解析.

【解析】⑴取x=y結(jié)合以0）=1得出g（o）=。，再由〃T）=〃0—x）=〃0）〃x）-g（0）g⑺證明函數(shù)

“X）的奇偶性；

(2)由奇偶性得出〃x+y)=/(x)/(y)+g(x)g(y),再由函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合

〃尤2)-〃%)=(迨會+玉尹竹土-三尹)證明函數(shù)”X)在(0,+?)上的單調(diào)性.

【詳解】解：(1)依題意,f2(x)-g2(x)=/(x)/(x)-g(x)(x)=/(x-x)=/(0)=1.

⑼_g?(0)=g⑼=o

/(-X)=/(0-x)=/(O)/(%)-g(O)g(%)=/(x),

又因為y(x)的定義域為R,所以函數(shù)/'(X)為偶函數(shù).

(2)由④知,〃x+y)=/(x)〃-y)—g(x)g(-y)=/(x)〃y)+g(x)g(y)

VXj,X2G(0,+oO),Xj<x2

號BY三一

?/x1,x2>0,x1<x2,^^>0

即/(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增.

【點睛】關(guān)鍵點睛：在證明奇偶性時關(guān)鍵是利用/(X-y)=/(x)〃y)-g(x)g(y)求出g(O)=O,再由定義

證明函數(shù)/(X)為偶函數(shù)；在證明單調(diào)性時，關(guān)鍵是由

/伉)一〃%)=(里+號]-7[8一號)結(jié)合/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y),

/(x+y)=〃x)〃y)+g(x)g(y)證明了⑺在(。,+?)上單調(diào)遞增.

—(四)

函數(shù)的周期性

i.函數(shù)周期性常用結(jié)論

(1)若/(x+a)=—f(x),則T=2a(a>0).

1

(2)若/(x+a)=x，則T=2a(a>0).

Jvx)

2.函數(shù)的周期性

(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.

(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已

知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.

題型4:函數(shù)的周期性

4-1.(2024高一下?全國?課后作業(yè))在如圖所示的>=/(尤)的圖象中，若了(0.005)=3,則”0.025)=.

【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)周期，利用函數(shù)的周期求值即可.

【詳解】由圖象知：周期為0.02,

所以/(0.025)=/(0.005+0.02)=/(0.005)=3.

故答案為：3

4-2.（2024高一上?陜西寶雞?期末）已知是定義在R上的函數(shù)，對任意實數(shù)尤都有/（彳+4）=/（無），且

當(dāng)0<x<4時，/(x)=log4x,則/(2022)=

【答案】1/0.5

【分析】先求出函數(shù)/（X）的周期，再通過周期以及。<x<4時的解析式可得了（2022）.

【詳解】由/（x+4）=/（x）得〃x）的周期7=4,

/(2022)=/(4x505+2)=/(2),

又當(dāng)0<%<4時，/(x)=log4X,

f(2022)=/(2)=log42=1,

故答案為：；

43（2024高三?全國?對口高考）已知〃無）是定義在R上的偶函數(shù)，并且滿足了"+2）=-；^,當(dāng)2Vx<3

時，/（x）=x,則〃105.5）等于（）

A.-2.5B.2.5C.5.5D.-5.5

【答案】B

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)/（X）為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)/（X）的周期性和奇偶性可求得了（105.5）

的值.

【詳解】因為函數(shù)/（X）是定義在R上的偶函數(shù)，并且滿足了（x+2）=-焉,

1卜=〃

/(x+4)=-x)

則I7小+2）

所以，函數(shù)/（X）是周期為4的周期函數(shù),

且當(dāng)2Vx<3時，/(x)=x,則〃105.5)=〃4x26+1.5)=〃1.5)=〃L5_4)

=/(-2.5)=/(2.5)=2.5.

故選:B.

4-4.（2024高一下?全國?課后作業(yè)）函數(shù)y=/（x）是以4為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)xe[-2,2）時，/（x）=|+l,

試求當(dāng)xe[4,8）時，〃力的解析式.

x-2

,4<x<6

【答案】〃無)=2

x-6

,6<x<8

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性求得正確答案.

【詳解】依題意，函數(shù)y=F(x)是以4為周期的周期函數(shù),

當(dāng)4K%<6時，04無一4<2,

所以/(尤)=/5一4)=甘+1=辭，

當(dāng)6<xv8時，—2x—8<0,

所以/(尤)=/"-8)=1+1=^，

——-,4<x<6

綜上所述，〃尤)=2

口6工尤<8

I2

彩傅甄祕籍

函數(shù)的對稱性

1、函數(shù)自身的對稱性

⑴函數(shù)y=/(%)的圖像關(guān)于點A(a,3對稱的充要條件是：

f(x)+f(2a-x)=2b,BPf(a-x)+f{a+x)=2b,>

推論：函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點。對稱的充要條件是/(%)+/(-x)=0。

(2)函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=。對稱的充要條件是：

f(a+x)=f(a-%),即/(x)=/(2a-x)。

推論：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是/(x)=/(-x)。

2、不同函數(shù)對稱性

(1)函數(shù)y=/(a+x)與y=/(6-x)的圖像關(guān)于直線工=一成軸對稱。

推論1:函數(shù)y=于(a+%)與y=f(a-x)圖象關(guān)于直線x=。對稱

推論2:函數(shù)y=/(x)與y=f(2a-x)圖象關(guān)于直線x=a對稱

推論3:函數(shù)y=/(-x)與y=f(2a+x)圖象關(guān)于直線x=-a對稱

題型5:函數(shù)的對稱性

5-1.(2024高三上?湖北武漢?期末)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=sin2尤的圖象關(guān)于直線x=萬對稱，

將g(x)的圖象向右平移?個單位長度后得到函數(shù)y=〃x)的圖象，則函數(shù)y=在xe/g]時的值域為

()

A--當(dāng)當(dāng)B.一1，與C卜爭]D.[0,1]

【答案】C

【分析】由對稱性先求出g(無)的解析式，再由平移得出y=/(x)的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出其值

域.

【詳解】設(shè)(％y)為g(x)的圖像上一點，則點(x,y)關(guān)于直線工=萬對稱的點為(2%-x,y)

由題意點(2萬一x,y)在函數(shù)y=sin2x的圖象上，則y=sin2(2;r—尤)=-sin2x

所以g(x)=-sin2x,貝f(x)=_sin2(x-]j=-sin12x一

當(dāng)xe0,—時，2x--—e---,貝Ijsml2x---Je-I,—

所以—與

故選：C

5-2.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(f-2x)(x2+依+6)+6,且對任意的實數(shù)x,/(x)=/(4-x)

恒成立.若存在實數(shù)4，”…，x?e[0,5](〃eN*),使得2〃匕)=￡/&)成立，則w的最大值為()

i=l

A.25B.26C.28D.31

【答案】B

【分析】求解本題的關(guān)鍵：一是根據(jù)已知條件得到"4)=/⑼，/(3)=/(1),從而求出函數(shù)的解析

式；二是根據(jù)函數(shù)“X)的解析式的結(jié)構(gòu)特征換元求得xe[0,5]時六力的值域；三是根據(jù)題意得到

【詳解】由題意得〃/4、)"(0/)、,〃/3、)=/(/1、),所以1命8(16++4.a+)b)[+66=r6,+?)+6解得[[a=-6,所以

=(爐—2x)(x?-6x+8)+6=x(x-4)(x-2)2+6=(x-2)4-4(x-2)~+6

=[(X-2)2—2,+2.

令(x-2)2=f,若xe[0,5],則fe[0,9].

4/I(?)=(?-2)2+2,re[0,9],故/z(r)e[2,51],即當(dāng)xe[0,5]時，〃力42,51].存在耳，巧，…，王目0,5]

(“eN*)使得2〃%)=f/(%)成立，即存在不，巧，…，X?G[0,5](MN*),使得

i=l

1/'(4)=1/■(%)+〃/)+…+/D，由xe[o,5]時,“X)的最小值為2,最大值為51,得

51>f(xn)=f(x1)+f(x2)+^-+f(xn_1)>2(n-l)f得〃號,又〃N*,所以可得〃的最大值為26.

故選：B.

5-3.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知定義在R上的圖象連續(xù)的函數(shù)〃x)的導(dǎo)數(shù)是用尤)，f(x)+f(-2-x)=0,

當(dāng)x<T時，(x+l)"(x)+(x+l)r(x)]<0,則不等式的解集為()

A.(-1,1)B.C.(L+?)D.(-oo,-l)u(l,+oo)

【答案】A

【分析】由題設(shè)，易知〃x)+(x+l)/'(x)>0,構(gòu)造產(chǎn)(x)=(x+l)〃x),利用導(dǎo)數(shù)研究其在(-8,-1)上的單

調(diào)性，并確定對稱軸，進(jìn)而得到(-1,+⑹的單調(diào)性，由#(X-1)>〃0)等價于尸(X-1)>尸⑼，即可求解集.

【詳解】當(dāng)x<-l時，(x+l)[/(x)+(x+l)r(x)]<0,即有〃x)+(x+l)「(x)>0.

令尸(x)=(x+l)/(x),則當(dāng)X<-1時,F(x)=/(x)+(x+l)/,(x)>0,故/(x)在(-00,-1)上單調(diào)遞增.

?.?尸(一2—尤)=(-2—尤+1)/(—2—同=(一1一尤)[一7?(*)]=尸(x),

???尸(力關(guān)于直線》=-1對稱，故廠(%)在(T+8)上單調(diào)遞減，

由4■(%-1)>〃0)等價于戶(-1)>f(0)=尸(—2),則—2<x—1<0,#-1<X<1.

^(x—1)>〃0)的解集為(-M).

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先確定/'(可+(尤+1)((尤)符號，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=(x+l)/(x)研究單調(diào)性、對稱性,

由#(x-l)>/(O)等價于F(x-1)>尸(0)求解集.

5-4.(2024?貴州畢節(jié)?三模)已知定義在R上的函數(shù)/(盼滿足：對任意xeR,都有〃x+l)=一x),且當(dāng)

15

了€(-8,1)時，。-1)"'(》)>0(其中/(X)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)).設(shè)a=/(log23),&=/(10&2),c=/(2),

則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【答案】c

【分析】由已知確定函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，然后把“了”后面自變量的值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上，可得大小

關(guān)系.

【詳解】由/(%+1)=/(1-%),得>=/(%)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，又時，(1-1)-(%)>0,所以

ru)<o,即/⑺在(-8/)上單調(diào)遞減，所以在a+8)上單調(diào)遞增，

9

1<log23<2,2>5>2,log32<1,/(log32)=f(2-log32)=/(log3-),

l3Q/-3Q

log23>log22V2=1<log3-<log33V3=-,所以I<log35<log23<2i5,

所以

故選：C.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.(2024高三.全國.專題練習(xí))函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l的交點個數(shù)()

A.至少1個B.至多1個C.僅有1個D.有0個、1個或多個

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的定義判斷.

【詳解】若1不在函數(shù)式x)的定義域內(nèi)，y=/(x)的圖象與直線x=l沒有交點，

若1在函數(shù)40的定義域內(nèi)，y=/(x)的圖象與直線x=l有1個交點，

故選：B.

2.(2024高一上?湖南?期中)下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的一組是()

A.y=|.r|,M=Vv^B.y=\[^,s=E)。

*2_]_____________

C.y=-,m=n+lD.y=Cx+l-Jx-l,y=Jx?-1

x-\''

【答案】A