考研筆記 《普通物理學(xué)》（第6版）（上冊(cè)）筆記和課后習(xí)題（含考研真題）詳解-220-437

,=20√273m/s=330m/s..數(shù).M證明：將空氣看作是理想氣體，其摩爾質(zhì)量為，范德瓦爾斯氣體的內(nèi)能包括所有分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和分子間的引力勢能總和.當(dāng)氣體體積膨脹時(shí)，分子引力作負(fù)功而使得分子勢能增大，但分子熱運(yùn)動(dòng)總動(dòng)能減小，使得范德瓦爾斯氣體膨脹時(shí)內(nèi)壓強(qiáng)做負(fù)功，使分子勢能增加，有：則又因?yàn)椤鱁=C..△T,所以(2)氣體溫度的變化不是由于其內(nèi)能變化了，而是由于分子熱運(yùn)動(dòng)總動(dòng)能變化了，此處分子熱運(yùn)動(dòng)總動(dòng)能減小了，因而溫度要降低.(3)對(duì)于理想氣體，由于不考慮分子間相互作用的勢能，其內(nèi)能就是分子熱運(yùn)動(dòng)的總動(dòng)能，因此在作真空中的絕熱自由膨脹時(shí)，溫度和內(nèi)能都不變.6-19設(shè)有一以理想氣體為工作物的熱機(jī)循環(huán)，如圖6-2-3所示，試證明其效率為圖6-2-3證明：先求循環(huán)的作功量A,A的大小對(duì)應(yīng)于p-V圖上循環(huán)過程曲線所圍部分的面積，b→c是絕熱過程，因此有：所以氣體對(duì)外做功：循環(huán)過程中只有a→b等容過程從外界吸熱，吸熱量：所以該循環(huán)的效率：命題得證.6-201mol理想氣體在400K與300K之間完成一卡諾循環(huán)，在400K的等溫線上，起始體積為0.0010m3,最后體積為0.0050m3,試計(jì)算氣體在此循環(huán)中所作的功，以及從高溫?zé)嵩次盏臒崃亢蛡鹘o低溫?zé)嵩吹臒崃?解：設(shè)循環(huán)的狀態(tài)點(diǎn)如圖6-2-4所示.圖6-2-4由卡諾循環(huán)的特點(diǎn)可知，循環(huán)過程從高溫?zé)嵩次盏臒崃康扔谠诟邷責(zé)嵩催M(jìn)行等溫過程的吸傳給低溫?zé)嵩吹臒崃康扔谠诘蜏責(zé)嵩催M(jìn)行等溫過程的放熱量：又因?yàn)樵诮^熱過程中有：T?V?'-T?V?'.6-21一熱機(jī)在1000K和300K的兩熱源之間工作.如果(1)高溫?zé)嵩刺岣叩?100K,(2)低溫?zé)嵩唇档?00K,求理論上的熱機(jī)效率各增加多少?為了提高熱機(jī)效率哪一種方案更好?解：由題意可知，原來的效率：(1)當(dāng)高溫?zé)嵩礈囟忍岣叩絋.-1100K時(shí)，熱機(jī)效率：因此，理論上熱機(jī)效率增加△一孕=72.7%-70%=2.7%.綜上，計(jì)算表明，理論上降低低溫?zé)嵩礈囟瓤梢愿嗟靥岣邿釞C(jī)效率.但實(shí)際中所用低溫?zé)嵩赐侵車目諝饣蛄魉?，要降低它們的溫度是困難的，所以提高高溫?zé)嵩礈囟纫蕴岣邿釞C(jī)效率是更行得通的辦法.6-22有25mol的某種氣體，作圖6-2-5所示循環(huán)過程(ac為等溫過程).P?=4.15×10?Pa,V?=2.0×10?2m3,V?=3.0×10?2m3.求：(1)各過程中的熱量、內(nèi)能改變以及所作的功；(2)循環(huán)的效率.圖6-2-5解：設(shè)該氣體為單原子理想氣體，有：(1)由圖6-2-5可知：①a→b為等壓過程，根據(jù)理想氣體狀態(tài)非?？赏茖?dǎo)出：氣體對(duì)外做功：A=DAV-D.(V?-V)=4.15×103×(3.0-2.0)×10'J=4.15=400K的熱源2之間.可逆機(jī)2吸人可逆機(jī)1放給熱源2的熱量Q?,轉(zhuǎn)而放熱給T?=300K的熱源3.在(1)兩部熱機(jī)效率相等，(2)兩部熱機(jī)作功相等的情況下求T?.Q解：(1)由題意可知，第一部熱機(jī)的效,第二部熱機(jī)效(2)熱機(jī)2吸熱的做功量為：A?-Q熱機(jī)1放熱&1的做功量為：又兩部熱機(jī)做功相等，A?=A,則6-24一熱機(jī)每秒從高溫?zé)嵩?T?=600K)吸取熱量Q?=3.34×104J,作功后向低溫?zé)嵩?T?=300K)放出熱量Q?=2.09×104J.(1)它的效率是多少?它是不是可逆機(jī)?(2)如果盡可能地提高了熱機(jī)的效率，每秒從高溫?zé)嵩次鼰?.34×10?J,則每秒最多能作多解：(1)由熱機(jī)效率的定義式可得，實(shí)際效率：因此，由卡諾定理可知它不是可逆熱機(jī).(2)由卡諾定理可知，工作于同溫?zé)嵩春屯瑴乩湓粗g的所有熱機(jī)效率以可逆熱機(jī)效率最所以每秒鐘最多能做功：Ax=Q?=3.34×10°×50%=1.66-25一絕熱容器被銅片分成兩部分，一邊盛80℃的水，另一邊盛20℃的水，經(jīng)過一段時(shí)間后，從熱的一邊向冷的一邊傳遞了4186J的熱量，問在這個(gè)過程中的熵變是多少?假定水足夠多，傳遞熱量后的溫度沒有明顯變化.解：由熵增的微分關(guān)系可得，對(duì)于溫度沒有變化的物體熵變故熱水的熵增：冷水的熵增：系統(tǒng)的熵增：△S=△S+△S?=-11.86J/K+14.29J/K=2.43J/K6-26把質(zhì)量為5kg、比熱容(單位質(zhì)量物質(zhì)的熱容)為544J/(kg·K)的鐵棒加熱到300℃,然后浸入一大桶27℃的水中.求在此冷卻過程中鐵的熵變.解：一大桶水的含義是，鐵棒入水后，可忽略水溫的變化.據(jù)題意已知，T?=(273+300)K=573K.,T?=(273+27)K=300又dQ=5×544dT,所以鐵的熵變?yōu)椋?-27一固態(tài)物質(zhì)，質(zhì)量為m,熔點(diǎn)為Tm,熔解熱為L,比熱容為c.如對(duì)它緩慢加熱，使其溫度從To上升為Tm,試求熵的變化.假設(shè)供給物質(zhì)的熱量恰好使它全部熔化.解：該過程分為兩個(gè)階段.第一階段是物質(zhì)溫度從To剛好上升到Tm,還沒開始熔化，該階段熵增：第二階段是從開始熔化到剛好完全熔化，該過程是在恒溫Tm下進(jìn)行的，其熵增：因此該物質(zhì)總的熵變：6-28試用“可逆過程中封閉體系的熵不變?cè)怼睂?dǎo)出卡諾循環(huán)的熱效率公式.Q=c,m,(T?-T,),T?=273c?m,(T?-T,)=m?[c?AT100g的水在達(dá)到平衡溫度時(shí)的熵變?yōu)椋罕撵刈優(yōu)椋罕退到y(tǒng)的熵變?yōu)椋篈S=AS,+AS?=-15.3J/K+16.6J/K=1.3J/K6-30一房間有N個(gè)氣體分子，半個(gè)房間的分子數(shù)為n的概率為(1)寫出這種分布的熵的表達(dá)式S=klnW;(2)n=0狀態(tài)與狀態(tài)之間的熵變是多少?(3)如果N=6×1023,計(jì)算這個(gè)熵差.解：(1)根據(jù)玻爾茲曼熵的表達(dá)式，時(shí)，有6-311kg水銀，初始溫度為-100℃.如果加足夠的熱量使其溫度升到100℃,問水銀的熵變有多大?水銀的熔點(diǎn)為-39℃,熔解熱為1.17×10?J/(kg·K),而比熱容為138J/(kg·K).解：整個(gè)過程分為三個(gè)階段：升溫，熔解，再升溫.由題已知T?=(273-100)K=173KT?=(273-39)K=234K.,T?=(273+100)K6-32有2mol的理想氣體，經(jīng)過可逆的等壓過程，體積從Vo膨脹到3Vo.求在這一過程中的熵變.提示：設(shè)想氣體從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)是先沿等溫曲線，然后沿絕熱曲線(在這個(gè)過程中熵沒有變化)進(jìn)行的.解：根據(jù)題意，設(shè)氣體從初始狀態(tài)1經(jīng)等溫過程到達(dá)狀態(tài)2,再經(jīng)絕熱過程到達(dá)最終狀態(tài)3,如圖6-2-8所示，其壓強(qiáng)與體積在1態(tài)為P?、V在2態(tài)為Pr、V?在3態(tài)為Pa、V?.2→3為絕熱過程，有p?V?=p?V3.6.3名?？佳姓骖}詳解一、選擇題1.一定量的理想氣體，分別經(jīng)歷如圖6-1(1)所示的abc過程，(圖中虛線ac為等溫線),和圖6-1(2)所示的def過程(圖中虛線df為絕熱線).判斷這兩種過程是吸熱還是放熱().[華南理工大學(xué)2011研]圖6-1A.abc過程吸熱，def過程放熱C.abc過程和def過程都吸熱D.abc過程和def過程都放熱【答案】A查看答案【解析】(1)如圖6-2(1),a點(diǎn)和c點(diǎn)處于等溫線上，所以有T。=T.對(duì)于abc過程由熱力學(xué)第一定律得：吸熱.(2)如圖6-2(2)所示，考慮def和df兩個(gè)過程，由于初末狀態(tài)相同，所以有：△T=△T對(duì)df過程，因?yàn)槭墙^熱過程，則有：AQa=△W+△E?=0,,而df為體積增大，所以△W>0,△Eq<0;且△E=-△W.所以△Q<0,因此def過程為放熱.圖6-22.一定量的理想氣體，從p-V圖上初態(tài)a經(jīng)歷(1)或(2)過程到達(dá)末態(tài)b,已知a、b兩態(tài)處于同一條絕熱線上(圖6-3中虛線是絕熱線),則氣體在().[華南理工大學(xué)2009研]圖6-3A.(1)過程中吸熱，(2)過程中放熱B.(1)過程中放熱，(2)過程中吸熱C.兩種過程中都吸熱D.兩種過程中都放熱【答案】B查看答案【解析】當(dāng)沿絕熱線由a狀態(tài)到b狀態(tài)時(shí)，氣體對(duì)外做功等于內(nèi)能的減少量.當(dāng)沿(1)曲線變化時(shí)，內(nèi)能減少量不變，但氣體對(duì)外做功變小.故要放熱，當(dāng)沿(2)曲線變化時(shí)，內(nèi)能減少量人不變，但氣體對(duì)外做功增大，故需吸熱.3.對(duì)于室溫下的雙原子分子理想氣體.在等壓膨脹的情況下，系統(tǒng)對(duì)外所作的功A與從外界吸收的熱量Q之比A/Q等于().[電子科技大學(xué)2008研]D.2/7【答案】D查看答案【解析】由理想氣體狀態(tài)方程可知PV-nRT,則系統(tǒng)對(duì)外所作的功為因?yàn)榈葔号蛎?，則系統(tǒng)從外界吸收的熱(雙原子分4.已知在三相點(diǎn)T=273.16K,冰融化為同溫度的水時(shí)，熔解熱L=3.35×105J/kg,則2.5千克的冰化為水時(shí)的熵變?yōu)?).[電子科技大學(xué)2008研]【答案】A查看答案【解析】在這個(gè)過程中，溫度保持不變，即T=273.16K,設(shè)冰從273.16K的恒源熱源中吸熱，過程是可逆的，則5.關(guān)于熵，下面敘述中哪一個(gè)是正確的?()[電子科技大學(xué)2010研]A.熵是為描述自發(fā)過程進(jìn)行的方向而引入的，因此熵是過程量B.熵增加原理表明，任何系統(tǒng)中一切自發(fā)過程總是沿著熵增加的方向進(jìn)行C.熵是熱力學(xué)系統(tǒng)無序性的量度D.任何過程，熵變都可以用下式來計(jì)算：【答案】C查看答案1.某理想氣體經(jīng)歷的某過程的方程的微分形式,則此過程應(yīng)為過程.[南京理工大學(xué)2011研]【答案】等溫過程查看答案【解析】等溫過程的過程方程為：對(duì)上式取全微分得：pdV+Vdp=0兩邊同除以PV得：2.同一種理想氣體的定壓摩爾熱容Cp大于定體摩爾熱容Cw,其原因是.[華南理工大學(xué)2010研]【答案】升高相同的溫度時(shí)，定壓過程需要對(duì)外做功，因此需要吸收更多的熱量查看答案3.一氣缸內(nèi)貯有10mol的單原子分子理想氣體，在壓縮過程中外界作功209J,氣體升溫1K,此過程中氣體內(nèi)能增量為,外界傳給氣體的熱量為.(普適氣體常量R=8.31J/mol.K)[華南理工大學(xué)2010研]1.一摩爾的雙原子理想氣體，從某體積為401的初態(tài)先絕熱壓縮到壓強(qiáng)為2atm,體積減半，再等壓膨脹至原體積，最后等容冷卻回到初態(tài).(1)做出該循環(huán)的P-V圖；(2)求初態(tài)的壓強(qiáng)；(3)求該循環(huán)的效率.[南京理工大學(xué)2011研]解：(1)該循環(huán)過程分為三個(gè)過程：1→2→3→1,三個(gè)過程對(duì)應(yīng)如下：圖6-4:絕熱過程；:等壓過程；:等容過程.(2)1→2:絕熱過程有：PV=P?V(3)溫度分別可以算得：2→3等壓過程，吸收熱量為：Q?=Cp(T-Z)=1量R=8.31Jmol?1·K1)[華南理工大學(xué)2011研]聯(lián)立式①~③,可得：代入數(shù)據(jù)得：3.如圖6-5所示，AB、DC是絕熱過程，CEA是等溫過程，BED是任意過程，組成一個(gè)循環(huán).若圖中EDCE所包圍的面積為70J,EABE所包圍的面積為30J,過程中系統(tǒng)放熱100J,求BED過程中系統(tǒng)吸熱為多少?[華南理工大學(xué)2009研]圖6-5解：由題意AB、DC是絕熱過程則熱量變化為零.CEA是等溫過程，BED是任意過程，則CEA過程中系統(tǒng)放熱，BED過程中系統(tǒng)吸熱，即又由圖形可知：4.一摩爾氦氣經(jīng)歷如圖6-6所示循環(huán)過程，其中ab為等壓過程，bc為絕熱過程，ca為等溫過程，已知圖6-6解：如圖6-7所示，經(jīng)過三個(gè)過程：圖6-7①a→b為等壓過程，由理想氣體的狀態(tài)方程PV=nRT可得到：T,=2T=600K;同②b→c為絕熱過程，由絕熱過程方程可知：V?1=Tv?;這里所以解得：③C→a為等溫過程，,可知為放熱；所以效率為：5.一定量的某單原子分子理想氣體裝在封閉的汽缸里.此汽缸有可活動(dòng)的活塞(活塞與氣缸壁之間無摩擦且無漏氣).己知?dú)怏w的初壓強(qiáng)P?=latm,體積V?=IL(升),現(xiàn)將該氣體在等壓下加熱直到體積為原來的兩倍，然后在等體積下加熱直到壓作絕熱膨脹，直到溫度下降到初溫為止.(2)試求在整個(gè)過程中氣體內(nèi)能的改變.(3)試求在整個(gè)過程中氣體所吸收的熱量.(latm=1.013×105Pa)(4)試求在整個(gè)過程中氣體所作的功.[南京航空航天大學(xué)2008研]解：(1)經(jīng)分析得到，總共經(jīng)歷了三個(gè)過程第三個(gè)過程，絕熱過程.在P-V圖上做的圖6-8如下：圖6-8即,內(nèi)能增量為0.(3)對(duì)于第一個(gè)等壓過程，有：由熱力學(xué)第一定律得：對(duì)于第二過程，等容過程，對(duì)于第三個(gè)過程，絕熱過程，有聯(lián)立①②③式可得：①②③(4)整個(gè)過程由熱力學(xué)第一定律可得：6.一根長為76cm的玻璃管，上端封閉，下端插入水銀中，水銀充滿管子的一部分，管子另一部分封閉有0.1mol的空氣，設(shè)外界壓強(qiáng)保持在76cmHg,空氣的定容摩爾熱容取(R=8.31J/(mol·K)).若管內(nèi)空氣的溫度降低10℃,求：(1)管內(nèi)空氣內(nèi)能的改變，是增大還是減小?(2)設(shè)管子截面積為S,封閉的空氣柱的高度為y,水銀密大學(xué)2011研]圖6-10解：(1)在緩慢膨脹的過程中，氣柱處于熱力學(xué)平衡態(tài)，水銀柱處于力學(xué)平衡狀態(tài).p(x)=pgl+pg(x-l/2)=pg(x+l/2)(2)膨脹過程中，氣體對(duì)外做功為根據(jù)內(nèi)能的定義，氣體內(nèi)能增加為由熱力學(xué)第一定律可以得到膨脹過程中氣體從外界吸收的熱量第7章靜止電荷的電場7.1復(fù)習(xí)筆記一、物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)庫侖定律物體經(jīng)摩擦后能吸引羽毛、紙片等輕微物體的狀態(tài)稱為帶電，即物體帶有電荷.電荷量是物體所帶電荷多寡的物理量.電荷有正負(fù)電荷之分，同性相斥，異性相吸，這種相互作用稱為電性力.2.電荷守恒定律起電是指通過某種作用使該物體內(nèi)電子不足或過多而呈帶電狀態(tài).(2)電荷守恒定律電荷守恒定律是指在一個(gè)與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)正、負(fù)電荷量的代數(shù)和始終保持不變.(3)電荷相對(duì)論不變性電荷是相對(duì)論不變量，即電荷量與運(yùn)動(dòng)無關(guān).3.電荷的量子化電荷的量子化是指電荷量只能取分立、不連續(xù)的量值.(n除可以取整數(shù)外還可以取分?jǐn)?shù)值)4.庫侖定律(1)點(diǎn)電荷當(dāng)帶電體的形狀和大小與它們之間的距離相比可忽略時(shí)，這些帶電體稱為點(diǎn)電荷.(2)庫侖定律矢量.注：庫侖定律只適用于點(diǎn)電荷和靜電場.(3)真空中的庫侖定律式中，常量ε0稱為真空電容率(或真空介電常量).(4)靜電力的疊加原理靜電力的疊加原理是指當(dāng)空間有兩個(gè)以上的點(diǎn)電荷時(shí)，作用在某一點(diǎn)電荷上的總靜電力等于其他各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)對(duì)該點(diǎn)電荷所施靜電力的矢量和.二、靜電場電場強(qiáng)度(1)電場是電荷周圍存在的一種特殊物質(zhì).(2)電場力是指電場對(duì)處在其中的其他電荷的作用力.(3)靜電場是相對(duì)于觀察者為靜止的電荷在其周圍所激發(fā)的電場.2.電場強(qiáng)度電場對(duì)電荷有力的作用，電荷在電場中移動(dòng)時(shí)電場力要對(duì)電荷作功.(1)電場強(qiáng)度試探電荷所受的力與試探電荷所帶電荷量之比，用符號(hào)E表示，即(2)電場強(qiáng)度的性質(zhì)①電場強(qiáng)度為矢量，方向和F的方向相同；②電場只與產(chǎn)生電場的場源電荷有關(guān)，與試探電荷q0無關(guān).3.電場強(qiáng)度的計(jì)算(1)點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度設(shè)在真空中有一個(gè)靜止的點(diǎn)電荷q,則距q為r的P點(diǎn)的電場強(qiáng)度：(2)電場強(qiáng)度疊加原理和點(diǎn)電荷系的電場強(qiáng)度電場疊加原理是指點(diǎn)電荷系在空間任一點(diǎn)所激發(fā)的總電場強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)各自所激發(fā)的電場強(qiáng)度的矢量和，即(3)連續(xù)分布電荷的電場強(qiáng)度①體分布、面分布或線分布的電場強(qiáng)度②求解連續(xù)分布電荷的電場強(qiáng)度的步驟a.在帶電體上任取一電荷元dq;b.寫出該電荷元dq在所求場點(diǎn)的電場表達(dá)式dE;c.分析不同電荷元在所求場點(diǎn)的電場方向是否相同，若不同須將dE分解；d.寫出dE在具體坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸方向上的分量式，并作積分運(yùn)算；e.將分量結(jié)果合成，得到所求點(diǎn)的電場強(qiáng)度矢量E.4.電場線電場強(qiáng)度通量(1)電場線電場線是為了直觀形象地描述電場分布，在電場中引入的一些假想的曲線.其特點(diǎn)有：①曲線上每一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)電場強(qiáng)度的方向一致；②曲線密集的地方電場強(qiáng)度強(qiáng)，稀疏的地方電場強(qiáng)度弱.(2)靜電場的電場線的性質(zhì)①電場線起自正電荷(或來自無限遠(yuǎn)處),終止于負(fù)電荷(或伸向無限遠(yuǎn)處);②不會(huì)在沒有電荷的地方中斷(電場強(qiáng)度為零的奇異點(diǎn)除外);③電場線不能形成閉合曲線；④任何兩條電場線不會(huì)相交.(3)電場強(qiáng)度通量(E通量)圖7-1①平面E通量b.當(dāng)0為鈍角時(shí)，cos<θ<0,ψE為負(fù)值；②曲面E通量a.在電場線從曲面之內(nèi)向外穿出處E通量為正；b.在電場線從外部穿入曲面處E通量為負(fù).三、靜電場的高斯定理1.靜電場的高斯定理(1)靜電場的高斯定理在靜電場中，通過任一閉合曲面的E通量等于該曲面內(nèi)電荷量的代數(shù)和除以E?,即(2)適用范圍不但適用于靜止電荷和靜電場，也適用于運(yùn)動(dòng)電荷和迅速變化的電場.2.高斯定理的應(yīng)用當(dāng)電荷分布具有某些特殊的對(duì)稱性，從而使相應(yīng)的電場分布也具有一定的對(duì)稱性時(shí)，就有可能應(yīng)用高斯定理來計(jì)算電場強(qiáng)度.四、靜電場的環(huán)路定理電勢1.靜電場力作功試探電荷在任何靜電場中移動(dòng)時(shí)，電場力所作的功只與試探電荷的大小以及路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，而與路徑無關(guān).2.靜電場的環(huán)路定理(1)靜電場的環(huán)路定理在靜電場中，靜電場力作功與路徑無關(guān)，場強(qiáng)沿任一閉合路徑的線積分恒等于零，即(2)保守力場(勢場)①保守力場是指具備場強(qiáng)的環(huán)流為零的特性的力場；②綜合靜電場的高斯定理和環(huán)路定理可知，靜電場是有源無旋場.(1)電勢式中，W為電勢能；電勢VM是標(biāo)量，單位為J/C,稱為伏特(V).電勢零點(diǎn)的選取是任意的.(2)電壓電壓是指在靜電場中，任意兩點(diǎn)M和N的電勢差.電場力所作的功可用電勢差表示：(3)電子伏特4.電勢的計(jì)算計(jì)算電勢有兩種方法：(1)積分計(jì)算法已知電場強(qiáng)度E的分布函數(shù)，利用公式作一積分運(yùn)算.(2)疊加計(jì)算法根據(jù)電勢的疊加原理求任意電荷分布的電勢.①點(diǎn)電荷電場中的電勢②點(diǎn)電荷系電場中的電勢③連續(xù)分布電荷電場中的電勢5.等勢面(1)定義等勢面是指電勢值相等的各點(diǎn)連起來所構(gòu)成的曲面.(2)性質(zhì)①電場強(qiáng)度與等勢面必定處處正交；②等勢面愈密處電場強(qiáng)度愈大.五、電場強(qiáng)度與電勢梯度的關(guān)系1.電勢梯度電勢梯度是指沿法線en方向的電勢變化率.2.電場強(qiáng)度與電勢梯度的關(guān)系靜電場中各點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢梯度的負(fù)值，即電勢梯度gradV在直角坐標(biāo)系中可寫成六、靜電場中的導(dǎo)體1.導(dǎo)體的靜電平衡(1)靜電感應(yīng)靜電感應(yīng)是指在外電場的作用下導(dǎo)體中的電荷在導(dǎo)體中重新分布的現(xiàn)象.靜電感應(yīng)使導(dǎo)體內(nèi)的電場強(qiáng)度都等于零.(2)靜電平衡狀態(tài)①定義靜電平衡狀態(tài)是指導(dǎo)體中沒有電荷作任何宏觀定向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài).②靜電平衡的必要條件導(dǎo)體靜電平衡的必要條件為導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度都等于零.③相關(guān)推論a.導(dǎo)體是等勢體，其表面是等勢面；b.導(dǎo)體表面的電場強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面.2.導(dǎo)體上的電荷分布(1)電荷分布當(dāng)帶電導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有凈電荷存在，電荷只能分布于導(dǎo)體的外表面上.(2)帶電導(dǎo)體附近的場強(qiáng)與該表面的電荷面密度成正比，電場強(qiáng)度的方向垂直于表面，即(3)孤立導(dǎo)體的電荷分布孤立導(dǎo)體的電荷分布由導(dǎo)體表面的曲率決定.①凸出而尖銳的地方，曲率大，電荷面密度較大；②平坦的地方，曲率小，電荷面密度較??；③凹陷的地方，曲率為負(fù)，電荷面密度最小.3.空腔導(dǎo)體內(nèi)外的靜電場與靜電屏蔽(1)導(dǎo)體空腔內(nèi)的電荷分布①空腔內(nèi)無帶電體內(nèi)表面上處處沒有電荷，電荷只能分布在殼的外表面上.②空腔內(nèi)有帶電體內(nèi)表面上帶有與帶電體符號(hào)相反的等量電荷，腔內(nèi)的電場由帶電體及殼的內(nèi)表面上的電荷分布所決定.(2)靜電屏蔽靜電屏蔽是指導(dǎo)體空腔內(nèi)的電場不受外界的影響或利用接地的空腔導(dǎo)體將腔內(nèi)帶電體對(duì)外界的影響隔絕的現(xiàn)象.七、電容器的電容1.孤立導(dǎo)體的電容電容是表征導(dǎo)體儲(chǔ)電能力的物理量，表示使導(dǎo)體升高單位電勢所需的電荷量，即電容是標(biāo)量，只與導(dǎo)體的大小、形狀和周圍介質(zhì)有關(guān)，單位是法拉(F),且1F=1C/V.2.電容器的電容(1)電容器極板的電勢差V無關(guān).(2)充有電介質(zhì)的電容器的電容C(3)幾種典型電容器的電容設(shè)極板的面積為S,兩極板的距離為d,電介質(zhì)的相對(duì)電容率為8r設(shè)內(nèi)、外圓柱的半徑RA和RB,長為1,電介質(zhì)的相對(duì)電容率為8r設(shè)導(dǎo)線的半徑為a.長為1,兩根導(dǎo)線的中心間距為d(d<<a),電介質(zhì)的相對(duì)電容率為83.電容器的串聯(lián)和并聯(lián)(1)串聯(lián)電容器(2)并聯(lián)電容器八、靜電場中的電介質(zhì)1.電介質(zhì)的電結(jié)構(gòu)(1)有極分子有極分子是指正、負(fù)電荷的中心不重合的分子，等效于一個(gè)電偶極子.(2)無極分子無極分子是指正、負(fù)電荷的中心重合的分子，其等效電偶極矩等于零.2.電介質(zhì)的極化①電介質(zhì)的極化是指在外電場的作用下，在電介質(zhì)中出現(xiàn)極化電荷的現(xiàn)象；②極化電荷是指不能離開電介質(zhì)，也不能在電介質(zhì)中自由移動(dòng)的電荷；③自由電荷是指在電場作用下能移動(dòng)一宏觀距離的電荷.(2)電介質(zhì)極化的兩種類型①無極分子電介質(zhì)的位移極化無極分子的極化在于正、負(fù)電荷中心的相對(duì)位移，又稱位移極化.極化程度取決于外電場的強(qiáng)弱.②有極分子電介質(zhì)的取向極化有極分子的極化即等效電偶極子轉(zhuǎn)向外電場的方向，又稱取向極化.取向程度取決于外電場的強(qiáng)弱和環(huán)境溫度.3.電極化強(qiáng)度單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和，即4.電極化強(qiáng)度與極化電荷的關(guān)系介質(zhì)極化所產(chǎn)生的極化電荷密度等于電極化強(qiáng)度沿介質(zhì)表面外法線的分量，即5.介質(zhì)中的靜電場(1)電極化率式中，xe和電介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，稱為電介質(zhì)的電極化率.滿足上式極化規(guī)律的電介質(zhì)稱為各向同性的線性電介質(zhì).(2)相對(duì)電容率8r (3)電容率ε(介電常量)6.鐵電體壓電體永電體(1)鐵電體①鐵電性是指一些電介質(zhì)在一定的溫度范圍內(nèi)電容率隨電場強(qiáng)度變化，在撤去外電場后，仍留有剩余的極化的性質(zhì)；②鐵電體是具有鐵電性的電介質(zhì).(2)壓電體①壓電效應(yīng)是指某些離子型晶體的電介質(zhì)在發(fā)生機(jī)械變形時(shí)產(chǎn)生的電極化現(xiàn)象；②壓電體是具有壓電效應(yīng)的電介質(zhì).電致伸縮是指在晶體帶電時(shí)或在電場中時(shí)，晶體的大小會(huì)伸長或縮短的逆現(xiàn)象.(3)永電體①永電體是指在外界條件撤銷后，仍能長期保留其極化狀態(tài)，且不受外電場影響的一類物體，又稱駐極體.②性質(zhì)類似永磁體，分割后表面同時(shí)出現(xiàn)并保持正負(fù)電荷.九、有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理電位移1.有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理電位移(1)電位移D=e?E+P電通量是指垂直于電位移線的單位面積上通過的電位移線數(shù)目，是D的量值.(2)有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理式中，9o表示封閉面內(nèi)所包圍的自由電荷.(3)對(duì)高斯定理的幾點(diǎn)說明①電位移線是從正的自由電荷出發(fā)，終止于負(fù)的自由電荷；②電場線起訖于各種正、負(fù)電荷，包括自由電荷和極化電荷.③通過電介質(zhì)中任一閉合曲面的電通量等于該面所包圍的自由電荷量的代數(shù)和.2.D、E、P三矢量間的關(guān)系對(duì)于各向同性電介質(zhì)，有或D=gE十、靜電場的能量1.靜電場的能量密度靜電場的能量密度是單位體積內(nèi)靜電場所具有的能量.式中，能量密度的單位為J/m3.2.靜電場的能量在體積V中，總靜電能量為3.幾種典型帶電體的靜電能(1)真空中均勻帶電球體(半徑為R、球體帶q電量)(2)真空中均勻帶電球面(半徑為R、球面帶電q)7.2課后習(xí)題詳解一、復(fù)習(xí)思考題7-1-1一個(gè)金屬球帶上正電荷后，該球的質(zhì)量是增大、減小還是不變?答：理論上質(zhì)量減小，但仍可認(rèn)為該球的質(zhì)量沒有變化.因?yàn)榻饘偾驇д姾蓪?shí)際上是失去了負(fù)電子，所以理論上質(zhì)量減小，但由于一個(gè)電子的質(zhì)量me=9.1×10-31kg,所帶電荷量為-1.6×10-19℃,金屬球失去了1C的負(fù)電荷相當(dāng)于失去了所以仍可認(rèn)為該球的質(zhì)量沒有變化.7-1-2點(diǎn)電荷是否一定是很小的帶電體?什么樣的帶電體可以看作是點(diǎn)電荷?答：(1)不是，因?yàn)辄c(diǎn)電荷是研究帶電體電性質(zhì)時(shí)提出的一個(gè)理想模型，“大小”是一個(gè)相對(duì)的概念，所以點(diǎn)電荷也只具有相對(duì)的意義，它本身不一定是很小的帶電體.(2)可以看作是點(diǎn)電荷的帶電體有以下兩種情況：①相對(duì)所論點(diǎn)的位置距離，即當(dāng)帶電體的幾何大小相對(duì)它至所論點(diǎn)的距離小很多，可忽略時(shí)，②某一點(diǎn)至一帶電體的距離，或者兩帶電體之間的距離只有在帶電體可以當(dāng)作“點(diǎn)”處理時(shí)才有確切的意義，此時(shí)帶電體的形狀、大小和電荷分布都可以不予考慮，而僅當(dāng)作有一定電量的幾何點(diǎn).如：在一般情況下，半徑為R,電荷面密度為σ均勻帶電圓盤軸線上與盤心相距為x的任一給定點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度是僅當(dāng)若x>>R時(shí)，上式可以簡化為這正是點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度公式，它說明當(dāng)點(diǎn)P離開圓盤的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圓盤本身的大小時(shí)，點(diǎn)P的電場強(qiáng)度與電荷量q集中在圓盤的中心的一個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)所激發(fā)的電場強(qiáng)度相同，即此時(shí)帶電圓盤可以看作是點(diǎn)電荷.但若R>>x,即在點(diǎn)P處看來均勻帶電圓盤可認(rèn)為是無限大，則點(diǎn)P的電場強(qiáng)度又可化簡為無限大均勻帶電平面所激發(fā)的電場由此可見，同一帶電體是否能看作點(diǎn)電荷完全由所討論的問題決定.7-1-3在干燥的冬季人們脫毛衣時(shí)，常聽見噼里啪啦的放電聲，試對(duì)這一現(xiàn)象作一解釋.7-1-4帶電棒吸引干燥軟木屑，木屑接觸到棒以后，往往又劇烈地跳離此棒.試解釋此現(xiàn)象.答：(1)木屑被吸引移向帶電棒的原因：力，所以木屑總是被吸引移向帶電棒.(2)木棒劇烈地跳離帶電棒的原因：棒上的正電荷排斥，便又立即跳離帶電棒.即木屑總是先被吸引，接觸到棒以后，又劇烈地跳離帶電棒.7-2-1判斷下列說法是否正確，并說明理由.(1)電場中某點(diǎn)電場強(qiáng)度的方向就是將點(diǎn)電荷放在該點(diǎn)處所受電場力的方向；(2)電荷在電場中某點(diǎn)受到的電場力很大，該點(diǎn)的電場強(qiáng)度E一定很大；(3)在以點(diǎn)電荷為中心、r為半徑的球面上，電場強(qiáng)度E處處相等.答：(1)不一定，這取決于該點(diǎn)電荷所帶的電荷量.有以下兩種情況：電場力方向就更不能說是所在點(diǎn)的電場方向.(2)不一定.原因如下：量有關(guān)，即F=qE;a.該電荷可以當(dāng)作是點(diǎn)電荷處理b.該點(diǎn)電荷不能當(dāng)作點(diǎn)電荷處理該電荷在電場中的線度比較大，此時(shí)所受到的電場力就無法說明是哪一點(diǎn)的電場強(qiáng)度.(3)不準(zhǔn)確.電場強(qiáng)度是一矢量，既有大小也有方向.②方向不同同一球面上不同的點(diǎn)其徑向不同，所以就電場強(qiáng)度方向來說不同點(diǎn)有不同的方向(電場強(qiáng)度方向沿半徑方向).因此，電場強(qiáng)度E并不處處相等.722根據(jù)點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度公式當(dāng)所考察的場點(diǎn)和點(diǎn)電荷的距離r→0時(shí)，電場強(qiáng)度E→0,這是沒有物理意義的，對(duì)這似是而非的問題應(yīng)如何解釋?答：當(dāng)場點(diǎn)和電荷距離很近時(shí)，該電荷已不能再看作是點(diǎn)電荷了，即在r→0時(shí)點(diǎn)電荷的模型不成立，那么點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度公式也不能用，即推不出E→0.7-2-3點(diǎn)電荷q如只受電場力的作用而運(yùn)動(dòng)，電場線是否就是點(diǎn)電荷q在電場中運(yùn)動(dòng)的軌答：不一定.(1)在一般情況下，電場線并不能代表點(diǎn)電荷q在電場中的運(yùn)動(dòng)軌跡電場線上任一點(diǎn)的切線方向反映了該點(diǎn)電場方向，是點(diǎn)電荷q在該處受到的電場力方向，也即加速度的方向.而電荷運(yùn)動(dòng)軌跡上任一點(diǎn)的切線方向是電荷在該點(diǎn)的速度方向.加速度的方向并不總是和速度的方向一致，因此點(diǎn)電荷q不可能總是沿電場線運(yùn)動(dòng).如：一正點(diǎn)電荷q以初速度vo入射一平行板電場，如圖7-1-1所示，其電場線由上板指向下板，即電場力(加速度)方向總是垂直向下，而運(yùn)動(dòng)軌跡是一條曲線，電子速度沿其切線方向，與加速度方向并不重合.(2)在某些特殊的情況下，點(diǎn)電荷也有可能沿電場線運(yùn)動(dòng)①初速度為零的正點(diǎn)電荷q在平行板電場中的運(yùn)動(dòng)軌跡就與電場線重合；②在點(diǎn)電荷Q的非均勻電場中，初速度為零的正點(diǎn)電荷q沿徑向電場線運(yùn)動(dòng).上述兩種情況速度與加速度方向一致，電場線都是直線，運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線.圖7-1-1正點(diǎn)電荷q在平行板電場中的運(yùn)動(dòng)7-2-4在正四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)上，放置四個(gè)帶相同電荷量的同號(hào)點(diǎn)電荷，試定性地畫出其電場線圖.答：可分為兩個(gè)步驟：(1)畫出兩個(gè)帶相同電荷量的同號(hào)點(diǎn)電荷的電場線圖正電荷的電場線總是從電荷出發(fā)呈輻射狀的，對(duì)于兩個(gè)正電荷的系統(tǒng)，它們的電場線在空中相遇不能相交，只能相互排斥改變路徑.同時(shí)在兩個(gè)正電荷連線的中點(diǎn)電場強(qiáng)度為零，即該處的電場線密度為零.因此兩個(gè)正電荷系統(tǒng)的電場線可描繪如圖7-1-2(a)所示.(2)畫出四個(gè)帶相同電荷量的同號(hào)點(diǎn)電荷的電場線圖當(dāng)一正四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)上都放上正點(diǎn)電荷時(shí)，邊線中點(diǎn)的電場強(qiáng)度不再為零，此時(shí)對(duì)角線中點(diǎn)電場強(qiáng)度為零，即正四邊形中心處電場線密度為零.由此正四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)上都放上正點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電場線可描繪如圖7-1-2(b)所示.圖7-1-2正點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電場線7-3-1如果在高斯面上的E處處為零，能否肯定此高斯面內(nèi)一定沒有凈電荷?反過來，如果高斯面內(nèi)沒有凈電荷，能否肯定面上所有各點(diǎn)的E都等于零.答：(1)能肯定此高斯面內(nèi)一定沒有凈電荷.因?yàn)槿粼诟咚姑嫔系腅處處為零，那么穿過該高斯面的E通量必定等于零，即又根據(jù)高斯定理,所以相等，凈電荷為零.(2)不能肯定面上所有各點(diǎn)的E都等于零.原因如下：①若高斯面內(nèi)沒有凈電荷，即只能說明穿過該高斯面的總E通量必定等于零，即,此時(shí)沒有電場(E=0)或進(jìn)入高斯面的E通量等于從高斯面穿出的E通量，E通量總和為零，在這種情況下面上所有各點(diǎn)的E就不一定等于零；變量一定等于零.7-3-2(1)一點(diǎn)電荷q位于一立方體的中心，立方體邊長為1.試問通過立方體一面的E通(2)如果把這個(gè)點(diǎn)電荷移放到立方體的一個(gè)角上，這時(shí)通過立方體每一面的E通量各是多答：(1)方體的E通量為其包圍的中心電荷q除以Eo.由圖，利用對(duì)稱性，可知通過每個(gè)面的E通量是總E通量的六分之一，即圖7-1-3點(diǎn)電荷位于大立方體的中心(2)如果把這個(gè)點(diǎn)電荷移放到立方體的一個(gè)角上，那么可以添加七個(gè)相同的立方體，構(gòu)成如圖7-1-3所示邊長為21的大立方體，此時(shí)該點(diǎn)電荷位于大立方體的中心，通過大立方體的E通量仍為大立方體共有24個(gè)以1為邊長的面，其中原立方體有3個(gè)邊長為2的面暴露在這個(gè)邊長為21的立方體外面，那么通過它們每一面的E通量各是另有3個(gè)面在大立方體內(nèi)，由q發(fā)出的電場線均與它們相切，即沒有E通量通過它們.7-3-3一根有限長的均勻帶電直線，其電荷分布及所激發(fā)的電場有一定的對(duì)稱性，能否利用高斯定理算出電場強(qiáng)度來?答：不能.因?yàn)楫?dāng)電荷分布具有某些對(duì)稱性時(shí)，相應(yīng)的電場分布才具有一定的對(duì)稱性，只有找到以下兩種閉合面才能應(yīng)用高斯定理求解電場強(qiáng)度：(1)電場強(qiáng)度垂直于這個(gè)閉合面，且大小處處相等的高斯面；(2)在閉合面的某一部分上電場強(qiáng)度處處相等且方向與該面垂直，另一部分上電場強(qiáng)度與該面平行，因而通過的E通量為零的高斯面.本例中電荷分布和相應(yīng)的電場分布都具有一定的對(duì)稱性，但其電場線除帶電線表面處外，大多不是垂直于帶電線的直線，特別是在靠近帶電直線的兩端，電場線彎曲十分明顯，不能找到滿足上述條件的高斯面，因此不能利用高斯定理來計(jì)算電場強(qiáng)度.如圖7-1-4所示，如果作一以有限長均勻帶電直線為中心的圓柱面為高斯面，無論在該高斯面的上下底面還是側(cè)面的電場強(qiáng)度方向都不與之垂直或平行，明顯地不符合用高斯定理求電場強(qiáng)度的條件.圖7-1-4有限長的均勻帶電直線的電場線7-3-4如果點(diǎn)電荷的庫侖定律中作用力與距離的關(guān)系是Fα1/r或F×1/r2+8(δ是不等于零的數(shù)),那么還能用電場線來描述電場嗎?為什么?答：不能.因?yàn)殡妶鼍€起自正電荷(或來自無限遠(yuǎn)處),終止于負(fù)電荷(或伸向無限遠(yuǎn)處),不會(huì)在沒有電荷的地方中斷或產(chǎn)生.由高斯定理可知，通過任一閉合曲面的E通量(電場線的條數(shù)),只取決于該曲面內(nèi)電荷量的多少，而與閉合曲面的形狀大小無關(guān).因此對(duì)一點(diǎn)電荷電場應(yīng)用高斯定理，僅當(dāng)δ=0時(shí)，才能用電場線來描述電場.假如有兩電荷q與qo,則庫侖定律中作用力與距離的關(guān)系是那么點(diǎn)電荷q的電場應(yīng)該為這時(shí)通過以q為中心半徑為r的球面的E通量為顯然，此時(shí)通過半徑為r的閉合球面的E通量與半徑為r有關(guān).如果8=-3,則如：分別以r=1m和r=2m為半徑作兩個(gè)球面，那么通過r=1m的球面的E通量是而通過r=2m的球面的E通量是通過后者的電場線的條數(shù)翻了幾番.這多出的電場線是在電場空間中自然生長出來的.如果仍用電場線密度來表示電場強(qiáng)度，那么在r=1m處的電場強(qiáng)度是,處的電場強(qiáng)度,,得到“點(diǎn)電荷q的電場強(qiáng)度隨著r的增大而增強(qiáng)”的荒唐結(jié)果，因此用這樣的“電場線電場就毫無意義了.不難演算，只要δ≠0,通過閉合球面的電場線條數(shù)就不會(huì)是常數(shù).所以，庫侖定律中作用力與距離的關(guān)系必須是作用力與距離平方的反比關(guān)系(δ=0),這樣，一定的電荷發(fā)出的電場線才不會(huì)在空中自然生長或自然消失，使得高斯定理成立，保證了用電場線正確地描述電場.§7-4靜電場的環(huán)路定理電勢7-4-1比較下列幾種情況下A、B兩點(diǎn)電勢的高低.(1)正電荷由A移到B時(shí)，外力克服電場力作正功；(2)正電荷由A移到B時(shí)，電場力作正功；(3)負(fù)電荷由A移到B時(shí)，外力克服電場力作正功；(4)負(fù)電荷由A移到B時(shí)，電場力作正功；(5)電荷順著電場線方向由A移動(dòng)到B;(6)電荷逆著電場線方向由A移動(dòng)到B.答：A、B兩點(diǎn)電勢差(VA-VB)與電場力把電荷q0從A點(diǎn)移到B點(diǎn)所作的功AAB的關(guān)系是(4)此時(shí)電場力作正功，由于qo<0,即AAB(5)此時(shí)場力作正功，由于qo>0,即AAB>0,所以有VA>VB,因此A點(diǎn)的電勢高于B點(diǎn)；點(diǎn).7-4-2(1)如圖7-1-5(a)和(b)所示的兩電場中，把電荷+q從點(diǎn)P處移到點(diǎn)Q電場力是作正功還是作負(fù)功?P、Q兩點(diǎn)哪點(diǎn)的圖7-1-5不同的電場②由(b)圖可知P點(diǎn)的電勢比Q點(diǎn)低(電場線指向電勢低方向),因此電場力把電荷+q②在圖(b)的電偶極子電場中，同一等勢面上各點(diǎn)處的等勢面間距不相同，電場強(qiáng)度大小也不相等(各圖中虛線表示等勢面，實(shí)線表示電場線，每相鄰的兩個(gè)等勢面之間的電勢差都是相等的).③在兩電荷連線之間的等勢面間距最小，說明電勢梯度大，電場強(qiáng)度就大，在兩電荷連線的中垂線上等勢面間距最大，說明電勢梯度較小，電場強(qiáng)度就小.從圖中可以看到等勢面越密處電場強(qiáng)度越大，等勢面越疏處電場強(qiáng)度越小，由此就能將電場中電場強(qiáng)度與電勢之間的關(guān)系直觀地表示出來.§7-5電場強(qiáng)度與電勢梯度的關(guān)系7-5-1(1)已知電場中某點(diǎn)的電勢，能否計(jì)算出該點(diǎn)的場強(qiáng)?(2)已知電場中某點(diǎn)附近的電勢分布，能否算出該點(diǎn)的場強(qiáng)?答：(1)不能.因?yàn)殪o電場中各點(diǎn)的電場強(qiáng)度由該點(diǎn)電勢梯度的負(fù)值來決定，即而不是由該點(diǎn)的電勢值決定，所以僅知道電場中某點(diǎn)的電勢是不能計(jì)算出該點(diǎn)的場強(qiáng)的.(2)能.因?yàn)榭梢岳迷擖c(diǎn)處電勢分布函數(shù)的梯度，來計(jì)算該點(diǎn)的電場強(qiáng)度.7-5-2根據(jù)場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)系分析下列問題.(1)在電勢不變的空間，電場強(qiáng)度是否為零?(2)在電勢為零處，場強(qiáng)是否一定為零?(3)場強(qiáng)為零處，電勢是否一定為零?(4)在均勻電場中，各點(diǎn)的電勢梯度是否相等?各點(diǎn)的電勢是否相等.答：由場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)(1)是.因?yàn)榭臻g中電勢恒定不變，則其梯度等于零，所以電場強(qiáng)度為零.如：一個(gè)帶電的金屬球，其電勢是一常數(shù)，恒定不變，而球內(nèi)各點(diǎn)的電場強(qiáng)度為零.(2)否.因?yàn)闆Q定電場強(qiáng)度的是該點(diǎn)附近的電勢分布，而不是該點(diǎn)的電勢值.如：電偶極子中垂線上各點(diǎn)的電勢均為零，但電場強(qiáng)度都不為零.(3)不一定.因?yàn)槿绻擖c(diǎn)附近的電勢沒有變化是一常數(shù)值，那么電勢梯度為零，電場強(qiáng)度必定為零，而電勢仍可以是一相對(duì)零電勢點(diǎn)很高的值.如：一個(gè)帶電的金屬球，其內(nèi)部各點(diǎn)的電場強(qiáng)度均為零，但各點(diǎn)的電勢可以是一不為零的常數(shù)值.(4)①各點(diǎn)的電勢梯度相等因?yàn)樵诰鶆螂妶鲋?，各點(diǎn)的電場強(qiáng)度值相等，電勢梯度為一常數(shù)；②各點(diǎn)的電勢不一定相等因?yàn)樵诓煌姆较蛏?，電勢變化率是不一樣的，在沿電場方向電勢空間變化率為最大，也就是說在這個(gè)方向上的電勢在作最大的線性增加；在垂直于電場線方向上電勢空間變化率最小為零，在這個(gè)方向上各點(diǎn)的電勢相等.例如：平行板電容器內(nèi)的電場是一均勻電場，各點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小相等，在垂直平行板方向上各點(diǎn)的電勢隨距離線性增加，而在平行于平行板方向上各點(diǎn)的電勢有相同的大小，但不同的平行面上有不同的電勢值.7-5-3試用說明改變零點(diǎn)電勢的位置并不會(huì)影響各點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小.答：在靜電場中，確定了零點(diǎn)電勢位置后，每一點(diǎn)都有確定的電勢值，這個(gè)電勢值就是該點(diǎn)相對(duì)于零點(diǎn)電勢位置的電勢差.如果改變零點(diǎn)電勢的位置，那么電場空間中任一點(diǎn)的電勢只會(huì)產(chǎn)生一恒定的電勢變化，即Vo是新零點(diǎn)電勢位置相對(duì)原零點(diǎn)電勢位置的電勢差值，是個(gè)常量.將上式代入有可見電勢梯度值沒有發(fā)生變化，即電場強(qiáng)度的大小不受影響.§7-6靜電場中的導(dǎo)體7-6-1將一電中性的導(dǎo)體放在靜電場中，在導(dǎo)體上感應(yīng)出來的正負(fù)電荷量是否一定相等?這時(shí)導(dǎo)體是否是等勢體?如果在電場中把導(dǎo)體分開為兩部分，則一部分導(dǎo)體上帶正電，另一部分導(dǎo)體上帶負(fù)電，這時(shí)兩部分導(dǎo)體的電勢是否相等?答：(1)一定相等，因?yàn)閷?dǎo)體放在靜電場中后，靜電感應(yīng)只使導(dǎo)體中的電荷重新分布，并沒有失去或得到電子，所以，從整體看感應(yīng)出來的正負(fù)電荷量仍舊相等.(2)是等勢體，因?yàn)殪o電場中的導(dǎo)體，在靜電平衡條件下，盡管導(dǎo)體表面分布有不同的電荷，但并沒有電荷的移動(dòng)，所以導(dǎo)體是一等勢體，表面是一等勢面.(3)不相等，因?yàn)榇藭r(shí)破壞了原來的靜電平衡，分開的兩部分重新建立了自己的靜電平衡狀態(tài)，但一部分導(dǎo)體帶正電，另一部分導(dǎo)體帶負(fù)電，所以它們的電勢不再相等.7-6-2一個(gè)孤立導(dǎo)體球帶有電荷量Q,其表面附近的場強(qiáng)沿什么方向?當(dāng)我們把另一帶電體移近這個(gè)導(dǎo)體球時(shí)，球表面附近的場強(qiáng)將沿什么方向?其上電荷分布是否均勻?其表面是否等電勢?電勢有沒有變化?球體內(nèi)任一點(diǎn)的場強(qiáng)有無變化?答：(1)此時(shí)球外任一點(diǎn)的電場方向或者沿徑向(Q>0),或者沿徑向相反的方向(Q<0),導(dǎo)體球表面附近的電場強(qiáng)度方向也如此；(2)球表面附近的電場強(qiáng)度將是導(dǎo)體球的電場與另一帶電體的電場的疊加，疊加后的電場強(qiáng)度方向?qū)⒁廊淮怪庇趯?dǎo)體球表面，根據(jù)導(dǎo)體球所帶電荷的正負(fù)，電場強(qiáng)度的方向或者沿徑向(Q>0),或者沿徑向相反的方向(Q<0);(3)此時(shí)整個(gè)空間的電場分布將會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)體球表面的電荷分布也將發(fā)生變化，不再是均勻的了；(4)由于整個(gè)空間的電場E發(fā)生了變化，導(dǎo)體球的電勢也不同.不過此時(shí)導(dǎo)體球仍處于新的靜電平衡狀態(tài)，其電勢雖然會(huì)發(fā)生變化，但仍為一等勢體，其表面是也依然是等勢面；(5)在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度總是零，所以即使把另一帶電體移近這個(gè)導(dǎo)體球，球體內(nèi)的電場強(qiáng)度也還是零，沒有變化.7-6-3如何能使導(dǎo)體(1)凈電荷為零而電勢不為零；(2)有過剩的正或負(fù)電荷，而其電勢為零；(3)有過剩的負(fù)電荷而其電勢為正；(4)有過剩的正電荷而其電勢為負(fù).答：(1)在一原來不帶電的導(dǎo)體球殼的中心放一個(gè)帶電荷量q(設(shè)q>0)的導(dǎo)體小球，如圖7-1-7(a)所示.此時(shí)由于靜電感應(yīng)，球殼內(nèi)外表面分別帶有-q和+q的電荷，但整體上說導(dǎo)體球殼的凈電荷為零，如果選取無限遠(yuǎn)處為零電勢位，那么球殼的電勢為(2)導(dǎo)體球殼接地，如圖7-1-7(b)所示.此時(shí)球殼外表面的電荷將流入大地，導(dǎo)體球殼內(nèi)表面有-q的凈電荷，而球殼的電勢因接地而等于零；(3)令導(dǎo)體球殼帶Q的電荷，如圖7-1-7(c)所示.此時(shí)設(shè)Q<0,為負(fù)電荷，且|q>IQ|,如果選取無限遠(yuǎn)處為零電勢位，那么球殼的電勢為,為正電勢；(4)此時(shí)如果導(dǎo)體球殼帶正Q的電荷，而中心導(dǎo)體小球帶負(fù)電荷量q,且|q>IQ|,如果選取無限遠(yuǎn)處為零電勢位，那么球殼的電勢為,為負(fù)電勢.圖7-1-7球殼在不同情況下的電勢7-6-4如圖7-1-8所示，在金屬球A內(nèi)有兩個(gè)球形空腔，此金屬球體上原來不帶電，在兩空腔中心各放置一點(diǎn)電荷qi和q2,求金屬球A的電荷分布.此外，在金屬球外很遠(yuǎn)處放置一點(diǎn)電荷q(r>>R),問qi、q2、q各受力多少?答：(1)①球體外表面電荷分布由于靜電感應(yīng)，在兩空腔內(nèi)表面和球體外表面都會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷，其中q?所在的空腔內(nèi)表面有-q1的感應(yīng)電荷，q2所在的空腔內(nèi)表面有-q?的感應(yīng)電荷，當(dāng)金屬球外沒有其他電荷時(shí)，在球體外表面有qi+q2的感應(yīng)電荷；②空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷分布由于點(diǎn)電荷qi和q2分別置于兩空腔中心，所以空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷-qi和-q2是均勻分布③球體外表面的感應(yīng)電荷分布由于金屬球體內(nèi)的電場為零，感應(yīng)電荷-q?和-q?相當(dāng)于被屏蔽起來了，對(duì)外不產(chǎn)生作用，所以球體外表面的感應(yīng)電荷qi+q?也是均勻分布的.(2)由于在靜電平衡條件下金屬球內(nèi)的電場為零，所以qi、q2與q三個(gè)電荷之間以及電荷qi、q?與球體外表面的感應(yīng)電荷qi+q?之間都不存在相互作用力，但電荷qi+q?與外電荷q之間存在相互作用力.在r>>R的條件下，金屬球在r處的電場可以看作是點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度,所以點(diǎn)電荷q所受到的電場力為7-6-5一帶電導(dǎo)體放在封閉的金屬殼內(nèi)部，(1)若將另一帶電導(dǎo)體從外面移近金屬殼，殼內(nèi)的電場是否會(huì)改變?金屬殼及殼內(nèi)帶電體的電勢是否會(huì)改變?金屬殼和殼內(nèi)帶電體間的電勢差是否會(huì)改變?(2)若將金屬殼內(nèi)部的帶電導(dǎo)體在殼內(nèi)移動(dòng)或與殼接觸時(shí)，殼外部的電場是否會(huì)改變?(3)如果殼內(nèi)有兩個(gè)帶異號(hào)等值電荷的帶電體，則殼外的電場如何?答：(1)①否，在靜電平衡條件下，導(dǎo)體內(nèi)的電場強(qiáng)度總等于零，因此移動(dòng)金屬殼外的帶電導(dǎo)體，金屬殼體內(nèi)的電場強(qiáng)度最終總是零，即殼內(nèi)的電場維持不變；②是，金屬殼及殼內(nèi)帶電體的電勢并不由哪一點(diǎn)或者哪一局部區(qū)域的電場決定的，根據(jù)電勢的公式,其中的E是P點(diǎn)至無限遠(yuǎn)(零電勢位)任一路徑上的電場分布，一帶電導(dǎo)體在金屬殼外面移動(dòng)時(shí)，金屬殼外的電場會(huì)不斷發(fā)生變化，因此金屬殼以及殼內(nèi)的電勢均會(huì)有變化；③否，從求電勢差的公式可知，A與B兩點(diǎn)之間的電勢差由它們之間的電場強(qiáng)度E決定，當(dāng)一帶電導(dǎo)體在金屬殼外面移動(dòng)時(shí)，殼內(nèi)的電場維持不變，因此金屬殼和殼內(nèi)帶電體之間的電勢差也不會(huì)改變.(2)否，因?yàn)榻饘贇んw內(nèi)的電場強(qiáng)度總是零，它不會(huì)影響到金屬殼外表面的電荷分布，所以殼外的電場沒有變化.(3)殼外沒有電場，因?yàn)槿绻麣?nèi)有兩個(gè)帶異號(hào)等值電荷的帶電體，那么在金屬殼外表面的感應(yīng)電荷為零，此時(shí)殼體本身內(nèi)的電場強(qiáng)度為零，殼外也沒有電場.§7-7電容器的電容7-7-1(1)一導(dǎo)體球上不帶電，其電容是否為零?(2)當(dāng)平行板電容器的兩極板上分別帶上等值同號(hào)電荷時(shí)與當(dāng)平行板電容器的兩極板上分別帶上同號(hào)不等值的電荷時(shí)，其電容值是否不同?答：(1)不為零，因?yàn)閷?dǎo)體的電容取決于導(dǎo)體本身的大小、形狀以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)，而與導(dǎo)體是否帶電無關(guān)，所以導(dǎo)體球即使不帶電，其電容仍客觀存在；(2)相同，因?yàn)槠叫邪咫娙萜鞯碾娙輧H取決于平行板的面積、兩板之間的距離以及兩板之間的介質(zhì)，與平行板電容器的兩極板上帶電還是不帶電，或者帶多少電、什么符號(hào)的電量無7-7-2兩個(gè)半徑相同的金屬球，其中一個(gè)是實(shí)心的，另一個(gè)是空心的，電容是否相同?答：相同.原因有以下兩點(diǎn)：①導(dǎo)體的電容只與導(dǎo)體的大小、形狀和周圍介質(zhì)有關(guān)，在真空中一個(gè)半徑為R的孤立球形導(dǎo)體的電容C=4πE?R,只取決于球的半徑R,所以兩個(gè)半徑相同的金屬球，不論是實(shí)心的還是空心的，電容都相同；②電容是儲(chǔ)存電荷的器件，而金屬球帶電時(shí)，其電荷僅分布在金屬球表面，所以將實(shí)心球挖空變成空心球，其儲(chǔ)存電荷的能力和其他靜電性質(zhì)(如電勢)都沒有發(fā)生什么變化.7-7-3有一平板電容器，保持板上電荷量不變(充電后切斷電源),現(xiàn)在使兩極板間的距離d增大.試問：兩極板的電勢差有何變化?極板間的電場強(qiáng)度有何變化?電容是增大還是減小?答：(1)電勢差的變化：兩極板間的電勢差正比于兩極板間的距離d,即U=Ed,如果兩極板間的距離d增大，兩極板間的電勢差也就成正比的增加；(2)電場強(qiáng)度的變化：在平板電容器兩極板間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于平板面積的線度的情況下，(3)電容的變化：平板電容器的電容反比于兩板之間的距離d,為,所以兩極板間的距離d增大時(shí)，平行板電容器的電容將會(huì)減小.7-7-4平板電容器如保持電壓不變(接上電源),增大極板間距離，則極板上的電荷、極板答：(1)極板上的電荷的變化：電容器極板上的電荷與電容有關(guān)，Q=CU,在保持極板上電壓U不變的情況下，其電荷量Q因電容C的減小而減少；(2)極板間的電場強(qiáng)度的變化：極板間的電場強(qiáng)度,將隨電荷量Q的減小而減弱.或者從另一方面說，由極板間的電場強(qiáng)度E與極板上電壓U與兩極板間距離d的關(guān)系可以直接看出，在電壓U保持不變時(shí)，電場強(qiáng)度E隨間距d的增加而減弱；(3)平板電容器的電容變化的變化：由于平板電容器的電容與其帶電狀態(tài)無關(guān)，所以在平板電容器兩極板間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于平板面積的線度的情況下，只要增大極板間距離d,其電7-7-5一對(duì)相同的電容器，分別串聯(lián)、并聯(lián)后連接到相同觸及極板較為危險(xiǎn)?說明其原因.電體的電壓并非十分高(人體的安全電壓僅為36V),但在人體內(nèi)流過的電流產(chǎn)生的熱量仍足以燒傷人體.(1)不斷開電源時(shí)如果不斷開電源(圖7-1-9(a)),在本題所討論的情況下，這對(duì)電容器不管是串聯(lián)還是并為此時(shí)它們的電壓都穩(wěn)定地等于電源電壓.在圖7-1-9(a)中用虛線表示人體去觸摸電路人體的等效電阻為R.由電路分析可知，加在人體上的電壓和流過人體的電流都是一樣的.當(dāng)然如果觸摸串聯(lián)電容器的B板，由于其電壓僅為電源電壓的一半，危險(xiǎn)性也將減小一半.(2)斷開電源時(shí)并聯(lián)的這對(duì)電容器更危險(xiǎn)，因?yàn)槿绻@對(duì)電容器充電后斷開電源(圖b),并聯(lián)的這對(duì)電容器的等效的電容量(C并=2C)比這對(duì)電容器串聯(lián)時(shí)的等效的電容量(C用=C/2)大，相應(yīng)并聯(lián)時(shí)的電能是串聯(lián)時(shí)的4倍，因此去觸摸它們時(shí)，并聯(lián)電能更多，也就有更大的危險(xiǎn)性.圖7-1-9電容器串聯(lián)、并聯(lián)與人體的等效電路(1)電介質(zhì)在電場中極化時(shí)，在電介質(zhì)表面層或在體內(nèi)會(huì)出現(xiàn)極化電荷，它們是電介質(zhì)的(2)電介質(zhì)極化后，電介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度不為零，而導(dǎo)體靜電感應(yīng)時(shí)其內(nèi)部的電場強(qiáng)度總為零.7-8-2如果把在電場中已極化的一塊電介質(zhì)分開為兩部分，然后撤除電場，問這兩半塊電介質(zhì)是否帶凈電荷?為什么?下發(fā)生相對(duì)位移(無極分子)或分子電偶極矩沿電場取向排列(有極分子)的結(jié)果.電介質(zhì)分子的這種微觀移動(dòng)不僅發(fā)生在電介質(zhì)表面層，而且發(fā)生在整個(gè)分開為兩部分，撤除電場后每一部分也不會(huì)出現(xiàn)凈電荷.7-8-3(1)將平行板電容器的兩極板接上電源以維持其間電壓不變，用相對(duì)電容率為ε的均勻電介質(zhì)填滿極板間，極板上的電荷量為原來的幾倍?電場為原來的幾倍?(2)若充電后切斷電源，然后再填滿介質(zhì)，情況又如何?答：(1)設(shè)電源電壓為U,未填滿電介質(zhì)時(shí)的電容為Co.此時(shí)電容器的兩極板仍與電源相接，電壓不變，那么極板上的電荷量為與a.由于極板電壓不變，兩板之間的距離也沒有變，所以兩極之間的電場強(qiáng)度也沒有b.雖然填滿電介質(zhì)后會(huì)削弱電場強(qiáng)度，但因?yàn)樘顫M電介質(zhì)后極板上的電荷量也相應(yīng)地增加了，電場強(qiáng)度又應(yīng)該增加，而者的效應(yīng)抵消了，維持電場強(qiáng)度不變.(2)①電荷量固定不變?nèi)舫潆姾笄袛嚯娫?，極板上的電荷量Qo=C?U固定不變；由公式口可知電容器的電容量C和電勢差U都發(fā)生了變化，即電容增加為原來的占εr倍，而電壓減少至原來的1/cr倍.此時(shí)兩板之間的距離沒有變，所以填滿介質(zhì)后電場強(qiáng)度將削弱為原來電場強(qiáng)度的1/cr倍.§7-9有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理電位移7-9-1在一均勻電介質(zhì)球外放一點(diǎn)電荷q,分別作如圖7-1-10所示的兩個(gè)閉合曲面S?和S?,求通過兩閉合曲面的E通量、D通量.在這種情況下，能否找到一合適的閉合曲面，可應(yīng)用高斯定理求出閉合曲面上各點(diǎn)的場強(qiáng)?圖7-1-10答：不能.該均勻電介質(zhì)球置于點(diǎn)電荷q的電場后，電介質(zhì)球表面分別產(chǎn)生了極化電荷+q'和-q',因此按高斯定理通過閉合曲面S?的E通量是在S?內(nèi)沒有包圍任何自由電荷，所以通過閉合曲面S?的D通量是對(duì)于閉合曲面S?來說，它所包圍的電荷有極化電荷+q'和-q'以及自由電荷qi因此通過S?的E通量是此時(shí)閉合曲面S?內(nèi)有自由電荷q,所以通過閉合曲面S?的D通量是無論在閉合曲面S?、S?上，或者空間其他地方的電場都是+q'、-q'和q共同激發(fā)的結(jié)果，這個(gè)電場分布沒有什么對(duì)稱性，找不到一個(gè)合適的高斯面，因此無法應(yīng)用高斯定理求出閉合曲面上各點(diǎn)的場強(qiáng).7-9-2在球殼形的均勻電介質(zhì)中心放置一點(diǎn)電荷q,試畫出電介質(zhì)球殼內(nèi)外的E和D線的分布.在電介質(zhì)球殼內(nèi)外的場強(qiáng)和沒有介質(zhì)球殼時(shí)是否相同?為什么?答：假定電介質(zhì)球殼內(nèi)外半徑分別是R?和R2,在電介質(zhì)球殼內(nèi)外的場強(qiáng)和沒有介質(zhì)球殼時(shí)是相同的.(1)可以用高斯定理來證明：在電介質(zhì)球殼內(nèi)以點(diǎn)電荷q為中心作一球形高斯面，由于對(duì)稱性，高斯面上的電場強(qiáng)度處處相等，方向沿球面的徑向，利用高斯定理得出介質(zhì)球殼內(nèi)(r<R?)的電場強(qiáng)度為,電介質(zhì)球殼的存在并沒有影響到介質(zhì)球殼內(nèi)的電場分(2)同樣地，在電介質(zhì)球殼外(r>R?)也以這樣的方法作一球形高斯面，它包圍了點(diǎn)電荷q和介質(zhì)球殼內(nèi)外表面的極化電荷，但因介質(zhì)球殼內(nèi)外表面的極化電荷總和為零，通過高斯面的E通量仍為,這樣介質(zhì)球殼外的電場強(qiáng)度還是與不存在介質(zhì)球殼的情況一樣.需要說明的是，在介質(zhì)球殼殼體內(nèi)(R?<r<R?)的電場強(qiáng)度是削弱了，為由上述分析可畫出電介質(zhì)球殼內(nèi)外的E和D線的分布圖，如圖7-1-11所示.由圖可看出，D線起始于中心的點(diǎn)電荷q(假定它是正電荷),由于介質(zhì)球殼上沒有自由電荷，所以所發(fā)出的D線伸展至無限遠(yuǎn)；E線也發(fā)自中心的點(diǎn)電荷q,一部分終止于介質(zhì)球殼內(nèi)表面的負(fù)極化電荷，另一部分伸展至無限遠(yuǎn)，同時(shí)介質(zhì)球殼外表面的正極化電荷也發(fā)出E線并伸展至無限遠(yuǎn).圖7-1-11電介質(zhì)球殼內(nèi)外的E線和D線§7-10靜電場的能量7-10-1電容分別為C,和C?的兩個(gè)電容器，把它們并聯(lián)充電到電壓U和把它們串聯(lián)充電到電壓2U,在電容器組中，哪種形式儲(chǔ)存的電荷量、能量大些?答：并聯(lián)充電到電壓U儲(chǔ)存的電荷量更多.(1)將兩電容并聯(lián)充電到電壓U時(shí)兩電容器并聯(lián)的等效電容為C=C?+C?,把它們充電到電壓U后所儲(chǔ)存的電荷量和能量分別是(2)將兩電容串聯(lián)充電到電壓2U時(shí)兩電容器串聯(lián)的等效電容為把它們充電到電壓2U后所儲(chǔ)存的電荷量和能量分別是兩種情況所儲(chǔ)存的電荷量和能量的比值分別是由分析可得，無論C?和C?為何值，比均大于1,所以有q>q",即并聯(lián)充電到電壓U儲(chǔ)存的電荷量更多.對(duì)于儲(chǔ)存的能量似不能直觀地看出，我們編寫MATLAB程序段，令C?=0.1C2,0.2C?,…,10C?,畫出W'W”(程序及圖中為W1/W2)的變化曲線如下：plot(k,p)xlabel('C1/C2');ylabel('W由曲線可見，僅當(dāng)C?=C?時(shí)，W'=W",即兩種情況所儲(chǔ)存的能量一樣多；在其他任何C?≠C?時(shí)，都有W>W",即并聯(lián)充電到電壓U儲(chǔ)存的能量更多.7-10-2一空氣電容器充電后切斷電源，然后灌入煤油，問電容器的能量有何變化?如果在灌油時(shí)電容器一直與電源相連，能量又如何變化?答：(1)容器儲(chǔ)存的能量降為原來的1/sr,因?yàn)殡娙萜鞒潆姴⑶袛嚯娫春髽O板上的電荷沒有變化，而灌人煤油后，由電容器能量公知，電容增加了εr倍，所以電容器儲(chǔ)存的能量降為原來的1/sr;(2)電容器儲(chǔ)存的能量增加了Er倍，因?yàn)槿绻诠嘤蜁r(shí)電容器一直與電源相連，那么電容器兩極板的電勢差保持不變，由可知，電容增加了εr倍，所以電容器儲(chǔ)7-1在真空中，兩個(gè)等值同號(hào)的點(diǎn)電荷相距0.01m時(shí)的作用力為10-?N,它們相距0.1m時(shí)的作用力為多大?兩點(diǎn)電荷所帶的電荷量是多少?解：(1)根據(jù)題意，設(shè)兩點(diǎn)電荷相距"1時(shí)的庫侖力的大小為F,相距2時(shí)的庫侖力的大小為F?,由庫侖定律，兩個(gè)點(diǎn)電荷間作用力的大小為：(2)由,可得：q=√4πerF?=3.33×10-c7-2在邊長為2cm的等邊三角形的頂點(diǎn)上，分別放置電荷量為qi=1.0×10-6C、q2=3×10-6C(1)哪一個(gè)點(diǎn)電荷所受的力最大?(2)求作用在q?上力的大小和方向.解：(1)根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系如圖7-2-1所示.點(diǎn)電荷91坐標(biāo)為(-1,0),92坐標(biāo)為(1,0),93坐標(biāo)為(0.√5),圖中標(biāo)明了三電荷各Fq?q?=Fq?q?.又因?yàn)閝?`q?電量大小相等，所以：Fq:9:=Fq:a而Fq?9與Fa?911夾角,Fq?93與Fq?93夾角由余弦定理知93所受合力大于92所受合力.(2)由題意可得點(diǎn)電荷1、93對(duì)92的庫倫力分別為：由圖7.1可知上述二力夾角,所以92所受合力為67.5N,方向延X軸正方向.的實(shí)驗(yàn)：兩相同的金屬小球用兩根相同長的懸線吊在0點(diǎn)上(見圖7-2-3),如果它們均帶圖7-2-3解：根據(jù)題意，以帶電小球?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力情況如圖7-2-4所示.圖7-2-4設(shè)小球受庫侖力為,當(dāng)小球受力平衡時(shí)，有Frsinθ=F,F-cos8=mg,可得解將已知條件代入上述方程可得：解對(duì)上式等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù)，可得：7-5粒子快速通過氫分子中心，其軌跡垂直于兩核的連線，兩核的距離為d,如圖7-2-5所示.問α粒子在何處受到的力最大?假定α粒子穿過氫分子中心時(shí)兩核移動(dòng)可忽略，同時(shí)忽略分子中電子的電場.圖7-2-5解：沿水平方向建立X軸，取向左為正向，如圖7-2-6所示.圖7-2-6α粒子總是位于兩核連線的中垂線上.當(dāng)它與連線的距離為x時(shí)受力情況如圖7-2-6所示，7-6在直角三角形ABC的A點(diǎn)，放置點(diǎn)電荷qi=1.8×10C,在B點(diǎn)放置點(diǎn)電荷q?=-4.8×10-9C.已知BC=0.04m,AC=0.03m.試求直角頂點(diǎn)C處的電場強(qiáng)度.解：根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系Oxy,取C為原點(diǎn)，如圖7-2-7所示根據(jù)場強(qiáng)的疊加原理，C點(diǎn)的合場強(qiáng)為：Ec的大小為：Ee=√Ei+E{=3.Ec與水平方向夾角為：7-7如圖7-2-8所示的電荷分布稱為電四極子，它由兩個(gè)相同的電偶極子組成.證明在電四極為這種電荷分布的電四極矩.,題目得證.圖7-2-97-8長1=15cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度為λ=5×10-?C/m的電荷(如圖7-2-10).(1)在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線一端B相距d=5cm的點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度；(2)在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距d=5cm處的Q點(diǎn)的電場強(qiáng)度.圖7-2-10解：(1)以P為原點(diǎn)，直導(dǎo)線AB為X軸建立坐標(biāo)系，取PA為坐標(biāo)軸正方向，取AB上一段微元dx,其對(duì)P點(diǎn)的場強(qiáng)為積分得合場強(qiáng)為：(2)以直導(dǎo)線AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為X軸建立坐標(biāo)系，如圖7.11所示.由對(duì)稱性可知Q點(diǎn)場強(qiáng)X軸分量為0,合場強(qiáng)分布在y軸，E=E取AB上一段微元dx,有由圖7.-2-11可知,代入上式有積分得合場強(qiáng)：圖7-2-117-9一電偶極子原來與一均勻電場平行，將它轉(zhuǎn)到與電場反平行時(shí)，外力作功0.1J.問當(dāng)此電偶極子與電場強(qiáng)度成45°角時(shí)，作用于它的力偶矩有多大?解：在均勻的電場中，電偶極子受力矩大小為M=p,Esinθ.由題意可知，在θ由0°轉(zhuǎn)到180°的過程中，外力作功：當(dāng)θ=45時(shí)，作用于它的力偶矩為：7-10用細(xì)絕緣線彎成的半圓形環(huán)，半徑為R,其上均勻地帶正電荷Q,求圓心O點(diǎn)處的電場強(qiáng)度.解：根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，如圖7-2-12所示.圖7-2-12由題意可知Q>0,在半圓形環(huán)上任取一電荷元dq=λdl,則該電荷元在圓心O點(diǎn)處的電場,方向如圖7212所示，式中，,dl=Rde.因?yàn)殡姾傻膶?duì)稱分布，所以圓心0點(diǎn)處的電場強(qiáng)度方向沿X軸正方向，其大小為：半徑為rsinθ,環(huán)心在-x處.E指向X軸正方向.處為-6×10-8C.計(jì)算通過以(0,0)為球心，半徑為5m的球面上的總E通量.解：由題意可知，三個(gè)電荷均在半徑為5m的高斯面包圍之中，則高斯定理：7-14如圖7-2-14所示，在點(diǎn)電荷q的電場中，取半徑為R的圓形平面.設(shè)q在垂直于平面并通過圓心O的軸線上點(diǎn)A處，點(diǎn)A與圓心O的距離為d.試計(jì)算通過此平面的E通量.通過球冠面S的E通量即通過圓形平面的E通量為：中、=[E·dS=ES可得：7-15圖7-2-15中電場強(qiáng)度的分量為E,=bx2,E,=E?=0,式中設(shè)(1)通過立方體表面的總E通量；(2)立方體內(nèi)的總電荷量.圖7-2-15解：(1)由題意可知，通過立方體表面的總E通量，數(shù)值上與通過立方體左右兩個(gè)側(cè)面的E通量相等：屮，=中+出，=E?·S+E?·S=(E?-E?)S=(b√2d-b/d)d2=1.05Nm2/C(2)根據(jù)高斯定理可得立方體內(nèi)包圍的電荷量：7-16(1)地球的半徑為6.37×10?m,地球表面附近的電場強(qiáng)度近似為100V/m,方向指向地球中心，試計(jì)算地球帶的總電荷量；(2)在離地面1500m處，電場強(qiáng)度降為24V/m,方向仍指向地球中心.試計(jì)算這1500m厚的大氣層里的平均電荷密度.解：(1)根據(jù)題意，取地球表面作為高斯球面，由高斯定理有：(2)在距地面1500m處作一高斯球面，由高斯定理有：大氣層體積為：大氣層里的平均電荷密度為：7-17在半徑分別為10cm和20cm的兩層假想同心球面中間，均勻分布著電荷體密度為解：(1)如圖7-2-16所示，以O(shè)為球心，由題意知高斯面內(nèi)電荷為0,因此離球心5cm處的場解：(1)當(dāng)r<R時(shí)，以r為半徑作高斯面，有高斯定理(2)當(dāng)r>R時(shí)，有高斯定理因此可得場強(qiáng)分布作出的E-r曲線如圖7-2-17所示.圖7-2-177-19厚度為0.5cm的無限大平板均勻帶電，電荷體密度為1.0×10-C/m3.求：(1)薄層中央的電場強(qiáng)度；(2)薄層內(nèi)與其表面相距0.1cm處的電場強(qiáng)度；(3)薄層外的電場強(qiáng)度.解：(1)由對(duì)稱性可知，薄層中央電場強(qiáng)度為0.(2)如圖7-2-18(a)所示，做高斯面，有：由圖7-2-18(a)可知：,pV=pSd則由高斯定理，有：代入已知條件，有：(3)做圓柱形高斯面，如圖7-2-18(b)所示，由高斯定理，有：可得：圖7-2-187-20在半徑為R,電荷體密度為P的均勻帶電球內(nèi)，挖去一個(gè)半徑為r的小球，如圖7-2-19所示.試求：O、O'、P、P'各點(diǎn)的電場強(qiáng)度.0、O'、P、P'在一條直線上.圖7-2-19解：設(shè)大、小帶電球體的場強(qiáng)分別為E1和E2,則各點(diǎn)的合場強(qiáng)為：:E=E?+E,.根據(jù)高斯定理，對(duì)大球和小球分別可得E1和E?為：式中，I表示從O點(diǎn)出發(fā)的矢徑大小，表示沿矢徑向外的單位矢量，表示從O點(diǎn)出發(fā)的矢徑大小，表示沿矢徑向外的單位矢量.在O點(diǎn)時(shí)，由于r"=0,故E=0,在P點(diǎn)時(shí)，有EE+E,是大球在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)，E?是小球在P點(diǎn)產(chǎn)在p"點(diǎn)時(shí)，有E=E+E,是大球在P"點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)，E?是小球在P"點(diǎn)產(chǎn)7-21半徑為R的無限長直圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷體密度為p,求電場強(qiáng)度分布，并作E-r曲線.解：當(dāng)r<R時(shí)，在圓柱體內(nèi)取半徑r,高的同軸閉合圓柱面S1,對(duì)圓柱面S?應(yīng)用高斯定所以，圓柱體內(nèi)電場強(qiáng)度大小為：當(dāng)r>R時(shí)，在圓柱體外，取半徑r,高l的同軸閉合圓柱面S?,對(duì)圓柱面S?應(yīng)用高斯定理因此，圓柱體外電場強(qiáng)度大小為：圖7-2-207-22點(diǎn)電荷q?、q?、q?、q4的電荷量各為4×10?9C,放置在一正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，各頂點(diǎn)距正方形中心點(diǎn)O的距離均為5cm.(2)將一試探電荷qo=10-?℃從無窮遠(yuǎn)移到O點(diǎn)，電場力作功多少?(3)問(2)中所述過程中qo的電勢能的改變?yōu)槎嗌?解：(1)由電場強(qiáng)度的疊加原理可知，0點(diǎn)的合場強(qiáng)為零，即E。=0.由電勢的疊加原理可知，0點(diǎn)的電勢為：(2)電場力作功為電勢能的變化：W=qUn-qU.=q0-2.88×103)=-2.(3)由(2)可知，電勢能增加2.88×10-?J.7-23如圖7-2-21所示，已知r=6cm,d=8cm,qi=3×108C,q?=-3×108C.求：(1)將電荷量為2×10-?℃的點(diǎn)電荷從A點(diǎn)移到B點(diǎn)，電場力作功多少?(2)將此點(diǎn)電荷從C點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場力作功多少?A=q?(VA-Vs)=2×10??×(1.8×10A=q?(Vc-Vp)=2×10-(-1.8×10圖7-2-237-25半徑為2mm的球形水滴具有電勢300V.求：(1)水滴上所帶的電荷量；(2)如果兩個(gè)相同的上述水滴結(jié)合成一個(gè)較大的水滴，其電勢值為多少(假定結(jié)合時(shí)電荷沒有漏失)?解：(1)設(shè)水滴帶電量為q,由均勻帶電球面的電勢,可得到水滴帶電量：(2)設(shè)合成的水滴電勢為U1,則7-26兩個(gè)同心球面，半徑分別為10cm和30cm.小球面均勻帶有10-8C正電荷，大球面帶有1.5×10-8C正電荷.求離球心分別為20cm、50cm處的電勢.解：設(shè)一球面半徑為R1、帶電量為q1,另一球面半徑R2、帶電量為q2,由高斯定理可得處的電勢為：7-27電荷Q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，試證離球心r處(r<R)的電勢為證明：以r為半徑作球面，帶電球體可以分割成半徑為r的球體和厚度為(R-r)的球殼的兩由帶電球體表面的電勢知，半徑為r的球體V?是厚為(R-r)帶電球殼在其內(nèi)表面的電勢，因?yàn)閹щ娗蛎鎯?nèi)的電勢等于表面的電勢，看將球殼分割為無數(shù)厚度為dr的微元薄球殼，則r處在微元每個(gè)薄球殼的內(nèi)部.每個(gè)薄球殼所帶的電荷量為dg=p4π2dr,電勢為,因此：那么,離球心R處的電勢：7-28如圖7-2-24所示，在邊長為1m的正方形的左上角有一點(diǎn)電荷qo=10-12C,左下角有一點(diǎn)電荷q?=-10-12C,電荷量為q2=10-1'