基本不等式（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第03講基本不等式

（6類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2021年天津卷，第13題,5分基本不等式求和的最小值

2020年天津卷，第14題,5分基本不等式求和的最小值

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度有高有低，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握基本等式的基本內(nèi)容

2.能掌握基本不等式的解題方法

3.具備函數(shù)與基本不等式思想意識(shí)，會(huì)利用函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式解決最值問(wèn)題

4.能夠在基本不等式與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合時(shí)，靈活運(yùn)用基本不等式的解題方法

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般最值問(wèn)題，考慮使用基本不等式

I「?考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)一、直接法

1.基本不等式的形式考點(diǎn)二、配湊法

2.幾個(gè)重要的不等式考點(diǎn)三、常數(shù)“1”的代換

基本不等式知識(shí)點(diǎn)：基本不等式〈

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)v考點(diǎn)四、和積定值

4.利用基本不等式求最值問(wèn)題考點(diǎn)五、消元法

考點(diǎn)六、雙換元

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn).基本不等式

1.基本不等式的形式：y[ab^r--

(1)基本不等式成立的條件：aNO,

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=A時(shí)取等號(hào).

(3)其中陪稱(chēng)為正數(shù)a,力的算術(shù)平均數(shù)，4瓦稱(chēng)為正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2.幾個(gè)重要的不等式

⑴才+Z/22M>3b￡R).

ho

(2)-+-^2(a,8同號(hào)).

ab

(3)a6W(^^)(a,力CR).

燈號(hào)(a,66R).

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a〉0,b>0,則a,6的算術(shù)平均數(shù)為手，幾何平均數(shù)為“瓦，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均

數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問(wèn)題

已知x>0,y>0,則

(1)如果積燈是定值夕，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=p時(shí)，x+p有最小值25.(簡(jiǎn)記：積定和最小)

2

(2)如果和x+y是定值R那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，盯有最大值￡.(簡(jiǎn)記：和定積最大)

考點(diǎn)一、直接法

典例引領(lǐng)

1.(2021?全國(guó)?高考真題)下列函數(shù)中最小值為4的是()

A.y=xz+2%+4B.y=Isinxl+—―-

/|sinx|

C.y=2X+22~XD.y=Inx+

//Inx

2.(2021?天津?高考真題)若a>0,6>0,貝壯+9+b的最小值為

ab2---------

??即時(shí)啊

22

1.(2024?寧夏銀川?二模)已知力(3,0),B(-3,0),P是橢圓[+三=1上的任意一點(diǎn)，則仍川“PB|的最大

2516

值為_(kāi)_____

2.（2024?甘肅定西?一模）/+*?的最小值為（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5V7

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若x>0,y>0,3x+2y=l,則8*+獷的最小值為()

A.V2B.2V2C.3V2D.4V2

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足ab=2,貝！|小+2/^的最小值為（)

A.2B.2V2C.4D.4V2

5.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）若a>0,6>0,則“VH+乃W2”是aa+b<1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024?四川成都?三模）若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足小+fo2=m,貝ija+b的最大值為（用TH表示）.

考點(diǎn)二、配湊法

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)/（%）=%+*（%>3）在久=a處取最小值，則。=

2.（2022?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知》>0,貝屹丁+占的最小值為

即時(shí)性測(cè)I

1.（2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）若x>1,則二+2久+2的最小值為

X-1----

2.（21-22高三上-安徽安慶?期末）下列函數(shù)的最小值為2/的是（）

A.y=Icosxl+■,2,B.V=yfx+V8—X

J|cosx|

3.（2024?江西贛州?二模）已知y>久>0,則”——工的最小值為

y-x2x+y-------

4.（22-23高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式/+bx+c>0（b>1）的解集為R,則寫(xiě)產(chǎn)

的最小值為.

考點(diǎn)三、常數(shù)“1”的代換

典例引領(lǐng)

1.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知€（0,+8）,—+n=4,則小+2的最小值為（）

mn

A.3B.4C.5D.6

2.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）已知正數(shù)a,b滿(mǎn)足工+：=1,貝Uab+36的最小值為（）

ab

A.8B.9C.10D.12

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?遼寧鞍山?模擬預(yù)測(cè)）若x>0,y>0,且x+y=l,貝仁+工的最小值為

xy-----

2.（2024?廣西河池?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a>l>6>0,且a?+26=肝+2a,則工+：的最小值

a-1b

為.

3.（2024?上海徐匯?二模）若正數(shù)a、b滿(mǎn)足工+!=1,貝U2a+b的最小值為

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知a>0,b>0,若—+則ab的最大值為（）

a2+2abb2+ab

A.2-V2B.2+V2C.4+2V2D.4-2V2

5.（2024?寧夏?二模）直線(xiàn)ax+by—1=0過(guò)函數(shù)f（x）=x+W'圖象的對(duì)稱(chēng)中心，貝哈+三的最小值為

（）

A.9B.8C.6D.5

6.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P（x,y）在以原點(diǎn)。為圓心，半徑r=夕的圓上，則高+會(huì)的最小值

為（）

A.-B.過(guò)處C.-D.1

999

考點(diǎn)四、和積定值

典例引領(lǐng)

1.(2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))已知a,b6(-8,0),且a+4b=ab-5,則ab的取值范圍為()

A.[25,+00)B.[l,+oo)C.(0,5]D.(0,1]

2.(2023?河南焦作?模擬預(yù)測(cè))已知正數(shù)x,y滿(mǎn)足2v+2y-盯=0,則當(dāng)孫取得最小值時(shí)，x+2y=

()

A.4+8A/3B.2+4V3C.3+6舊D.8+6百

即時(shí)楂測(cè)

1.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)不同的正數(shù)a,b滿(mǎn)足生比=@?，則ab的取值范圍是

ab

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)a,6滿(mǎn)足：a3+b2=ab,貝Ua的最大值為（）

A.-B.-C.V2D.2

34

考點(diǎn)五、消元法

ei典照強(qiáng)

1.（23-24高三下?浙江?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足比>3,且xy+2x-3y=12,貝!|x+y的最小值

為（）

A.1+2V6B.8C.6V2D.1+2V3

2.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿(mǎn)足比+y=4,則！一津最小值為.

即典性測(cè)I

1.（2024?陜西西安?三模）已知%>0,y>0,xy+2x—y=10,則％+y的最小值為.

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知a,b>0,a6=1,求5=工+」的最小值.

1+a1+2匕

3.（2024?山西?三模）已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足/+3xy—2=0,則2x+y的最小值為（）

A.亞B.巫C.2D.i

3333

考點(diǎn)六、雙換元

典例引領(lǐng)

1.（2024?四川成都?三模）設(shè)a>b>0,若。2+%爐工貯半，則實(shí)數(shù)2的最大值為（)

a-b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

2.（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）正數(shù)a,b滿(mǎn)足a>b,ab=4,則與嗎的最小值為（

a2-b2)

A.2B.3C.4D.6

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知%>y>0,-^―+-^―=1,貝！J2%—y的最小值為.

x+yx-y-----

2.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)％y滿(mǎn)足%>>2,不等式二;+Jr之恒成立，求m的最

3y-23x—2

大值.

12.好題沖關(guān)?

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足：+y=2,則無(wú)+；的最小值是（）

9

A.4B.-C.5D.9

2

2.（2024?天津?二模）已知拋物線(xiàn)y2=2p%（p>0）的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M（4,y0）到F的距離為6,

22

雙曲線(xiàn)a-竟=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)&在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)&向雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為

則H與雙曲線(xiàn)兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為（）.

A.2B.V3C.V5D.3

3.（23-24高三下?北京順義?階段練習(xí)）已知a>0,6>0,則“a+b>2”是“ab>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023?天津南開(kāi)?一模）已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,a+6=1,貝U2a+2b的最小值為.

5.（2022?天津南開(kāi)?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)乃y滿(mǎn)足x>y>0,且xy=4,則篇的最大值為.

6.（21-22高三上?天津南開(kāi)?階段練習(xí)）若。，b>0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是.

7.（2024?天津?模擬預(yù)測(cè)）若a>0,b>0,且a+b=l,貝+￡）（6+￡）的最小值為

能力提升

1.（2024?天津河西?三模）已知FI，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且N&PF2=方，

若橢圓的離心率為％,雙曲線(xiàn)的離心率為02,則黃+多的最小值為（）

A.3+V3B.—C.—D.4

22

2.（2024?天津?二模）已知向量N=（1,1）石=（2x+y,2）,其中N||3且xy>0,則曲的最小值為

（）

A.V2+1B.V2+2C.4D.V2-1

3.（2024高三?天津?專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛/J中，a*3a3,（15成等差數(shù)列.若數(shù)列｛時(shí)｝中存在

兩項(xiàng)am，an，使得/的為它們的等比中項(xiàng)，則5+；的最小值為（）

A.1B.3C.6D.9

4.（23-24高三上?天津南開(kāi)?階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和為%,且品-2s4=6,則的+

+。12的最小值為（）

A.10B.14C.20D.24

5.（2024?天津武清?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角梯形ABCD中，AB||CD,ABLAD,AB=2CD=2AD=2,

在等腰直角三角形CDE中，ZC=90°,則向量濯在向量至上的投影向量的模為；若血N分別為線(xiàn)段BC,

CE上的動(dòng)點(diǎn)，且前?麗=李則說(shuō)?麗的最小值為

E

6.（2024?天津?模擬預(yù)測(cè)）已知正AABC的邊長(zhǎng)為舊，中心為0,過(guò)。的動(dòng)直線(xiàn)/與邊AB,AC分別相交于

點(diǎn)M、N,AM=XAB,AN=11AC,BD=DC.

（1）若麗=2枇，則