集合與常用邏輯用語-2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（解析版）

專題01集合與常用邏輯用語

題型一：集合運(yùn)算問題三.易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)集合表示方法的理解存在整

題型二：集合中的含參問題易錯(cuò)點(diǎn)：忽視（漏）空集導(dǎo)致錯(cuò)誤

萼三暨第野二解決G易錯(cuò)點(diǎn)：忽颼合元卻1互攤

兀素與集合關(guān)系問題

題型四：判斷充分性必要置口易錯(cuò)點(diǎn)：判斷充分性必要性位置顛倒

題型五：由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題

e易錯(cuò)點(diǎn)：忽略分類討論

的真假求參數(shù)的取值范圍

易錯(cuò)點(diǎn)一：對(duì)集合表示方法的理解存在偏差（集合運(yùn)算問題

兩種解題方法）

方法一：列舉法

列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據(jù)集合基本運(yùn)算的定義求解的方法。

其解題具體步驟如下：

第一步定元素：確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數(shù)軸寫出所有元素或范圍;

第二步定運(yùn)算：利用常見不等式或等式解未知集合；

第三步：定結(jié)果。

方法二：賦值法

高考對(duì)集合的基本運(yùn)算的考查以選擇題為主，所以我們可以利用特值法解題，即根據(jù)選項(xiàng)

之間的明顯差異，選擇一些特殊元素進(jìn)行檢驗(yàn)排除，從而得到正確選項(xiàng).

其解題具體步驟如下：

第一步：辨差異:分析各選項(xiàng)，辨別各選項(xiàng)的差異；

第二步：定特殊:根據(jù)選項(xiàng)的差異，選定一些特殊的元素；

第三步：驗(yàn)排除:將特殊的元素代入進(jìn)行驗(yàn)證，排除干擾項(xiàng)；

第四步：定結(jié)果:根據(jù)排除的結(jié)果確定正確的選項(xiàng)。

易錯(cuò)提醒：對(duì)集合表示法的理解先觀察研究對(duì)象（1前），研究對(duì)象是點(diǎn)集還是數(shù)集，

故要對(duì)本質(zhì)進(jìn)行剖析，需要明確集合中的代表元素類型及代表元素的含義.

例已知集合/={中＜耳，8={(x,y)卜＞2},則集合/口3=()

A.0B.(2,%)C.(-8,2)D.(-<?,%)

破解：根據(jù)交集定義計(jì)算，可以認(rèn)為A是數(shù)集，B是點(diǎn)集，Nc8=0故選：A

變式1：已知集合4=卜卜-l)(x-4)<0},2=(y卜=2-x?},則()

A.0B.{x[l<x<4}

C.(x|l<x<2^D.{x|2<x<4j

破解：=8=(-雙2],/cB=(l,2],故選：C

注意一個(gè)研究對(duì)象為數(shù)集一個(gè)為點(diǎn)集

變式2：已知集合/={(*,//+必=1衣,)€用，3={x[x+y=l,x,yeR},貝!]()

A./口8={0,1}B.NcB={(O,l),(LO)}

C.A=BD.AcB=0

破解：由題意可知集合3="婕+了=1戶/€11}為數(shù)集，

集合/={(%,//+了2=1,尤,”R}表示點(diǎn)集，故選D.

變式3：已知集合力=卜|1嗎(》-1)<0},5={x||x-2|<2},則()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<4}

C.{x|0<x<4}D.{x|x<4}

破解：因?yàn)?={尤|log?(尤-1)<o}={X11<x<2}

5={x||x-21<2}={x10<x<4}

所以4n5={x[l<x<2}n{x[0<x<4}={x[l<x<2},故選：A

1.集合/={(x,y)?=3x-2},8={(x,y)|y=x+4},則()

A.{3,7}B.{(3,7)}C.{7,3}D.{x=3,^=7}

【答案】B

【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.

[詳解]因?yàn)樗?口8={(3,7)}.

故選：B

2.已知集合/=卜，-2》<0},集合B={y|y=log2(2-/)},則/口8=()

A.(0,1]B.(-00,1)C.(一叫2)D.(0,2)

【答案】A

【分析】解一元二次不等式可得集合a根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可求得集合2,根據(jù)集合的

交集運(yùn)算即得答案.

【詳解】由題意/=卜|/一公<0}=(0,2),

由于0<2-尤2V2,故log2(2-力41,

故2={?B=log2Q-.)}=(一oo,l],

所以/「8=(0』，

故選：A

3.設(shè)全集U=R,集合尸={y|y=3x,-l<x<0},Q=\x\^->o\,則尸c四。等于

[x+2J

()

A.(-2,0)B.[-2,0)C.(-3,-2)D.(-3,-2]

【答案】B

【分析】化簡(jiǎn)集合/,B,根據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算.

【詳解】全集U=R,集合尸={“尸3羽-1<》<0}=(-3,0),

0=1x]X2~°,=K?x(x+2)>0(xA-2}={x/20或x<-2},

所以電Q={x|_24x<0},

則尸ca0={x|-2Wx<0}.

故選：B.

4.已知集合/=5€用一1《》<4},8=[x'=lg(-尤2+2x+3?,則/口8=()

A.{1,2}B.{0,1,2}

C.[-1,3)D.(-1,3)

【答案】B

【分析】先化簡(jiǎn)集合/,B,再利用集合的交集運(yùn)算求解.

【詳解】解：集合/={xeN|T4x<4}={0,1,2,3},

由一X2+2X+3>0,得X2-2X-3<0,解得-l<x<3,

所以8={x[—l<x<3},

所以/05={0,1,2},

故選：B

5.已知集合〃={x|—lW%W2},N={x|y=lnx},則McN=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}C.{x10<x<2}D.或

x>2}

【答案】c

【分析】先化簡(jiǎn)集合N,再求McN即可解決.

【詳解】N={x|y=lnx}={x|x>0},

則WPlN={x|-1VxV2}A{x|x>0}={x[0<xV2}.

故選：C.

6.已知集合W={x卜4cx<2},N={xeZ卜2Vx<3},則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.

【詳解】^={xeZ|-2<x<3}={-l,0,l,2},所以WcN={-1,0,1},

故選：B

7.下列表示正確的個(gè)數(shù)是（）

(、zx[2x+y=101z、

(1)0g0；(2)0c{l,2}；(3)<(x,y)j3x_v_5『{3,9；(4)若A=B,則

AC\B=A.(5)0e{0}

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系、交集、子集等知識(shí)進(jìn)行分析，從

而確定正確答案.

【詳解】空集沒有元素，所以0e0正確，也即（1）正確；

空集是任何集合的子集，所以0U｛1,2｝正確，也即（2）正確；

2x+y=10x=32x+y=10

由解得，所以=｛（3,4）｝,所以（3）錯(cuò)誤;

3x-y=5y=43x-y=5

若/=即A是8的子集，所以/n8=N,所以（4）正確;

根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知0e{0}正確，也即（5）正確.

所以正確的個(gè)數(shù)是4.

故選：A

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視（漏）空集導(dǎo)致錯(cuò)誤（集合中的含參問題）

1.利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍解題時(shí)務(wù)必注意:由于0是任意集合的

子集，若已知非空集合B,集合A滿足A^B或AuB,則對(duì)集合A分兩種情中的含參問題

況討論：

（1）當(dāng)A=0時(shí),若集合A是以不等式為載體的集合，則該不等式無解;（2）當(dāng)A彳0時(shí)，要利用子

集的概念把子集關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)值的大小關(guān)系，從而構(gòu)造關(guān)于參數(shù)

的不等式（組）求解.

2.利用兩集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍解決此類問題的步驟一般為：

第一步：化簡(jiǎn)所給集合；

第二步：用數(shù)軸表示所給集合；

第三步：根據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式（組）;（4）解不等式（組）；

第四步：檢驗(yàn)，通過返回代入驗(yàn)證端點(diǎn)是否能夠取到.

第五步：解決此類問題多利用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合數(shù)軸或Venn圖進(jìn)行求解.

易錯(cuò)提醒：勿忘空集和集合本身.由于0是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何

集合的本身是該集合的子集，所以在進(jìn)行列舉時(shí)千萬不要忘記。

例已知集合/={x|l《x<5},B={x\-a<x<a+?>].若8=（4口功，則。的取值范圍

為（）

A.B.（-℃，-1]

CD.1泊

破解：根據(jù)集合的關(guān)系分類討論求參數(shù)即可，由6=（，門5）,可得5右4

3

當(dāng)5=0時(shí)，—+即一一,滿足題設(shè)

2

3\-a>\,3

當(dāng)時(shí)，一〃<〃+3,即——，且〈，可得——<a<-\

2。+3<52

綜上，°的取值范圍為（-叫_1],故選：B

變式1：集合/=付2/一5X+2=0},5=何"-2=0},若B=4CB,則實(shí)數(shù)。的取

值集合為()

A.{-1,-4}B.{0,-1,-41C.口,4}D.{0,1,4}

破解：首先求出集合A,依題意可得3=",再分8=0、8={2}、2=,；}三種情況

討論

因?yàn)?={x|2f-5x+2=0},B=A^\B,所以3=/,又B={x|ax-2=0}

當(dāng)8=0,貝lJa=O,當(dāng)8={2},即2a-2=0,解得a=l,當(dāng)8=1}，即go-2=0,

解得。=4,綜上可得實(shí)數(shù)a的取值集合為{（M,4},故選：D

變式2：設(shè)集合U=R,集合/={X|-24X<5},8={Hm-6<x<2m-\\,若/cB=0,

則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

1

A.—00,------B.(11,+8)C.——,11U(11+0°)

29

破解：結(jié)合3是否為空集進(jìn)行分類討論可求加的范圍

當(dāng)5=0時(shí)，AcB=0,則加—622加—1,即加V—5

m-6<2m-1m-6<2m-1

當(dāng)5W0時(shí)，若%c5=0,則或

2m—1<-2m-6>5

解得-5<加4-；或加>11,綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍為，咫-；u（n，H

故選：D

變式3：已知集合/=卜€(wěn)2卜2<3},8=*卜<》<°+|j,若/c8有兩個(gè)元素，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

A.-5<Q<—11B,JQ-5<Q<O:

C.--1-D?-5<a<0>1]

破解：先解出集合A,結(jié)合有兩個(gè)元素求解即可

因?yàn)?={xeZ,2<3}={-1,0,1},B=\xa<x<a+^A,由于有兩個(gè)元素

Cl<-1-1<tz<0

31

則Q>1角軍得一一<a<一1或——<a<0

j+l,產(chǎn)22

2

所以實(shí)數(shù)0的取值范圍是或-;<a<0卜故選：c

1.已知集合/={尤|1Vx<5},8={x|-a<x4a+4},若31（4口3）,則。的取值范圍

為（）

A.{司-2<a<-1}B.（司4<-2}

C.（a|a<-1}D.[a\a>-2j

【答案】C

【分析】由81(/CIB)可以得到8aA,從而對(duì)集合3分類討論即可求解參數(shù)。的范圍.

【詳解】?.?已知BqpnB),又因?yàn)?/C3)u3,

AACiB=B,即8=/,

①當(dāng)8=0時(shí)，滿足3=”,此時(shí)-a2a+4,解得aV-2;

—ci<〃+4

②當(dāng)8/0時(shí)，由8=4,得<-a>l,解得一2<Q4—1；

。+4<5

綜上所述，a<-l.

故選：C.

2.設(shè)集合/={x|2a+lVxW3a-5},S=^x|x2-2U+80<oj,AC\B=A,貝|（）

A.{a|2<a<7^B.（a|6<a<7jC.[a\a<7^D.[a\a<6j

【答案】C

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合3,再利用集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】顯然8=卜卜2一2R+80V0}=15VxV16},由4nB=4,得/=

當(dāng)/=0時(shí)，即2a+l>3a-5,解得a<6,滿足/0貝！Ja<6；

當(dāng)/W0時(shí)，則5V2a+lV3a-5W16,解得6WaW7；

所以a《7.

故選：C

3.已知集合初=卜|/=1},N={尤|亦=1},若McN=N,則實(shí)數(shù)a的取值集合為

()

A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}

【答案】D

【分析】分。=0和aW0討論，根據(jù)集合關(guān)系可解.

【詳解】McN=NoNuM,

當(dāng)a=0時(shí)，N=0,滿足NuM；

當(dāng)a/0時(shí)，N=M={1,-1},由NuM可知！=1或工=一1,得a=l或a=-l.

laJaa

綜上，實(shí)數(shù)。的取值集合為{LT。}.

故選：D

4.設(shè)集合/={尤[1<尤<3},B={x\x<a}},若AuB=B,則。的取值范圍是()

A.{a|a31}B.{a|a<l}

C.{a|fl>3}D.{(z|a>3}

【答案】D

【分析】根據(jù)Nu5=5得到兩集合間的關(guān)系，再由集合間的關(guān)系，求得。的取值范圍.

【詳解】由得/=已知/={x|l<xV3},B={x\x<a],

從而得。>3.

故選:D.

5.設(shè)集合4={x|x(4-x)N3},B=\x\x>a\,^AC\B=A,則。的取值范圍是()

A.(-8,1]B.(-oo,l)C.(-℃,3]D.(-<?,3)

【答案】B

【分析】求出集合A,分析可知/=由集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】解不等式X(4-X)N3,即--4x+3V0,解得IV尤W3,即4={x|lVxV3},

因?yàn)?且3={小>力，則/=所以，a<1.

故選：B.

6.已知集合/={小2-1=0},8=卜版=1},=則實(shí)數(shù)a取值集合為(

A.{-1}B.{1}C.{-1/}D.{-1,0,1}

【答案】D

【分析】由題意知8。/,分別討論8=0和3/0兩種情況，即可得出結(jié)果.

【詳解】由/魂8=3,知3g/,因?yàn)?={小2-』0}={-1,1},B={x\ax=Vi，

若8=0,則方程ax=l無解，所以。=0；

若8N0,aW0,則3={x|ax=1}=x=J,

因?yàn)?=/,所以工=±1,則。=±1；

a

故實(shí)數(shù)。取值集合為{T0」}.

故選：D.

7.已知集合4="比>。},3="比</},且但⑷nB=3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

A.[0,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.S，0]

【答案】A

【分析】求出4/，依題意可得3可得關(guān)于。的不等式，即可得解.

【詳解】因?yàn)?={x|x>a},所以4/={x|xVa},

又做/)n8=B,所以3口a”，

又2=,卜</},所以解得OVaWl,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為[0』.

故選：A.

8.已知集合M={x|-l<x<3},N={訃R},若McN=M,則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是()

A.[-1,+<?)B.(-co,-l]

C.[-1,3]D.(-1,3)

【答案】B

【分析】根據(jù)河門"=可得河="可得答案.

【詳解】因?yàn)椤癱N=M,所以AfqN,所以。4-1.

故選：B.

9.已知集合“=k|。<%<(22+1,。￡2},B={x\2<x<6},若405=4,貝!]〃=(

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】有集合間的關(guān)系建立不等式組求出即可.

【詳解】由zn8=N,得4=易知集合A非空,

a>2卜22

貝I卜a2+1<6=><-J~5<a<45,

aeZaeZ

解得a=2.

故選：B.

10.已知集合4=「k2一2_￥-3<()},3={無卜l<x<-〃“，^AC\B=A,則實(shí)數(shù)加的取

值范圍為()

A.(-3,+oo)B.(-oo,-3]C.[3,+oo)D.(-1,3]

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合4再利用集合的包含關(guān)系求解作答.

【詳解】解不等式一-2*-3<0,得-l<x<3,于是工=(一1,3),而5=(-1,一間，

因?yàn)?n3=2,則NgB,因此-加23,解得加V-3,

所以實(shí)數(shù),2的取值范圍為(-*-3].

故選：B

II.已知集合/斗B=111(3工--+4)},3=>|>=/+,},若4nB=4,則實(shí)數(shù)f的取

值范圍是()

A.(-oo,-l]B.(-℃4]

C.(-00,-1)D.(-°0,1)

【答案】A

【分析】首先分別求兩個(gè)集合，再根據(jù)包含關(guān)系，求參數(shù)，的取值范圍.

【詳解】由已知得Z={H3x--+4>0}=(_1,4),8=也+8),

由4nB=/,得所以/(-1.

故選：A.

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視集合元素的互異性(利用集合元素三性解決

元素與集合關(guān)系問題)

茸

類型1有限集中元素與集合間關(guān)系的判斷

⑴待確定元素與已知集合無關(guān):如果待確定元素的值只與自身有關(guān)，只需將元素化簡(jiǎn)、求

值，再與該有限集內(nèi)的元素進(jìn)行逐個(gè)對(duì)照，確定是否存在與其相等的元素.若存在,則屬于

(e)；若不存在,則不屬于任.

(2)待確定元素與已知集合有關(guān):當(dāng)一個(gè)待定集合中的元素與一個(gè)已知集合有關(guān)，確定元

素與待定集合的關(guān)系(或待定集合中元素個(gè)數(shù))時(shí)，應(yīng)先將待定集合中的元素根據(jù)題中限

定條件求出(常會(huì)用到列舉法和分類討論思想)，然后根據(jù)題目信息進(jìn)行分析判斷(常依據(jù)

集合中元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn)).

類型2無限集中元素與集合間關(guān)系的判斷

⑴將待確定元素進(jìn)行變形，看能否表示成無限集合中元素的形式，如果可以，則屬于;否則

不屬于.

(2)假設(shè)法:假設(shè)該對(duì)象是集合中的元素,代人看是否與集合限定條件相矛盾，若不矛盾，則

屬于;否則不屬于.

易錯(cuò)提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關(guān)鍵，求解過程中務(wù)必注意:用

描述法表示的集合,要先認(rèn)清代表元素的含義和集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他類

型的集合，如y=2"},{xIy=2*},{(x,/y=2'}表示不同的集合.如果是根據(jù)已知

列方程求參數(shù)值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗(yàn)是否滿足元素的互異性.

例已知集合尸=徊"=2"1,丘N*,1V1O},0={2,3,5},則集合7={切中

元素的個(gè)數(shù)為()

A.30B.28C.26D.24

破解：P={小=2"l#eN*,4410}={1,3,5,7,9,11,13,15,17』9},0M2,3,5}

因?yàn)?={成當(dāng)xe尸,y=2時(shí)，9為偶數(shù)，共有10個(gè)元素

當(dāng)x",y=3時(shí),孫為奇數(shù)，此時(shí)砂=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有10個(gè)元素

當(dāng)xe尸/=5時(shí)，孫為奇數(shù),此時(shí)孫=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重復(fù)數(shù)字

15,45,去掉，共有8個(gè)元素.

綜上7={孫K?尸,ye。}中元素的個(gè)數(shù)為10+10+8=28個(gè)，故選：B

變式1:設(shè)集合M=若,則實(shí)數(shù)加=()

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

破解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論2加-1=-3和機(jī)-3=-3兩種情況，求解加并

檢驗(yàn)集合的互異性

設(shè)集合四={2加-1,加-3},若一3eM,-1=一3或小一3=-3。

當(dāng)2〃?-1=-3時(shí)，"?=T,此時(shí)M={-3,-4}，當(dāng)相-3=-3時(shí)，根=0,此時(shí)M={-3,-11

所以"?=-1或0,故選：C

變式2：已知集合/={1,2,3},B={a-b\a^A,b^^,則集合8中元素個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6C.8D.9

破解：集合力={1,2,3},B=\^a-b\a^A,b^,則當(dāng)。=6時(shí)，有〃一/?=0,當(dāng)時(shí),

〃一6=1或Q—6=2,當(dāng)Q<6時(shí)，。一6=-1或〃一6=-2,所以5={-2,-1,0,1,2},集合

3有中5個(gè)元素，故選：A

變式3：若。41,3,/},則。的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

破解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷。的可能取值

4=0,則?！陒1,3,0},符合題設(shè)，。=1時(shí)，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合

題設(shè)，"3時(shí)，則”{1,3,9},符合題設(shè)，???4=0或。=3均可以.故選：C

1.對(duì)于復(fù)數(shù)。,bed,若集合S={〃也c,d}具有性質(zhì)“對(duì)任意X/ES,必有肛ES”，則

a=1

當(dāng)6=1時(shí)，6+c+d等于（）

c2=b

A.1B.-1C.0D.i

【答案】B

【詳解】試題分析：集合5={。,6,。,力中“/°4各不相同

22

a=lb=l:.b=-l：.c=-\:,c=+i,由已知“對(duì)任意x/eS,必有肛eS"可知c=z?時(shí)

d=—i,c=-iS^d=i.\b+c+d=-1

2.2知集合4={1,2M—1},5={0,3,4+1},若4m2},則實(shí)數(shù)Q的值為

A.±1B.-1C.1D.0

【答案】B

【詳解】因?yàn)镹c8={2},則/+1=2,即々=±1.但當(dāng)。=1時(shí)，A={1,2,0},

止匕時(shí)415={0,2},不合題意，舍去，所以〃=—1,故選B.

3.已知集合/={0,2Q+1,"-2},若一1〃，則實(shí)數(shù)。=（）

A.1B.-1C.0D.i1

【答案】A

【分析】根據(jù)得/—2=-1或2〃+l=-1,分類討論結(jié)合集合中元素的互異性求

解即可.

【詳解】由—可得〃之一2二一1或2。+1=-1,解得：。=1或-1,

當(dāng)〃=1時(shí)，集合Z={0,3,7},符合題意；

當(dāng)。二一1時(shí)，集合力={0,-1-1}不滿足集合的互異性；

綜上，a=\.

故選：A.

4.已知集合/={4,x,2y},B=[-2,x1,\-y],若幺=B,則實(shí)數(shù)x的取值集合為（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2}

【答案】B

【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.

【詳解】因?yàn)?=3,所以-2e/.

當(dāng)x=—2時(shí)，2y=1-y,得y=；；

當(dāng)2y=-2時(shí)，則x=2.

故實(shí)數(shù)x的取值集合為b2,2}.

故選：B

5.已知aeR,6eR,若集合",，1}={/〃一七0},貝I」〃刈9+〃。2。的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件，利用集合的互異性即可求解.

【詳解】???集合分母a#0,

b=0，/=],旦/WQ-6=Q,解得a——1,

J6Z2019+Z?2020=_1

故選：B.

6.已知集合/={。+1,。2+40-9,2021},若-4”,則實(shí)數(shù)。的值為（）.

A.-5B.1C.5或-1D.-5或1

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系，及集合元素的互異性即可求出。的值.

【詳解】；/={a+1,。?+4。-9,2021},且_4e/,/.—4=a+1-4=a2+4a—9

⑴、當(dāng)-4=6+4°-9即。=-5或a=l,

①、當(dāng)°=-5時(shí)，a+1=-4,a2+4a-9=-4.止匕時(shí)/={-4,-4,2021},不滿足集合元素

的互異性，故舍去；

②、當(dāng)a=l時(shí)，a+1=2,a2+4a-9=-4,此時(shí)/={2,-4,2021},符合題意；

⑵、當(dāng)。+1=-4即。=-5時(shí)，此時(shí)/={-4,-4,2021},不滿足集合元素的互異性，故舍

去；

綜上所述：實(shí)數(shù)。的值為1.

故選：B

7.已知x為實(shí)數(shù)，A=[2,x,x2},集合A中有一個(gè)元素恰為另一個(gè)元素的2倍，則實(shí)數(shù)x

的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由題意分情況討論并判斷即可.

【詳解】由題意：

當(dāng)2=2x時(shí)，x=l,此時(shí)集合/={2,1,1},不成立；

當(dāng)2=2*時(shí)，x=±l,x=l時(shí)不成立，工=-1時(shí)，集合4={2,-1,1},成立；

當(dāng)％=2x2=4時(shí),集合，={2,4,16},成立；

當(dāng)x=2/時(shí)，x=o或x=x=0時(shí)集合Z={2,0,0}，不成立，、=；時(shí)集合/=12,（,；:

成立；

當(dāng)爐=2x2時(shí)，x=±2,x=2時(shí)集合Z={2,2,4},不成立，了=—2時(shí)集合4={2,—2,4},

成立；

當(dāng)％2=2x時(shí)，x=0或x=2,x=0時(shí)集合”={2,0,0},不成立，x=2時(shí)不成立;

故xs1-2,-1,—,4

故選：B.

8.已知集合/={12,/+4a,a+10},5eA,貝|。=()

A.-5B.-5或1C.ID.5

【答案】C

【分析】分1+4.=5和。+10=5兩種情況進(jìn)行求解，要檢驗(yàn)是否與互異性矛盾，得到

答案.

【詳解】當(dāng)1+4“=5,解得。=-5或1,

當(dāng)。=-5時(shí)，a+10=-5+10=5,與元素互異性矛盾，舍去;

當(dāng)°=1時(shí)，^={12,5,11),滿足要求，

當(dāng)a+10=5時(shí)，解得a=-5,顯然與元素互異性矛盾，舍去,

綜上，a=1.

故選：C

易錯(cuò)點(diǎn)四：判斷充分性必要性位置顛倒

1.充分條件與必要條件的相關(guān)概念

(1)如果p=>q,則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件;

(2)如果p=>q,但q4p,貝ljp是q的充分不必要條件;

(3)如果p=>q,且q=>p,則p是q的充要條件；

(4)如果q=>p,且p4q,貝Up是q的必要不充分條件;

(5)如果p4q,且p,則p是q的既不充分又不必要條件

2.從集合角度理解充分條件與必要條件

若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn)，即A={p(x)},B={q(x)},則關(guān)于充分條件、

必要條件又可以敘述為：

(1)若A=B,則p是q的充分條件；

(2)若B=A,則p是q的必要條件；

(3)若A=B,則p是q的充要條件；

(4)若B,則p是q的充分不必要條件;

(5)若A及B,則p是q的必要不充分條件；

(6)若A&B且A[B,則p是q的既不充分又不必要條件.

易錯(cuò)提醒：(1)A是B的充分不必要條件是指:AnB且B芬A;

(2)A的充分不必要條件是B是指:BnA且A4B,在解題中要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)

錯(cuò)誤.

例命題“▽》€(wěn)[1,2],一一。(0，，為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a<4B.a>4C.a<5D.a>5

破解：求解命題，曾?1,2],/一0〈0，，為真命題時(shí)024,即可根據(jù)真子集求解

命題"Vxe[l,2],x2-a<0”為真命題，則02/對(duì)Vxe[10恒成立，所以。2仁心，故

a>4,所以命題“Vxe[1,2],一一。vo”為真命題的充分不必要條件需要滿足是｛4024｝

的真子集即可，由于卜卜25｝是,卜24｝的真子集，故符合，故選：D

變式1:已知命題〃：Vxe[-4,2],1x2-a>0,則？為真命題的一個(gè)充分不必要條件

是()

A.a<-2B.a<0C.a<8D.a<16

破解：先分離參數(shù)求出。的取值范圍，則〃為真命題的一個(gè)充分不必要條件應(yīng)該是

(-巴0]的一個(gè)真子集，由題設(shè)命題為真，即aV；/在xe[-4,2]上恒成立，所以

=0,則。為真命題的一個(gè)充分不必要條件應(yīng)該是(-8,0]的一個(gè)真子集，

故選：A

變式2：記方程①：x1+ax+1—0>方程②：X2+6X+2=0,方程③：x2+ex+4=0,

其中a,b,c是正實(shí)數(shù).若a,6,c成等比數(shù)列，則“方程③無實(shí)根”的一個(gè)充分條件是()

A.方程①有實(shí)根，且②有實(shí)根B.方程①有實(shí)根，且②無實(shí)根

C.方程①無實(shí)根，且②有實(shí)根D.方程①無實(shí)根，且②無實(shí)根

破解：根據(jù)判別式以及充分條件的定義逐項(xiàng)分析

由題意，b=aq,c=bq=aq2,其中q>0,

對(duì)于A,如果—+辦+1=0有實(shí)根，貝以=/_420,/2,如果，+法+2=0有實(shí)根,

則4=62-820,622VLq有可能大于等于及.則&=/-16=//-16,即冬有可

能大于等于0,即由①②不能推出③無實(shí)根，A不是充分條件，

對(duì)于B,有022,6<2后，則必有qV/，即&=制2-16<0,方程③無實(shí)根，所以B

是③無實(shí)根的充分條件.

22

對(duì)于C,有a〈2,b±2?,:.q>?,A3=bq-16>Q,方程③有實(shí)根，C不是方程③無

實(shí)根的充分條件，

對(duì)于D,有aV2,6V2后，q的值不確定，有可能小于0,也有可能大于血，不能保

證方程③無實(shí)根，例如a=0.1,b=2,貝必=2=20,A,=22X202-16>0

a

所以D不是方程③無實(shí)根的充分條件，故選：B.

變式3：若x/eR,貝的一個(gè)充分不必要條件可以是（）

A.岡>?|B.x2>y2

C.->1D.2T>2

破解：由W>M，/>必推不出》>九排除AB

YV—Uy

由—>1可得-->0,解得x>y>0或x<y<0,所以—>1是x>y的既不充分也不

VyV

必要條件，排除C,2f>2nx>y,反之不成立，D正確，故選：D

三^^009

1.設(shè)。,6為實(shí)數(shù)，貝『'a>b>0”的一個(gè)充分非必要條件是（）

A.Va-1>V^-lB.a1>1^

C.—>—D.a-b>b-a

ba

【答案】A

【分析】由充分非必要條件定義，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各項(xiàng)與a>b>0推出關(guān)系即

可.

【詳解】由，^萬>跖二，貝八八，可得。>621,可推出a>b>0,反向推

/?-1>0

不出，滿足;

由/>〃，則推不出a>6>0,反向可推出，不滿足;

由，>,，則a>b>0或6>0>?；?>。>6,推不出a>b>0,反向可推出，不

ba

滿足；

由-q,則。>6,推不出a>6>0,反向可推出，不滿足；

故選：A

2.使“Q<6”成立的一個(gè)充分不必要條件是()

A.VxG(0,1],a^b+xB.VxG(0,1],a+x<b

C.3XG[0,1],a<b+xD.3XG[0,1],a+x^b

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,若VXE(0,1],a^b+x,當(dāng)Q=b時(shí)，a=b<b+x成立,

所以“Vx￡(0,l],f+A不滿足條件；

對(duì)于B,VxG(0,1],a+x<b,貝！Ja<〃+%</?,即Q<6,

所以“Vx￡(0,l],a+x〈b"="a〈b”,

若a<b,則Vx￡(0,l],不妨取q=l,6=1.2,x=0.5,則a+x>6,

所以“Vx￡(0,l],"x<b"中"a<b”,

所以“Vx￡(0,l],a+是的充分不必要條件，B滿足條件；

對(duì)于C,若a<b,則使得+即a<6+x,

即"a,a<b+x”,

所以Fxw[0,l],+是的充分條件，C不滿足條件；

對(duì)于D,若a+x^b,則aWa+xWb,即〃當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成

立，

所以a+x&b"N?a<b",D不滿足條件.

故選：B.

3.若不等式—Q+1<X<Q+1的一個(gè)充分條件為0<x<l,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.Q〉0B.6!>0C.a>1D.a>\

【答案】D

【分析】結(jié)合充分條件的定義列出不等式組，求解即可.

【詳解】若不等式-。+1<%<。+1的一個(gè)充分條件為0<x<l,

0>-tz+1

則（0,1）=（-。+1,a+1）,所以<-Q+1<Q+1,解得

tz+1>1

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是?！?.

故選：D.

4.命題“VXER,2米2十日—<o”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

8

A.左￡（一3,0）B.A;G（-3,0］C.左￡（一3,1）D.左￡（一3,+“）

【答案】A

【分析】先求命題“VXER,2履2+京—<0，，為真命題的等價(jià)條件，再結(jié)合充分不必要的

O

定義逐項(xiàng)判斷即可.

03、［左<0

【詳解】因?yàn)閂XER,2AX+履一A<0為真命題，所以左=0或<207八0-3<左《0,

8［左+3左<0

對(duì)A,（-3,0）是命題“VxeR,2質(zhì)?+履一<0，，為真命題的充分不必要條件，A對(duì)，

O

3

對(duì)B,（-3,0］是命題“VxeR,262+丘-弓<0”為真命題的充要條件，B錯(cuò)，

O

對(duì)C,（-3,1）是命題“VxeR,2履2+履一?<0，，為真命題的必要不充分條件，c錯(cuò),

O

3

對(duì)D,（T+S）是命題“VxeR,2丘?+依<0，，為真命題的必要不充分條件，D錯(cuò)，

O

故選：A

1a

5.如果不等式歸-4<1成立的充分不必要條件是則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

-lMlB.11-卜⑷唱+8）

D.卜8,；上百+8）

【答案】B

【分析】解絕對(duì)值不等式，得到。-l<x<l+a,結(jié)合題干條件得到卜是

{x|a-l<x<l+a}的真子集，從而得到不等式組，求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】卜-。|<1,解得：a-l<x<l+a,

13

所以成立的充分不必要條件是

故小|是｛x|a-l<x<l+a｝的真子集,

1I

a-\<—

2

所以

1313

a+l>—a+\>—

22

I3

解得：

22

'l3,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：B

6.命題“Vxe(l,2),log?尤-。<0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a>0B.a>2C.a>\D.a<4

【答案】B

【分析】對(duì)命題▼龍€(1,2),1084-“<0進(jìn)行求解，可得。21,再通過充分條件和必要條

件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因?yàn)槊}網(wǎng)€(1,2),108爐-。<0是真命題，當(dāng)xe(l,2)時(shí)，0<log2x<l,若

oAlog^x恒成立，則。加，結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是。22,

故選：B.

7.函數(shù)/(無)=x3-ax+a-1有兩個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a=3B.a=2C.a=\D.a=0

【答案】A

【分析】先因式分解得/■(x)=(x-l)(f+X+1-O),再分類討論求解當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)

時(shí)。的值，再根據(jù)充分不必要條件的性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可

【詳解】/(x)=x3-l-a(x-l)=(x-l)(x2+x+\-a),/⑴有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩種情形:

①1是kf+x+l-。的零點(diǎn)，貝1=3,此時(shí)y=/+x-2有1,2共兩個(gè)零點(diǎn)

②1不是y=/+x+l-a的零點(diǎn)，則判別式1-4(1-°)=0,即0

。=3是/⑴有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件

故選：A.

8.已知a,beR,貝！］“。6片0”的一個(gè)必要條件是()

A.a+bwOB.a2+b2^0C.a3+b3D.—+7*0

ab

【答案】B

【分析】利用。=31=-3否定ACD選項(xiàng)，進(jìn)而得答案.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)。=3/=-3時(shí)，。6力0,止匕時(shí)a+b=O,故不是

仍W0的必要條件，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)油W0時(shí)，成立，反之，不成立，故/+/w0是仍w0的必

要條件，故正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)。=3,6=-3時(shí)，w0,但此時(shí)〃+〃=o,故Y+戶wo不是仍20的

必要條件，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)a=3,6=-3時(shí)，ab/0,但此時(shí)，+，=0,故故:w0不是abW0的

abab

必要條件，故錯(cuò)誤.

故選：B

易錯(cuò)點(diǎn)五：由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假求參數(shù)的取值范

圍

根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的方法步驟：

第一步：求出當(dāng)命題p,q為真命題時(shí)所含參數(shù)的取值范圍；

第二步：根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷命題p,q的真假性；

第三步：根據(jù)命題p,q的真假情況，利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，求解參數(shù)的取值范圍.

易錯(cuò)提醒：此類題目一般會(huì)出現(xiàn)“p或q”為真,“p或q”為假,“p且q”為真,“p且q”為假

等條件，解題時(shí)應(yīng)先將這些條件轉(zhuǎn)化為p,q的真假.p,q的真假有時(shí)是不確定的，需要討論,

但無論哪種情況，一般都是先假設(shè)p,q為真,求出參數(shù)的取值范圍，當(dāng)它們?yōu)榧贂r(shí)取補(bǔ)集即

可。

2

例已知P：Vxe[1,2],x