角平分線模型（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破

專(zhuān)題02角平分線模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析-?典例分析T

【理論基礎(chǔ)】角平分線的概念：如圖，已知OC是NN05的角平分線=>/幺。。=/。。5=!44。8

2

【模型變式1】雙中點(diǎn)求和型

如圖已知0C是NZ03內(nèi)任意一條射線，射線OE是NZOC的角平分線，射線OF是NC03的角平分線n

ZEOF=-ZAOB

2

【證明】

?.?射線0E是ZAOC的角平分線，射線OF是ZCOB的角平分線

11

NAOE=NEOC=-ZAOC;NCOF=NFOB=-ZCOB

22

ZEOF=ZEOC+ZCOF

NEOF=-ZAOC+-ZCOB=-(ZAOC+ZCOB)=-ZAOB

2222

ZEOF=-ZAOB

2

【模型總結(jié)】某個(gè)角內(nèi)的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)角，這兩個(gè)角的平分線形成的角等于原來(lái)角的一半。

【模型變式2】雙中點(diǎn)求差型

如圖已知0B是NZOC外任意一條射線，射線0E是4405的角平分線，射線OF是NC08的角平分線n

ZEOF=-ZAOC

2

【證明】

???射線0E是NZQB的角平分線，射線OF是NC05的角平分線

ZAOE=ZEOB=-ZAOB;ZCOF=ZFOB=-ZCOB

22

ZEOF=ZEOB-ZFOB

ZEOF=-ZAOB--ZCOB=-(ZAOB-NCOB)=-ZAOC

2222

ZEOF=-ZAOC

2

【模型總結(jié)】某個(gè)角外的一條射線，以該射線為鄰邊的兩個(gè)角的平分線形成的角等于原來(lái)角的一半。

【例工】如圖，己知N/O2和N/OC互余，OM、CW分另lj平分NNO3和NNOC,AMON=20°,則

/AOB=°,

B

M

【答案】65

【分析】根據(jù)余角的定義以及角平分線的定義解答即可.

（解析］解：：、ON分別平分ZAOB和ZAOC,AMON=20°,

ZAOM^-NAOB,ZAON=-ZAOC,

22

ZAOB--ZAOC=ZAOM-ZAON=AMON=20°,

22

ZAOB-ZAOC=40°①，

又「乙4。3和44。?；ビ?，

.-.ZAOB+ZAOC=90°②，

①+②，得：2408=40°+90°,

解得：NAOB=65。.

故答案為：65.

【例2】如圖，乙402=120。，OC是乙4。2內(nèi)部任意一條射線，OD,OE分別是"OC,乙BOC的角平分線,

下列敘述正確的是（）

A.ZDOE的度數(shù)不能確定B.UOD=』KEOC

C.乙4OD+乙BOE=60°D.乙BOE=24COD

【答案】C

【分析】依據(jù)OE分別是4OC、48OC的平分線，即可得出

ZAOD+^BOE=AEOC+^COD=ADOE=60°,結(jié)合選項(xiàng)得出正確結(jié)論.

【解析】-OD,0E分別是ZJOC、ABOC的平分線,

:4OD=乙COD,AEOC=KBOE.

又.；UOD+4BOE+乙EOC+4coD=UOB=12Q。，

.■.^AOD+ABOE=AEOC+Z-COD=ADOE=60°.

故選c.

【例3】如圖，(W是ZJOC的平分線，CW是乙BOC的平分線.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)乙4。8是直角，N8OC=60。時(shí)，求ZAQN的度數(shù)是多少？

(2)如圖2,當(dāng)UOB=a,乙BOC=60。時(shí)，嘗試發(fā)現(xiàn)XI/ON與a的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,當(dāng)UOB=a,乙8。。=夕時(shí)，

①猜想：WON與a、/有數(shù)量關(guān)系嗎？直接寫(xiě)出結(jié)論即可；

②當(dāng)NCON=34時(shí)，直接寫(xiě)出a、夕之間的數(shù)量關(guān)系

【答案】⑴45。

②)LMON=；a

i74

@①乙MON=Ka；②a=寸或=力

【分析】(1)求出々OC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出X0OC和XVOC的度數(shù)，代入

/-MON=Z.MOC-￡NOC求出即可；

(2)求出乙4OC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出ZMOC和NM9C的度數(shù)，代入S10N=dt0C-AN0C

求出即可；

(3)①求出乙40c的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出ZM0C和NNOC的度數(shù)，代入"0N=4M0C-乙NOC

求出即可；

②濟(jì)OM、ON在05的異側(cè)和同側(cè)兩種情況求解.

【解析】(1卜.?乙4。是直角，；?乙408=90°,乙8。。=60。，

：./-COA=￡AOB+Z-BOC=^°+60°=150°.

■：OM平分乙4OC,

.?ZCW=g/CON=75。，

?：0N平■分乙BOC,

/.CON=^MOC=30。，

.-.ZMON=Z.COM-Z.CON=15°-30°=45°

(2)-.-^AOB=a,乙BOC=60。，

；zCO4=a+60°,

-OM平分乙4OC,

：./.COM=\乙COA=1似+60。)，

?：0N平分乙BOC,

：./.CON=^N3OC=30。，

:ZMONMCOM-乙CON*fct+60°)-30°=1ct.

(3)①???^4OB=a,Z-BOC=p,

：/COA=UOB+(BOC=a+B.

'：OM平分乙4OC,

.-.ZCOM=1乙COA=y(a+0，

???ON平分Z5OC,

：2C0N=三乙BOC=，,

:.乙MON=ACOM-乙CON=g(a+0)-1/?=yct.

②當(dāng)(W、ON在05的異側(cè)時(shí)，如圖3-1,

?.ZC0M=g(a+6，Z-BOC=p,

.“BOM，(a+￡)-p=^(a/),

???NC0N=3M(W時(shí)，乙CON=，,

.??丹=3亭a/),

當(dāng)。0、ON在的同側(cè)時(shí)，如圖3-2,

■：ACOM=--{a+p),Z-BOC=P，

；/BOM=p-y(a+￡)(p-a),

：^CON=3乙BOM時(shí)，乙CON=，，

43=3*R*,

2八

24

綜上可知，夕或=］夕.

一、單選題

1.如圖，直線/和。。，直線斯分別交45,CD于點(diǎn)G,H.GM平分乙BGH,且乙6田公48。，那么4G

的度數(shù)為()

D

Nf

A.96°B.104°C.114°D.124°

【答案】c

【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出必G”,再根據(jù)角平分線的定義可得然后根

據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)列式計(jì)算即可得解.

【解析】解：以8||。,

.?.乙8G/7=180°-NG//M=180°-48°=132°,

■:GM*分乙BGH,

.-.zBGA/=-zBG//=-xl32°=66°,

22

■：AB^CD,

.?.zGMD=180°-z5GAf=180°-66°=114°.

故選：C.

2.如圖，乙40C與4BOC互為余角，0D平分乙BOC,&0C=2U0E.若NC0Z)=18。，則乙40E的大小是

()

A.12°B.15°C.18°D.24°

【答案】C

【分析】利用角平分線求出乙8OC=36。，利用。0C與ZBOC互為余角，求出乙4。。=90-36。=54。，再根據(jù)

4EOC=24AOE,即可求出入4?！?18。.

【解析】解：?.ZCOD=18。，OD平分4BOC,

:.乙BOC=36°,

■■■^AOC與乙BOC互為余角,

山。C=90°-36°=54°

,.ZEOC=24AOE,

.-.3AAOE=54°,

山。E=18°.

故選：c

3.如圖，直線AB,CD,E0相交于點(diǎn)0,已知OA平分NEOC,若NEOCNEOD=2:3,貝UNBOD的度數(shù)為

()

X

7二

A.40°B.37°C.36°D.35°

【答案】c

［分析］根據(jù)NEOC:NEOD=2:3與ZEOC+ZEOD==180°得到/EOC,根據(jù)平分ZEOC得到ZAOC,

最后根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出/-BOD.

【解析】解：?.?NEOC：NEOQ=2：3,NEOC+NEOQ=180。,

3

ZEOC+-ZEOC=180。，

2

/.ZEOC=72°,

???OA平分ZEOC,

ZAOC=-ZEOC=-x72°=36°,

22

/.NBOD=/AOC=36。.

故選：C.

4.如圖，直線ZC和直線5。相交于點(diǎn)O,OE平分（BOC.若41+乙2=80。,則N3的度數(shù)為()

D

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的定義即可得到乙BOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線即可得出/3的度數(shù).

【解析】解：?.?/：!=N2,Nl+/2=80°,

Z1=Z2=40°,

NBOC=140°,

又：OE平分NBOC,

Z3=140°-2=70°.

故選：D.

5.12022?山東東營(yíng)?二模）如圖，CD〃/8,點(diǎn)。在上，平分Z8O。,。尸，。區(qū)=11?！?則N/O尸

的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】D

【分析】根據(jù)C?！?8,zZ)=110°,求出ZJOD=70。，ZZ)OB=110°,利用OE平分乙BOD,得至此。?！?

55°,由N尸?！?90。求出尸=90。-55。=35。，即可求出乙40尸的度數(shù).

【解析】解：?:CD〃AB,

山OD+ZD=180°,4DOB=LD,

??4=110°,

：.^AOD=10°,Z￡>O5=110°,

■：OE平分M。。，

：./.DOE=-ZDOB=55°,

2

"OFLOE,

:ZFOE=90°,

??"09=90°-55°=35。，

.■.^AOF=^AOD-ZJDOF=10°-35°=35°,故D正確.

故選：D.

二、填空題

6.（2022?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)期末）如圖，直線/8、CD相交于點(diǎn)O,OE平分NBOD,O尸平分NCOE.若

ZAOC=76°,則ZBOF的度數(shù)為'

【答案】33

【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等求出76。，再由角平分線定義得=/BOE=38。，由鄰補(bǔ)角得

ZCOE=142°,再根據(jù)角平分線定義得/￡。尸=71。，從而可得結(jié)論.

【解析】解：???N/OC、N8OD是對(duì)頂角，

NBOD=N4OC=76°,

■：OE平分ABOD,

ZDOE=ZBOE=工N80。=38°

2

NCOE=142°,

?平分/COE.

.-.ZEOF=-ZCOE=11°

2

又NBOE+ZBOF=NEOF,

：.NBOF=NEOF-NBOE=71°-38°=33°,

故答案為：33

7.如圖，直線N8,CD相交于點(diǎn)O,OE平分乙BOD,OF平■分乙COE.若乙80戶=30。，則

/JDOE=°.

【答案】40

【分析】利用角平分線定義列式計(jì)算即可求出所求.

【解析】解：?.?<?￡平分/8OD，

Z-BOE=Z-DOE,

設(shè)〃OE=3OE=x,則有NC0E=18(F-X,

■■■OF平分/COE,

：.^EOF=-(180°-x)=90°--%,

22

由題意得：4EOF-乙BOE=4BOF=3Q°,即90°-1x-x=30°,

解得：x=40°,

則乙DOE=40。.

故答案為：40.

8.如圖，直線22、。交于點(diǎn)O,COLOE,O尸是40。的平分線，0G是NEO8的平分線,

N40c=44°,則ZFOG=.

【答案】135°

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角求得N/。。，NCOB,根據(jù)COLOE,求得NCOE=90。，進(jìn)而求得NE03,根據(jù)對(duì)頂

角求得/80￡?=N/0C,根據(jù)角平分線的定義求得NFQD=g//OD,ZBOG=^ZBOE,根據(jù)

ZFOG=ZFOD+ZBOD+ZBOG即可求解.

【解析】解:???ZAOC=44°,

ZAOD=180°-ZAOC=/COB=180°-44°=136°,

???COLOE,

ZCOE=90°,

/./BOE=ZBOC-/COE=136?！?0。=46°,

???O9是N4OQ的平分線，OG是/EO5的平分線，

?.ZFOD=-ZAOD=6S°f/BOG=L/BOE=23。,

22

又/BOD=/AOC=44。,

/FOG=ZFOD+/BOD+/BOG

=-ZAOD+ZBOD+-ZBOE

22

=68°+44°+23°

二135。

故答案為：135。.

9.如圖，已知射線。。在NZO5內(nèi)部，如平分NZOC,OE平分/BOC,OF平分/AOB,現(xiàn)給出以下4

個(gè)結(jié)論：@ZDOE=ZAOF；@2ZDOF=ZAOF-ZCOF；③NAOD=NBOC；④

NECE=，NCO/+40尸）其中正確的結(jié)論有（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

【答案】①②④

【分析】①根據(jù)。。平分2/0C,OE平分2B0C,O尸平分乙4。8,得出N/OD=NC。。=,

ABOE=ZC0E=-ZBOC,ZAOF=ZBOF=-ZA0B,求出/OOE=,即可得出結(jié)論；

222

②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出ZDOF=^ZBOC=NCOE,得出ZAOF-ZCOF=ZBOF-ZCOF=ZBOC,

即可得出結(jié)論；

③無(wú)法證明ZAOD=NBOC；

ZDOF=|ZBOC=ZCOE,得出/EOF=NCOZ）,ZCOF+ZBOF=2ZCOD,即可得出結(jié)論.

【解析】解：①:。。平分NNOC,OE平分NBOC,。尸平分乙408,

ZAOD=ZCOD=-ZAOC,ABOE=ZCOE=-ZBOC,

22

ZAOF=ZBOF=-ZAOB,

2

ZAOC+ZBOC=AAOB,

NDOC+ZCOE=ZAOD+ZBOE=-ZAOB,

2

2

ZDOE=ZAOF,故①正確；

@vZDOF=ZDOE-/EOF

=-ZAOB-\ZCOF+-ZBOC\

2I2J

=-ZAOB-ZCOF--ZBOC

22

=1ZAOB-(ABOF-NBOC)-1ZBOC

=-ZAOB-\-ZAOB-ZBOC\--ZBOC

2(2)2

=-ZAOB--ZAOB+ZBOC--ZBOC

222

=L/BOC

2

ZAOF-ZCOF=ZBOF-ZCOF=ZBOC,

2ZD0F=NAOF-ZCOF,故②正確；

③N/OD與N3OC不一定相等，故③錯(cuò)誤；

④根據(jù)解析②可知,ZDOF=|ZBOC=ZCOE,

ZEOF=ZEOC+ZCOF=ZCOF+ZDOF=ZCOD,

ZCOF+ZBOF=ZCOF+ZAOF=ZAOC=24coD,

NEOFyZCOF+NBOF),故④正確；

綜上分析可知，正確的有①②④.

故答案為：①②④.

10.如圖，NCO。在乙4。5的內(nèi)部，且E)COD=g'OB,若將/COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使NC。。在乙408

的外部，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OE平分乙BOC,則ZZ)OE與乙40C之間滿足的數(shù)量關(guān)系是.

【答案】』/。。=2/。。￡或4。。=360。-2/。?！?/p>

【分析】分情況討論當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過(guò)180。時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過(guò)180。，不超過(guò)360。時(shí)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的

圖，利用角之間的關(guān)系計(jì)算即可.

【解析】解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過(guò)180。時(shí)，如圖:

NAOC=ZAOB+ZBOC,

乙DOE=ZCOD+ZCOE,

■.OCOD=^BAOB,OE平分Z18OC,

...ZBOE=ZCOE,ZAOC=2ZCOD+2ZCOE=2(ZCOD+NCOE),

ZAOC=2/DOE.

當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過(guò)180。，不超過(guò)360。時(shí)，如圖，

...ZAOC=360°-(ZAOB+ZBOC),

ZDOE=ZCOD+ZCOE,

■：OCOD=^DAOB,OE平分ABOC,

ZBOE=ZCOE,2ZDOE=2ZCOD+2ZCOE=ZAOB+ZBOC,

.-.ZAOC=360°-2ZDOE.

三、解答題

11.如圖，己知z_AOB=90。，ZEOF=60°,OE平分NAOB,OF平分NBOC,求zAOC和NCOB的度數(shù).

【答案】120°,30°

【分析】先根據(jù)角平分線，求得的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系，求得乙8。9的度數(shù)，最后根據(jù)角平

分線，求得48。。、//OC的度數(shù).

【解析】「OE平分NAOB,ZAOB=90°

.?.ZBOE=ZAOB=45°

又???NEOF=60°

.-.ZBOF=ZEOF-ZBOE=15°

X---OF平分NBOC

.-.ZBOC=2ZBOF=30°

.?.ZAOC=ZAOB+ZBOC=120°

故NAOC=120。，ZCOB=30°.

12.如圖，。為直線48上的一點(diǎn)，ZAOC=48°,平分440C,ZDO￡=90°.

⑴求N8QD的度數(shù)；

(2)。后是/8。。的平分線嗎？為什么？

【答案】(1)/800=156。

(2)。后是48。。的平分線，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)可知N1的度數(shù)，再利用互補(bǔ)即可算出乙8OD的度數(shù)；

(2)想要判斷OE是否為A8OC的平分線，只需分別計(jì)算出N3和N4的度數(shù)，看它們是否相等.

【解析】(1)解：???//OC=48。，0。平分/4OC,Zl=Z2=-ZAOC=-x48°=24°,

22

Zl+NBOD=180°,AZBOD=180°—24°=156°；

(2)解：0E是N8OC的平分線.理由如下：VADOE=90°,Z2=24°,Z3=90°-Z2=66°,

ZDOE=90°,ZBOD=156°,Z4-ABOD-ADOE=66°,Z3=Z4=66°,OE是/20C的平分

線.

13.已知。為直線48上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。向直線48上方引兩條射線。C,OD,且。C平分N/OD.

圖②

(I)請(qǐng)?jiān)趫D①中ZBOD的內(nèi)部畫(huà)一條射線0E,使得0E平分ABOD,并求此時(shí)NCOE的度數(shù)；

(II)如圖②，若在4BOD內(nèi)部畫(huà)的射線OE,恰好使得NBOE=3/DOE,且/COE=70。，求此時(shí)

的度數(shù).

【答案】⑴ZC(9￡=90°；(n)的度數(shù)為60。.

【分析】由角平分線的定義得出

ZCOE=ZCOD+ZEOD=~(ZAOD+ZBOD)=90°

(2)設(shè)Nl=a,則N2=3a,々=/3=(70。-々)，根據(jù)平角的定義列等式求出結(jié)果即可.

?.?OC平分乙OD,OE平分4BOD,

ZCOD=-ZAOD,ZEOD=-NBOD,

22

ACOE=NCOD+ZEOD=1(ZAOD+ZBOD)=90°.

(II)如下圖，設(shè)Nl=a,

D

AOB

根據(jù)題意得/2=3/1=3a.

???NCOE=N1+N3=70。,

...Z3=(70°-6r).

??O?C平分乙4OQ,

...Z4=Z3=(70°-cr),

???Zl+Z2+Z3+Z4=180°,

.?.a+3a+(70-a)+(70-a)=180°.

解得：a=20。..??/2=3a=60。.

.?./BOE的度數(shù)為60。.

14.已知：如圖所示(1),N4O8和NC。。共頂點(diǎn),OB、0。重合，aw■為44OD的平分線，ON為NBOC

的平分線，ZAOB=a,ACOD=p.

DE

仁

O----