利用導數(shù)研究不等式恒（能）成立問題（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點04利用導數(shù)研究不等式恒（能）成立問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1直接法解決不等式恒（能）成立問題】..................................................3

【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】...............................................................3

【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】...............................................................4

【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】..............................................5

【題型5與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】................................................5

【題型6洛必達法則】.........................................................................7

【題型7雙變量的恒（能）成立問題】..........................................................8

?命題規(guī)律

1、利用導數(shù)不等式恒（能）成立問題

恒（能）成立問題是高考的?？伎键c，是高考的熱點問題，其中不等式的恒（能）成立問題經(jīng)常與導數(shù)及

其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難

度較大，解題時要學會靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1不等式恒（能）成立問題的解題策略】

1.不等式恒（能）成立問題的求解方法

解決不等式恒（能）成立問題主要有兩種方法：

（1）分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題

①分離變量：根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等

式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，進而解決問題.

②a（X）恒成立。/（x）max

a&/(x)恒成立o*。/(x)min

a2/(x)能成立V今a1/(x)min

a&/（x）能成立。&/G）max.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題

分類討論法解決恒（能）成立問題，首先要將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進

行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一

段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.

【知識點2雙變量的恒(能)成立問題的解題策略】

1.雙變量的恒(能)成立問題的求解方法

“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進行等價變換，常見的等價

變換有：

對于某一區(qū)間/,

(1)VX1,X2G/,/(%1)>g(x2)min>g(x)max.

(2)v%1G/153x2G12,/(%)>g(x2)/(x)min>g(x)mm.

(3)3xje7I,VX2e/，/(珀>g&)/Wmax>g(x)max.

【知識點3洛必達法則】

“洛必達法則”是高等數(shù)學中的一個重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時,

經(jīng)常需要求在區(qū)間端點處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)藍型或卷型可以考慮使用洛必達法則.

1.洛必達法則

法則1若函數(shù)外)和式工)滿足下列條件：

(1)lim/(幻=0及l(fā)img(x)=O；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，人工)與g(x)可導且g(x)WO；

..f(x)

(3)im7?=/,

那么吧奈hr(x)_/

rim?(\=4

XTag(x)

法則2若函數(shù)加)和g(x)滿足下列條件:

⑴lim/(x)=8及l(fā)img(%)=oo；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，加)與g(x)可導且g(x)W0；

f(x)

(3)所r訴J=/,

xTa6\A7

那么吧奈h../'a

=A,

fg⑴

2.用洛必達法則處理甘型函數(shù)的步驟:

(1)分離變量；

(2)出現(xiàn)4型式子;

(3)運用洛必達法則求償

3.用洛必達法則處理合型函數(shù)的步驟:

(1)分離變量；

00

⑵出現(xiàn)0型式子；

（3）運用洛必達法則求值.

【注意】：

1.將上面公式中的x—a,x—oo換成xT+oo,xT-8,xTa+,x->。一，洛必達法則也成立.

2.洛必達法則可處理，合,0?叫產(chǎn),8。,0。,8—8型求極限問題.

3.在著手求極限前，首先要檢查是否滿足2號,0?哈產(chǎn),8°,0°,8—8型定式，否則濫用洛必達法則

會出錯，當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極

限.

4.若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

1加4，=1向/*=1加4"，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.

xTagwX—><7g⑴x—ag（%）

?舉一反三

【題型1直接法解決不等式恒（能）成立問題】

【例1】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）若"2e+lnax在（0,+8）上恒成立，貝i]a的最大值為（）

a

2-e1”-1

A.—oB.2e2-eC.el"D.H

2

【變式1-1]（2024?陜西咸陽?模擬預測）已知不等式Inx-：-（a-京），+泥W0有實數(shù)解，則實數(shù)a的

取值范圍為（）

A.（一8,一田B.（-00,0）C.卜5+8）D.[0,+00）

【變式1-2]（2024?四川成都?模擬預測）若關(guān)于％的不等式（e-l）（lna+%）>ae%-1在久G[0,1]內(nèi)有解，

則實數(shù)Q的取值范圍是（）

【變式1-3]（2024?甘肅蘭州?三模）已知函數(shù)/（久）=點―好，對于任意的xe（1,2],不等式f（詈）+

/（U<1恒成立,則實數(shù)「的取值范圍為（）

A.(1,+oo)B.[—1,1]C.(-oo,-1]D.(-00,-1)

【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】

【例2】（2024?寧夏銀川?模擬預測）已知QCN*,函數(shù)/（%）=e3%—產(chǎn)>0恒成立，則a的最大值為（）

A.2B.3C.6D.7

【變式2-1](2024?四川宜賓?二模)已知不等式a;ce，+無>1—lnx有解，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(-*,+8)B.(-：，+8)C.D.(-8,3)

【變式2-2](2024?四川成者B?三模)若xe[0,+8),/+ax+iWe，恒成立，則實數(shù)a的最大值為()

A.QB.2C.e—1D.e—2

2

【變式2-3](2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(x)=1久3,^(x)-ex-1x-x,3%1；久2€口2]使|g(久力一

^(%2)l>fc|/(xi)-/(x2)l(k為常數(shù))成立，則常數(shù)k的取值范圍為()

A.(-oo,e-2]B.(-oo,e-2)C.(-8,功D.(—co,手)

【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】

【例3】(2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)f(x)=Inx-a久,g(x)=[,a40.

(1)求函數(shù)人久)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若fO)<g(x)恒成立，求a的最小值.

【變式3-1](2024?四川瀘州?二模)已知函數(shù)/'(>)=2x3—a/+2(a>。).

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若三久￡[-1,1],|/(x)|>3,求實數(shù)a的取值范圍.

【變式3-2](2024?北京?三模)已知函數(shù)f(x)=ln(x+l)+k(x+1).

(1)求fQ)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)4-1恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)求證：把〈迎二2.(律6村且7122)

—仁21+14

【變式3-3]（2024?四川?模擬預測）已知函數(shù)/（%）=a%ln%-2%+b（a,beR）在點處的切線方

程為y=-x.

⑴求函數(shù)/（%）的極值;

(2)設(shè)g(%)=e"G)+2]+mx(mER),若g(%)>0恒成立，求m的取值范圍.

【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】

【例4】（2024?四川樂山?二模）若存在％o￡使不等式%0+（e?-l）lna2葛+e2%（）-2成立，則a

的取值范圍是（）

A.上凹B.42]C.七凹D.加]

【變式4-1]（2024?甘肅蘭州?二模）若關(guān)于x的不等式e%+%+21n^2zu/+Imn恒成立，則實數(shù)加的最

X

大值為（）

A.-B.-C.-D.e2

242

【變式4-2]（2023?河南開封?模擬預測）若存在xe[1,+8）,使得關(guān)于X的不等式（1+3""成立，則

實數(shù)a的最小值為（）

11

A.2B.--C.In2—1D.-----1

ln2ln2

【變式4-3]（2024?江西贛州?二模）已知函數(shù)/'（x）=eh+1,g（無）=（1+：）Inx.若k/（x）2g（久），則后的

取值范圍為（）

A.（0,e]B.[e,+oo）C.[1,+oo）D.（0,寺

【題型5與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】

【例5】（2024?云南昆明?三模）已知函數(shù)/（X）=e*-sinax；

(1)當。=一1時，證明：對任意％E(-也+8),/(%)>0；

(2)若％=0是函數(shù)/(%)的極值點，求實數(shù)a的值.

【變式5-1](2024?青海?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=e"+-a](a6R).

(1)當a=1時，求/(%)的最值；

(2)當a6時,證明：對任意的%1，x2￡[-2,2],都有|/(%D-/(%2)14e?-1.

【變式5-2](2024?陜西安康?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=ae\aW0),g(%)=/,/(%)為g(%)的導函數(shù).

(1)證明：當。=1時，V%G(0,+co),/(%)>gz(x)；

(2)若/(%)與g(%)有兩條公切線，求。的取值范圍.

【變式5-3](2024?貴州六盤水?三模)若函數(shù)/(%)在&句上有定義，且對于任意不同的％1/2E[見可，都

有I/Q1)-/(%2)1<fcki-%21，則稱/(%)為[a,b]上的*類函數(shù)”

⑴若/(%)=x2,判斷是否為[1,2]上的“4類函數(shù)”；

(2)若/(%)=：ln%+(。+1)%+：為[1向上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)Q的取值范圍；

(3)若/(%)為[1,2]上的“2類函數(shù)”且f(l)=f(2),證明：VXi，x26[1,2])|/(勺)一)3)1Vl?

【題型6洛必達法則】

【例6】(23-24高二下?全國?期末)若不等式sin%>%-對于第￡(0,“恒成立，求a的取值范圍.

【變式6-1](2023高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(%)=aln%+bER)在久=1處取得極值，且曲線y=

/(%)在點(1)(1))處的切線與直線X-y+l=0垂直.

(1)求實數(shù)的值；

(2)若V%6[1,+oo),不等式/(%)<(m-2)%-?恒成立，求實數(shù)6的取值范圍.

【變式6-2](2024?浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有

結(jié)論：若函數(shù)/(%),g(%)的導函數(shù)分別為/'(%),g'(x),且lim/(%)=limg(x)=0,則

x^ax^a

lim^=limP

②設(shè)a>0,先是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)/(x)滿足：對任意xG[0,a],均有fO)>成立，-S.lim/(x)=0,

則稱函數(shù)人久)為區(qū)間[0,a]上的左階無窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：

(1)試判斷,0)=必—3x是否為區(qū)間[0,3]上的2階無窮遞降函數(shù)；

1

(2)計算:lim(l+x)x；

⑶證明：(三)Vcos%,xe(TI,|n).

【變式6-3](23-24高二下?廣東珠海?期末)在研究函數(shù)問題時，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)在某個區(qū)間上值域的

問題，但函數(shù)在區(qū)間端點又恰好沒有意義的情況，此時我們就可以用函數(shù)在這點處的極限來刻畫該點附近

數(shù)的走勢，從而得到數(shù)在區(qū)間上的值域.求極限我們有多種方法，其中有一種十分簡單且好用的方法——洛

必達法則

該法則表述為：“設(shè)函數(shù)/(久)，或久)滿足下列條件：

=0,limg(x)=0；

x->ax->a

②在點a處函數(shù)/(%)和g(%)的圖像是連續(xù)且光滑的，即函數(shù)/(%)和g(%)在點a處存在導數(shù)；

③lim尊=4其中/是某固定實數(shù)；

xiag(%)

則1而螟=lim里=A"

那么，假設(shè)有函數(shù)/(%)=ex,g(x)=tx+1.

(1)若/(%)>g(%)恒成立，求t的取值范圍；

(2)證明：ex-Inx>2.

【題型7雙變量的恒(能)成立問題】

【例7】(2023?四川瀘州,一模)已知函數(shù)/(%)=ax+1-的圖像在％=1處的切線與直線％-y=0平

行.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若%2€(。，+8),且；q>%2時，/(%1)-/(%2)>血(/一看)，求實數(shù)冽的取值范圍.

【變式7-1](2023?四川自貢?二模)已知函數(shù)/(%)=ae久一％2有兩個極值點%1、

(1)求a的取值范圍；

(2)若％223%1時，不等式％1+A%2>2%1%2恒成立，求a的最小值.

【變式7-2](2024?全國?二模)已知函數(shù)f(%)=%ln%-務(wù)2一%+Q(QER),/'(%)為f(%)的導函數(shù).

(1)當。=：時，若g(%)=/'(%)在[匕七+l](t>0)上的最大值為h(t),求W);

(2)已知第1，%2是函數(shù)/(X)的兩個極值點，且％1<%2，若不等式屋+租<久皆恒成立，求正數(shù)機的取值范圍.

【變式7-3](2023?河南?二模)已知函數(shù)/(%)=gm/+(7n一1)%一]n%(m€R),。(%)=%2一5+1

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

(2)當m>0時，若對于任意的％1G(0,+8),總存在％2G[1,+oo),使得/(%i)>g(%2)，求機的取值范圍.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?陜西?模擬預測)當X>0時，好.已4%一21n%2a%+1恒成立，則實數(shù)a最大值為()

44

A.-B.4C.4D.8

ee

2.(2024?陜西安康?模擬預測)若存在％C(0,+8),使得不等式4%4+%之e。/+iMjv成立，則實數(shù)。的取

值范圍為()

A?底,+°°)B.g,+co)C.(-co,l]D.(-coi]

3.(2024?河南?模擬預測)已知4>0,對任意的久>1,不等式e?西一(lneE)lnX之0恒成立，則實數(shù)2的取

值范圍為()

A.卜+8)B.伎,+8)

C.[2e,+00)D.[e,+8)

4.(2024?廣東深圳?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=aex+ln^-2,若/(%)>0恒成立，則正實數(shù)a的取值范

圍是()

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

5.(2024?全國?模擬預測)若關(guān)于久的不等式(e-+a%)e。％-1在久W停,1]內(nèi)有解，則正實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(0,2+21n2]B.[-^,e]C.(0,4]D.[^,e]

f1>0

6.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)“久)=久獷，若不等式八久)>之恒成立，則實數(shù)a

心-2)e，-3，K<0"

的取值范圍為()

A.(—8,3)B.(6e12,+8)

C."2,3)D.(一832)

7.(2024?重慶?模擬預測)已知函數(shù)f(%)=若存在/C(0,1),%2E(-8,0)使得f(%i)=

9(次)，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(—8,—2)B.(—2,—1)C.(-1,+8)D.(0,+8)

8.(2023?上海崇明,一模)若存在實數(shù)a,b,對任意實數(shù)工€[0,1],使得不等式光3一瓶<a%+b4爐+7n

恒成立，則實數(shù)冽的取值范圍是()

A.曲+8)B?件,+8)c愣+8)D.惇,+8)

二、多選題

9.(2024?新疆一模)設(shè)/(%)=(1+x)lnx,g(x)=(a-l)x,若f(%)<g(x)在%e[1,2]上恒成立，則實數(shù)a

的值可以是()(附:ln2x0.69)

10.(2024?河南鄭州?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=%cos%-sin%,下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)/(%)在％=]時，取得極小值一1

B.對于V%G[O,TT],/(%)<0恒成立

C.若0<V犯V冗，則包<

X2sin%2

D.若對于VxejoW),不等式a〈等<b恒成立，貝必的最大值為旨b的最小值為1

11.(2024?江蘇?模擬預測)設(shè)式<%2)是直線y=a與曲線/(%)=%(1-In%)的兩個交點的橫坐標，

則()

A.%i%2<eB.>x11nx2

a

C.3a6(0,1),x2—x1>eD.VaG(0,1),x1lnx^+x2>CL

三、填空題

12.(2024?四川成都?三模)若不等式留氣??1%-