幾何綜合題-2022年上海中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題分類(lèi)匯編（解析版）

專(zhuān)題05幾何綜合題

1.(2021?上海)如圖，在四邊形ABC?中，ADUBC,AABC=90°,AD=CD,。是對(duì)角線NC的中點(diǎn),

聯(lián)結(jié)BO并延長(zhǎng)交邊CD或邊AD于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在CD上,

①求證：ADACSAOBC；

②若BELCD,求42的值；

BC

(2)若。E=2,OE=3,求CD的長(zhǎng).

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②2；（2）1+M或3+M.

3

【詳解】（1）①證明：如圖1,

圖1

AD=CD,

"4C=ZDCA.

ADIIBC,

ADAC=ZACB.

???BO是RtAABC斜邊/。上的中線,

OB=OC,

ZOBC=ZOCB,

ZDAC=ZDCA=ZACB=ZOBC,

NDAC^\OBC；

②解：如圖2,若BELCD,

在RtABCE中，ZOCE=ZOCB=NEBC,

NOCE=AOCB=NEBC=30°.

過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)X,

設(shè)4D=CD=2m,貝!]=/￡>=2m,

在RtADCH中，DC=2m,

CH=m,

BC=BH+CH=3m,

AD2m2

BC3m3'

(2)①如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在4。上時(shí)，

/./EAO=ABCO,ZAEO=ZCBO,

?.?O是ZC的中點(diǎn)，

OA=OC,

:.AAOE=ACOB⑷S),

/.OB-OE,

四邊形/8CE是平行四邊形，

又；AABC=90°,

四邊形N2CE是矩形.

^AD=CD=x,

■：DE=2,

/.AE=x-2,

?/OE=3,

AC=6,

在RtAACE和RtADCE中，CE2=AC2-AE2,CE2=CD2-DE1,

62-(X-2)2=x2-22,

解得x=l+Jf^,x=1—V19(舍去).

CD=1+V19.

②如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，AD=CD=x,貝i]C￡=x-2,

圖4

^OB=OC=m,

■■OE=3,

EB=加+3,

???NDACs'OBC,

DCAC

'~oc~^c"

…m~BC'

.oc_x

BC2m

又???/EBC=ZOCE,/BEC=ZOEC,

\EOC^\ECB,

.OEEC_OC

…~EC~^B~~CB'

.3_x-2_OC

x—2m+3CB

3_x-2_x

-------=--------=-----，

x-2加+32m

x2-2x

m=----------，

6

2、

將4/7加=-x--—--2-x代/j入i---3-=-x-—--2-,

6x—2m+3

整理得，X2-6X-10=0,

x=3+V19,BKx=3—\/1-9（舍去）.

CD=3+V19.

綜合以上可得CD的長(zhǎng)為l+M或3+國(guó).

2.（2020?上海）如圖，A4BC中，AB=AC,OO是A48C的外接圓,BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D.

（1）求證：ABAC=2NABD；

（2）當(dāng)A5CD是等腰三角形時(shí)，求的大小；

（3）當(dāng)40=2,C￡>=3時(shí)，求邊8c的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）67.5。或72。.（3）

2

【詳解】（1）證明：連接。N.

圖1

-1?AB=AC,

:.AB=AC,

OA1BC,

ZBAO=ZCAO,

OA=OB,

NABD=ZBAO,

ABAC=2NABD.

（2）解：如圖2中，延長(zhǎng)/。交8c于〃.

A

AABD+ABAC=3ZABD,

???AB=AC,

/ABC=ZC,

ZDBC=2ZABD，

???ZDBC+ZC+/BDC=180°,

...8//5。=180。，

ZC=3ZABD=67.5°.

②若CD=CB,則NCBO=NCZ)B=3N/B。，

/.ZC=4/ABD,

???ZDBC+ZC+ZCDB=180。，

.?.10/450=180。，

/BCD=4ZABD=72°.

③若DB=DC,則。與Z重合，這種情形不存在

綜上所述，NC的值為67.5?；?2。.

(3)如圖3中，作ZE//BC交8D的延長(zhǎng)線于E

圖3

則任=AD2

BCDC3

AC)AJ74

---=---=—,設(shè)OB=OA=4。，OH—3a,

OHBH3

???BH2=AB2-AH2=OB1-OH2,

.-.25-49。2=16。2一9小，

25

a1

56

BH2=7a2=—

8

.所_5后

4

5/?

BC=2BH=1

2

3.(2019?上海)如圖1,AD.5。分別是A45C的內(nèi)角NA4C、N/5。的平分線，過(guò)點(diǎn)/作

圖1圖2

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：/E=」/C；

2

(2)如圖2,如果=且助:DE=2:3,求cosNZHC的值；

(3)如果448c是銳角，且AX8C與AADE相似，求N4BC的度數(shù)，并直接寫(xiě)出的值.

幾雙？

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)-；(3)NN8C=30?；?5。，鼠坦=2-6或2-0

3SAAR「

【詳解】(1)證明：如圖1中,

圖1

???AELAD,

ZDAE=90°,/E=90°-NADE,

?;AD平分NBAC,

ABAD=-ABAC,同理

22

ZADE=ABAD+/DBA,ABAC+ZABC=180°-ZC,

/./ADE=1(ZABC+ABAC}=90°-1zC,

/.ZE=90°-(90°-1zC)=1zC.

(2)解：延長(zhǎng)4。交5C于點(diǎn)尸.

圖2

???AB=AE,

/ABE=ZE,

BE平分ZABC,

ZABE=/EBC,

ZE=ACBE,

/.AE//BCf

RFRJ~)

ZAFB=/EAD=90°,——=——，

AEDE

'：BD:DE=2:3,

BFBF2

cos/ABC-......=-----=—.

ABAE3

(3)???\ABC與\ADE相似，Z.DAE=90°,

:"ABC中必有一個(gè)內(nèi)角為90。

VZABC是銳角，

ZABC*90°.

①當(dāng)ABAC=/DAE=90°時(shí)，

?1?ZE=-ZC,

2

:.ZABC=ZE=~ZC,

2

ZABC+ZC=90°,

ZABC=30°,此時(shí)鼠皿=2-G

②當(dāng)/C=NONE=90。時(shí)，Z￡=-ZC=45°,

2

/EDA=45°,

???A45C與A4OE相似，

c

ZABC=45°,此時(shí)31^=2一板.

StiABC

綜上所述，NA8C=30?；?5。，=或2-夜.

S\ABC

4.（2018?上海）已知。。的直徑N8=2,弦/C與弦2。交于點(diǎn)￡.且。D_L/C,垂足為點(diǎn)尸.

（1）如圖1,如果/C=2。，求弦/C的長(zhǎng)；

（2）如圖2,如果E為弦8。的中點(diǎn)，求N48D的余切值；

（3）聯(lián)結(jié)2C、8、/）/,如果5c是。。的內(nèi)接正〃邊形的一邊，CZ＞是。。的內(nèi)接正（〃+4）邊形的一邊,

求A4c〃的面積.

【答案】（1）G；（2）V2；（3）正匚

2

【詳解】（1）???OD_L/C,

AD=CD,/AFO=90°,

又?；AC=BD,

AC=BDfWflAb+cb=CD+BCf

:.AD=BC,

AD=CD=BC,

ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°,

,;AB=2,

：.AO=BO=1,

AF=ZOsinZAOF=lx—,

22

貝！JZC=2Z廠=6；

???/5為直徑，OD1AC,

ZAFO=ZC=90°,

/.OD/IBC,

/.ND=ZEBC,

?/DE=BE./DEF=/BEC,

\DEF=ABEC(ASA),

BC=DF、EC=EF,

又AO=OB,

.?.O廠是A45C的中位線，

設(shè)。尸=￡,則BC=。尸=2,,

'：DF=DO-OF=\-t,

1—￡二2，,

解得：

3

:.EF=-FC=-AC=—,

243

OB=OD,

ZABD=ND,

2

則cot//BZ)=cot/0=—=^=V2；

EFV2

~T

(3)如圖2,

c

圖2

VBC是。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，C。是。。的內(nèi)接正（?+4）邊形的一邊,

360

*=當(dāng)ZAOD=ZCOD=

nH+4

r-j.i360_360

貝I]—+2x------=180,

n〃+4

解得：幾=4或-2,-2舍去.

ABOC=90°、ZAOD=ZCOD=45°,

BC=AC=4i,

???AAFO=90°，

OF=AOcosZAOF=—

2

則DF=OD-O尸=1-J,

2

11r-y[2y/2—1

S^ACD=-AC-DF=-xy]2x（l-）=2

3

5.（2021?普陀區(qū)二模）在梯形/8CD中，ADUBC,ABVBC,40=3,CD=5,cosC=-（如

5

圖）.〃■是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），以點(diǎn)M為圓心，CM為半徑作圓，0M與射線CD、

射線M4分別相交于點(diǎn)￡、F.

（1）設(shè)C￡=匕，求證：四邊形NMCA是平行四邊形;

5

（2）聯(lián)結(jié)EM,設(shè)ZFMB=AEMC,求CE的長(zhǎng)；

（3）以點(diǎn)。為圓心，為半徑作圓，。。與?！钡墓蚕仪『媒?jīng)過(guò)梯形的一個(gè)頂點(diǎn)，求此時(shí)的半徑

長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）竺；（3）上或“

533

Q

【詳解】(1)證明：如圖1中，連接過(guò)點(diǎn)〃作MG_LCD于G,則EG=CG=—,

5

...AD=CM,

???AD11CM，

二.四邊形AMCD是平行四邊形.

(2)解：如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EH_LBC于H,過(guò)點(diǎn)M作〃T_LEC于T.

CT=ET,

.?.cosC=^=l

CM5

設(shè)EC=6左，貝1JCT=ET=3左，MC=ME=5k,

4?4318]

在RtACEH中，EH=-CE=——k,CH=—EC=-k,

5555

7

:.MH=CM-CH=-k,

5

24

tan4EMH=—，

7

ZFMB=/EMC,

AB424

tan/FMB=-----=------=—,

BMBM7

7

6

29,

CM—BC—BM——=5k,

6

29

；.CE=6k=——.

5

(3)如圖3-1中，當(dāng)公共弦經(jīng)過(guò)點(diǎn)N時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。于P,則四邊形力5尸。是矩形.

;

圖3-1

AD=BP=3,

PC3

在RtACDP中，cosC=——二一

CD5

???CD=5,

.?.尸C=3,AB=PD=4,

BC=3+3=6,

^CM=AM=x,

在RtAABM中，則有*=42+(6—%)2,

解得x=U,

3

13

的半徑為

3

如圖3-2中，當(dāng)公共弦經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，連接MO,MP,過(guò)點(diǎn)M作〃NJ_4。于N.

vDM2=MN2+DN2=MP2-DP2,

42+(X-3)2=X2-32,

17

x=—,

3

綜上所述，滿(mǎn)足條件的的半徑為U或1Z.

33

6.(2021?嘉定區(qū)二模)已知。。的半徑長(zhǎng)是5,45是。。的直徑，CD是。。的弦.分別過(guò)點(diǎn)N、8向

直線”作垂線，垂足分別為E、F.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)工、2位于直線CD同側(cè)，求證：CF=DE；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)/、8位于直線CO兩側(cè)，ZBAE=30°,且AE=2BF,求弦CD的長(zhǎng)；

(3)設(shè)弦CD的長(zhǎng)為/,線段NE的長(zhǎng)為相，線段3尸的長(zhǎng)為"，探究/與僅、"之間的數(shù)量關(guān)系，并用含

m、〃的代數(shù)式表示/.

?o

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【詳解】（1）證明：如圖1中，連接過(guò)點(diǎn)。作尸于

圖1

?:BF1EF,AE1EF,OHLEF,

BF//OH//AE,

???OA=OB,

:.HF=HE,

OHLCD,

CH=DH,

CF=DE,

(2)連接O。，過(guò)點(diǎn)。作于“，設(shè)48交CD于J.

B

圖2

???BFLCD,AEVCD,

/.ZBFJ=NAEJ=90°,

???ZBJF=ZAJE,

/.\BFJ^\AEJ,

.BJ_BF

…^4J~^4E~2'

:.BJ=-AB=—,

33

:.OJ=OB-BJ=5--=-,

33

???OH11AE,

ZJOH=/BAE=30°,

OH=OJcos30°=-x—=f

326

:.CD=2DH=^^~.

3

(3)如圖1,當(dāng)點(diǎn)/、8位于直線CD同側(cè)時(shí)，?;OH=g(BF+AE)=+嗚,

在RtAODH中，OD2=OH2+DH2,

/.52=-(m+n)2+-12

44f

/.(m+n)2+l2=100,

/.I—J100-(9+“A

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)/、8位于直線CD兩側(cè)時(shí)，=力

2

在RtAODH中，OD2=OH2+DH2,

52=-(m-n)2+-12,

44

二.(加—〃)2+尸=100,

/.I=J100_(加一〃)2

綜上所述，/=Jioo-o+")2或/=Jioo-(加-汗.

7.(2021?閔行區(qū)二模)如圖，在矩形48CD中，AB=4,2C=8,點(diǎn)尸在邊上(點(diǎn)尸與端點(diǎn)8、C

不重合)，以尸為圓心，尸8為半徑作圓，圓尸與射線3。的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)￡,直線CE與射線4D交于點(diǎn)

G.點(diǎn)M為線段3E的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)7W.設(shè)AP=x,BM=y.

(1)求y關(guān)于元的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出該函數(shù)的定義域；

(2)聯(lián)結(jié)/P,當(dāng)/P//CE時(shí)，求x的值；

(3)如果射線EC與圓尸的另一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)尸，當(dāng)ACPF為直角三角形時(shí)，求ACPF的面積.

【答案】(1)y=§M/”x<8)；(2)x=—4+2A/14；(3)6

【詳解】解：(1)在矩形4BC。中，CD=AB=4,BC=8,ZBCD=90°,

BD="+8?=475,

???/為弦3E的中點(diǎn)，尸為圓心,

:.PMLBE,ZBMP=90°,

AD//BC,

NPBM=NDBC,

BM

—=cosZDBC,

BPBD

,九：8

?丁薄,

245

..y=X，

5

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)N重合時(shí)，則點(diǎn)￡為8。中點(diǎn)，此時(shí)y=；AD=逐,

由2枝x=逐，得%=*,

52

二.V關(guān)于％的函數(shù)解析式歹=2^xc|,,x<8)；

(2)如圖1,當(dāng)/P//CE時(shí)，則四邊形/PCG是平行四邊形，AG=PC,

DG=BP=x.

由得BE=￡^~X,DE=A45-^-X

555

?「DG!IBC

^DGE^ABCE,

46一逑％

DGDEm5

BCBE4^5x

-----x

5

x_5-x

8x'

整理，得12+8x—40=0,解得玉=—4+2jiZ,x2=—4—2V14(不符合題意，舍去).

x-—4+2J14.

(3)如圖2,若N尸尸。=90。，則點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合，不符合題意；

如圖3,當(dāng)N尸C尸=90。時(shí)，則點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合，此時(shí)尸gx4A6=2指，

由~~~x=2^5,得x=5,

.?.尸。=8—5=3,CF=CD=4,

???SbcPF=；x3x4=6；

如圖4,當(dāng)NC尸尸=90。時(shí)，過(guò)點(diǎn)￡作￡0，5c交5C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，

在5C邊上取一點(diǎn)“，連接使DH=BH,

由圖3得，當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合時(shí)，則點(diǎn)。與圖4中的點(diǎn)〃重合，此時(shí)，CH=3,DH=5,

:.CH:CD:DH=3:4:5,

?/ZEPQ=ZDHC=2ZDBC,ZQ=ZDCH=90°,

A￡*尸0sAz,

PQ:EQ:PE=3:4:5,

PE=BP=PF=x,

43

EQ=—x,PQ=-x

-PF11EQ.

NCPFsNCQE,

CPPFx5

詼二函二享］

5

5531

,PC=-PQ=-x-x=-x

9953

8—x=-x，

3

解得x=6,

.?.尸C=8—6=2,PF=6,

S“PF=；x2x6=6.

綜上所述，AC尸尸的面積為6.

F

D

8.（2021?青浦區(qū)二模）已知在半徑為2的扇形/O8中，//。8=根。（0＜加”180）,點(diǎn)C是就上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，直線/C與直線08相交于點(diǎn)。.

（1）如圖1,當(dāng)0〈機(jī)＜90,ASCD是等腰三角形時(shí)，求ND的大?。ㄓ煤?〃的代數(shù)式表示）；

（2）如圖2,當(dāng)他=90點(diǎn)C是石的中點(diǎn)時(shí)，聯(lián)結(jié)48,求黑也的值：

SMSC

（3）將就沿NC所在的直線折疊，當(dāng)折疊后的圓弧與OB所在的直線相切于點(diǎn)￡,且OE=1時(shí)，求線段

的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

【答案】⑴力嶗；（2）2+亞；（3）&平或逐一平,

【詳解】解：（1）C在弧線上,

.?.NO8C為銳角，

.〔NCAD為鈍角，

則ABCD是等腰三角形時(shí)，僅有BC=BD這一種情況,

.-.ZD=ZBCD,

連接。。則OA=OC=OB,

ZOAC=AOCA,NOCD=NOBC,

ZOBC=ZD+/BCD=2ND,

在AOCD中，ZCOD+2ND+2ZD=180°,

ZAOC=m°-ZCOD=m0+4ZD-180°,

:.ZAOC=^x(180°-ZAOC)

=180°--------2ZD,

2

在ZUOD中，m°+ZOAC+ZD=180°,

.?.180。+——ZD=180°,

2

圖1

(2)過(guò)。作延長(zhǎng)線于"，連接OC,

?.?C為盛中點(diǎn)，

:.AC=BC,

ABAC=/ABC且40=CO=BO,

ZOAC=/OCA=ZOCB=ZOBC,

NACO+ABCO=；x(360°-90°)=135。，

/BCD=45°,

/.45°+ZODA=/ABC+/ABD=45°+AABC,

AABC=ZADO=ABAC,

BD=AB=2V2（勾股定理），

BM=DM=2（/MBD=NOBA=45°,；.BM=DM）,

AM=AB+BM=7.42+2,

AN=-AB=42,

2

又一；CNLAB,DMVAB,

\ANCs\AMD,

.CNAN

"DM~AM'

；

^SIL=^-=2+42

S.BCAN

(3)圖2如下：

???E為弧線AEC與08切點(diǎn)，

：.A.E、C在半徑為2的另一個(gè)圓上,

O'E=1,OE=\,

OO'=45（勾股定理），

又?.Q=OC=2,O'A=O'C=2,

四邊形/oco,是菱形，

AC1OO'_aAC＞互相平分,

且/OOE共角，

△O'OE^KDOP,

DPop1

=-B.OP=-OO,

O'EOE2

OP=45,

AP=（RtAAPOf的勾股定理）

E為弧線/￡C與50的延長(zhǎng)線的切點(diǎn)時(shí)，同理可得指—4.

2

綜上所述：為石+巫或行-叵.

22

9.（2021?崇明區(qū)二模）如圖1,在矩形Z5C。中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在邊4。上，EF1BD,垂

足為G.

（1）如圖2,當(dāng)矩形/BCD為正方形時(shí)，求出的值；

GB

（2）如果變=l，AF=x,AB=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域;

GB5

（3）如果AB=4cm,以點(diǎn)A為圓心，3cm長(zhǎng)為半徑的。2與以點(diǎn)B為圓心的OB外切.以點(diǎn)F為圓心的OF

與°”、02都內(nèi)切.求府的值.

【答案】⑴5⑵y葉,函數(shù)定義域?yàn)橐唬?。；?）N

【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)尸￡交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D

設(shè)正方形/5CD的邊長(zhǎng)為左，

則=CD=4。=左，

?.?E為CQ中點(diǎn)，

:.DE=CE=-k，

2

???正方形/BCD中，ZADC=90°,/BDC=L/ADC,

2

ZBDC=45°,

???EFLBD,

/DEF=45°,

ZDFE=45°,

：.DF=DE=-k,

2

???正方形/5CD中，AD//BC,

DFDE1

-----=-----=i,

,CMEC

CM=DF=-k,

2

???AD//BC,

DGDF2￡

；

GBBM3

k+-k

2

(2)如圖，延長(zhǎng)FE交5C的延長(zhǎng)線于

D

設(shè)。尸=q,貝!JCAI=Q,

_DGDFDG_1

BM=5a,BC=4。，

/.AF=x=3。，

1

a=—x，

3

二.DF=—x,

3

AB=y,

:.DE=-y,

2

???N/QC=90。，EF工BD,

ZADB=/DEF,

tanZ.ADB=tan/DEF,

.ABDF

…~AD~^E"

y=—x,

9

,/x>0,y>0,

.?.V與X的函數(shù)關(guān)系式為了=平，

函數(shù)定義域?yàn)椋簒>0；

(3)設(shè)。尸的半徑為“小，則根據(jù)題意得:

QB的半徑為1”?,

AF=|r—3|cm,BF=|z--l|cm,

?.?矩形NBC。中，NN=90。，

AF2+AB2=BF2,

：.(r-3)2+42=(r-l)2,

:.r=6,

即。尸的半徑為6cm,

/.AF=3cm，

,/tanZADB=tan/DEF,

4AD-3

~AD~2

AD2-3AD-8=0,

3=2±四或/D=三畫(huà)(舍去)，

22

3+V41

,DGDF2741-34T

"GB~BM~3+V413+741/82

-----------1-------------3

22

10.（2021?松江區(qū)二模）如圖，己知在A/43C中，BC>AB,BD平分NABC,交邊NC于點(diǎn)D,E是

8c邊上一點(diǎn)，且BE=BA,過(guò)點(diǎn)N作/G//DE,分別交2D、8c于點(diǎn)/、G,聯(lián)結(jié)FE.

（1）求證：四邊形AFED是菱形；

（2）求證：AB2=BGBC；

（3）若4B=AC,BG=CE,聯(lián)結(jié)求也”的值.

【詳解】解：（1）證明：如圖,

:BD平分NABC,

NABF=ZEBF，

...BA=BE,BF=BF,

...AABF=AEBF(SAS),

AF=EF,

同理可得=AEBD(SAS),

:.AD=ED,ZADB=ZEDB,

-AG//DE,

ZAFD=/EDF,

ZAFD=ZADF,

AF=AD,

AF=FE=ED=DA,

四邊形4尸￡。是菱形.

(2)證明：由(1)得AABF二AEBF,

/./BAG=ZBEF,

???四邊形/尸￡。是菱形，

/.AD//FE.

/BEF=ZC,

/BAG=ZC,

?/ZABG=/CBA,

??.AABGSACBA,

BPAB2=BGBC.

BCAB

(3)由(2)得，AABGs^CBA,AB=AC,

:.AG=BG,

/GAB=/GBA,

ZAGC=2ZGAB,

???BG=CE,

BE=CG,

...CG=CA,

.../CAG=/CGA,

???/CAG=2/DAE,

NDAE=/ABC,

/DEA=ZACB,

:.M)AE^\ABC,

.S*DE_(4E2

.?一—茄'

vAB1=BGBC,AB=BE,BG=EC,

:.BE2=ECBC,

二.點(diǎn)石是5C的黃金分割點(diǎn)，

BEV5-1

??-9

BC2

CE3-V5

----=---------,

BC2

???/EAC=ZC,

CE=AE,

AE3-V5

/.——=--------,

BC2

.^\ADE_73A/5

S/iABC2

3

11.。021?虹口區(qū)二模)在RtAABC中，AABC=90°,tan/=—,NC=5,點(diǎn)M是射線48上一點(diǎn)，以MC

4

為半徑的。A/交直線AC于點(diǎn)D.

(1)如圖，當(dāng)MC=/C時(shí)，求CD的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段4C的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)四邊形C2MD的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,

并寫(xiě)出它的定義域；

(3)如果直線與射線8C相交于點(diǎn)E,且/\￡?！?與AEMC相似，求線段2M的長(zhǎng).

C

備用圖

14

【答案】（1）—;（2）見(jiàn)解析；（3）6

5

3

【詳解】解：在RtAABC中，tan4=—,AC=5.設(shè)44=。，

4

34

貝!]5C=3,AB=4=BM,sin/=—=sina,cosA=—=cosa,

55

?:MC=MD,貝!JCN=」CZ),

2

324

在RtAAMN中，ACV=^A/sin^=(4+4)x-=y,

則CD=2CN=2dMe2-MN。=21-(千=y;

(2)如圖1,設(shè)CD=2m,貝！]。初2=3。2+也2=9+%2,

貝U=CM2-相2=x2+9-nr,

在RtAAMN中,AN2+MN2=AM2,

BP(5+m)2+9+x2-m2=(4+x)2,解得m=j(4x-9),

則MN=.2-9-^(4x-9)2=|(x+4)；

ii3

則S=—CQ?TW+—X/AT8C=——(8X2+39X—72)；

2250

,/m=：(4x-9)>0,

9

x>一；

4

(3)①當(dāng)點(diǎn)/在點(diǎn)8的右側(cè)時(shí)，

如圖2,過(guò)點(diǎn)M作MN_LCD于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)尸作PD_LCW于點(diǎn)尸,

E

???\ECD與\EMC相似，則/ECD=/EMC=/ACB=a,

在RtADPM中，DP=DMsinZEMC=rsina=—r,MP=rcosa=—r,

55

貝！)。尸=尸_"?=尸_3/=2/,CD=yjDP2+CP2=^-r=2CN,

555

：.MN=yJr2-CN2=^-r,

5

275

,/tanA=理丫=-5,解得r=3加,

ANq

5H-----r

5

貝UBM=4r2-BC1=J(3后-3?=6；

②當(dāng)點(diǎn)M在3c的左側(cè)時(shí),

如圖3,過(guò)點(diǎn)M?作MNJ_Cr）于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)尸作PD_LCM于點(diǎn)尸，

???\ECD與AEMC相似，貝！IZECD=ZEMC=NACB=a,

43

在RtADPM中，DP-DMsinZ.EMC=rsina=—r,MP=rcoscr=—r,

55

貝?。?。尸二/一物＞=尸+3/=§/,CD7DP?+cp2=^-r=2CN,

555

MN=yjr2-CN2=—r,

5

MN￡3

,/tanCAB=-----

AN4

解得r=—A/5,

2

則=J/—g=3；

、2

綜上，MB為6或—.

2

12.(2021?長(zhǎng)寧區(qū)二模)已知半圓。的直徑/8=4,點(diǎn)C、。在半圓。上(點(diǎn)C與點(diǎn)。不重合),

ZCOB=ZDBO,弦8。與半徑OC相交于點(diǎn)E,CHLAB,垂足為點(diǎn)X,CH交弦BD于點(diǎn)、F.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。是就的中點(diǎn)時(shí)，求/CO8的度數(shù)；

CF

(2)如圖2,設(shè)O〃=x,—=y,求y關(guān)于x函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域;

(3)聯(lián)結(jié)。。、OF,如果ADO尸是等腰三角形，求線段的長(zhǎng).

【答案】(1)36°；(2)y=^4-x2(l<x<2)；(3)刃一1或0

【詳解】解：⑴如圖1中，連接BC.

D

???AD=CD,

...AABD=ADBC，

???ZCOB=/ABD,

ZOBC=2ZCOB,

^ZCOB=x,

OB=OC,

ZOCB=/OBC=2x,

???/COB+ZOCB+ZOBC=180。，

x+2x+2x=180°,

/.x=36°,

ZCOB=36°.

(2)如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作E/_LC產(chǎn)于J.

D

/CHO=ZCHB=90°,

???/COB+NC=90°,/ABD+ZHFB=90°,

ZC=AHFB,

???ZHFB=ZCFE,

ZC=ZCFE,

EC=EF,

EJLCF,

:.CJ=JF,

OC=2,OH=x,

;.CH=422—x?="f,

'：EJ//OH,

.ECCJ

'~OC~~CH'

CJCH

~CE~~OC'

2CJ__2CH_

~CE~OC

CF_2^4-x2

~CE~2~~

y=A/4-X2(1<x<2).

(3)如圖3—1中，當(dāng)萬(wàn)尸。時(shí),

D

圖3-1

???FD=FO,0D=OB,

.../D=ZFOD=/B,

???AEOB=NB,

ZD=ZDOF=/B=ZEOC,

"DO=\EOBQSA),

FD=FO=EO=EB,

沒(méi)FD=FO=EO=EB=x,貝IEC=￡產(chǎn)=2—x,BF=2x-2,BD=3x—2,

?/NDOB^\BEO,

BDOB

OBBE

3x-2_2

2x

匕普或匕普(舍棄),

解得X

OF2-OH2=BF2-BH2,

OF--OH'=BF1-(2-OH)2,

(1+Jr=J可-4y_40H,

4+

V13-1

...OH=

2

如圖3—2中，當(dāng)DO=DF時(shí),

圖3?2

???OC=OD,

DF=OC,

???EC=EF,

/.DE=OE,

/D=/DOE,

OD=OB,

ZD=NEBO,

?//COB=AB,

/D=/B=ZEOB=/DOE=45°,

???CHLOB,

AOCH是等腰直角三角形，

:.OH=—OC=42,

2

綜上所述，的值為小二!■或行.

2

13.(2021?黃浦區(qū)二模)如圖，ND是A42C的角平分線，過(guò)點(diǎn)C作/。的垂線交邊于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)

O,連接DE.

(1)求證：DE=DC

(2)當(dāng)N/C8=90。，且ABDE與A48C的面積比為1:3時(shí)，求C￡:4D的值；

(3)是否存在AA8C能使CE為A42c邊上的中線，且CE=ND?如果能，請(qǐng)用NC48的某個(gè)三角比

的值來(lái)表示它此時(shí)的大小；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

D

o

B

備用圖

【答案】⑴見(jiàn)解析；⑵,⑶見(jiàn)解析

【詳解】解：⑴???4。是角平分線,

ZCAO=ZEAO.

又???CE±AD，

ZCOA=ZEOA=90°.

5LAO=AO,

,AAOC=AAOE(ASA)

:.AC=AE.

在A4C。與A4EZ)中，

AC=AE,ACAD=ZOAD,AD=AD,

,\ACD=\AED(SAS),

/.DE=DC

(2)A5■與A4BC的面積比為1:3,

?/\ACD=\AED,

\BDE、\ACD與\AED的面積均相等.

:.BE=AE=AC,又ZACB=9。。,

/ABC=30°,

/.ABAC=60°,

.?.A4CE為等邊三角形，

CE=AC.

在根。。中，NACD=90。，ZCAD=-ZCAB=30°,

2

AD~2

噬T

(3)存在這樣的三角形,

如圖，作EF//AD交BC于點(diǎn)F,

則變二能」EFBE

EFCE2~AD~^A~2

???AD=CE,

令4D=CE=8k,貝ljOE=OC=4k,OD=2k,OA=6k,

在RtAAOC中，根據(jù)勾股定理，得

AC=yJo^+OA2=,

...AE=lyfnk.

如圖，作于點(diǎn)”，

AECH+ACEH=90°,

?/ZOAE+ACEH=90°,

/.ZECH=NOAE,

???/OAE=ZOAC,

ZECH=ZOAC,

ZCHE=ZAOC=90°,

\CEH^\ACO,

.CHCEHE

'~6A~~AC~~CB'

.3_24后7

..CH—3kx-.——--------k,

V1313

2_16V13,

EH=okx--===--------k,

V1313

AH=AE-EH,

g16M10V13.

/.AH=2VI3Ar---------k=---------k,

1313

在RtAACH中，tanZCAB=——二一.

AH5

3

14.(2021?楊浦區(qū)二模)如圖，已知0是/A4c的邊/C上一點(diǎn)，NQ=15,cotABAC=-,點(diǎn)尸是射線

4

上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)尸。，。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)N且與。尸相切于點(diǎn)尸，與邊/C相交于另一點(diǎn)。.

(1)當(dāng)圓心O在射線48上時(shí)，求。。的半徑;

3

(2)當(dāng)圓心O到直線的距離為士時(shí)，求線段NP的長(zhǎng)；

4

(3)試討論以線段尸。長(zhǎng)為半徑的。尸與。。的位置關(guān)系，并寫(xiě)出相應(yīng)的線段/P取值范圍.

_備用圖

【答案】(1)2；(2)3或9+3月；(3)12<4尸<18

24

???點(diǎn)。在尸4上，尸。是OO的切線，

PQ1AP.

Ap3

vcotZPAQ=——=—,

PQ4

「?可以隹?設(shè)尸4=3左，PQ=4kf貝|40=5左=15,

...左=3,

:.PA=9,PQ=n,

Q

???oo的半徑為2.

2

(2)如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)O在射線的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作0KL/5于K,過(guò)點(diǎn)。作于".

r,

???尸。是。。的切線，

ZPHO=ZOPQ=ZPKQ=90°,

ZOPH+AQPK=90°,ZQPK+ZPQK=90°,

,NPHO^\QKP,

.PHOH

'~QK~~PK'

設(shè)P4=2冽，則47/=/W=加，PK=9-2m,

2

?m二?

…12-9-2冽'

3

解得，加=—或3,

2

經(jīng)檢驗(yàn)，x=士或3是分式方程的解，且符合題意.

2

/.AP=3或6.

9+3而

如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)O在射線48的下方時(shí)，同法可得4P