排列組合二項式定理歸類（18題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單

專題25排列組合二項式定理歸類

更盤點?置擊看考

目錄

題型一：有順序模型：書架插書法..................................................................1

題型二：先分組再排列：球放盒子模型..............................................................2

題型三：不相鄰與相鄰型：人坐座位模型............................................................4

題型四：多重限制模型............................................................................6

題型五：相同元素模型：數(shù)字化法..................................................................8

題型六：平均分配型.............................................................................10

題型七：空車位型...............................................................................12

題型八：地圖染色...............................................................................13

題型九：走樓梯型...............................................................................16

題型十：擋板法.................................................................................17

題型-I—:公交車與電梯型.......................................................................18

題型十二：立體幾何空間型.......................................................................20

題型十三：跳棋模型............................................................................22

題型十四：不定方程模型........................................................................23

題型十五：二項式：賦值法.......................................................................25

題型十六：換元型賦值..........................................................................27

題型十七：系數(shù)最大............................................................................29

題型十八：三項式展開..........................................................................31

里突圍?檐?；确?/p>

題型一：有順序模型：書架插書法

；指I點I迷I津

“書架插書”模型

：書架插書法：

.（1）、書架上原有書的順序不變；

（2）、新書要一本一本插；

（3）、也可以把有順序的“書”最后放，先放沒順序得，但是得從“總座位”中選（百分比法）

1?722-23禽三不三而前誦）一藁痛奉筋■后定訪"5-福百通奇普白罩:不曾敲演而亍而不幫"百二”

如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為

A.42B.30C.20D.12

【答案】A

【詳解】原定的5個節(jié)目之間有6個位.

當(dāng)插入的這兩個新節(jié)目在一起時，有心隹插法；

當(dāng)插入的這兩個新節(jié)目不在一起時，有插法，

所以總的不同插法的種數(shù)為煤號+CX=42種.

故選：A.

【點睛】關(guān)于排列和組合的題目，常用到捆綁法和插位法.捆綁法是將一些對象看作一個對象進行排列；

插位法是將一些對象進行排列后，再對剩下的對象進行排列.

2.（21-22高二上?黑龍江鶴崗?期末）有10本不同的書緊貼著依次立放在書架上，擺成上層3本下層7本，

現(xiàn)要從下層7本中任取2本再隨機分別調(diào)整到上層，若其他書本的相對順序不變，則上層新增的2本書不

相鄰的概率為

3312

A.-B.—C.—D.一

51025

【答案】A

【詳解】試題分析：從下層7本中任取2本再隨機分別調(diào)整到上層，若其他書本的相對順序不變，共一寸

種方法，若新增的兩本書不相鄰，則共有C?.《種方法，所以尸=二==三，故選A.

?C：65

考點：1.古典概型；2.排列，組合.

【務(wù)法點睛】嚏要媼及排列組合的問題，屬于基礎(chǔ)題型，對于總體中部分元素順序一定的問題，比如總體

有n個元素，其中m個元素的順序一定，那方法一，先不排這m個元素，A：7,最后這m個元素只有1

種方法，或是n個元素的全排列，再除以種順序方法三，對于新增的兩本書不相鄰，那就選擇插空法，

J；,最后按古典概型求概率.

3.（21-22高二?全國?課后作業(yè)）書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進去，要保持原來5

本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（）.

A.60B.120C.336D.504

【答案】C

【分析】依據(jù)分步計數(shù)原理即可求得不同的插法種數(shù).

【詳解】將新買的3本書逐一插進去：

第1本書插入5本書形成的6個空隙中的1個，有6種插法；

第2本書插入6本書形成的7個空隙中的1個，有7種插法；

最后1本書插入7本書形成的8個空隙中的1個，有8種插法.

由分步乘法計數(shù)原理，知不同的插法種數(shù)為6x7x8=336.

故選：C

4.（22-23高二下?上海浦東新?期中）書架上某層有8本書，新買2本插進去，要保持原有8本書的順序，

則有種不同的插法（具體數(shù)字作答）

【答案】90

【分析】利用定序相除法進行求解，先求10本書的所有排法，再求原來8本書的排法，相除可得結(jié)果.

【詳解】原來的8本書，加上新買的2本書，隨意排列共有耳；種排法，

原來的8本書隨意排列共有P；種排法，

而原來特有的順序只有1種，所以共有詈=10x9=90種方法.

故答案為：90.

5.（23-24高二下,四川廣安?期中）班會課上原定有3位同學(xué)依次發(fā)言，現(xiàn)臨時加入甲、乙2位同學(xué)也發(fā)言，

若保持原來3位同學(xué)發(fā)言的相對順序不變，且甲、乙的發(fā)言順序不能相鄰，則不同的發(fā)言順序種數(shù)為

（用數(shù)字作答）

【答案】12

【分析】甲乙不能相鄰，則采用插空法分析即可.

【詳解】在原來三位同學(xué)的發(fā)言順序一定時，他們之間及兩邊會形成4個空位，插入甲、乙2位同學(xué)，有

A；=4x3=12（種）方法.

故答案為：12.

題型二：先分組再排列：球放盒子模型

:指I點I迷I津

先分組后排列模型：又稱“球放盒子”

基礎(chǔ)型：幕指數(shù)型

如四個不同的球放三個不同的盒子，有多少種方法？

；盒子球=3&

特征.

1.先分組再排列（盡量遵循這個，否則容易出現(xiàn)重復(fù)）

2.分組時候要注意是否存在“平均分配”的情況

k^2023r0W￥二硬;花元一募、一蔭:簧示面前示薪又3不示同語的;講七主會不蔽二不透;

且紅球和藍球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數(shù)為（）

A.18B.24C.30D.36

【答案】C

【分析】將4個小球分成三組，一組2個球，另外兩組分別為1個球，然后將三組球分配到3個不同的盒子,

有C：用種放法，而紅球和藍球恰好放在同一個盒子里有用=6種放法，利用間接法即可求解.

【詳解】解：由題意，將4個小球分成三組，一組2個球，另外兩組分別為1個球，有C：種分組方法，再

將三組球分配到3個不同的盒子，有闋種分法，所以將紅、黑、藍、黃4個不同的小球放入3個不同的盒子，

每個盒子至少放一個球，有C：用種放法，而紅球和藍球恰好放在同一個盒子里有團=6種放法，

所以紅球和藍球不能放到同一個盒子里的不同放法種數(shù)為瑪A；-A；=30,

故選：C.

2.（2023高三?全國?專題練習(xí)）將A,B,C,。四個小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，若每個盒子中

至少放一個球且48不能放入同一個盒子中，則不同的放法種數(shù)為（）

A.15B.30C.20D.42

［答案］B

【5析】按照放入同一盒子的球進行分類，最后由分類加法計數(shù)原理計算即可.

【詳解】當(dāng)放入一個盒子的是A,C時，有團=6種不同的放法

當(dāng)放入一個盒子的是A,D時，有用=6種不同的放法

當(dāng)放入一個盒子的是民C時，有禺=6種不同的放法

當(dāng)放入一個盒子的是反。時，有國=6種不同的放法

當(dāng)放入一個盒子的是CD時，有制=6種不同的放法

則共有6x5=30種不同的放法

故選B

3.（20-21高二下?廣東深圳?階段練習(xí)）設(shè)有編號為1,2,3,4,5的5個小球和編號為1,2,3,4,5的5

個盒子，現(xiàn)將這5個小球放入5個盒子中.每個盒子內(nèi)投入1個球，并且至多有1個球的編號與盒子的編

號是相同的，則有（）投放方法

A.45種B.53種C.96種D.89種

【答案】D

【分析】至多有1個球的編號與盒子的編號是相同的，可以分為兩種情形：第一種，五個球的編號與盒子

的編號全不同，第二種，恰有一球的編號與盒子編號相同，把兩種情形的投放方法數(shù)求出，然后再根據(jù)分

類計數(shù)原理相加即可.

【詳解】由題意知，至多有1個球的編號與盒子的編號是相同的，可以分為兩種情形：第一種，五個球的

編號與盒子的編號全不同的放法有=44種，

第二種，恰有一球的編號與盒子編號相同的放法有Cx9=45,

所以至多有1個球的編號與盒子的編號是相同的投放方法有44+45=89種.

故選：D.

4.（22-23高三上?河北?階段練習(xí)）桌子上有5個除顏色外完全相同的球，其中3個紅球，2個白球，隨機拿

起兩個球放入一個盒子中，則放入的球均是紅球的概率為.

【答案】

【分析】對5個球編號，列出所有隨機拿起兩個球取法，再求出兩球都是紅球的取法個數(shù)，根據(jù)古典概型

概率求法，即可求解.

【詳解】3個紅球記為1c,2個白球記為1,2,

隨機拿起兩個球放入一個盒子所有情況，

{a,b},{a,c},{a,l},{a,2},{b,c},{Z7,l},{Z?,2},{c,l},

{cJ,{L2}共有10種取法，其中都是紅球有3種，

放入的球均是紅球的概率為本3

故答案為:專

【點睛】本題考查古典概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.

5.（22-23高二下?浙江溫州?期中）4個不同的球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中，每個盒子中球的個

數(shù)不大于盒子的編號，則共有一種方法（用數(shù)字作答）.

【答案】175

【分析】根據(jù)題意，分4種情況討論：①四個盒子都放，②4個球放到三個盒子里，③4個球放到兩個盒

子里，④4個球放一個盒子，分別求出每種情況下的放法，由分類計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，分4種情況討論：

①四個盒子都放，每個盒子里都放1個球，將4個球全排列即可：有A：=24種情況，

②4個球分組為{1,1,2}放到三個盒子里，有=108種情況，

「2

③4個球分組為{2,2}或{1,3}放到兩個盒子里，有/8+C：C'C；=42種情況，

④4個球放一個盒子，只能放在編號為4的盒子里，有1種情況，

所以共有24+108+42+1=175種放法；

故答案為：175.

題型三：不相鄰與相鄰型：人坐座位模型

；指I點I迷I津

1、一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來；5、必要時，座位拆遷，剩余座位隨人排列

特征：

1、相鄰：捆綁法一一捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（4、并曰歹!!）

2、不相鄰：插空法，一般不相鄰插入別的空隙

3.限制條件較多。特多的限制條件，稱為“多重限制型題”，要有“主次”。屬于超難題

1.（2^3煮三下.湖南工彳麗聲T施筱福二看莫贏市亭而一張靚而謎耳：云麗同蕊黃而兀分一氨2023--

賽季中國高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍.在頒獎儀式上，

女籃隊員12人（其中1人為隊長），教練組3人，站成一排照相，要求隊長必須站中間，教練組三人要求

相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（）

A.A；A；；B.2A；A；：C.A：A：A；D.2A；A：A；

【答案】B

【分析】根據(jù)捆綁法以及特殊元素優(yōu)先安排的原則，即可由排列組合以及分步乘法計數(shù)原理求解.

【詳解】選擇左右兩邊其中一邊將教練組3人捆綁看作一個整體安排共有2A；種排法，

將剩余的11名隊員全排列共有A：；,

由分步乘法計數(shù)原理可得總的站法有2A；A；；,

故選:B.

2.（23-24高二下?浙江?期中）已知3名教師和4名學(xué)生排成一排照相，每位教師互不相鄰，且教師甲和學(xué)

生乙必須相鄰，一共有多少種不同的排法？（）

A.144B.288C.576D.720

【答案】C

【分析】利用捆綁法和插空法結(jié)合分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【詳解】先將教師甲和學(xué)生乙捆綁成一個元素，與另外3名學(xué)生全排列，則有A：A：=48種方法，

再將剩下的兩名教師插入除去與教師甲相鄰的四個空位中，有A；=12種方法，

所以由分步乘法計數(shù)原理可知共有48x12=576種不同的排法，

故選：C

3.（21-22高二下?福建泉州?期中）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四

節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.衡陽市某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作

出"立春"、"驚蟄"、"雨水"、"春分"、"清明"、"谷雨"六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要

求"立春"和"春分"兩塊展板相鄰，且"清明"與"驚蟄"兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（）

A.24B.48C.144D.244

【答案】C

【分析】將"立春"和"春分〃兩塊展板捆綁在一起，與"雨水"、"谷雨"排列，然后"清明"與"驚蟄"去插空即可

【詳解】根據(jù)題意先將"立春"和"春分"兩塊展板捆綁在一起，與"雨水"、"谷雨"排列，有4個空，然后"清

明"與"驚蟄"去插空,

所以不同的放置方式有A；A；A；=144種.

故選：C

4.（24-25高三?上海?課堂例題）A、B、C、D、E五人排成一排，如果B必須站在A的右邊，且A、3不

相鄰，則不同的排法共有種.

【答案】36

【分析】先計算B站在A的右邊的排法，再減去A、3相鄰且3站在A的右邊的排法可得答案.

【詳解】B站在A的右邊的排法有:A；,

A、B相鄰且B站在A的右邊的排法有A：,

所以B必須站在A的右邊，且A、B不相鄰，

則不同的排法共有g(shù)A；-A：=36種.

故答案為：36.

5.（23-24高二下?浙江?期中）甲乙丙丁戊5個人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相鄰，則

共有種不同的排法.

【答案】54

【分析】根據(jù)甲在中間位置以及最后一個位置，結(jié)合排列組合，即可由計數(shù)原理求解.

【詳解】若甲在第2,3,4位置中選擇一個位置安排甲，有C；種選擇，

接下來安排乙，則有C；種方法，

再安排剩余三個人，有A。

故一共有C；C；A；=36種方法，

若甲在最后一位，則由C；A；=18種方法，

因此一共有36+18=54,

故答案為：54

題型四：多重限制模型

:指I點I迷I津

多重限制型，屬于“人坐座位”模型

特征：

1.一人一位;

2.有順序；

3、座位可能空；

4、人是否都來；

5、要時，座位拆遷，剩余座位隨人排列

難題特征：

3、相鄰：捆綁法---捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（小排列）

4、不相鄰：插空法

4.限制條件較多。特多的限制條件，稱為“多重限制型題”，屬于超難題

1?722-23最示布窗天國通幣互葩汨三亞芟圣薪二有熊布;至正朝賓壬石誦額,一百三左芟壬-

中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有

A.72種B.108種C.36種D.144種

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用捆綁法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：先將男生甲與男生乙“捆綁”，有號種方法，

再與另一個男生排列，則有禺種方法，

三名女生任選兩名“捆綁”，有耳種方法，

再將兩組女生插空，插入男生3個空位中，則有8種方法，

利用分步乘法原理，共有尺尺看身=144種.

故選：D.

【點睛】本題考查乘法原理的運用和排列知識，還運用了捆綁法和插空法解決相鄰和不相鄰問題，考查學(xué)

生分析解決問題的能力.

2.（21-22高三上?北京通州?期中）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)"合稱"六藝"."禮"主要指德育；

"樂"主要指美育；"射"和"御"就是體育和勞動；"書”指各種歷史文化知識；"數(shù)"指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展"六

藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求"射"不在第一次，“數(shù)"和"樂"兩次不相鄰，則"六

藝"講座不同的次序共有（）

A.408種B.240種C.192種D.120種

【答案】A

【分析】首先對六藝全排列，減去"射"排在第一次的情況，再減去"數(shù)"和"樂"兩次相鄰的情況，最后再加上

"射"排在第一次且"數(shù)"和"樂"兩次相鄰的情況即可求解.

【詳解】將六藝全排列，有A。種，

當(dāng)"射"排在第一次有A；種，

"數(shù)"和"樂"兩次相鄰的情況有A；A；種，

"射"排在第一次且"數(shù)"和"樂"兩次相鄰的情況有A；A：種，

所以"射"不在第一次，“數(shù)"和"樂"兩次不相鄰的排法有A；-A；-A武+A；A：=408種，

故選：A.

3.（22-23高二下?湖南?期末）弘揚國學(xué)經(jīng)典，傳承中華文化，國學(xué)乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，

其中"五經(jīng)”是國學(xué)經(jīng)典著作，"五經(jīng)"指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》.小明準備學(xué)習(xí)"五經(jīng)"，現(xiàn)

安排連續(xù)四天進行學(xué)習(xí)且每天學(xué)習(xí)一種，每天學(xué)習(xí)的書都不一樣，其中《詩經(jīng)》與《禮記》不能安排在相

鄰兩天學(xué)習(xí)，《周易》不能安排在第一天學(xué)習(xí)，則不同安排的方式有（）

A.32種B.48種

C.56種D.68種

【答案】D

【舞析】利用排列組合分別討論不排《周易》，排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，排《周易》且《詩

經(jīng)》與《禮記》只安排一個，三種情況，再利用分類加法計數(shù)原理將所有情況相加即可.

【詳解】①若《周易》不排，先將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，

再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，則共有A；A；=12種安排方式.

②若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，

在《尚書》和《春秋》中先選1種，然后將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，

再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，

共有C；A；A；-=20種安排方式；

③若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個，

先在《詩經(jīng)》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，

最后將剩下的3種書全排列即可，

共有C；C；A；=36種安排方式.

所以共有12+20+36=68種安排方式.

故選：D

4.（2024高三下?江蘇?專題練習(xí)）陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個家庭的3位媽媽帶著3

名女寶和2名男寶共8人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧

孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不

排最后面.則不同的排法種數(shù)共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】288

【分析】

根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合相鄰與不相鄰問題，列式計算即得.

【詳解】第一步：先將3名母親作全排列，共有A；種排法；

第二步：將3名女寶"捆綁〃在一起，共有A；種排法；

第三步：將"捆綁”在一起的3名女寶作為一個元素，在第一步形成的2個空中選擇1個插入，有￡種排法；

第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個媽媽中間，

然后將另一個男寶插入由女寶與媽媽形成的2個空中的其中1個，共有2A；種排法.

所以不同的排法種數(shù)有：“A；$88；=（種）.

故答案為：288

5.（2021.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測）某校高二年級共有10個班級，5位教學(xué)教師，每位教師教兩個班級，其

中姜老師一定教1班，張老師一定教3班，王老師一定教8班，秋老師至少教9班和10班中的一個班，曲

老師不教2班和6班，王老師不教5班，則不同的排課方法種數(shù).

【答案】236

析】按照特殊元素優(yōu)先處理原則，分類討論秋老師教9班，秋老師教10班的排課方法種數(shù)，但這兩種

重復(fù)了秋老師同時教9班和10班的排課方法種數(shù)，減去即可得到答案.

【詳解】（1）秋老師教9班，曲老師可在4,5,7,10班中選兩班，再分兩小類：

①曲老師不教5班，則曲老師可選C；=3（種）；王老師可選C；=3（種）；剩余的3個班3個老師全排列

安排有A；=3x2xl=6（種）；按分步相乘計數(shù)原理有：3x3x6=54（種）；

②曲老師教5班,則曲老師可選C；=3（種）;剩余的4個班4個老師全排列安排有A：=4x3x2xl=24（種）；

按分步相乘計數(shù)原理有：3x24=72（種）.

按分類相加計數(shù)原理，秋老師教9班有：54+72=126（種）；

（2）秋老師教10班，同理也有126（種）；

（3）秋老師同時教9班和10班，曲老師可在4,5,7班中選兩班，再分兩小類：

①曲老師不教5班，則曲老師教4班和7班，王老師再從2,6班選一個，可選C；=2（種）；剩余的2個班

2個老師全排列安排有8=2（種）；按分步相乘計數(shù)原理有：2x2=4（種）；

②曲老師教5班，則曲老師可選C；=2（種）；剩余的3個班3個老師全排列安排有團=3x2xl=6（種）；

按分步相乘計數(shù)原理有：2x6=12（種）.

按分類相加計數(shù)原理，秋老師同時教9班和10班有：4+12=16（種）；

但秋老師同時教9班和10班在（1）和（2）兩種分類里都涉及到，所以重復(fù)需減去,

故不同的排課方法種數(shù)有：126+126—16=236（種）.

故答案為：236

題型五：相同元素模型：數(shù)字化法

指I點I迷I津

數(shù)字化法：

標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合。

特別適用于“相同元素”

L（2022?新疆?一模）如圖，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或

右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如1玲334玲5玲6好7就是一條移動路線，則從數(shù)字"1"到"7",

漏掉兩個數(shù)字的移動路線條數(shù)為（）

【分析】分類分步排列即可.

【詳解】由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線：

（1,3,5,6,7）,（1,3,4,6,7）,（1,3,4,5,7）,（1,2,4,6,7）,（1,2,4,5,7）,（1,2,3,5,7）共6條，

故選：B.

2.（22-23高三上?上海浦東新?階段練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦

東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那

段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在M處，學(xué)校在N處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的

最短路徑有（）條.

A.23B.24C.25D.26

【答案】D

【分析】先求出由/到N的最短路徑的條數(shù)，然后求出由M到N且經(jīng)過的最短路徑的條數(shù)，最后相減

即可.

【詳解】由M到N的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有解=35條路，

由/到A的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有C；=3條路，

由8到N的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有C；=3條路，

所以由M到N不經(jīng)過AB的最短路徑有C；-C；C；=26.

故選：D.

3.（2016?全國?高考真題）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到/處與小紅會合，再一起到位于G處的老年

公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

【答案】B

【詳解】解：從E到E每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，

從E到P最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，

每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C/C22=6種走法.

同理從b到G,最短的走法，有。3妗2=3種走法.

.?.小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6X3=18種走法.

故選艮

【考點】計數(shù)原理、組合

【名.點睛】分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是相互

獨立的；分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，

步步之間是相互關(guān)聯(lián)的.

4.（2023?安徽亳州?模擬預(yù)測）如圖，小明從街道的A出發(fā)，選擇一條最短路徑到達C處，但B處正在維修

【分析】求出從A到C不同的路線總數(shù)，減去從A到C的過程中途經(jīng)8處的路線數(shù)，即可得出答案.

【詳解】要使A到C的路徑最短，則小明到達每個網(wǎng)格點后只能選擇向右或向上走到下一個網(wǎng)格點，且選

擇向右的次數(shù)為5,選擇向上的次數(shù)為4,總共9次選擇，所以從A到C總共有C：=126種不同的路線，

同樣，從A到2相當(dāng)于在4次選擇中3次向右，1次向上，所以A到3總共有C：=4種不同的路線，

從8到C相當(dāng)于在5次選擇中2次向右，3次向上，所以B到C總共有C；=10種不同的路線，

故從A到C的過程中途經(jīng)B處的路線數(shù)為4x10=40種，

但3處正在維修不通，則不同的路線有126-40=86種.

故選：B.

5.（21-22高二下?黑龍江雙鴨山?階段練習(xí)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計劃去老年公寓參加志

愿者活動.小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道尸處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確

的個數(shù)是（）

①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條

②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條

③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到尸處和小華會合一起到老年公寓的概率為n

④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件從小明經(jīng)過尸事

2

件&從P到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則尸（同A）=至

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)起點走向終點所需要向上、向右走的總步數(shù)加，并確定向上或向右各走的步數(shù)”，則最短路徑

的走法有c：,再利用古典概率及條件概率求法，求小明到尸處和小華會合一起到老年公寓的概率、小明經(jīng)

過尸且從尸到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊的概率即可.

【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移

動，

對于①，小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，

所以最短路徑條數(shù)為G=3條，錯誤；

對于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為仁=35

條，正確；

對于③，小明到下的最短路徑走法有瑪=6條，再從尸處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小

明到老年公寓共有35條，

所以到尸處和小華會合一起到老年公寓的概率為等=1|,正確；

對于④，由題意知：事件A的走法有18條即尸（A）=空，事件AcB的概率P（AcB）=孚

3535x335

所以尸（例A）=1（A）=3,錯誤.

故說法正確的個數(shù)是2.

故選：B.

題型六：平均分配型

；指I點I迷I津；

平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)，

的階乘

工《小畫麗熊碧f石麗著信衿二不「柝由轉(zhuǎn)治三審;旗末4^-2016-2017厚菽嵩三》為讀著藪攀

（理）試題）某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社"、"青春風(fēng)街舞社"、"羽乒協(xié)

會"、"演講團"、"吉他協(xié)會"五個社團，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個社團且每個社團至多兩人參加，

則這6個人中至多有1人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為

A.4680B.4770C.5040D.5200

【答案】C

【詳解】若有1人參加"演講團"，則從6人選1人參加該社團，其余5人去剩下4個社團，人數(shù)安排有2種

H+箋4/]=3600,若無

情況：1』,L2和1,2,2,故1人參加“演講團〃的不同參加方法數(shù)為C]

4)

人參加"演講團"，則6人參加剩下4個社團，人數(shù)安排安排有2種情況：1」,2,2和2,2,2，故無人參加“演

講團”的不同參加方法數(shù)為堂aM+C：C；Cj=1440,故滿足條件的方法數(shù)為3600+1440=5040,故選

【方法點睛】本題主要考查分組分配問題及排列組合的綜合應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往

往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖

掘出隱含條件.解題過程中要首先分清"是分類還是分步"、"是排列還是組合"，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論

時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，

則不同的裝法種數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】先將紅球從數(shù)量分成（0,1,2）,（1,1,1）兩種類型的分組，在分兩類研究以上不同形式下紅球放入三

個不同的袋中的方法數(shù)，最后袋中不重上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為2個，將兩類情況的方法總數(shù)相

加即可.

【詳解】將3個紅球分成3組，每組球的數(shù)量最多2個最少0個，則有（0,1,2）,（1,1,1）兩種組合形式,

當(dāng)紅球分組形式為（0,1,2）時，將紅球放入三個不同的袋中有耳=3x2xl=6放法，

此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為2個即可.

當(dāng)紅球分組形式為（1,1,1）時，將紅球放入三個不同的袋中有1種放法，

此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為2個即可.

綜上所述：將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球,

不同的裝法種數(shù)為6+1=7種.

故選：A.

3.（20-21高二,全國?單元測試）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，該書介紹了我國古代14

種算法，其中積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把

頭算、龜算、珠算13種均需要計算器械.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理這13種計算器械的相關(guān)資料，

其中一人搜集5種，另兩人每人搜集4種，則不同的分配方法種數(shù)為（)

5

cr4r4A30504r4A2「50404

A13843B13842D.0404

----云3

【答案】A

【分析】按先分組后分配的方法計算出不同的分配方法種數(shù).

【詳解】依題意，先將13種計算器械分為3組，方法種數(shù)為y再分配給3個人，方法種數(shù)為

A；

j3yL4A3

故選：A.

4.（2021?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標(biāo)有編號1、2、3、4、

5的五個盒子中，若裝有小球的盒子的編號之和恰為11,則不同的放球方法種數(shù)為（）

A.150B.240C.390D.1440

［答案］C

【分析】分析可得可以將5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號工、2、3、5的四個盒子中,

分別計算每種放球方法種數(shù)，再利用分類相加計數(shù)原理可求得結(jié)果.

【詳解】因為2+4+5=11或1+2+3+5=11

所以5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中

（1）5個球放到編號2、4、5的三個盒子中，因為每個盒子中至少放一個小球，所以在三個盒子中有兩種

方法：

各放1個，2個，2個的方法有空G?用=WJx3x2xl=90種.

卷2x1

各放3個，1個，1個的方法有箋C?蜀=W^x3x2xl=60種.

（2）5個球放到編號1、2、3、5的四個盒子中，則各放2個，1個，1個，1個的方法有

C^ddC1,410X3X2X1）「。1

s3J_---------x4x3x2x1=240種.

用"3x2x1

綜上，總的放球方法數(shù)為90+60+240=390種.

故選：C

【點睛】易錯點睛：本題考查排列組合的部分均勻分組，解題時一定要注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后

一點要除以A：,考查學(xué)生的邏輯思維能力與運算求解能力，屬于中檔題.

5.（2024高三?全國?模擬）3名醫(yī)生和6名護士分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護

士，有種分配方法.

【答案】540

【分析】把3名醫(yī)生和6名護士按每組1名醫(yī)生2名護士，進行平均分3組.注意除以均分組數(shù)的全排列國.

再將3個小組作為3個元素分到3所學(xué)校，這樣就有一個全排列.根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果.

【詳解】屬于平均分組且排序型，共有圭G雪絲*耳=540.

故答案為：540.

【點睛】本題考查了平均分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題.

題型七：空車位型

指I點I迷I津

1.（21-22北京模擬）一個停車場有5個排成一排的空條位，現(xiàn)有2輛不同的車停進這個停車揚，若停殍后

恰有2個相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有

A.6種B.12種C.36種D.72種

［答案］B

【分析】分類討論,利用捆綁法、插空法，即可得出結(jié)論.

【詳解】把空著的2個相鄰的停車位看成一個整體，即2輛不同的車可以停進4個停車場，

由題意，若2輛不同的車相鄰，則有其置=4種方法

若2輛不同的車不相鄰，則利用插空法,2個相鄰的停車位空著，利用捆綁法，

所以有&=8種方法，不同的停車方法共有：.￡=4x3=12種，

綜上，共有12種方法，

所以B選項是正確的.

本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用,注意空位是相同的，是關(guān)鍵.

2.（22-23高二下?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?階段練習(xí)）某電影院第一排共有9個座位，現(xiàn)有3名觀眾前來就座，若

他們每兩人都不能相鄰，且要求每人左右至多兩個空位，則不同的坐法共有

A.36種B.42種C.48種D.96種

【答案】C

【詳解】試題分析:共有6個空位，如果3人旁邊有三個位置時空位,那就是222的空位組合，共有＞2=12

種情況，當(dāng)3人旁邊有4個位置有空位，那空位組合就是1122的組合，采用插空法，共有-=1=36

態(tài)態(tài)

種情況，所以不同的做法就是12+36=48種情況，故選C.

考點：1.排列；2.組合.

【思路點睛】本題主要考查的排列的方法，屬于基礎(chǔ)題型，對于不相鄰問題，一般采用插空法，例，有匕個

不同元素，其中叫個不同元素不相鄰，那么排列方法種數(shù)就是但本題還有其他的條件，每人左右

至多2個空位，所以對可先對空位進行分類，空位看成相同元素，只有個數(shù)的區(qū)分，所以可以均分為3組

空位，或4組空位，任何再在空位之間排列3人，最后相加即得結(jié)果.

3.（22-23高二下?河北?期末）一條長椅上有6個座位，3個人坐.要求3個空位中恰有2個空位相鄰，則坐

法的種數(shù)為（）

A.36B.48C.72D.96

【答案】C

【分析】分兩個相鄰空位包括最左端或最右端時和不含最左端或最右端時，兩種情況求出坐法后相加即可.

【詳解】先考慮相鄰的2個空位，

當(dāng)兩個相鄰空位包括最左端或最右端時，有2種情況，與空位相鄰的座位需要安排一個人，有3種選擇，

剩余的3個座位，安排2個人，有A；=6種選擇，

則有2x3A”36種選擇，

當(dāng)兩個相鄰空位不含最左端或最右端時，此時有3種情況，與空位相鄰的左右座位需要安排兩個人，有

A；=6種選擇，最后一個人有2種選擇，

則有3A；x2=36種選擇，

綜上：坐法的種數(shù)共有36+36=72個.

故選:C

4.（16-17高二下?陜西西安?期中）某公共汽車站有6個候車位排成一排，甲、乙、丙三個乘客在該汽車站

等候228路公交車的到來，由于市內(nèi)堵車，228路公交車一直沒到站，三人決定在座位上候車，且每人只能

坐一個位置，則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是

A.48B.54C.72D.84

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①先將3名乘客全排列，②3名乘客排好后，有4個空位，在4個

空位中任選1個，安排2個連續(xù)空座位，再在剩下的3個空位中任選1個，安排1個空座位，由分步計數(shù)

原理計算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①先將3名乘客全排列，有團=6種情況，

②3名乘客排好后，有4個空位，在4個空位中任選1個，安排2個連續(xù)空座位，有4種情況，

在剩下的3個空位中任選工個，安排1個空座位，有3種情況，

則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式有6x4x3=72種；

故選：C.

【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.（20-21高二?全國?課后作業(yè)）地面上有并排的七個汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時倒

車入庫.當(dāng)停車完畢后，恰有兩個連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有種.

【答案】336

【解析】根據(jù)題意從反面考慮，恰有兩個連續(xù)空車位的排法，再算出恰有兩個連續(xù)空車位，且紅、白兩車

相鄰時的排法，兩數(shù)作差即可求解.

【詳解】從反面考慮，恰有兩個連續(xù)空車位時有禺?&=48。（種）情況；

恰有兩個連續(xù)空車位，且紅、白兩車相鄰時有月?團=144（種）情況，

故所求情況有480-144=336（種）

故答案為:336

【點睛】本題考查排列組合，考查了捆綁法，屬于中檔題.

題型八：地圖染色

指I點I迷I津

染色問題，要