平面向量的數(shù)量積（6題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專題24平面向量的數(shù)量積6題型分類

彩題如工總

題型6:平面向量的實際應(yīng)用題型1:平面向量數(shù)量積的基本運算

\_________________________

題型5:向量的投影題型2:向量的模

專題24平面向量的數(shù)量積6題

型分類

題型4:向量的夾角題型3:向量的垂直

彩和泅寶庫

1.向量的夾角

已知兩個非零向量a,b,。是平面上的任意一點，作宓=a,OB=b,則/4。8=。(0(6?(無)叫做向量。與

b的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a與"它們的夾角為仇我們把數(shù)量|a|依cos。叫做向量。與力的數(shù)量積，記作

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

B

bJ

CA,BxD

設(shè)a,6是兩個非零向量，它們的夾角是仇e是與匕方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過油的起點A

和終點B,分別作詼所在直線的垂線，垂足分別為Ai，Bi，得到前1，我們稱上述變換為向量a向向量B

投影，工商叫做向量a在向量b上的投影向量.記為⑷cosOe.

4.向量數(shù)量積的運算律

(l)ab=ba.

(2)(腦)?力=2(。?5)=a-(Ab).

(3)(a+b)c=ac+bc.

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量。=(沏，")，b=g,")，。與萬的夾角為夕

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0a-b=x\X2+yiyi

模\a\=N|a|=q屑+y?

八abxix+yiy2

夾角COSu-||?|2

x⑷步1

alb的充要條件ab=0的入2+%丁2=0

|a創(chuàng)與⑷向的關(guān)系|a創(chuàng)W|a||臼kiX2+yiy2|<^/(xi+y1)(%2+^2)

6.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

(l)(a+，＞(a—5)=/一/；

(2\a±b')2=(r+2a-b+b2.

7.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論

(1)若a與〃的夾角為銳角，則a2＞0；若。力＞0,則a與入的夾角為銳角或0.

(2)若。與〃的夾角為鈍角，則“協(xié)＜0；若〃協(xié)＜0,則a與。的夾角為鈍角或兀.

彩偏題祕籍

平面向量數(shù)量積的基本運算

計算平面向量數(shù)量積的主要方法

(1)利用定義：。?'=|。||例cos〈a,b).

(2)利用坐標(biāo)運算，若。=(陽，yi),)=(冗2,yi),則。6=陽工2+〉1丁2.

(3)利用基底法求數(shù)量積.

(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義.

題型1：平面向量數(shù)量積的基本運算

1-1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知向量b滿足同向共線，且慟=2,1-4=1,則(a+6)/=()

A.3B.15C.-3或15D.3或15

1-2.(2024?北京)已知向量a,在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

{a+b)-c=；a-b=■

1-3.（2024?全國）正方形A3CD的邊長是2,E是AB的中點，則（）

A.75B.3C.2A/5D.5

1-4.（2024?湖南長沙?二模）已知菱形ABC。的邊長為1,ABAD=-^,G是菱形A8CD內(nèi)一點，若

GA+GB+GC=0,貝！lAG.AB=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

3

1-5.（2024?天津）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,^,AD=ABC,ADAB=--,

則實數(shù)％的值為,若KN是線段BC上的動點，且|MN|=1,則。MQN的最小值為.

1-6.（2024?全國?一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在2022

年虎年新春來臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_到裝點環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設(shè)

計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如左圖）.已知正方形A3CD的邊長

為4,中心為。，四個半圓的圓心均在正方形ABCD各邊的中點（如右圖）.若點尸在四個半圓的圓弧上運

動，則ACOP的取值范圍是.

彩傅題淞籍

平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

（1）求平面向量的模的方法

①公式法：利用及（a±%）2=|a|2±2a3+|肝；

②幾何法：利用向量的幾何意義.

（2）求平面向量的夾角的方法

、ci,b

①定義法：coso=j^j而；

②坐標(biāo)法.

（3）兩個向量垂直的充要條件

一臼=|"+例（其中a^O,#0）.

題型2:向量的模

2-1.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知”，b是非零向量，忖=1,（a+2b^La,向量［在向量6方向上的投

影為一亨，則，一,=.

2-2.（2024高三上■海南■期末）已知向量a,b滿足0=（1,1）,忖=4,a-（a-b^=-2,貝川3°-4=.

2-3.（2024?四川南充?二模）已知為單位向量，且滿足b-后卜后，則|2a+b卜.

24（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知平面向量a2滿足,卜加,慟=2,且僅”+6）?-6）=14,則卜+0

題型3:向量的垂直

3-1.（2024?全國）設(shè)向量〃二（1,—1）,。=（加+1,2根—4）,^aLb,則機=.

32（2024?河南開封?模擬預(yù)測）已知向量。=（-2,3）,8=（4,-5）,若（助-貝此=.

3-3.（2024?江西贛州?一模）已知向量。=（1,2）,8=（4,左）.若（2a-6），（2a+6）,則實數(shù)上的值為.

3-4.（2024高三下?江西南昌?開學(xué)考試）已知兩單位向量令,6的夾角為若a=G+2e2,b=ex+me2，且4_LZ?,

則實數(shù)根=.

3-5.（2024高三?全國?專題練習(xí)）非零向量〃=（cos（6Z-/3）,sin。），Z?=（l,sina）,若〃_L。，則tanatan尸=.

題型4：向量的夾角

4-1.（2024,河南駐馬店?二模）若單位向量〃，人滿足則向量入B夾角的余弦值為.

4-2.（2024高三?廣東?階段練習(xí)）若q,e；是夾角為60。的兩個單位向量，則a=2q+e2與6=-3q+2e2的夾

角大小為.

4-3.（2024高三下?重慶?階段練習(xí)）已知向量。和6滿足：同=1,忖=2,慳-司-2as=0,則a與/，的

夾角為.

4-4.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知向量。=1+1,右），6=（1,0）,a-b=-2,則向量a+b與6的夾角為.

4-5.（2024?浙江）設(shè)q,e；為單位向量，滿足|2e；-e；區(qū)正，a=ei+e1,b=3q+e；,設(shè)。，b的夾角為0,

則cos?6的最小值為.

4-6.（2024?天津）在.ABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點，CB=2BE,試用表示OE為，

若AB_LDE，則/ACB的最大值為

題型5:向量的投影

5-1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知向量a=（l,O）,Z?=（O,l）,a-c=Z?-c=l,則向量0在向量）上的投影向量

為.

5-2.（2024高三下?上海寶山?期中）已知向量。=（3,6）,匕=（3,-4）,則4在8方向上的數(shù)量投影為.

5-3.（2024高一下?山東泰安?期中）已知向量忖=6,e為單位向量，當(dāng)向量￡、e的夾角等于45。時，則向

量a在向量e方向上的投影向量是.

5-4.（2024高三上?云南昆明?開學(xué)考試）已知向量。=（-1,2）,向量b=（1,1）,則向量“在向量〃方向上的投

影為.

55（2024?上海虹口?三模）已知。=（-2,-1）,6=（-4.m）,若向量B在向量a方向上的數(shù)量投影為石，則實數(shù)

m=

彩得甄祕籍

平面向量的實際應(yīng)用

用向量方法解決實際問題的步驟

題型6:平面向量的實際應(yīng)用

6-1.（2024高三上?安徽合肥?開學(xué)考試）一質(zhì)點受到同一平面上的三個力片，F(xiàn)2,F3（單位：牛頓）的作

用而處于平衡狀態(tài)，已知耳，工成120。角，且可，F(xiàn)?的大小都為6牛頓，則工的大小為牛頓.

6-2.（2024高三上?福建泉州?期中）如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩

上的拉力分別是耳，F(xiàn)；,且耳，工與水平夾角均為45。，,卜歸|=4后N,則物體的重力大小為

N.

45°?\45°

6-3.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環(huán)的大小和間距如圖所

示.若圓半徑均為12,相鄰圓圓心水平路離為26,兩排圓圓心垂直距離為1L設(shè)五個圓的圓心分別為。1、

。2、Q、。4、。5,則。4?！福?。4。5+。4。2）的值為（）

B煉習(xí)與梭升

一、單選題

1.（2024高三上?吉林四平?期末）已知向量a,b滿足|4=2,m=6,且〃與方的夾角為聿，則

（Q+〃）.（2Q-b）=（）

A.6B.8C.10D.14

2.（2024高一下?天津西青?階段練習(xí)）已知同=6,網(wǎng)=3,向量。在b方向上投影向量是4e，貝!）2小為（）

A.12B.8C.-8D.2

3.（2024高三下?云南昆明?階段練習(xí)）已知單位向量:工，且3匕〉=；，若,Q[=2，則H=（）

A.1B.12C.一2或2D.-1或1

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測）將向量。尸=（立⑹繞坐標(biāo)原點。順時針旋轉(zhuǎn)75。得到OP-則。尸.以=（）

A.2B.娓一叵

C.V6+V2D.

2

TT

5.（2024?山東濟寧?二模）如圖，在中，ZBAC=~,AD=2DB，尸為。上一點，且滿足

AP=mAC+-AB（meR）,若AC=3,AB=4,則AP-CD的值為（）.

C

Ax

ADB

6.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，=1,45=2,AC與8。相交于點0,過點A作

于E,則AE-AO=（）

1224124

A.—B.—C.—D.一

252555

7.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知平面向量。，b,右滿足0=（2,1）,b=（1,2）,1c.若"c=30,貝力。1=

（）

A.5B.2A/5C.572D.3石

8.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測）已知|a|=g|=|c|=l,a%=-；,c=xa+yb（x,yeR）,則x—y的最小值為（）

A.-2B.--C.-V3D.-1

3

9.（2024?安徽?三模）以邊長為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一

TT

段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知尸為弧AC上的一點，且=j則5PC尸的值為（）

A.4-0B.4+0

C.4-2gD.4+26

10.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，-840=120。,AB=AO=1,AC=2.若石為

3_

A.-3B.C.D.3

2

11.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）如圖，已知ASC是面積為36的等邊三角形，四邊形MNPQ是面積為2

的正方形，其各頂點均位于A5C的內(nèi)部及三邊上，且恰好可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，貝I］當(dāng)2QCP=0時,

\BQ+CP\2=()

A.2+4上B.4+2白c.3+2指D.2+376

12.（2024?河南安陽?三模）已知正方形ABCD的邊長為1,。為正方形的中心，E是A3的中點，則。足。。=

)

13

A.——BC.一D.1

4-I4

13.(2024?全國)已知向量a=力=（1,一1）,若(〃+4匕)_1(〃+"匕)，貝I()

A.2+〃=1B.X+4=-1

C.44=1D.辦=一1

14.(2024?全國)已知向量。=(3,4),〃=(l,0),c=a+仍，若<〃,c>=<仇c>,貝()，=()

A.-6B.-5C.5D.6

15.（2024高二上?江西九江?開學(xué)考試）在，ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸為-ABC所在平面內(nèi)

的動點，且尸。=1,則尸4P5的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,3]D.[T6]

16.（2024?全國）已知；。的半徑為1,直線E4與。相切于點A,直線與一。交于8,C兩點，D為

BC的中點，若|PO|=則PAP。的最大值為（）

A.包?1+2五

D.----------

22

C.1+V2D.2+72

17.（2024?山東）已知P是邊長為2的正六邊形A8CDEF內(nèi)的一點，貝1JAPAB的取值范圍是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

18.(2024?北京)在1aAsc中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸為ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,則PAPB

的取值范圍是()

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[—6,4]D.[-4,6]

19.(2024?全國)已知向量31滿足1。1=1,1切=石,1〃一25|=3,則:％=()

A.-2B.-1C.1D.2

7T

20.(2024,浙江)已知.、b、e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為§，向量6滿足

萬。-4e/+3=0,貝！|卜-闿的最小值是

A.6一1B.73+1C.2D.2-g

21.(2024?全國)已知向量a=(3,1),6=(2,2),則cos(a+6,a-6>=()

A±nV17c亞

A?D.--------C.----U.-----

171755

22.(2024?全國)已知向量a,/7,c滿足同=忖=1,同=虛，且a+Z?+c=0，則cos〈a-°涉一c〉=()

4224

A.—B.—C.一D.一

5555

23.(2024?吉林?二模)平面向量a與》相互垂直，已知。=(6,-8),忖=5,且b與向量(1,0)的夾角是鈍角，

貝心()

A.(-3,-4)B.(4,3)C.(-4,3)D.?-3)

24.(2024高三上?湖南?階段練習(xí))已知單位向量”，。的夾角為60。，則在下列向量中，與6垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

25.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知平面向量“，6滿足忖=2忖=6,卜+叫=3例左>0),a-b=9,則實數(shù)左

的值為()

A.1B.3C.2D.>/2

26.(2024高三上?遼寧?階段練習(xí))已知向量。=(4,2),6=(41),若a+26與〃-6的夾角是銳角，則實數(shù)4

的取值范圍為()

A.(1-V1T,2)I(2,1+711)B.(-2,5)

c.(I-A/TT,I+A/IT)D.(-<?,I-7TT)IJ(I+VIT,+OO)

27.（2024?福建漳州?模擬預(yù)測）已知向量。二（-1,㈤，向量石=（〃,一2）,向量c=（l,l）,若一與）共線,b1c

則（）

A.m=-lB.〃=—2

C.m+n=3D.m—n=l

28.（2024?遼寧沈陽?一模）已知單位向量°力滿足a，（a-26）,貝（）

2兀兀兀兀

A.—B.一C.—D.一

3346

29.（2024高三上■江西撫州■階段練習(xí)）已知非零向量”，6滿足a+慟=0,\a+4Z?|=5,則,+〃+卜]的

最大值為（）

A5V104710u25播n.

334

30.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，點”（2,0）,直線/：>=左（尤-2）+1,點M關(guān)于直

線/的對稱點為N,則ON的最大值是（）

A.2B.3C.5D.6

31.（2024高三下,陜西?開學(xué)考試）己知拋物線C：V=2py（p>0）的焦點為F，直線/與拋物線C相切于點P

（異于坐標(biāo)原點。），與x軸交于點Q,若|尸石=2,但。|=1,則向量b與P。的夾角為（）

7C5兀7L2兀

A.—B.—C.—D.—

6633

二、多選題

32.（2024?全國）己知0為坐標(biāo)原點，點耳（cose,sine）,鳥（cos/?,-sin￡）,月（cos（c+/?）,sin（a+/））,A（l,0）,

則（）

A.口用=|網(wǎng)B.\APt\=\AP2\

C.OAOP3=OI]OP1D.OAOF[=OP1O^

33.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測）設(shè)a,b,c是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（）

A.若卜+0=卜-0,則心匕B.若卜卜比則（a+b）_L（a-6）

C.若q.c=b-c，則q-b不與c垂直D.R-c）a-（a-c）b不與0垂直

三、填空題

34.（2024?上海楊浦?模擬預(yù)測）若向量。與％不共線也不垂直，且c=a-（巴則向量夾角

ya-bJ

35.（2024,上海長寧?三模）已知a.c是同一個平面上的向量，若同=何=網(wǎng)，且。力=0,04=2,c-6=l,

則〈乙。）=.

36.（2024圖三下?重慶渝中,階段練習(xí)）已知向量a,b滿足a=。,-1）,卜卜1,a-b=l>則向量a與。的夾

角