人教版八年級數學上冊期末復習考點清單 專題02全等三角形（13個考點清單+7種題型解讀）

專題02全等三角形（考點清單，13個考點清單+7種題型解讀）【清單01】全等形的概念（重點）形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.要點歸納：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等.兩個全等形的周長相等，面積相等.【清單02】全等三角形的概念和表示方法（重點）1.全等三角形的定義能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.2.對應頂點，對應邊，對應角定義兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角.要點歸納：在寫兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣容易找出對應邊、對應角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應角.3.找對應邊、對應角的方法（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；（3）有公共邊的，公共邊是對應邊；（4）有公共角的，公共角是對應角；（5）有對頂角的，對頂角一定是對應角；（6）兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角），等等.【清單03】全等三角形的性質（重點）全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等.要點歸納：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質是今后研究其它全等圖形的重要工具.【清單04】三角形全等的基本事實：邊邊邊（重點）三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點歸納：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.【清單05】三角形全等的基本事實：邊角邊（重點）1.全等三角形判定——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點歸納：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.【清單06】三角形全等的基本事實：角邊角（重點）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點歸納：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.【清單07】三角形全等的推論：角角邊（重點）1.全等三角形判定——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點歸納：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.【清單08】直角三角形全等的判定方法：HL（重點）在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡稱“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.要點歸納：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【清單09】常見全等三角形的基本圖形1、截長補短有一類幾何題其命題主要證明三條線段長段的“和”或“差”及其比例關系，這一類題目一般可以采取“截長”或“補短”的方法來進行求解。所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已經線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關系。所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段關系。有的是采取截長補短后，使之構成某種特定的三角形進行求解。2、倍長中線圖一圖二圖三3、過端點向中線作垂線一線三等角模型三垂直全等模型圖一如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結論：Rt△BDC≌Rt△CEA圖二如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結論：△BEC≌△CDA5、手拉手圖一圖二圖三圖四圖五圖六圖七手拉手模型的定義：定義：有兩個頂角相等而且有公共頂點的等腰三角形開成的圖形。特別說明：其中圖一、圖二為兩個基本圖形等腰三角形，圖二至圖七為手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）如右圖：手拉手模型的重要結論：結論1：?ABC??ABC=B/C結論2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及頂角相等的等腰三角形底角相等）結論3：AO平分∠BOC/【清單10】作已知角的平分線（重點）角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【清單11】角的平分線的性質（重點）角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

要點歸納：

用符號語言表示角的平分線的性質定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

【清單12】證明幾何命題的一般步驟（難點）(1)按題意畫出圖形.(2)分清命題的條件和結論,結合圖形,在“已知”中寫出條件,在“求證”中寫出結論(3)在“證明”中寫出推理過程在解決幾何問題時,有時需要添加輔助線.添輔助線的過程要寫人證明中.輔助線通常畫成虛線【清單13】角的平分線的判定（重點）角平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.要點歸納：

用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【考點題型一】全等三角形的判定1．（23-24八年級上·廣東廣州·期末）如圖，已知，，添加以下條件中，不能使的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，，，添加條件，可以根據“”得到．3．（24-25八年級上·云南昆明·期中）如圖，點，，，在同一條直線上，，，．求證：．4．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）如圖，四邊形中，，E是的中點，平分．(1)判斷、、之間的數量關系，并證明；(2)若，，求和的面積之和．【考點題型二】全等三角形的性質及其應用5．（21-22八年級上·福建廈門·期末）如圖，已知與，四點在同一條直線上，其中，，，則等于（

）A． B． C． D．6．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為15，平分．若M，N分別是上的動點，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．67．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，點A，C，B，D在同一條直線上，，，．若，，則度數為．8．（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖所示，已知，，求證．【考點題型三】角的平分線及尺規(guī)作圖9.（22-23八年級上·四川綿陽·期末）如圖，平分，在上取一點，作，已知的面積為，點是射線上一動點．則長度的最小值為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．2.510．（22-23八年級上·江蘇泰州·期末）已知，如圖，中，，，點D、E分別在、延長線上，平分，平分，連接，則的度數為（）

A．45° B．48° C．60° D．66°11．（22-23八年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，點D在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點E，連接，則．12．（23-24八年級上·上海崇明·期末）如圖所示，已知，求作點I，使點I到三邊的距離相等．【考點題型四】延長垂線段構造全等13．（20-21八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在中，是的平分線，，垂足為D．求證：．

14．（2023上·全國·八年級課堂例題）如圖，在中，平分交于點于點．探究，之間的數量關系．

15．（21-22八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，平分交的延長線于點．求證：．

【考點題型五】截長補短構造全等16．（22-23八年級上·重慶江北·期末）如圖，在中，，和的平分線、相交于點，交于點，交于點，若已知周長為，，，則長為（

）A． B． C． D．417．（22-23八年級上·安徽蚌埠·期末）如圖，在中，，和分別平分和，和相交于P．（1）的度數為；（2）若，則線段的長為．18．（23-24八年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點O，求證：．

19．（21-22八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，四邊形中，，，于點．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，延長交的延長線于點，點在上，連接，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點在的延長線上，連接，交于點，連接，且，當，時，求的長．【考點題型六】作垂線構造全等20．（22-23八年級上·浙江臺州·期末）如圖，射線為的平分線，點M，N分別是邊，上的兩個定點，且，點P在上，滿足的點P的個數有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數個21．（22-23八年級上·北京海淀·期末）如圖，點D在的平分線上，P為上的一點，，點Q是射線上的一點，并且滿足，則的度數為．

22．（21-22八年級上·山東日照·期末）如圖，在四邊形中，，點E是的中點，平分．求證：是的平分線．

【考點題型七】倍長中線構造全等23．（23-24八年級上·山東臨沂·期中）如圖，在中，D為的中點，若，．則可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．724．（23-24八年級上·安徽馬鞍山·期末）已知的兩邊，長分別為3和5，邊上的中線的取值范圍為．25．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·期末）某校八年級（1）班數學興趣小組在一次活動中進行了試驗探究活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，是的中線，延長至點，使，連接，求證：．【理解與運用】（2）如圖2，是的中線，若，求的取值范圍；（3）如圖3，是的中線，，點在的延長線上，，求證：．26．（23-24八年級上·貴州銅仁·期末）某數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到，使，請補充完整證明“”的推理過程．(1)求證：證明：延長到點，使在和中（__________）請補齊空白處(2)由（1）的結論，根據與之間的關系，探究得出的取值范圍是__________；(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【問題解決】如圖2，中，，，是的中線，，，且，求的長．

專題02全等三角形（考點清單，13個考點清單+7種題型解讀）【清單01】全等形的概念（重點）形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.要點歸納：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等.兩個全等形的周長相等，面積相等.【清單02】全等三角形的概念和表示方法（重點）1.全等三角形的定義能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.2.對應頂點，對應邊，對應角定義兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角.要點歸納：在寫兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣容易找出對應邊、對應角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應角.3.找對應邊、對應角的方法（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；（3）有公共邊的，公共邊是對應邊；（4）有公共角的，公共角是對應角；（5）有對頂角的，對頂角一定是對應角；（6）兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角），等等.【清單03】全等三角形的性質（重點）全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等.要點歸納：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質是今后研究其它全等圖形的重要工具.【清單04】三角形全等的基本事實：邊邊邊（重點）三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點歸納：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.【清單05】三角形全等的基本事實：邊角邊（重點）1.全等三角形判定——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點歸納：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.【清單06】三角形全等的基本事實：角邊角（重點）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點歸納：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.【清單07】三角形全等的推論：角角邊（重點）1.全等三角形判定——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點歸納：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.【清單08】直角三角形全等的判定方法：HL（重點）在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡稱“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.要點歸納：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【清單09】常見全等三角形的基本圖形1、截長補短有一類幾何題其命題主要證明三條線段長段的“和”或“差”及其比例關系，這一類題目一般可以采取“截長”或“補短”的方法來進行求解。所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已經線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關系。所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段關系。有的是采取截長補短后，使之構成某種特定的三角形進行求解。2、倍長中線圖一圖二圖三3、過端點向中線作垂線一線三等角模型三垂直全等模型圖一如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結論：Rt△BDC≌Rt△CEA圖二如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結論：△BEC≌△CDA5、手拉手圖一圖二圖三圖四圖五圖六圖七手拉手模型的定義：定義：有兩個頂角相等而且有公共頂點的等腰三角形開成的圖形。特別說明：其中圖一、圖二為兩個基本圖形等腰三角形，圖二至圖七為手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）如右圖：手拉手模型的重要結論：結論1：?ABC??ABC=B/C結論2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及頂角相等的等腰三角形底角相等）結論3：AO平分∠BOC/【清單10】作已知角的平分線（重點）角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【清單11】角的平分線的性質（重點）角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

要點歸納：

用符號語言表示角的平分線的性質定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

【清單12】證明幾何命題的一般步驟（難點）(1)按題意畫出圖形.(2)分清命題的條件和結論,結合圖形,在“已知”中寫出條件,在“求證”中寫出結論(3)在“證明”中寫出推理過程在解決幾何問題時,有時需要添加輔助線.添輔助線的過程要寫人證明中.輔助線通常畫成虛線【清單13】角的平分線的判定（重點）角平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.要點歸納：

用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【考點題型一】全等三角形的判定1．（23-24八年級上·廣東廣州·期末）如圖，已知，，添加以下條件中，不能使的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，根據全等三角形的判定方法一一判斷即可；【詳解】解：A．根據，可以推出，故本選項不符合題意；B．根據，可以推出，故本選項不符合題意；C．根據，不能判定三角形全等，故本選項符合題意；D．根據，可以推出，故本選項不符合題意；故選：C．2．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，，，添加條件，可以根據“”得到．【答案】【分析】此題考查了添加條件證明兩個三角形全等，正確掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵，根據兩直線平行內錯角相等推出，結合已知條件，若根據“”得到，則應添加的條件為．【詳解】解：∵，∴，若，則在和中∴，故答案為：．3．（24-25八年級上·云南昆明·期中）如圖，點，，，在同一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】此題考查全等三角形的判定，關鍵是根據證明與全等解答．根據等式的性質得出，再根據全等三角形的判定解答即可．【詳解】證明：如圖，，，即，在和中，，．4．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）如圖，四邊形中，，E是的中點，平分．(1)判斷、、之間的數量關系，并證明；(2)若，，求和的面積之和．【答案】(1)，證明見解析(2)20【分析】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積，正確作出輔助線是解題的關鍵．（）過點作于點，根據角平分線的性質得出，根據證明得出，繼續(xù)證明得到，即可得出結論；（2）根據，求出梯形與的面積即可求解．【詳解】（1）解：，證明如下：證明：如圖，過點作于點，∵，∴，∵DE平分，，，∴，又∵是的中點，∴，∴，在與中，，∴，∴，在與中，，∴，∴，又∵，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴和的面積之和梯形的面積的面積，，．【考點題型二】全等三角形的性質及其應用5．（21-22八年級上·福建廈門·期末）如圖，已知與，四點在同一條直線上，其中，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形外角性質，證明可得，進而由三角形外角性質可得，即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：在和中，，∴，∴，∵，∴，故選：．6．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為15，平分．若M，N分別是上的動點，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質，垂線段最短．明確和的最小值的情況是解題的關鍵．如圖，在截取，使得，連接，證明，則，由，可知當三點共線，且時，的值最小，如圖，作于，則的最小值為，由，計算求解即可．【詳解】解：如圖，在截取，使得，連接，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴當三點共線，且時，的值最小，如圖，作于，則的最小值為，∵，即，解得，∴的最小值為6，故選：D．7．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，點A，C，B，D在同一條直線上，，，．若，，則度數為．【答案】125【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、平行線的性質、三角形的外角性質，熟練掌握全等三角形的性質是解答的關鍵．先根據平行線的性質得到，然后證明得到，再利用三角形的外角性質求解即可．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，故答案為：125．8．（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖所示，已知，，求證．【答案】證明見解析．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，直接利用“”證明全等，再根據全等三角形的性質即可求證，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】證明：在和中，，∴，∴．【考點題型三】角的平分線及尺規(guī)作圖9.（22-23八年級上·四川綿陽·期末）如圖，平分，在上取一點，作，已知的面積為，點是射線上一動點．則長度的最小值為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質，先求解，過P點作于H，根據角平分線的性質得到，然后根據垂線段最短求解．【詳解】解：∵的面積為，，∴，∴，過P點作于H，如圖，

平分，，，點E是射線上的動點，的最小值為，故選：C．10．（22-23八年級上·江蘇泰州·期末）已知，如圖，中，，，點D、E分別在、延長線上，平分，平分，連接，則的度數為（）

A．45° B．48° C．60° D．66°【答案】D【分析】根據角平分線的性質定理證得，，進而得出，從而判定平分，再利用外角的性質求出即可．【詳解】解：作于點F，于點H，于點G，

∵平分，平分，∴，，∴，∵，，∴平分，∵，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的判定和性質定理，解題的關鍵是根據已知添加適當的輔助線．11．（22-23八年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，點D在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點E，連接，則．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質和判定，三角形外角的性質，掌握角平分線性質和判定是解題的關鍵．根據角平分線的性質即可求得點E到的距離相等，再利用角平分線的判定即可得到是的角平分線，進而得到的度數．【詳解】解：過點E分別作，，，垂足分別為H，F(xiàn)，G，∵的平分線與的平分線相交于點E，∴，∴是的平分線，∴，在中，，∴，∴，故答案為：．12．（23-24八年級上·上海崇明·期末）如圖所示，已知，求作點I，使點I到三邊的距離相等．【答案】見解析【分析】本題考查角平分線作圖，以及角平分線性質，根據角平分線上的點到兩邊的距離相等，作出與的角平分線，角平分線交點，即為所求點I．【詳解】解：所作點I如下圖所示：【考點題型四】延長垂線段構造全等13．（20-21八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在中，是的平分線，，垂足為D．求證：．

【答案】詳見解析【分析】延長AD交于點F，是的角平分線且，得到，則，由三角形外角的性質得到，即可得到結論．【詳解】證明：如圖所示，延長交于點F．

∵，∴．∵是的平分線，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、三角形外角的性質等知識，證明是解題的關鍵．14．（2023上·全國·八年級課堂例題）如圖，在中，平分交于點于點．探究，之間的數量關系．

【答案】．【分析】延長交于點，利用證明，推出，據此即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點．

平分，．，．在和中，，．．，．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．15．（21-22八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，平分交的延長線于點．求證：．

【答案】見解析【分析】延長，交于點，證，，得出，，及，則．【詳解】解：延長，交于點，

∵，，，∵，，在和中，，，，平分，，，在和中，，，，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的性質及判定是解題的關鍵．【考點題型五】截長補短構造全等16．（22-23八年級上·重慶江北·期末）如圖，在中，，和的平分線、相交于點，交于點，交于點，若已知周長為，，，則長為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】在上截取，連接，由可證得，于是可得，由可證得，于是可得，進而可求得的長．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，平分，平分，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，周長為，，，，，，，解得：，故選：．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的內角和定理，利用鄰補角互補求角度，全等三角形的判定與性質，等式的性質，解一元一次方程等知識點，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．17．（22-23八年級上·安徽蚌埠·期末）如圖，在中，，和分別平分和，和相交于P．（1）的度數為；（2）若，則線段的長為．【答案】/度8【分析】本題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定與性質．在上截取，得出是解題的關鍵．（1）利用，角平分線的定義即可解答；（2）先利用“邊角邊”證明，進而得出，再通過角之間的等量變換，利用“角邊角”證明，進而得出線段之間的關系即可解答．【詳解】（1），，和分別平分和，，．故答案為：．（2）解：如圖，在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，在和中，，，，．故答案為：8．18．（23-24八年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點O，求證：．

【答案】證明見解析【分析】根據三角形內角和定理和角平分線的定義，得到，，在上截取，連接，分別證明，，得到，即可證明結論．【詳解】證明：，，、分別平分、，，，，，，如圖，在上截取，連接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，做輔助線構造全等三角形是解題關鍵．19．（21-22八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，四邊形中，，，于點．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，延長交的延長線于點，點在上，連接，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點在的延長線上，連接，交于點，連接，且，當，時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2【分析】（1）過點B作于點Q，根據AAS證明△得，再證明四邊形是矩形得BQ=CG，從而得出結論；(2)在GF上截取GH=GE，連接AH，證明AH=FH，GE=GH即可；(3)過點A作于點P，在FC上截取，連接，證明得，可證明AC是EH的垂直平分線，再證明和△得可求出，從而可得結論．【詳解】解：（1）證明：過點B作于點Q，如圖1∵又，∴△∴四邊形是矩形；（2）在GF上截取GH=GE，連接AH，如圖2，又（3）過點A作于點P，在FC上截取，連接，如圖3，由（1）、（2）知，，∵∴∵∴∴∴∠∵∴∠∴∵∴∠∴∴AC是EH的垂直平分線，∴∴又∵∴∴∠∴∠∵∠，∴∠∴∵∴∴∵∠∴，即∴∵，即∴在和中，∴△∴∴∴∴【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．【考點題型六】作垂線構造全等20．（22-23八年級上·浙江臺州·期末）如圖，射線為的平分線，點M，N分別是邊，上的兩個定點，且，點P在上，滿足的點P的個數有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數個【答案】B【分析】過點P作，，根據角平分線的性質及全等三角形的判定即可得出結果．【詳解】解：過點P作，，如圖所示：∵射線為的平分線，∴，當DM=EN時，此時∴滿足條件的點P只有1個，故選：B．【點睛】題目主要考查角平分線的性質及全等三角形的判定，熟練掌握角平分線的性質是解題關鍵．21．（22-23八年級上·北京海淀·期末）如圖，點D在的平分線上，P為上的一點，，點Q是射線上的一點，并且滿足，則的度數為．

【答案】或【分析】本題考查了角平分線的性質定理，全等三角形的判定與性質，分類討論；過點D作于H，于N，則由角平分線的性質定理得；分兩種情況考慮：點Q在點H的右側時，證明，則有；點在點H左側時，同理可求，進而求得結果，最后綜合兩種情況即可．【詳解】解；如圖，過點D作于H，于N，

∵平分，∴，當點Q在點H的右側時，在和中，，∴，∴，當點在點H左側時，同理可求，∴，綜上所述：的度數為或，故答案為：或．22．（21-22八年級上·山東日照·期末）如圖，在四邊形中，，點E是的中點，平分．求證：是的平分線．

【答案】見解析【分析】過點E作于點H，反向延長交的延長線于點G，過點E作于點F，證明，可得，根據角平分線的性質定理可得，從而得到，再由角平分線的性質的逆定理，即可求解．【詳解】證明：過點E作于點H，反向延長交的延長線于點G，過點E作于點F，

∵，∴，，∵點E是的中點，∴，在與中，，∴，∴，∵平分，，∴，∴，又，∴是的平分線．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握角平分線的性質定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【考點題型七】倍長中線構造全等23．（23-24八年級上·山東臨沂·期中）如圖