人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題05 概率初步（9個(gè)考點(diǎn)清單+6種題型解讀）

專題05概率初步（考點(diǎn)清單，9個(gè)考點(diǎn)清單+6種題型解讀）【清單01】隨機(jī)事件（1）確定事件事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．（2）隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）＝0；③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．【清單02】可能性的大小隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法：（1）理論計(jì)算又分為如下兩種情況：第一種：只涉及一步實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對(duì)一類概率模型進(jìn)行的計(jì)算；第二種：通過(guò)列表法、列舉法、樹(shù)狀圖來(lái)計(jì)算涉及兩步或兩步以上實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對(duì)游戲是否公平的計(jì)算．（2）實(shí)驗(yàn)估算又分為如下兩種情況：第一種：利用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．要知道當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)非常大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計(jì)值，即大量實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．第二種：利用模擬實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．如，利用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬實(shí)驗(yàn)．【清單03】概率的意義（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．（3）概率取值范圍：0≤p≤1．（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）＝1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）＝0．（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通過(guò)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實(shí)際生活聯(lián)系密切，通過(guò)理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語(yǔ)言說(shuō)明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計(jì)游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，可以解決一些實(shí)際問(wèn)題．【清單04】概率公式（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．【清單05】幾何概率所謂幾何概型的概率問(wèn)題，是指具有下列特征的一些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問(wèn)題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G，又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)M，假設(shè)點(diǎn)M必落在G中，且點(diǎn)M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無(wú)關(guān)．具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)（擲點(diǎn)），稱為幾何概型．關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一個(gè)點(diǎn)M，點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即P＝g的測(cè)度G的測(cè)度簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)：求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長(zhǎng)度比，面積比，體積比等．【清單06】列表法與樹(shù)狀圖法（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．（3）列舉法（樹(shù)形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖．（4）樹(shù)形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹(shù)的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．（5）當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹(shù)形圖列舉，也可以列表列舉．【清單07】游戲公平性（1）判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．（2）概率＝．【清單08】利用頻率估計(jì)概率（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．（2）用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率．【清單09】模擬試驗(yàn)（1）在一些有關(guān)抽取實(shí)物實(shí)驗(yàn)中通常用摸取卡片代替了實(shí)際的物品或人抽取，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為模擬試驗(yàn)．（2）模擬試驗(yàn)是用卡片、小球編號(hào)等形式代替實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，或用計(jì)算機(jī)編號(hào)等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，目的在于省時(shí)、省力，但能達(dá)到同樣的效果．（3）模擬試驗(yàn)只能用更簡(jiǎn)便方法完成，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，但不能改變?shí)驗(yàn)?zāi)康模@部分內(nèi)容根據(jù)《新課標(biāo)》要求，只要設(shè)計(jì)出一個(gè)模擬試驗(yàn)即可．【考點(diǎn)題型一】列舉法計(jì)算概率【例1】（2023秋?歷城區(qū)期末）學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，運(yùn)動(dòng)員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)項(xiàng)目參加比賽，則兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目的概率是A． B． C． D．【變式1-1】（2023秋?商河縣期末）某校舉行以《大國(guó)重器》為主題的演講比賽，其中一個(gè)環(huán)節(jié)是即興演講，該環(huán)節(jié)共有三個(gè)題目，由電腦隨機(jī)給每位參賽選手派發(fā)一個(gè)題目，選手根據(jù)題目對(duì)應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行90秒演講，小亮和小敏都參加了即興演講，則電腦給他們派發(fā)的是同一個(gè)題目的概率是A． B． C． D．【變式1-2】（2023秋?登封市校級(jí)期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個(gè)，它們除顏色外其余都相同．某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)50010001500200025003000摸到白球的頻率0.7480.7510.7540.7470.7500.749（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近．（精確到（2）試估算口袋中白球有個(gè)．（3）現(xiàn)有另一個(gè)不透明的口袋中裝有一紅一白兩個(gè)球，它們除顏色外其余都相同．一學(xué)生從兩個(gè)口袋中各摸出一個(gè)球，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法計(jì)算這兩個(gè)球顏色相同的概率．【變式1-3】（2023秋?安州區(qū)期末）一個(gè)不透明的箱子里裝有1個(gè)白色小球和若干個(gè)紅色小球，每個(gè)小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子里，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.25左右．（1）請(qǐng)你估計(jì)箱子里紅色小球的個(gè)數(shù)；（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法）．【變式1-4】（2023秋?萊西市期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個(gè)，它們除顏色外其余都相同．某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，如表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)1050150750150030005000摸到白球的頻率0.50.80.820.7470.7490.7500.750（1）試估算口袋中白球有個(gè)．（2）現(xiàn)有另一個(gè)不透明的口袋中裝有一紅一白兩個(gè)球，它們除顏色外其余都相同．一學(xué)生從兩個(gè)口袋中各摸出一個(gè)球，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法計(jì)算這兩個(gè)球顏色相同的概率．【變式1-5】（2023秋?順德區(qū)期末）一個(gè)盒子中有紅球、白球共3個(gè)，這些球除顏色外都相同．（1）隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回盒子中，不斷重復(fù)這一過(guò)程．在120次摸球中有80次摸到白球，估計(jì)盒子中白球的數(shù)量；（2）在（1）的結(jié)論下同時(shí)摸出兩個(gè)球，求摸到的球顏色相同的概率．【考點(diǎn)題型二】抽象概率模型解決實(shí)際問(wèn)題【例2】（2023秋?南山區(qū)期末）近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為A．8 B．12 C．0.4 D．0.6【變式2-1】（2023秋?沙河口區(qū)期末）在學(xué)習(xí)了“用頻率估計(jì)概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計(jì)算器進(jìn)行模擬試驗(yàn)來(lái)探究“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日的概率”，他們將試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)100300500100016002000“有2個(gè)人同月過(guò)生日”的次數(shù)8022939277912511562“有2個(gè)人同月過(guò)生日”的頻率0.80.7630.7840.7790.7820.781通過(guò)試驗(yàn)，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日”的概率（精確到大約是A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76【變式2-2】（2023秋?新昌縣期末）工廠質(zhì)檢員對(duì)甲員工近期生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計(jì)合格的件數(shù)，得到如下表格：抽取件數(shù)（件501002003005001000合格頻數(shù)4994192285950合格頻率0.980.940.960.950.95（1）表格中的值為，的值為．（2）估計(jì)任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率．（3）該工廠規(guī)定，若每被抽檢出一件不合格產(chǎn)品，需在相應(yīng)員工獎(jiǎng)金中扣除給工廠2元的材料損失費(fèi)，今天甲員工被抽檢了460件產(chǎn)品，估計(jì)要在他獎(jiǎng)金中扣除多少材料損失費(fèi)？【變式2-3】（2023秋?湖州期末）某玩具公司承接了第19廟杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物公仔的生產(chǎn)任務(wù)，現(xiàn)對(duì)一批公仔進(jìn)行抽檢，其結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答問(wèn)題：抽取的公仔數(shù)10100100020003000優(yōu)等品的頻數(shù)99696219202880優(yōu)等品的頻率0.90.960.96（1）；．（2）估計(jì)從這批公仔中任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率是．（精確到（3）若該公司這一批次生產(chǎn)了10000只公仔，估計(jì)這批公仔中優(yōu)等品大約有多少只？【變式2-4】．（2023秋?豐滿區(qū)期末）某校生物興趣小組在相同的試驗(yàn)條件下，對(duì)某植物種子發(fā)芽率進(jìn)行試驗(yàn)研究時(shí)，收集的以下試驗(yàn)結(jié)果：試驗(yàn)的種子數(shù)50010001500200030004000發(fā)芽的種子粒數(shù)4719461425189828533812發(fā)芽頻率0.9420.9460.9490.953（1）求表中，的值；（2）任取一粒這種植物的種子，請(qǐng)你估計(jì)它能發(fā)芽的概率（精確到；（3）若該學(xué)校勞動(dòng)基地需要這種植物幼苗7600株，試估算該小組需要準(zhǔn)備多少粒種子進(jìn)行發(fā)芽培育．【考點(diǎn)題型三】建立方程模型求解概率問(wèn)題【例3】（2023秋?長(zhǎng)安區(qū)期末）在一個(gè)不透明的口袋中有20個(gè)球，這些球除顏色外均相同，其中白球個(gè)，綠球個(gè)，其余為黑球．?dāng)噭蚝?，甲從袋中任意摸出一個(gè)球，若為綠球則甲獲勝，甲摸出的球放回袋中攪勻，乙從袋中任意摸出一個(gè)球，若為黑球則乙獲勝，若游戲?qū)住⒁译p方都公平，則的值應(yīng)為．【變式3-1】（2022秋?沈河區(qū)期末）一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球，為了估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)，在袋中放入3個(gè)除了顏色外其余均相同的白球，隨機(jī)的從袋子中摸出一個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，通過(guò)大量重復(fù)這樣的試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個(gè)數(shù)為（）A．11 B．14 C．17 D．20【變式3-2】（2022秋?邯鄲期末）在一個(gè)不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是試驗(yàn)進(jìn)行中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)n101002005001000摸到黑球的次數(shù)m32651126251摸到黑球的頻率0.30.260.2550.2520.251（1）當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近（精確到0.01），該袋子中的黑球有個(gè)；（2）該學(xué)習(xí)小組成員從該袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出隨機(jī)摸出的2個(gè)球的顏色不同的概率．【變式3-3】（2023秋?崇義縣期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共30只，這些球除顏色外其余完全相同．?dāng)噭蚝螅∶髯雒蛟囼?yàn)，他從盒子里隨機(jī)摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是實(shí)驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)10020030050080010003000摸到白球的次數(shù)521381783024815991803摸到白球的頻率0.520.690.5930.6040.600.5990.601（1）若從盒子里隨機(jī)摸出一只球，則摸到白球的概率的估計(jì)值為（精確到；（2）盒子里白色的球有只；（3）若將個(gè)完全一樣的白球放入這個(gè)盒子里并搖勻，隨機(jī)摸出1個(gè)球是白球的概率是0.8，求的值．【變式3-4】（2023秋?上饒期末）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果如下表所示；（1）這批乒乓球“優(yōu)等品”的概率的估計(jì)值是多少？（2）從這批乒乓球中選擇5個(gè)黃球、13個(gè)黑球、22個(gè)紅球，它們除顏色外都相同，將它們放入一個(gè)不透明的袋中．①求從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率；②現(xiàn)從袋中取出若干個(gè)黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個(gè)是黃球的概率不小于，問(wèn)至少取出了多少個(gè)黑球？抽取的乒乓球數(shù)200500100015002000優(yōu)等品頻數(shù)18847194614261898優(yōu)等品頻率0.9400.9420.9460.9510.949【考點(diǎn)題型四】利用概率判斷游戲的公平性【例4】（2023秋?雨花區(qū)期末）甲、乙兩位同學(xué)玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，游戲規(guī)則：將圓盤(pán)平均分成三份，分別涂上紅，黃，綠三種顏色，兩位同學(xué)分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次（若壓線，重新轉(zhuǎn)）．若兩次指針指到的顏色相同，則甲獲勝；若兩次指針指到的顏色是黃綠組合則乙獲勝；其余情況則視為平局．（1）請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）試用概率說(shuō)明游戲是否公平．【變式4-1】（2023秋?惠城區(qū)校級(jí)期末）如圖，三個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成面積相等的幾個(gè)扇形，并涂上圖中所示的顏色．小強(qiáng)和小亮用轉(zhuǎn)盤(pán)和轉(zhuǎn)盤(pán)做一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)游戲：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，若其中一個(gè)轉(zhuǎn)出紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色，則小強(qiáng)獲勝；若兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的顏色相同，則小亮獲勝；在其他情況下，小強(qiáng)和小亮不分勝負(fù)（1）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法表示此游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）小強(qiáng)認(rèn)為此游戲不公平，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你在轉(zhuǎn)盤(pán)的空白處，涂上適當(dāng)顏色，使得用轉(zhuǎn)盤(pán)替換轉(zhuǎn)盤(pán)后，游戲?qū)π?qiáng)和小亮是公平的（在空白處填寫(xiě)表示顏色的文字即可，不要求說(shuō)明理由，只需給出一種結(jié)果即可）．【變式4-2】（2023秋?越城區(qū)期末）在學(xué)習(xí)概率的課堂上，老師提出問(wèn)題：只有一張電影票，小麗和小芳想通過(guò)抽取撲克牌的游戲來(lái)決定誰(shuí)去看電影，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)小麗和小芳都公平的方案．甲同學(xué)的方案：將紅桃2、3、4、5四張牌背面向上，小麗先抽一張，小芳從剩下的三張牌中抽一張，若兩張牌上的數(shù)字之和是奇數(shù)，則小麗看電影，否則小芳看電影．（1）甲同學(xué)的方案公平嗎？請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明；（2）乙同學(xué)將甲的方案修改為只用紅桃2、3、5、7四張牌，抽取方式及規(guī)則不變，乙的方案公平嗎？并說(shuō)明理由．【變式4-3】（2023秋?萬(wàn)年縣期末）萬(wàn)年縣舉行校園安全知識(shí)競(jìng)賽，要求每個(gè)學(xué)校只派一名學(xué)生參賽．某學(xué)校舉行了校內(nèi)選拔賽，其中袁夢(mèng)和孟想兩位同學(xué)獲得最高分（分?jǐn)?shù)相同），袁夢(mèng)和孟想想通過(guò)游戲來(lái)決定誰(shuí)參加縣里比賽．游戲規(guī)則：在一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4，另有一個(gè)可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤(pán)，被分成面積相等的三個(gè)扇形區(qū)域，分別標(biāo)有數(shù)字5、6、7（如圖）：一人從口袋中摸出一個(gè)球，另一個(gè)人轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)，如果所摸球上的數(shù)字與圓盤(pán)上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于8，那么袁夢(mèng)去；否則孟想去．（1）用樹(shù)狀圖或列表法求出袁夢(mèng)參加比賽的概率．（2）你認(rèn)為該游戲公平嗎？若不公平，請(qǐng)修改游戲規(guī)則，使游戲公平．【變式4-4】（2023秋?翠屏區(qū)期末）將正面分別寫(xiě)著數(shù)字0、1、2的三張卡片（注：這三張卡片的形狀、大小、質(zhì)地、顏色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，這三張卡片看上去無(wú)任何差別）洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲從中隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為，然后放回洗勻，背面朝上放在桌面上，再由乙從中隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為，組成一數(shù)對(duì)．（1）請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：按上述要求，兩人各抽一次卡片，卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)則甲贏，數(shù)字之和為偶數(shù)則乙贏．你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式4-5】（2023秋?大同期末）如圖所示的甲、乙兩張圖片形狀完全相同，把這兩張圖片全部從中間剪斷，再把4張形狀相同的小圖片混合在一起攪勻．小康和小英做游戲，小康先從這4張圖片中隨機(jī)地摸取一張（不放回），小英接著再隨機(jī)地摸取一張．（1）小康抽到甲圖片上半部分圖片的概率是；（2）請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法列出所有可能出現(xiàn)的情況；（3）游戲規(guī)定：所抽取的兩張圖片中，能拼成一張完整的圖片，那么小康獲勝；否則小英獲勝，你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)題型五】概率與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用【例5】（2023秋?江夏區(qū)校級(jí)期末）如圖，陰影部分是分別以正方形的頂點(diǎn)和中心為圓心，以正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．在正方形上做隨機(jī)投針試驗(yàn)，針頭落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率是．【變式5-1】（2023秋?武侯區(qū)校級(jí)期末）4張相同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字0、1、、3，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)；再?gòu)挠嘞碌?張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)．（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是非負(fù)數(shù)的概率為；（2）小敏設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）【變式5-2】（2023秋?縉云縣期末）將形狀、大小完全相同，分別標(biāo)有數(shù)字，0，1，2的四張卡片反面朝上，擺放在桌面上．先隨機(jī)不放回地抽取一張，記下數(shù)字為；然后在剩下的三張卡片中隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字為．（1）計(jì)算的結(jié)果為0的概率；（2）甲、乙兩同學(xué)做一個(gè)游戲，其規(guī)則是：若，滿足，則甲勝；若，滿足，則乙勝．這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不公平，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲規(guī)則．【變式5-3】（2023秋?蓬萊區(qū)期末）如圖，有四張背面完全相同的卡片，，，，其中正面分別寫(xiě)著四個(gè)不同的函數(shù)表達(dá)式，將四張卡片洗勻正面朝下隨機(jī)放在桌面上．（1）從四張卡片中隨機(jī)摸出一張，摸出的卡片上的函數(shù)隨的增大而減小的概率是；（2）小亮和小強(qiáng)用這四張卡片做游戲，規(guī)則如下：兩人同時(shí)從四張卡片中各隨機(jī)抽出一張，若抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性相同，則小亮勝；若抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性不同，則小強(qiáng)勝．這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-4】（2023秋?安次區(qū)期末）若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．（1）請(qǐng)畫(huà)出樹(shù)狀圖并寫(xiě)出所有可能得到的三位數(shù)；（2）甲、乙二人玩一個(gè)游戲，游戲規(guī)則是：若組成的三位數(shù)是“傘數(shù)”，則甲勝；否則乙勝．你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？試說(shuō)明理由．【變式5-5】（2023?內(nèi)江）某校為落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富課后服務(wù)內(nèi)容，為學(xué)生開(kāi)設(shè)五類社團(tuán)活動(dòng)（要求每人必須參加且只參加一類活動(dòng)）：A．音樂(lè)社團(tuán)；B．體育社團(tuán)；C．美術(shù)社團(tuán)；D．文學(xué)社團(tuán)；E．電腦編程社團(tuán)．該校為了解學(xué)生對(duì)這五類社團(tuán)活動(dòng)的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：（1）此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角α＝度；（3）現(xiàn)從“文學(xué)社團(tuán)”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名參加演講比賽，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率．【考點(diǎn)題型六】概率中跨學(xué)科試題【例6】（2023秋?棗莊期末）2024年央視春晚的主題為“龍行龘龘，欣欣家國(guó)”．“龍行龘龘”寓意中華兒女奮發(fā)有為、昂揚(yáng)向上的精神風(fēng)貌．將分別印有“龍”“行”“龘”“龘”四張質(zhì)地均勻、大小相同的卡片放入盒中，從中隨機(jī)抽取一張不放回，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，則抽取的兩張卡片上恰有一張印有漢字“龘”的概率為A． B． C． D．【變式6-1】（2023秋?衛(wèi)輝市期末）如圖，電路圖上有4個(gè)開(kāi)關(guān)，，，和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開(kāi)關(guān)，或同時(shí)閉合開(kāi)關(guān)，都可以使小燈泡發(fā)光．同時(shí)閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)小燈泡發(fā)光的概率是A． B． C． D．【變式6-2】（2023秋?泗縣期末）在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)，，中的兩個(gè)，能讓紅燈發(fā)光的概率是A． B． C． D．【變式6-3】（2023秋?渝中區(qū)期末）如圖，4張卡片正面分別呈現(xiàn)了幾種常見(jiàn)的生活現(xiàn)象，它們的背面完全相同．現(xiàn)將所有卡片背面朝上洗勻后從中隨機(jī)抽取兩張，這兩張卡片正面圖案呈現(xiàn)的現(xiàn)象恰好都屬于化學(xué)變化的概率是A． B． C． D．【變式6-4】（2023秋?駐馬店期末）韓梅將水滸人物宋江和李逵的畫(huà)像及其綽號(hào)制成4張無(wú)差別卡片（除圖案和文字不同外，其他完全相同），將卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則抽取的卡片人物畫(huà)像與綽號(hào)完全對(duì)應(yīng)的概率是A． B． C． D．【變式6-5】（2023?盤(pán)錦）某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表（如圖所示）．學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)表平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)x/min人數(shù)0＜x≤202020＜x≤40a40＜x≤602560＜x≤8015x＞8010根據(jù)以上提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查共抽取了名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)表中a＝．（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60＜x≤80”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)．（3）若全校共有1400名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“x＞80”的學(xué)生人數(shù)．（4）該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書(shū)中選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書(shū)分別用相同的卡片A，B，C，D標(biāo)記，先隨機(jī)抽取一張卡片后不放回，再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．

專題05概率初步（考點(diǎn)清單，9個(gè)考點(diǎn)清單+6種題型解讀）【清單01】隨機(jī)事件（1）確定事件事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．（2）隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）＝0；③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．【清單02】可能性的大小隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法：（1）理論計(jì)算又分為如下兩種情況：第一種：只涉及一步實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對(duì)一類概率模型進(jìn)行的計(jì)算；第二種：通過(guò)列表法、列舉法、樹(shù)狀圖來(lái)計(jì)算涉及兩步或兩步以上實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對(duì)游戲是否公平的計(jì)算．（2）實(shí)驗(yàn)估算又分為如下兩種情況：第一種：利用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．要知道當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)非常大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計(jì)值，即大量實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．第二種：利用模擬實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．如，利用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬實(shí)驗(yàn)．【清單03】概率的意義（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．（3）概率取值范圍：0≤p≤1．（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）＝1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）＝0．（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通過(guò)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實(shí)際生活聯(lián)系密切，通過(guò)理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語(yǔ)言說(shuō)明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計(jì)游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，可以解決一些實(shí)際問(wèn)題．【清單04】概率公式（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．【清單05】幾何概率所謂幾何概型的概率問(wèn)題，是指具有下列特征的一些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問(wèn)題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G，又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)M，假設(shè)點(diǎn)M必落在G中，且點(diǎn)M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無(wú)關(guān)．具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)（擲點(diǎn)），稱為幾何概型．關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一個(gè)點(diǎn)M，點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即P＝g的測(cè)度G的測(cè)度簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)：求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長(zhǎng)度比，面積比，體積比等．【清單06】列表法與樹(shù)狀圖法（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．（3）列舉法（樹(shù)形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖．（4）樹(shù)形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹(shù)的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．（5）當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹(shù)形圖列舉，也可以列表列舉．【清單07】游戲公平性（1）判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．（2）概率＝．【清單08】利用頻率估計(jì)概率（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．（2）用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率．【清單09】模擬試驗(yàn)（1）在一些有關(guān)抽取實(shí)物實(shí)驗(yàn)中通常用摸取卡片代替了實(shí)際的物品或人抽取，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為模擬試驗(yàn)．（2）模擬試驗(yàn)是用卡片、小球編號(hào)等形式代替實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，或用計(jì)算機(jī)編號(hào)等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，目的在于省時(shí)、省力，但能達(dá)到同樣的效果．（3）模擬試驗(yàn)只能用更簡(jiǎn)便方法完成，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，但不能改變?shí)驗(yàn)?zāi)康?，這部分內(nèi)容根據(jù)《新課標(biāo)》要求，只要設(shè)計(jì)出一個(gè)模擬試驗(yàn)即可．【考點(diǎn)題型一】列舉法計(jì)算概率【例1】（2023秋?歷城區(qū)期末）學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，運(yùn)動(dòng)員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)項(xiàng)目參加比賽，則兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目的概率是A． B． C． D．【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有4種等可能的結(jié)果，找出兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有4種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)為1種，所以兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目的概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖展示所有可能的結(jié)果求出，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求出事件或的概率．【變式1-1】（2023秋?商河縣期末）某校舉行以《大國(guó)重器》為主題的演講比賽，其中一個(gè)環(huán)節(jié)是即興演講，該環(huán)節(jié)共有三個(gè)題目，由電腦隨機(jī)給每位參賽選手派發(fā)一個(gè)題目，選手根據(jù)題目對(duì)應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行90秒演講，小亮和小敏都參加了即興演講，則電腦給他們派發(fā)的是同一個(gè)題目的概率是A． B． C． D．【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中電腦給小亮和小敏派發(fā)的是同一個(gè)題目的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把三個(gè)題目分別記為、、，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中電腦給小亮和小敏派發(fā)的是同一個(gè)題目的結(jié)果有3種，電腦給他們派發(fā)的是同一個(gè)題目的概率是，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式1-2】（2023秋?登封市校級(jí)期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個(gè)，它們除顏色外其余都相同．某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)50010001500200025003000摸到白球的頻率0.7480.7510.7540.7470.7500.749（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近．（精確到（2）試估算口袋中白球有個(gè)．（3）現(xiàn)有另一個(gè)不透明的口袋中裝有一紅一白兩個(gè)球，它們除顏色外其余都相同．一學(xué)生從兩個(gè)口袋中各摸出一個(gè)球，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法計(jì)算這兩個(gè)球顏色相同的概率．【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，當(dāng)很大時(shí)，摸到白球的頻率接近0.75．（2）根據(jù)利用頻率估計(jì)概率，可估計(jì)摸到白球的概率為0.75，然后利用概率公式計(jì)算白球的個(gè)數(shù)．（3）先利用畫(huà)樹(shù)狀圖法展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩個(gè)球顏色相同所占結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.75；故答案為：0.75（2）由（1）得摸到白球的概率率為0.75，所以可估計(jì)口袋中白球有（個(gè)；故答案為：3（3）將第一個(gè)口袋中3個(gè)白球分別記為白，白，白，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有8種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)球顏色相同的情況有4種．兩個(gè)球顏色相同的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了如何利用頻率估計(jì)概率，列表法或樹(shù)狀圖法求概率，在解題時(shí)要注意頻率和概率之間的關(guān)系．【變式1-3】（2023秋?安州區(qū)期末）一個(gè)不透明的箱子里裝有1個(gè)白色小球和若干個(gè)紅色小球，每個(gè)小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子里，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.25左右．（1）請(qǐng)你估計(jì)箱子里紅色小球的個(gè)數(shù)；（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法）．【分析】（1）根據(jù)摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.25左右，得到摸到白色小球的概率是0.25，設(shè)紅色小球的個(gè)數(shù)為，根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖，求出概率即可．【解答】解：（1）摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.25左右，摸到白色小球的概率是0.25，設(shè)紅色小球的個(gè)數(shù)為，由題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；箱子里紅色小球的個(gè)數(shù)為3；（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖，如下：共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的球恰好顏色不同的結(jié)果數(shù)為6，兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用頻率估計(jì)概率，利用概率求小球的數(shù)量，以及畫(huà)樹(shù)狀圖求概率．熟練掌握概率是頻率的穩(wěn)定值，求出小球的數(shù)量，是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023秋?萊西市期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個(gè)，它們除顏色外其余都相同．某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，如表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)1050150750150030005000摸到白球的頻率0.50.80.820.7470.7490.7500.750（1）試估算口袋中白球有個(gè)．（2）現(xiàn)有另一個(gè)不透明的口袋中裝有一紅一白兩個(gè)球，它們除顏色外其余都相同．一學(xué)生從兩個(gè)口袋中各摸出一個(gè)球，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法計(jì)算這兩個(gè)球顏色相同的概率．【分析】（1）根據(jù)利用頻率估計(jì)概率，可估計(jì)摸到白球的概率為0.75，然后利用概率公式計(jì)算白球的個(gè)數(shù)．（2）先利用畫(huà)樹(shù)狀圖法展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩個(gè)球顏色相同所占結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.75，所以摸到白球的概率為0.75，所以可估計(jì)口袋中白球有（個(gè)；故答案為：3；（2）將第一個(gè)口袋中3個(gè)白球分別記為白，白，白，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有8種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)球顏色相同的情況有4種．兩個(gè)球顏色相同的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，列表法或樹(shù)狀圖法求概率，在解題時(shí)要注意頻率和概率之間的關(guān)系．【變式1-5】（2023秋?順德區(qū)期末）一個(gè)盒子中有紅球、白球共3個(gè)，這些球除顏色外都相同．（1）隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回盒子中，不斷重復(fù)這一過(guò)程．在120次摸球中有80次摸到白球，估計(jì)盒子中白球的數(shù)量；（2）在（1）的結(jié)論下同時(shí)摸出兩個(gè)球，求摸到的球顏色相同的概率．【分析】（1）設(shè)盒子中大約有白球個(gè)，根據(jù)“白球數(shù)量黑白球總數(shù)白球所占比例”來(lái)列等量關(guān)系式，其中“黑白球總數(shù)黑球個(gè)數(shù)白球個(gè)數(shù)“，“白球所占比例隨機(jī)摸到的白球次數(shù)總共摸球的次數(shù)”；（2）列表或樹(shù)狀圖后利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，故白球有2個(gè)；（2）根據(jù)題意列樹(shù)狀圖得：共6種等可能的結(jié)果，顏色相同的有2種，顏色相同的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率和利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)．注意列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【考點(diǎn)題型二】抽象概率模型解決實(shí)際問(wèn)題【例2】（2023秋?南山區(qū)期末）近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為A．8 B．12 C．0.4 D．0.6【分析】用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．【解答】解：經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的面積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式．【變式2-1】（2023秋?沙河口區(qū)期末）在學(xué)習(xí)了“用頻率估計(jì)概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計(jì)算器進(jìn)行模擬試驗(yàn)來(lái)探究“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日的概率”，他們將試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)100300500100016002000“有2個(gè)人同月過(guò)生日”的次數(shù)8022939277912511562“有2個(gè)人同月過(guò)生日”的頻率0.80.7630.7840.7790.7820.781通過(guò)試驗(yàn)，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日”的概率（精確到大約是A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日”的頻率都在0.78左右，從而得出該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日”的概率．【解答】解：通過(guò)圖表給出的數(shù)據(jù)得出，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日”的概率大約是0.78．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【變式2-2】（2023秋?新昌縣期末）工廠質(zhì)檢員對(duì)甲員工近期生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計(jì)合格的件數(shù)，得到如下表格：抽取件數(shù)（件501002003005001000合格頻數(shù)4994192285950合格頻率0.980.940.960.950.95（1）表格中的值為，的值為．（2）估計(jì)任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率．（3）該工廠規(guī)定，若每被抽檢出一件不合格產(chǎn)品，需在相應(yīng)員工獎(jiǎng)金中扣除給工廠2元的材料損失費(fèi)，今天甲員工被抽檢了460件產(chǎn)品，估計(jì)要在他獎(jiǎng)金中扣除多少材料損失費(fèi)？【分析】（1）根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)求解即可；（2）用1減去合格品頻率的穩(wěn)定值即可；（3）總數(shù)量乘以不合格品的概率，再乘以每件的損失費(fèi)即可．【解答】解：（1），，故答案為：475、0.95；（2）．答：任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率為0.05；（3）（元．答：估計(jì)要在他獎(jiǎng)金中扣除46元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【變式2-3】（2023秋?湖州期末）某玩具公司承接了第19廟杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物公仔的生產(chǎn)任務(wù)，現(xiàn)對(duì)一批公仔進(jìn)行抽檢，其結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答問(wèn)題：抽取的公仔數(shù)10100100020003000優(yōu)等品的頻數(shù)99696219202880優(yōu)等品的頻率0.90.960.96（1）；．（2）估計(jì)從這批公仔中任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率是．（精確到（3）若該公司這一批次生產(chǎn)了10000只公仔，估計(jì)這批公仔中優(yōu)等品大約有多少只？【分析】（1）用頻數(shù)除以總數(shù)即可；（2）由表中數(shù)據(jù)可判斷頻率在0.96左右擺動(dòng)，利用頻率估計(jì)概率可判斷任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率為0.96．（3）用總數(shù)量乘以優(yōu)等品的概率即可．【解答】解：（1），，故答案為：0.962，0.96；（2）從這批公仔中，任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是0.96．（3）這批公仔中優(yōu)等品大約有（只，答：估計(jì)這批公仔中優(yōu)等品大約有9600只．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻數(shù)與頻率，利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．【變式2-4】．（2023秋?豐滿區(qū)期末）某校生物興趣小組在相同的試驗(yàn)條件下，對(duì)某植物種子發(fā)芽率進(jìn)行試驗(yàn)研究時(shí)，收集的以下試驗(yàn)結(jié)果：試驗(yàn)的種子數(shù)50010001500200030004000發(fā)芽的種子粒數(shù)4719461425189828533812發(fā)芽頻率0.9420.9460.9490.953（1）求表中，的值；（2）任取一粒這種植物的種子，請(qǐng)你估計(jì)它能發(fā)芽的概率（精確到；（3）若該學(xué)校勞動(dòng)基地需要這種植物幼苗7600株，試估算該小組需要準(zhǔn)備多少粒種子進(jìn)行發(fā)芽培育．【分析】（1）用發(fā)芽種子數(shù)除以試驗(yàn)的種子數(shù)即可得出、的值；（2）根據(jù)頻率估計(jì)概率求解即可；（3）用需要這種植物幼苗數(shù)量除以種子能發(fā)芽的概率可得答案．【解答】解：（1），，故答案為：0.95，0.951；（2）任取一粒這種植物的種子，估計(jì)它能發(fā)芽的概率是0.95，故答案為：0.95；（3），答：估算至少需要準(zhǔn)備8000粒種子進(jìn)行發(fā)芽培育．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【考點(diǎn)題型三】建立方程模型求解概率問(wèn)題【例3】（2023秋?長(zhǎng)安區(qū)期末）在一個(gè)不透明的口袋中有20個(gè)球，這些球除顏色外均相同，其中白球個(gè)，綠球個(gè)，其余為黑球．?dāng)噭蚝?，甲從袋中任意摸出一個(gè)球，若為綠球則甲獲勝，甲摸出的球放回袋中攪勻，乙從袋中任意摸出一個(gè)球，若為黑球則乙獲勝，若游戲?qū)?、乙雙方都公平，則的值應(yīng)為．【分析】若游戲?qū)?、乙雙方都公平，則口袋中綠球和黑球的個(gè)數(shù)相等，則黑球的個(gè)數(shù)為個(gè)，列式求出即可．【解答】解：游戲?qū)?、乙雙方都公平，口袋中綠球和黑球的個(gè)數(shù)相等，黑球的個(gè)數(shù)為個(gè)，，解得．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式3-1】（2022秋?沈河區(qū)期末）一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球，為了估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)，在袋中放入3個(gè)除了顏色外其余均相同的白球，隨機(jī)的從袋子中摸出一個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，通過(guò)大量重復(fù)這樣的試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個(gè)數(shù)為（）A．11 B．14 C．17 D．20【分析】根據(jù)口袋中有3個(gè)白球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相等求出即可．【解答】解：設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：∴＝0.15，解得：x＝17，經(jīng)檢驗(yàn)x＝17是原方程的解，則紅球的個(gè)數(shù)為17個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用樣本估計(jì)總體，根據(jù)已知得出小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022秋?邯鄲期末）在一個(gè)不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是試驗(yàn)進(jìn)行中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)n101002005001000摸到黑球的次數(shù)m32651126251摸到黑球的頻率0.30.260.2550.2520.251（1）當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近（精確到0.01），該袋子中的黑球有個(gè)；（2）該學(xué)習(xí)小組成員從該袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出隨機(jī)摸出的2個(gè)球的顏色不同的概率．【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可，根據(jù)概率公式可求得黑球的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)畫(huà)樹(shù)狀圖，得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近0.25，估計(jì)摸到黑球的概率為0.25，設(shè)黑球有a個(gè)，則，解得：a＝1，故答案為：0.25，1；（2）樹(shù)狀圖如圖；共有12種等可能的情況，其中摸出的2個(gè)球的顏色不同的情況有6種，∴隨機(jī)摸出的2個(gè)球的顏色不同的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用頻率估計(jì)概率、用樹(shù)狀圖求概率，會(huì)用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023秋?崇義縣期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共30只，這些球除顏色外其余完全相同．?dāng)噭蚝?，小明做摸球試?yàn)，他從盒子里隨機(jī)摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是實(shí)驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)10020030050080010003000摸到白球的次數(shù)521381783024815991803摸到白球的頻率0.520.690.5930.6040.600.5990.601（1）若從盒子里隨機(jī)摸出一只球，則摸到白球的概率的估計(jì)值為（精確到；（2）盒子里白色的球有只；（3）若將個(gè)完全一樣的白球放入這個(gè)盒子里并搖勻，隨機(jī)摸出1個(gè)球是白球的概率是0.8，求的值．【分析】（1）由表中的最大值所對(duì)應(yīng)的頻率即為所求；（2）用總數(shù)乘以其頻率即可求得頻數(shù)；（3）利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）由表可知，若從盒子里隨機(jī)摸出一只球，則摸到白球的概率的估計(jì)值為0.6，故答案為：0.6；（2）摸到白球的概率為0.6，共有30只球，則白球的個(gè)數(shù)為（只，故答案為：18；（3）根據(jù)題意得：，解得：．答：的值為30．【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用頻率估計(jì)概率．大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：部分的具體數(shù)目總體數(shù)目相應(yīng)頻率．【變式3-4】（2023秋?上饒期末）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果如下表所示；（1）這批乒乓球“優(yōu)等品”的概率的估計(jì)值是多少？（2）從這批乒乓球中選擇5個(gè)黃球、13個(gè)黑球、22個(gè)紅球，它們除顏色外都相同，將它們放入一個(gè)不透明的袋中．①求從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率；②現(xiàn)從袋中取出若干個(gè)黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個(gè)是黃球的概率不小于，問(wèn)至少取出了多少個(gè)黑球？抽取的乒乓球數(shù)200500100015002000優(yōu)等品頻數(shù)18847194614261898優(yōu)等品頻率0.9400.9420.9460.9510.949【分析】（1）利用頻率估計(jì)概率求解即可；（2）①利用概率公式求解即可；②設(shè)從袋中取出個(gè)黑球，根據(jù)摸出一個(gè)是黃球的概率不小于列方程求解即可．【解答】解：（1）這批乒乓球“優(yōu)等品”的概率的估計(jì)值是0.95；（2）①?gòu)拇忻鲆粋€(gè)球是黃球的概率為；②設(shè)從袋中取出個(gè)黑球，根據(jù)題意得：，解得，答：至少取出了9個(gè)黑球．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【考點(diǎn)題型四】利用概率判斷游戲的公平性【例4】（2023秋?雨花區(qū)期末）甲、乙兩位同學(xué)玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，游戲規(guī)則：將圓盤(pán)平均分成三份，分別涂上紅，黃，綠三種顏色，兩位同學(xué)分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次（若壓線，重新轉(zhuǎn)）．若兩次指針指到的顏色相同，則甲獲勝；若兩次指針指到的顏色是黃綠組合則乙獲勝；其余情況則視為平局．（1）請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）試用概率說(shuō)明游戲是否公平．【分析】（1）畫(huà)出樹(shù)狀圖，進(jìn)一步一一列舉得出所有情況即可；（2）計(jì)算甲、乙獲勝的概率，進(jìn)一步比較得出答案即可．【解答】解：（1）如圖所示：（紅，紅），（紅，黃），（紅，綠），（黃，紅），（黃，黃），（黃，綠），（綠，紅），（綠，黃），（綠，綠）共9種情況；（2）（甲獲勝），（乙獲勝），（甲獲勝）（乙獲勝），所以游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．利用概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比解決問(wèn)題．【變式4-1】（2023秋?惠城區(qū)校級(jí)期末）如圖，三個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成面積相等的幾個(gè)扇形，并涂上圖中所示的顏色．小強(qiáng)和小亮用轉(zhuǎn)盤(pán)和轉(zhuǎn)盤(pán)做一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)游戲：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，若其中一個(gè)轉(zhuǎn)出紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色，則小強(qiáng)獲勝；若兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的顏色相同，則小亮獲勝；在其他情況下，小強(qiáng)和小亮不分勝負(fù)（1）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法表示此游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）小強(qiáng)認(rèn)為此游戲不公平，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你在轉(zhuǎn)盤(pán)的空白處，涂上適當(dāng)顏色，使得用轉(zhuǎn)盤(pán)替換轉(zhuǎn)盤(pán)后，游戲?qū)π?qiáng)和小亮是公平的（在空白處填寫(xiě)表示顏色的文字即可，不要求說(shuō)明理由，只需給出一種結(jié)果即可）．【分析】（1）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，即可得出答案；（2）由（1）中的樹(shù)狀圖知，共有15種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中可配成紫色的結(jié)果有3種，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的顏色相同的結(jié)果有4種，然后利用概率公式求解即可求得小強(qiáng)獲勝與小亮獲勝的概率，比較大小即可；（3）使得小強(qiáng)獲勝與小亮獲勝的概率相等即可．【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得：則共有15種等可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）小強(qiáng)認(rèn)為此游戲不公平，理由如下：由（1）得：共有15種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中可配成紫色的結(jié)果有3種，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的顏色相同的結(jié)果有4種，小強(qiáng)獲勝的概率為，小亮獲勝的概率為，，此游戲不公平；（3）如圖，（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲公平性、樹(shù)狀圖法求概率，判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式4-2】（2023秋?越城區(qū)期末）在學(xué)習(xí)概率的課堂上，老師提出問(wèn)題：只有一張電影票，小麗和小芳想通過(guò)抽取撲克牌的游戲來(lái)決定誰(shuí)去看電影，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)小麗和小芳都公平的方案．甲同學(xué)的方案：將紅桃2、3、4、5四張牌背面向上，小麗先抽一張，小芳從剩下的三張牌中抽一張，若兩張牌上的數(shù)字之和是奇數(shù)，則小麗看電影，否則小芳看電影．（1）甲同學(xué)的方案公平嗎？請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明；（2）乙同學(xué)將甲的方案修改為只用紅桃2、3、5、7四張牌，抽取方式及規(guī)則不變，乙的方案公平嗎？并說(shuō)明理由．【分析】（1）依據(jù)題意先用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率，比較即可．（2）依據(jù)題意先用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率，比較即可．【解答】解：（1）甲同學(xué)的方案不公平．理由如下：列表法，小麗小芳23452345所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，其中抽出的牌面上的數(shù)字之和為奇數(shù)的有8種，故小麗獲勝的概率為：，則小芳獲勝的概率為：，故此游戲兩人獲勝的概率不相同，即他們的游戲規(guī)則不公平；（2）公平．理由如下：列表如下：小麗小芳23572357所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，其中抽出的牌面上的數(shù)字之和為奇數(shù)的有：6種，故小麗獲勝的概率為：，則小芳獲勝的概率為，故此游戲兩人獲勝的概率相同，即他們的游戲規(guī)則公平．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了游戲公平性，列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合于兩步或兩步以上的完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式4-3】（2023秋?萬(wàn)年縣期末）萬(wàn)年縣舉行校園安全知識(shí)競(jìng)賽，要求每個(gè)學(xué)校只派一名學(xué)生參賽．某學(xué)校舉行了校內(nèi)選拔賽，其中袁夢(mèng)和孟想兩位同學(xué)獲得最高分（分?jǐn)?shù)相同），袁夢(mèng)和孟想想通過(guò)游戲來(lái)決定誰(shuí)參加縣里比賽．游戲規(guī)則：在一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4，另有一個(gè)可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤(pán)，被分成面積相等的三個(gè)扇形區(qū)域，分別標(biāo)有數(shù)字5、6、7（如圖）：一人從口袋中摸出一個(gè)球，另一個(gè)人轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)，如果所摸球上的數(shù)字與圓盤(pán)上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于8，那么袁夢(mèng)去；否則孟想去．（1）用樹(shù)狀圖或列表法求出袁夢(mèng)參加比賽的概率．（2）你認(rèn)為該游戲公平嗎？若不公平，請(qǐng)修改游戲規(guī)則，使游戲公平．【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖即可計(jì)算出概率；（2）根據(jù)概率比較概率是否相等，即可判斷游戲是否公平．【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，滿足條件的有3種情況，；（2）不公平，（和小于，（和大于或等于，故游戲不公平；可改為：若指針?biāo)笖?shù)字之和為偶數(shù)，則袁夢(mèng)獲勝；若指針?biāo)笖?shù)字之和為奇數(shù)，則孟想獲勝；（和為偶數(shù)）（和為奇數(shù)）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了游戲公平性的判斷，樹(shù)狀圖或列表法求概率；熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023秋?翠屏區(qū)期末）將正面分別寫(xiě)著數(shù)字0、1、2的三張卡片（注：這三張卡片的形狀、大小、質(zhì)地、顏色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，這三張卡片看上去無(wú)任何差別）洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲從中隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為，然后放回洗勻，背面朝上放在桌面上，再由乙從中隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為，組成一數(shù)對(duì)．（1）請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：按上述要求，兩人各抽一次卡片，卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)則甲贏，數(shù)字之和為偶數(shù)則乙贏．你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用枚舉法解決問(wèn)題即可．（2）求出數(shù)字之和為奇數(shù)的概率，數(shù)字之和為偶數(shù)的概率即可判斷．【解答】解：（1）列表如下：012012所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為：，，0，，，，，，，共9種．（2）數(shù)字之和為奇數(shù)的概率，數(shù)字之和為偶數(shù)的概率，，這個(gè)游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查游戲公平性，概率等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式4-5】（2023秋?大同期末）如圖所示的甲、乙兩張圖片形狀完全相同，把這兩張圖片全部從中間剪斷，再把4張形狀相同的小圖片混合在一起攪勻．小康和小英做游戲，小康先從這4張圖片中隨機(jī)地摸取一張（不放回），小英接著再隨機(jī)地摸取一張．（1）小康抽到甲圖片上半部分圖片的概率是；（2）請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法列出所有可能出現(xiàn)的情況；（3）游戲規(guī)定：所抽取的兩張圖片中，能拼成一張完整的圖片，那么小康獲勝；否則小英獲勝，你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用概率的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）設(shè)四張小圖片分別用，，，表示，畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)即可；（3）分別求出小康和小英獲勝的概率，比較即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）小康抽取一張共有4種結(jié)果，是等可能性的，抽到甲圖片上半部分圖片有1種結(jié)果，小康抽到甲圖片上半部分圖片的概率是；（2）設(shè)四張小圖片分別用，，，表示，畫(huà)樹(shù)狀圖得：（3）共有12種等可能的結(jié)果，其中摸取的兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的有4種，小康獲勝的概率為；摸取的兩張小圖片不能合成一張完整圖片的有8種，小英獲勝的概率為；，游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，解答本題的關(guān)鍵是掌握概率的求法：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【考點(diǎn)題型五】概率與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用【例5】（2023秋?江夏區(qū)校級(jí)期末）如圖，陰影部分是分別以正方形的頂點(diǎn)和中心為圓心，以正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．在正方形上做隨機(jī)投針試驗(yàn)，針頭落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率是．【分析】令正方形的邊長(zhǎng)為，針頭落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率是陰影部分的面積與正方形面積的比．【解答】解：如圖，令正方形的邊長(zhǎng)為，則陰影部分的面積為，所以針頭落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的計(jì)算，涉及圓的面積在求面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確計(jì)算出陰影部分的面積．【變式5-1】（2023秋?武侯區(qū)校級(jí)期末）4張相同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字0、1、、3，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)；再?gòu)挠嘞碌?張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)．（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是非負(fù)數(shù)的概率為；（2）小敏設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）【分析】（1）利用概率公式求解即可；（2）利用列表法列舉出所有可能結(jié)果，再利用概率公式得出甲、乙獲勝的概率，即可得出答案．【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是非負(fù)數(shù)的概率為，故答案為：；（2）小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平，理由如下：列表如下：013013122353由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中結(jié)果為非負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，結(jié)果為負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，甲獲勝的概率乙獲勝的概率，小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷以及列表法求概率．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式5-2】（2023秋?縉云縣期末）將形狀、大小完全相同，分別標(biāo)有數(shù)字，0，1，2的四張卡片反面朝上，擺放在桌面上．先隨機(jī)不放回地抽取一張，記下數(shù)字為；然后在剩下的三張卡片中隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字為．（1）計(jì)算的結(jié)果為0的概率；（2）甲、乙兩同學(xué)做一個(gè)游戲，其規(guī)則是：若，滿足，則甲勝；若，滿足，則乙勝．這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不公平，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲規(guī)則．【分析】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，找出的結(jié)果為0的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解；（2）由（1）得共有12種等可能的結(jié)果，再值出的結(jié)果和的結(jié)果數(shù)為2種，則可計(jì)算出甲勝的概率，乙勝的概率，于是利用可判斷這個(gè)游戲規(guī)則不公平；若，滿足，則甲勝；若，滿足，則乙勝，此時(shí)游戲規(guī)則公平．【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖為：，共有12種等可能的結(jié)果，其中的結(jié)果為0的結(jié)果數(shù)為2種，所以的結(jié)果為0的概率；（2）由（1）得共有12種等可能的結(jié)果，其中的結(jié)果為0的結(jié)果數(shù)為2種，所以甲勝的概率；的結(jié)果為0的結(jié)果數(shù)為4種，所以乙勝的概率，、因?yàn)?，所以這個(gè)游戲規(guī)則不公平．公平的游戲規(guī)則可為：若，滿足，則甲勝；若，滿足，則乙勝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．也考查了樹(shù)狀圖法．【變式5-3】（2023秋?蓬萊區(qū)期末）如圖，有四張背面完全相同的卡片，，，，其中正面分別寫(xiě)著四個(gè)不同的函數(shù)表達(dá)式，將四張卡片洗勻正面朝下隨機(jī)放在桌面上．（1）從四張卡片中隨機(jī)摸出一張，摸出的卡片上的函數(shù)隨的增大而減小的概率是；（2）小亮和小強(qiáng)用這四張卡片做游戲，規(guī)則如下：兩人同時(shí)從四張卡片中各隨機(jī)抽出一張，若抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性相同，則小亮勝；若抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性不同，則小強(qiáng)勝．這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式即可得出答案；（2）根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）從四張卡片中隨機(jī)摸出一張，摸出的卡片上的函數(shù)隨的增大而減小的概率是．故答案為：．（2）根據(jù)題意畫(huà)圖如下：共有12種等可能的情況數(shù)，其中抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性相同的有4種，抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性不同的有8種，則抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性相同的概率是，抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性不同的概率是，，不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式5-4】（2023秋?安次區(qū)期末）若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．（1）請(qǐng)畫(huà)出樹(shù)狀圖并寫(xiě)出所有可能得到的三位數(shù)；（2）甲、乙二人玩一個(gè)游戲，游戲規(guī)則是：若組成的三位數(shù)是“傘數(shù)”，則甲勝；否則乙勝．你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？試說(shuō)明理由．【分析】（1）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，由樹(shù)狀圖即可求得所有可能得到的三位數(shù)；（2）由（1），可求得勝與乙勝的概率，比較是否相等即可得到答案．【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得：所有得到的三位數(shù)有24個(gè)，分別為：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432．（5分）（2）這個(gè)游戲不公平．組成的三位數(shù)中是“傘數(shù)”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8個(gè)，甲勝的概率為，而乙勝的概率為，這個(gè)游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．【變式5-5】（2023?內(nèi)江）某校為落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富課后服務(wù)內(nèi)容，為學(xué)生開(kāi)設(shè)五類社團(tuán)活動(dòng)（要求每人必須參加且只參加一類活動(dòng)）：A．音樂(lè)社團(tuán)；B．體育社團(tuán)；C．美術(shù)社團(tuán)；D．文學(xué)社團(tuán)；E．電腦編程社團(tuán)．該校為了解學(xué)生對(duì)這五類社團(tuán)活動(dòng)的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：（1）此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角α＝度；（3）現(xiàn)從“文學(xué)社團(tuán)”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名參加演講比賽，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率．【分析】（1）由B的人數(shù)除以所占百分比得出此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取的學(xué)生人數(shù)，即可解決問(wèn)題；（2）由360°乘以C的人數(shù)所占的比例即可；（3）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取的學(xué)生人數(shù)為：50÷25%＝200（名），∴C的人數(shù)為：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），故答案為：200，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角α＝360°×＝54°，故答案為：54；（3）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，∴恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【考點(diǎn)題型六】概率中跨學(xué)科試題【例6】（2023秋?棗莊期末）2024年央視春晚的主題為