北京市海淀區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析

北京市海淀區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題一、選擇題共10小題．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D.2.假如－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么()A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?.設(shè)，都是上的單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題，正確的是（）①若單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；②若單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增；③若單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減；④若單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減.A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義證明②③正確，舉反例說明①④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于命題①，令，均為增函數(shù)，而為減函數(shù)，①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，設(shè)，則，，∴，∴，故單調(diào)遞增，命題②正確；對(duì)于命題③，設(shè)，則，，∴，∴，故單調(diào)遞減，命題③正確.對(duì)于命題④，令，均為減函數(shù)，而為增函數(shù)，故④錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.4.若，且，則下列不等式肯定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取即可推斷A、B、D選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，由基本不等式即可推斷C選項(xiàng)是正確的.【詳解】取滿意，且，此時(shí)，A錯(cuò)誤；取滿意，且，此時(shí)，B錯(cuò)誤；可得，C正確；取滿意，且，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則是（）A.鈍角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形，但不是等腰三角形【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由正弦定理得，則，又為三角形內(nèi)角，則，則是等邊三角形.故選：B.6.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.在內(nèi)單調(diào)遞增 B.在內(nèi)單調(diào)遞減C.在內(nèi)單調(diào)遞增 D.在內(nèi)單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二倍角公式，結(jié)合余弦型函數(shù)的最小正周期公式、單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)樵摵瘮?shù)最小正周期為，，所以有，即，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，因此選項(xiàng)C不正確，選項(xiàng)D不正確，故選：B7.若是上周期為5的奇函數(shù)，且滿意，則A.－1 B.1 C.－2 D.2【答案】A【解析】【詳解】∵f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(3)-f(4)=-2+1=-18.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)解除即可得解.【詳解】設(shè)，則，故解除B;設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，故解除C;設(shè)，則，故解除D.故選：A.9.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意將存在實(shí)數(shù)，使得成立轉(zhuǎn)化為有根，再依據(jù)方程變形可得，原問題轉(zhuǎn)化為有根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn)，依據(jù)數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果．【詳解】∵且，整理得，∴原問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn)，畫出的圖象如下：當(dāng)時(shí)，，由圖可知，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．10.信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念．設(shè)隨機(jī)變量X全部可能的取值為1，2，…，n，且P（X＝i）＝pi＞0（i＝1，2，…，n），，定義X的信息熵H（X）＝．給出下面四個(gè)結(jié)論：①若n＝1，則H(X)＝0；②若n＝2，則當(dāng)時(shí)，H(x)取得最小值；③若，則H(X)隨著n的增大而增大；④若n＝10，隨機(jī)變量Y全部可能的取值為1，2，…，5，且P（Y＝j(luò)）＝pj+p11-j（j＝1，2，…，5），則H（X）＞H（Y）．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)①，，依據(jù)信息熵的定義即可推斷；對(duì)于選項(xiàng)②，利用表示出，然后構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性計(jì)即可求得；對(duì)于選項(xiàng)③化簡(jiǎn)即可求解，利用函數(shù)的單調(diào)性即可推斷.【詳解】解：由題意得：對(duì)于選項(xiàng)①：若，則，所以，故①正確；對(duì)于選項(xiàng)②：若，則當(dāng)時(shí)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)取最大值；故②錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)③：若，則故隨著n的增大而增大，故③正確；對(duì)于選項(xiàng)④：若n＝10，隨機(jī)變量Y全部可能的取值為1，2，…，5，且由于故依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：依據(jù)不等式的同向相加可知：則H（X）＞H（Y），故④正確；故選：C二、填空題共5小題．11.在中，，則_____.【答案】【解析】【分析】在中，依據(jù)，利用正弦定理結(jié)合二倍角正弦公式求解.【詳解】在中，因?yàn)椋?，即，解得，故答案為?2.若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a值為___________．【答案】1【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，而，故即，故答案為：1.13.已知數(shù)列滿意，，若，則_______．【答案】【解析】【分析】由遞推式，結(jié)合依次求出、即可.【詳解】由，可得：，又，可得：.故答案為：.14.如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為設(shè)．若且，則稱為原位大三和弦；若且，則稱為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為__________．【答案】10【解析】【分析】利用列舉法和分類計(jì)數(shù)原理可求原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和.【詳解】若且，則符合條件的分別為：，共5個(gè)原位大三和弦；若且，則符合條件的分別為：，共5個(gè)原位小三和弦；故用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為10.故答案為：10.15.已知函數(shù)，若函數(shù)＝f（x-4）+x，則函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為__________；若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，a1+a2+a3+…+a11＝44，則g（a1）+g（a2）+…+g（a11）＝__________．【答案】①.（4，6）②.66【解析】【分析】先利用函數(shù)的奇偶性推斷是奇函數(shù)，對(duì)稱中心為，即可得到的圖象的對(duì)稱中心，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)和的對(duì)稱性即可求解.【詳解】由，，所以是奇函數(shù)，對(duì)稱中心為，是將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故其對(duì)稱中心為，因?yàn)?，，函?shù)圖象的對(duì)稱中心為.因?yàn)閿?shù)列｛an｝為等差數(shù)列，a1+a2+a3+…+a11＝44，所以，所以，，所以g（a1）+g（a2）+…+g（a11）＝.故答案為：；66.三、解答題共6小題．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，在條件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知.（1）求函數(shù)的解析式：（2）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最大值.條件①：；條件②：；條件③：.注：假如選擇多個(gè)條件組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖象可知，若選①②可得函數(shù)的周期，進(jìn)而可得，代入點(diǎn)，即可得，即可得函數(shù)解析式；若選①③可得函數(shù)的周期，進(jìn)而可得，代入點(diǎn)，即可得，即可得函數(shù)解析式；若選②③可得函數(shù)的周期，進(jìn)而可得，代入點(diǎn)，即可得，即可得函數(shù)解析式.（2）結(jié)合（1）可得函數(shù)解析式，進(jìn)而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依據(jù)單調(diào)性可得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】選條件①②：因?yàn)椋?，即，則.由題意可知，則.因?yàn)?，，所以，?因?yàn)椋裕?所以.選條件①③：因?yàn)?，所以，即，則.由題意可知，則.因?yàn)?，，所以，?因?yàn)椋裕?所以.選條件②③：因?yàn)?，，所以，即，則.由題意可知，則.因?yàn)?，，所以，?因?yàn)?，所以?所以.【小問2詳解】由題意得.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由，得.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，此時(shí).所以，所以的最大值是.17.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列首項(xiàng)和公差，依據(jù)題的條件，建立關(guān)于和的方程組，求得和的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（2）依據(jù)題意有，依據(jù)，可知，依據(jù)，得到關(guān)于的不等式，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，依據(jù)題意有，解答，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由條件，得，即，因?yàn)椋?，并且有，所以有，由得，整理得，因?yàn)?，所以有，即，解得，所以的取值范圍是：【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的求和公式，在解題的過程中，須要仔細(xì)分析題意，嫻熟駕馭基礎(chǔ)學(xué)問是正確解題的關(guān)鍵.18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【小問1詳解】由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；【小問2詳解】由正弦定理得：，則，則，.19.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求不等式＞1的解集；（3）當(dāng)x0＜0時(shí)，是否存在使得成立的x0值？若存在，干脆寫出x0的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）4（2）（3）存在；【解析】【分析】（1）由題意，依據(jù)分段函數(shù)定義，由取值，可得答案；（2）依據(jù)分段函數(shù)，分類探討，整理不等式，可得答案；（3）依據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求交點(diǎn)問題，依據(jù)二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】．【小問2詳解】由＞1，①，則，，解得，故；②，則，解得，故.解得．【小問3詳解】由題意，問題等價(jià)于方程在上存在一個(gè)根，則等價(jià)于函數(shù)與圖象在上有交點(diǎn)，，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，；，依據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，.由，故函數(shù)與圖象在上有唯一交點(diǎn)，則存在唯一的，使得成立．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最小值.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)為，再探討和兩種狀況探討函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，所以.所以曲線在處的切線方程為：.【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，.所以在上是增函數(shù).所以.②當(dāng)時(shí)，令，解得（舍）1°當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，.所以在上是增函數(shù).所以.2°當(dāng)，即時(shí)，x-0+減函數(shù)微小值增函數(shù)所以.3°當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，.所以在上是減函數(shù).所以.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.21.已知數(shù)列，其中，且.若數(shù)列滿意，，當(dāng)時(shí)，或，則稱為數(shù)列A的“緊數(shù)列”.例如，數(shù)列A：2，4，6，8的全部“緊數(shù)列”為2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.（1）干脆寫出數(shù)列A：1，3，6，7，8的全部“緊數(shù)列”；（2）已知數(shù)列A滿意：，，若數(shù)列A的全部“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：全部符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為；（3）已知數(shù)列A滿意：，，對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”，定義集合，假如對(duì)隨意，都有，那么稱為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”.若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求的最小值.（用關(guān)于N的代數(shù)式表示）【答案】（1）；；；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用“緊數(shù)列”的定義求解；（2）由均為遞增數(shù)列，得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明：①，②，③，④即可；（3）記，且依據(jù)“強(qiáng)緊數(shù)列”的定義求解.【小問1詳解】解：；；；.【小問2詳解】依題意，對(duì)隨意，有或，或，因?yàn)榫鶠檫f增數(shù)列，所以有，即同時(shí)滿意：①，②，③，④.因?yàn)闉檫f增數(shù)列，因此①和②恒成立.又因?yàn)闉檎麛?shù)數(shù)列，對(duì)于③，也恒成立.對(duì)于④，一方面，由，得，即.另一方面，，所以，即從第項(xiàng)到第項(xiàng)是連續(xù)的正整數(shù)，所以，，因此，故共有種不同取值，即全部符合條件的數(shù)列共有個(gè).【小問3詳解】記，依題意，對(duì)隨意，有或，留意到，即對(duì)隨意，有，若，則，即；若，則，即，即對(duì)隨意，或者，或者.所