北京市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page15北京市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題1.直線（為實(shí)常數(shù)）的傾斜角的大小是A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出直線的斜率，再結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得該直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，直線的斜率為，所以，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的計(jì)算，一般要求出直線的斜率，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知點(diǎn)A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形態(tài)是A.等腰三角形 B.等邊三角形C直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】求出三點(diǎn)間隨意兩點(diǎn)的距離，最終運(yùn)用勾股定理或者余弦定理推斷出三角形的形態(tài).【詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式得，，，滿意，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式，以及推斷空間三點(diǎn)組成三角形的形態(tài)問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.3.圓心為，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】待定系數(shù)法干脆求解可得.【詳解】因?yàn)閳A心為，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，解得所以所求圓的方程為.故選：A4.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交但直線不過(guò)圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線過(guò)圓心【答案】A【解析】【分析】要推斷圓與直線的位置關(guān)系，方法是利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到此直線的距離，和圓的半徑比較即可得到此圓與直線的位置關(guān)系．【詳解】由圓的方程得到圓心坐標(biāo)為，半徑，直線為，∴到直線的距離，∴圓與直線的位置關(guān)系為相交，又圓心不在直線上，故選：A．5.已知圓與圓相外切，那么等于A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由兩圓外切，兩圓心距等于兩圓半徑之和即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A心坐標(biāo)為，半徑為1；圓圓心坐標(biāo)，半徑為r，由兩圓外切可得,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.6.函數(shù)的最小正周期是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用二倍角公式和協(xié)助角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式即可求解．【詳解】函數(shù)，∴其最小正周期為．故選：C．7.“”是“直線與直線垂直”的A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先由兩直線垂直求出的值，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，則，即，解得或；因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查命題充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可，屬于?？碱}型.8.已知平面平面，下列命題①平面內(nèi)的直線肯定垂直于平面內(nèi)的直線②平面內(nèi)的直線肯定垂直于平面內(nèi)的多數(shù)條直線③平面內(nèi)的任一條直線必垂直于平面④過(guò)隨意一點(diǎn)作平面和平面交線的垂線，則此垂線必垂直于平面其中正確的命題序號(hào)是（）A.①② B.①③ C.② D.④【答案】C【解析】【分析】由直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐一推斷即可.【詳解】平面內(nèi)的直線存在直線與交線平行，而交線在平面內(nèi)，故①錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)可知，平面內(nèi)與交線垂直的直線（有多數(shù)條）都垂直平面，由線面垂直的定義可知，平面內(nèi)的直線肯定垂直于平面內(nèi)的多數(shù)條直線，故②正確；交線在平面內(nèi)，但是交線在平面內(nèi)，故③錯(cuò)誤；過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，此垂線在平面內(nèi)，故④錯(cuò)誤；故正確的命題序號(hào)為：②故選：C9.已知三棱錐，點(diǎn)G是△ABC的重心（三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心）.設(shè)，，，那么向量用基底可表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的加減法計(jì)算法則和數(shù)乘計(jì)算法則，結(jié)合幾何關(guān)系用表示即可．【詳解】∵∴.故選：B．10.在棱長(zhǎng)為1的正方體的表面上任取4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐，則這個(gè)三棱錐體積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在棱長(zhǎng)為1的正方體的表面上任取4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐，其體積必大于0，要使三棱錐的體積最大，則這四個(gè)點(diǎn)肯定在正方體的頂點(diǎn)處，分別探討上下兩個(gè)底面各取兩個(gè)點(diǎn)和一個(gè)底面取三個(gè)點(diǎn)，另一個(gè)底面取一個(gè)點(diǎn)的情形，即可得到棱錐的最大值，進(jìn)而得到答案．【詳解】在正方體中，設(shè)三棱錐的底面為．在正方體的表面上，離三棱錐底面最遠(yuǎn)的點(diǎn)，肯定可以在正方體的頂點(diǎn)處取得，此時(shí)三棱錐的體積最大．固定住這個(gè)點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為三棱錐底面的一個(gè)點(diǎn)，則三棱錐的頂點(diǎn)肯定可以在正方體的頂點(diǎn)處取得，同理，三棱錐體積最大時(shí)，其他三個(gè)頂點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處取得．故由正方體八個(gè)頂點(diǎn)中四個(gè)頂點(diǎn)形成的三棱錐的體積最大值即為所求三棱錐體積的最大值．由于三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)不共面，故在面和面中，分別可能有三棱錐的個(gè)頂點(diǎn)，其中和是對(duì)稱的，故只需探討和的情形．（1）若為，在底面不妨取，另一個(gè)頂點(diǎn)可取之一，如圖，此時(shí)三棱錐體積都為．（2）若為，則在底面不妨取或．①若取，在面不妨取或，如圖，三棱錐體積都為．②若取，在面不妨取或，如圖，；，此時(shí)三棱錐的體積最大．綜上，三棱錐體積的取值范圍是．故選：B．11.若a，b是異面直線，直線ca，則c與b的位置關(guān)系是___________【答案】相交或異面【解析】【分析】依據(jù)空間兩直線的位置關(guān)系推斷.【詳解】如圖所示：設(shè)，當(dāng)時(shí)，c與b相交；當(dāng)時(shí)，c與b異面；所以若a，b是異面直線，直線ca，則c與b的位置關(guān)系是相交或異面.故答案為：相交或異面12.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線在軸和軸上的截距相等，則此的直線方程是__________．【答案】或，【解析】【分析】由截距的概念得斜率后求解，【詳解】由題意得直線過(guò)原點(diǎn)或直線斜率為，故直線方程為或，即或，故答案為：或，13.圓截直線所得的弦長(zhǎng)為8，則的值是________【答案】【解析】【詳解】∵弦長(zhǎng)為8，圓的半徑為5，∴弦心距為3，∵圓心坐標(biāo)為，∴，解得為點(diǎn)睛：涉及圓中弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般利用垂徑定理進(jìn)行解決，詳細(xì)就是利用半徑的平方等于圓心到直線距離平方與弦長(zhǎng)一半平方的和；直線與圓位置關(guān)系，一般利用圓心到直線距離與半徑大小關(guān)系進(jìn)行推斷14.已知點(diǎn)若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),則面積的最小值為__________．【答案】【解析】【詳解】將圓化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程，得,其圓心坐標(biāo)為,半徑為,如圖，因?yàn)?所以,要求的面積最小,即要使圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小,而圓心到直線的距離為,所以，故的最小值為,故答案為.15.已知四棱錐的高為1，和均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，給出下列四個(gè)結(jié)論：①四棱錐可能為正四棱錐；②空間中肯定存在到，，，，距離都相等的點(diǎn)；③可能有平面平面；④四棱錐的體積的取值范圍是.其中全部正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①②④【解析】【分析】對(duì)①，分析當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)是否滿意條件即可；對(duì)②，設(shè)四棱錐的高為，分析可得點(diǎn)滿意；對(duì)③，假設(shè)平面平面，再推導(dǎo)得出沖突即可推斷；對(duì)④，設(shè)，得出四棱錐的體積表達(dá)式再求解即可【詳解】依據(jù)題意，設(shè)，則，又因?yàn)楹途沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，易得，且對(duì)①，當(dāng)時(shí)，底面為正方形，且為底面中心，此時(shí)四棱錐可能為正四棱錐，故①正確；對(duì)②，，故肯定存在到，，，，距離都相等點(diǎn)，故②正確；對(duì)③，當(dāng)平面平面時(shí)，因?yàn)?，故平面，此時(shí)，又因?yàn)?，此時(shí)重合，不滿意題意，③錯(cuò)誤；對(duì)④，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，故④正確故答案為：①②④16.如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，，，，.（1）求角的大??；（2）求邊AB的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在三角形中，利用余弦定理，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果；（2）在三角形中，利用正弦定理，結(jié)合（1）中所求，即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】在△中，因?yàn)?，，，由余弦定理可得：，又，?【小問(wèn)2詳解】在△中，由（1）可得：，又，由正弦定理可得：，即，解得.17.已知直線經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且垂直于直線．（Ⅰ）求直線方程．（Ⅱ）求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．【答案】（1）（2）1【解析】【詳解】（），解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．由于點(diǎn)的坐標(biāo)是，且所求直線與直線垂直，可設(shè)所求直線的方程為．將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得．故所求直線的方程為．（）由直線的方程知它在軸，軸上的截距分別是，，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面，，，，為側(cè)棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）（i）求點(diǎn)到平面的距離；（ii）設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，寫出四邊形周長(zhǎng)的最小值.（干脆寫出結(jié)果即可）【答案】（1）證明見解析（2）（3）；【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，（3）由空間向量求解，由綻開圖計(jì)算，【小問(wèn)1詳解】由側(cè)面底面，面面，而，面，故面，面，，在直角梯形中，可得，而，故，而，平面，平面，平面【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，得，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，而平面的一個(gè)法向量為，故二面角的余弦值，【小問(wèn)3詳解】，則點(diǎn)到平面的距離，由題可知，，故將綻開可得矩形，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，而，故四邊形周長(zhǎng)的最小值為．19.已知圓上三點(diǎn)，，.（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)隨意作兩條相互垂直的直線，，分別與圓交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為.求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】(1)設(shè)出圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)圓上三個(gè)點(diǎn)列出方程組，求解方程組即可；(2)當(dāng)斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立的方程和圓M的方程，依據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出R的坐標(biāo)，同理表示出S的坐標(biāo)，求出直線RS的方程即可推斷其經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)．小問(wèn)1詳解】設(shè)圓M的方程為，則，解得，∴圓M的方程為．【小問(wèn)2詳解】若斜率不存在，則此時(shí)AB中點(diǎn)為R(0，0)，CD中點(diǎn)為S(1，0)，則直線RS為y=0；同理斜率為零時(shí)，直線RS為y=0；當(dāng)斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)，，，則，，，∴，，同理為，即，∴，∴RS：，化簡(jiǎn)為，∴RS過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)k=1時(shí)，R為，S為，直