內(nèi)蒙古赤峰市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考理試題含解析

Page172024級(jí)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考一、單選題（每小題5分）1.設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出的共軛復(fù)數(shù)，依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以z的共軛復(fù)數(shù)為，它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí),第一步須要驗(yàn)證的不等式是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】第一步驗(yàn)證是的狀況，即，得到答案.【詳解】第一步驗(yàn)證時(shí)的狀況，即故選C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，屬于簡(jiǎn)潔題型.3.若隨機(jī)變量的分布列如表所示，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分布列可求得，，由此可確定范圍.【詳解】由分布列知：，，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為.故選：B.4.將40件產(chǎn)品依次編號(hào)為140，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣（按等距離的規(guī)則）的方法從中抽取5件進(jìn)行質(zhì)檢，若抽到的產(chǎn)品編號(hào)之和為90，則樣本中的最小編號(hào)為A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【詳解】該系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為=8；設(shè)抽到的最小編號(hào)x，則x+（8+x）+（16+x）+（24+x）+（32+x）=90，所以x=2．故選A．5.在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x、y，則滿意的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用幾何概型計(jì)算公式即得.【詳解】由題可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋瑵M意的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，結(jié)合幾何概型計(jì)算公式可得滿意的概率為.故選：A.6.已知執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)已知輸入數(shù)據(jù)，結(jié)合條件語(yǔ)句的執(zhí)行邏輯確定輸出結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，所以，則，故輸出.故選：A7.若的綻開(kāi)式中的系數(shù)為12，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理寫(xiě)出綻開(kāi)式通項(xiàng)，依據(jù)乘積形式確定含的項(xiàng)，結(jié)合其對(duì)應(yīng)系數(shù)求出參數(shù)m.【詳解】由的綻開(kāi)式通項(xiàng)為，含的項(xiàng)包含了和兩項(xiàng)，所以含的項(xiàng)為，即，可得.故選：B8.將數(shù)字“234467”重新排列后得到不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為（）A.72 B.120 C.192 D.240【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，按個(gè)位數(shù)字的不同分2種狀況探討，由加法原理計(jì)算即可【詳解】解：依據(jù)題意，按個(gè)位數(shù)字的不同分2種狀況探討：（1）個(gè)位數(shù)字為4，將剩余的5個(gè)數(shù)支配在前5個(gè)位置，有個(gè)偶數(shù)，（2）個(gè)位數(shù)字為2或6，先從2或6中選1個(gè)放在個(gè)位，有種，然后從前5位中選2個(gè)位置放入2個(gè)4，有種，最終剩下的3個(gè)數(shù)填入剩余的3個(gè)位置，有，由分步原理可知有個(gè)偶數(shù)，由分類(lèi)加法原理可知共有個(gè)偶數(shù)，故選：D9.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州現(xiàn)四川省安岳縣人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)

時(shí)的值為（）A.5 B.14 C.27 D.55【答案】B【解析】【分析】把多項(xiàng)式改寫(xiě)成用加（減）法和乘法形式，然后依據(jù)定義依次計(jì)算可得．【詳解】由已知，時(shí)，，，．故選：B．10.在二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，把綻開(kāi)式中全部的項(xiàng)重新排成一列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，，可得綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)為有理項(xiàng)，依據(jù)不相鄰問(wèn)題插空法及古典概率模型即可求解.【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式的綻開(kāi)式中，只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以綻開(kāi)式共有7項(xiàng)，，所以綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，因?yàn)榈闹笖?shù)冪為整數(shù)即時(shí)為有理項(xiàng)，所以綻開(kāi)式的第項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以把綻開(kāi)式中全部的項(xiàng)重新排成一列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率為，故選：C.11.某班男女生各10名同學(xué)最近一周平均每天的熬煉時(shí)間（單位：分鐘）用莖葉圖記錄如下：假設(shè)每名同學(xué)最近一周平均每天的熬煉時(shí)間是相互獨(dú)立的.①男生每天熬煉的時(shí)間差別小，女生每天熬煉的時(shí)間差別大；②從平均值分析，男生每天熬煉的時(shí)間比女生多；③男生平均每天熬煉時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差大于女生平均每天熬煉時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差；④從10個(gè)男生中任選一人，平均每天的熬煉時(shí)間超過(guò)65分鐘的概率比同樣條件下女生熬煉時(shí)間超過(guò)65分鐘的概率大.其中符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結(jié)論是（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖，計(jì)算出平均數(shù)，由古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算出概率，以及由數(shù)據(jù)的分散程度可說(shuō)明方差的大小，即可推斷.【詳解】解：由莖葉圖知，男生每天熬煉時(shí)間差別小，女生差別大，①正確.男生平均每天熬煉時(shí)間超過(guò)65分鐘的概率，女生平均每天熬煉時(shí)間超過(guò)65分鐘的概率，，因此④正確.設(shè)男生、女生兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，.，知，②正確.又依據(jù)莖葉圖，男生熬煉時(shí)間較集中，女生熬煉時(shí)間較分散，∴，③錯(cuò)誤，因此符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結(jié)論是①②④.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖中數(shù)據(jù)的分析問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.12.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽(yáng)傘的傘篷是由太陽(yáng)光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類(lèi)太陽(yáng)傘最多有（）.A.40320種 B.5040種 C.20160種 D.2520種【答案】D【解析】【分析】先從7種顏色中隨意選擇一種，涂在相對(duì)的區(qū)域內(nèi)，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個(gè)區(qū)域內(nèi)，結(jié)合圖形的對(duì)稱(chēng)性，即可求解.【詳解】先從7種顏色中隨意選擇一種，涂在相對(duì)的區(qū)域內(nèi)，有種方法，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個(gè)區(qū)域內(nèi)，共有種方法，由于圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以上述方法正好重復(fù)一次，所以不同的涂色方法，共有種不同的涂法.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，其中解答中留意圖形的對(duì)稱(chēng)性，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔試題.二、填空題（每小題5分）13.若復(fù)數(shù)z滿意|z－i|＝3，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______.【答案】9π【解析】【分析】干脆推斷出點(diǎn)Z的軌跡是以點(diǎn)(0，1)為圓心，以3為半徑的圓，即可求出.【詳解】由條件知|z－i|＝3，所以點(diǎn)Z的軌跡是以點(diǎn)(0，1)為圓心，以3為半徑的圓，故其面積為S＝9π.故答案為：9π14.為紀(jì)念北京冬奧會(huì)申奧勝利，中國(guó)郵政發(fā)行紀(jì)念郵票，每套圖案分別為冬奧會(huì)會(huì)徽“冬夢(mèng)”、冬殘奧會(huì)“會(huì)徽飛躍”、冬奧會(huì)祥瑞物“冰墩墩”、冬殘奧會(huì)祥瑞物“雪容融”及“志愿者標(biāo)記”．現(xiàn)從一套5枚郵票中任取3枚，則恰有1枚祥瑞物郵票的概率為_(kāi)_____________．【答案】##【解析】【分析】由古典概型的概率公式求解即可.【詳解】從一套5枚郵票中任取3枚的不同取法有種，恰有1枚祥瑞物郵票的狀況有種，則恰有1枚祥瑞物郵票的概率，故答案為：15.邢臺(tái)市物價(jià)部門(mén)對(duì)市區(qū)的天一城、北國(guó)商城、恒大城、家樂(lè)園、中北世紀(jì)城5家商場(chǎng)的某件商品在7月15號(hào)一天銷(xiāo)售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)元和銷(xiāo)售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格8.591111.5銷(xiāo)售量12675已知銷(xiāo)售量與價(jià)格之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回來(lái)方程是，且，則其中的______.【答案】10【解析】【分析】先求樣本平均值，，再依據(jù)樣本中心點(diǎn)在回來(lái)直線上列方程求解即可得答案.【詳解】解：依題意，，代入回來(lái)直線方程得①，依據(jù)題意②，解①②組成的方程組得.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查已知回來(lái)方程求原始數(shù)據(jù)，考查運(yùn)算實(shí)力，解題的關(guān)鍵是樣本中心點(diǎn)在回來(lái)直線上，是基礎(chǔ)題.16.如圖數(shù)表，它的第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，此后下一行數(shù)由前一行每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)的和寫(xiě)在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到．依次類(lèi)推，則該數(shù)表中，第n行第1個(gè)數(shù)是____________．【答案】【解析】【分析】視察數(shù)表，得出每一行都成等差數(shù)列，且第n行公差為，設(shè)第n行第1個(gè)數(shù)是，則第n行第2個(gè)數(shù)是，從而可得，化簡(jiǎn)計(jì)算可得出結(jié)果.【詳解】視察數(shù)表，得出每一行都成等差數(shù)列，且第n行公差為，因此設(shè)第n行第1個(gè)數(shù)是，則第n行第2個(gè)數(shù)是，從而可得，從而，所以是等差數(shù)列，公差為，所以．故答案為：．三、解答題17.端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中隨意選取3個(gè).（1）求三種粽子各取到1個(gè)的概率；（2）設(shè)表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）易得的全部可能取值為0，1，2，分別求得其相應(yīng)概率，列出分布列.【詳解】（1）令表示事務(wù)“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型概率計(jì)算公式有.（2）由題意，得的全部可能取值為0，1，2，則，，.所以的分布列為01218.法國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“閱讀優(yōu)秀的書(shū)籍，就是和過(guò)去時(shí)代中最杰出的人們——書(shū)籍的作者一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行溝通”閱讀會(huì)讓精神世界閃光．某探討機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀狀況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求a；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地年輕人每天閱讀時(shí)間的中位數(shù)（精確到0.1）（單位：分鐘）；（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，探討機(jī)構(gòu)采納分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組，和的年輕人中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行調(diào)查，求其中恰好有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率．【答案】（1）（2）74.4分鐘（3）【解析】【分析】(1)依據(jù)全部矩形面積之和為1求a即可；(2)找出中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x,，求解即可；(3)先求出閱讀時(shí)間位于、、的人數(shù)，再用列舉法求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)轭l率分布直方圖的全部矩形面積之和為1，所以，解得【小問(wèn)2詳解】∵，則中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以估計(jì)該地年輕人閱讀時(shí)間的中位數(shù)約為74.4分鐘．小問(wèn)3詳解】由題意，閱讀時(shí)間位于的人數(shù)為人，閱讀時(shí)間位于的人數(shù)為人，閱讀時(shí)間位于的人數(shù)為人，則抽取的5人中位于區(qū)間有1人，設(shè)為，位于區(qū)間有2人，設(shè)為，位于區(qū)間有2人，設(shè)為，則從5人中任取2人，樣本空間含有10個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)事務(wù)A為“恰有1人每天閱讀時(shí)間在”，，含有6個(gè)樣本點(diǎn)：∴．19.畫(huà)糖是一種以糖為材料在石板上進(jìn)行造型的民間藝術(shù)，常見(jiàn)于公園與旅游景點(diǎn)．某師傅制作了一種新造型糖畫(huà)，為了合理定價(jià)，先進(jìn)行試銷(xiāo)售，其單價(jià)x（元）與銷(xiāo)量y（個(gè)）相關(guān)數(shù)據(jù)如表：?jiǎn)蝺r(jià)x（元）8.599.51010.5銷(xiāo)量y（個(gè)）1211976（1）已知銷(xiāo)量y與單價(jià)x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回來(lái)方程；（2）若該新造型糖畫(huà)每個(gè)的成本為5.7元，要使得進(jìn)入售賣(mài)時(shí)利潤(rùn)最大，請(qǐng)利用所求出的線性回來(lái)方程確定單價(jià)應(yīng)當(dāng)定為多少元？（結(jié)果保留到整數(shù)）參考公式：線性回來(lái)方程yx中斜率和截距最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式：．參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）y＝﹣3.2x+39.4（2）9元【解析】【分析】（1）利用公式干脆計(jì)算得到答案.（2）設(shè)定價(jià)為x元，則利潤(rùn)函數(shù)為y＝（﹣3.2x+39.4）（x﹣5.7），依據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性得到答案.【詳解】（1）（8.5+9+9.5+10+10.5）＝9.5，（12+11+9+7+6）＝9，則32，9﹣（﹣3.2）×9.5＝39.4，∴y關(guān)于x的線性相關(guān)方程為y＝﹣3.2x+39.4.（2）設(shè)定價(jià)為x元，則利潤(rùn)函數(shù)為y＝（﹣3.2x+39.4）（x﹣5.7），其中x≥5.7，則y＝﹣3.2x2+57.64x﹣224.58，∴對(duì)稱(chēng)軸x9（元）．故為使得進(jìn)入售賣(mài)時(shí)利潤(rùn)最大，確定單價(jià)應(yīng)當(dāng)定為9元．【點(diǎn)睛】本題考查了回來(lái)方程的計(jì)算，求最值，意在考查學(xué)生的應(yīng)用實(shí)力和計(jì)算實(shí)力.20.如圖，在三棱柱中，，，，.（1）證明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】(1)在和中，利用勾股定理可得，，再依據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，再計(jì)算法向量夾角余弦值，即可求出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明：如圖，連接，在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，同理，又，平面,所以平面,又平面，所以平面平面.(2)解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系；其次，破“求坐標(biāo)關(guān)”，精確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.21.已知橢圓的左焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線及短軸構(gòu)成等邊三角形，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，直線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解