內(nèi)蒙古赤峰市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考理試題含解析

Page172024級高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考一、單選題（每小題5分）1.設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出的共軛復(fù)數(shù)，依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】因為，所以，所以z的共軛復(fù)數(shù)為，它對應(yīng)的點在第四象限.故選：D2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時,第一步須要驗證的不等式是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】第一步驗證是的狀況，即，得到答案.【詳解】第一步驗證時的狀況，即故選C【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，屬于簡潔題型.3.若隨機變量的分布列如表所示，則當(dāng)時，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分布列可求得，，由此可確定范圍.【詳解】由分布列知：，，當(dāng)時，，即的取值范圍為.故選：B.4.將40件產(chǎn)品依次編號為140，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣（按等距離的規(guī)則）的方法從中抽取5件進(jìn)行質(zhì)檢，若抽到的產(chǎn)品編號之和為90，則樣本中的最小編號為A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【詳解】該系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為=8；設(shè)抽到的最小編號x，則x+（8+x）+（16+x）+（24+x）+（32+x）=90，所以x=2．故選A．5.在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)x、y，則滿意的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用幾何概型計算公式即得.【詳解】由題可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，滿意的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為，結(jié)合幾何概型計算公式可得滿意的概率為.故選：A.6.已知執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)已知輸入數(shù)據(jù)，結(jié)合條件語句的執(zhí)行邏輯確定輸出結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，所以，則，故輸出.故選：A7.若的綻開式中的系數(shù)為12，則實數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由二項式定理寫出綻開式通項，依據(jù)乘積形式確定含的項，結(jié)合其對應(yīng)系數(shù)求出參數(shù)m.【詳解】由的綻開式通項為，含的項包含了和兩項，所以含的項為，即，可得.故選：B8.將數(shù)字“234467”重新排列后得到不同的偶數(shù)個數(shù)為（）A.72 B.120 C.192 D.240【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，按個位數(shù)字的不同分2種狀況探討，由加法原理計算即可【詳解】解：依據(jù)題意，按個位數(shù)字的不同分2種狀況探討：（1）個位數(shù)字為4，將剩余的5個數(shù)支配在前5個位置，有個偶數(shù)，（2）個位數(shù)字為2或6，先從2或6中選1個放在個位，有種，然后從前5位中選2個位置放入2個4，有種，最終剩下的3個數(shù)填入剩余的3個位置，有，由分步原理可知有個偶數(shù)，由分類加法原理可知共有個偶數(shù)，故選：D9.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州現(xiàn)四川省安岳縣人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.已知一個5次多項式為，用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)

時的值為（）A.5 B.14 C.27 D.55【答案】B【解析】【分析】把多項式改寫成用加（減）法和乘法形式，然后依據(jù)定義依次計算可得．【詳解】由已知，時，，，．故選：B．10.在二項式的綻開式中，只有第四項的二項式系數(shù)最大，把綻開式中全部的項重新排成一列，則有理項互不相鄰的概率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，，可得綻開式的通項公式為，當(dāng)時為有理項，依據(jù)不相鄰問題插空法及古典概率模型即可求解.【詳解】解：因為二項式的綻開式中，只有第四項的二項式系數(shù)最大，所以綻開式共有7項，，所以綻開式的通項公式為，，因為的指數(shù)冪為整數(shù)即時為有理項，所以綻開式的第項為有理項，所以把綻開式中全部的項重新排成一列，則有理項互不相鄰的概率為，故選：C.11.某班男女生各10名同學(xué)最近一周平均每天的熬煉時間（單位：分鐘）用莖葉圖記錄如下：假設(shè)每名同學(xué)最近一周平均每天的熬煉時間是相互獨立的.①男生每天熬煉的時間差別小，女生每天熬煉的時間差別大；②從平均值分析，男生每天熬煉的時間比女生多；③男生平均每天熬煉時間的標(biāo)準(zhǔn)差大于女生平均每天熬煉時間的標(biāo)準(zhǔn)差；④從10個男生中任選一人，平均每天的熬煉時間超過65分鐘的概率比同樣條件下女生熬煉時間超過65分鐘的概率大.其中符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結(jié)論是（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖，計算出平均數(shù)，由古典概型的概率計算公式計算出概率，以及由數(shù)據(jù)的分散程度可說明方差的大小，即可推斷.【詳解】解：由莖葉圖知，男生每天熬煉時間差別小，女生差別大，①正確.男生平均每天熬煉時間超過65分鐘的概率，女生平均每天熬煉時間超過65分鐘的概率，，因此④正確.設(shè)男生、女生兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，.，知，②正確.又依據(jù)莖葉圖，男生熬煉時間較集中，女生熬煉時間較分散，∴，③錯誤，因此符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結(jié)論是①②④.故答案為：①②④【點睛】本題考查莖葉圖中數(shù)據(jù)的分析問題，屬于基礎(chǔ)題.12.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（）.A.40320種 B.5040種 C.20160種 D.2520種【答案】D【解析】【分析】先從7種顏色中隨意選擇一種，涂在相對的區(qū)域內(nèi)，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區(qū)域內(nèi)，結(jié)合圖形的對稱性，即可求解.【詳解】先從7種顏色中隨意選擇一種，涂在相對的區(qū)域內(nèi)，有種方法，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區(qū)域內(nèi)，共有種方法，由于圖形是軸對稱圖形，所以上述方法正好重復(fù)一次，所以不同的涂色方法，共有種不同的涂法.故選：D.【點睛】本題主要考查了排列、組合及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，其中解答中留意圖形的對稱性，著重考查分析問題和解答問題的實力，屬于中檔試題.二、填空題（每小題5分）13.若復(fù)數(shù)z滿意|z－i|＝3，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡所圍成的圖形的面積為________.【答案】9π【解析】【分析】干脆推斷出點Z的軌跡是以點(0，1)為圓心，以3為半徑的圓，即可求出.【詳解】由條件知|z－i|＝3，所以點Z的軌跡是以點(0，1)為圓心，以3為半徑的圓，故其面積為S＝9π.故答案為：9π14.為紀(jì)念北京冬奧會申奧勝利，中國郵政發(fā)行紀(jì)念郵票，每套圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會“會徽飛躍”、冬奧會祥瑞物“冰墩墩”、冬殘奧會祥瑞物“雪容融”及“志愿者標(biāo)記”．現(xiàn)從一套5枚郵票中任取3枚，則恰有1枚祥瑞物郵票的概率為______________．【答案】##【解析】【分析】由古典概型的概率公式求解即可.【詳解】從一套5枚郵票中任取3枚的不同取法有種，恰有1枚祥瑞物郵票的狀況有種，則恰有1枚祥瑞物郵票的概率，故答案為：15.邢臺市物價部門對市區(qū)的天一城、北國商城、恒大城、家樂園、中北世紀(jì)城5家商場的某件商品在7月15號一天銷售量及其價格進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價格8.591111.5銷售量12675已知銷售量與價格之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回來方程是，且，則其中的______.【答案】10【解析】【分析】先求樣本平均值，，再依據(jù)樣本中心點在回來直線上列方程求解即可得答案.【詳解】解：依題意，，代入回來直線方程得①，依據(jù)題意②，解①②組成的方程組得.故答案：.【點睛】本題考查已知回來方程求原始數(shù)據(jù)，考查運算實力，解題的關(guān)鍵是樣本中心點在回來直線上，是基礎(chǔ)題.16.如圖數(shù)表，它的第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，此后下一行數(shù)由前一行每兩個相鄰的數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間下方得到．依次類推，則該數(shù)表中，第n行第1個數(shù)是____________．【答案】【解析】【分析】視察數(shù)表，得出每一行都成等差數(shù)列，且第n行公差為，設(shè)第n行第1個數(shù)是，則第n行第2個數(shù)是，從而可得，化簡計算可得出結(jié)果.【詳解】視察數(shù)表，得出每一行都成等差數(shù)列，且第n行公差為，因此設(shè)第n行第1個數(shù)是，則第n行第2個數(shù)是，從而可得，從而，所以是等差數(shù)列，公差為，所以．故答案為：．三、解答題17.端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中隨意選取3個.（1）求三種粽子各取到1個的概率；（2）設(shè)表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）易得的全部可能取值為0，1，2，分別求得其相應(yīng)概率，列出分布列.【詳解】（1）令表示事務(wù)“三種粽子各取到1個”，則由古典概型概率計算公式有.（2）由題意，得的全部可能取值為0，1，2，則，，.所以的分布列為01218.法國聞名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說過：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們——書籍的作者一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行溝通”閱讀會讓精神世界閃光．某探討機構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀狀況，通過隨機抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求a；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，估計該地年輕人每天閱讀時間的中位數(shù)（精確到0.1）（單位：分鐘）；（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，探討機構(gòu)采納分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，和的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中恰好有1人每天閱讀時間位于的概率．【答案】（1）（2）74.4分鐘（3）【解析】【分析】(1)依據(jù)全部矩形面積之和為1求a即可；(2)找出中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x,，求解即可；(3)先求出閱讀時間位于、、的人數(shù)，再用列舉法求解即可.【小問1詳解】解：因為頻率分布直方圖的全部矩形面積之和為1，所以，解得【小問2詳解】∵，則中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以估計該地年輕人閱讀時間的中位數(shù)約為74.4分鐘．小問3詳解】由題意，閱讀時間位于的人數(shù)為人，閱讀時間位于的人數(shù)為人，閱讀時間位于的人數(shù)為人，則抽取的5人中位于區(qū)間有1人，設(shè)為，位于區(qū)間有2人，設(shè)為，位于區(qū)間有2人，設(shè)為，則從5人中任取2人，樣本空間含有10個樣本點．設(shè)事務(wù)A為“恰有1人每天閱讀時間在”，，含有6個樣本點：∴．19.畫糖是一種以糖為材料在石板上進(jìn)行造型的民間藝術(shù)，常見于公園與旅游景點．某師傅制作了一種新造型糖畫，為了合理定價，先進(jìn)行試銷售，其單價x（元）與銷量y（個）相關(guān)數(shù)據(jù)如表：單價x（元）8.599.51010.5銷量y（個）1211976（1）已知銷量y與單價x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回來方程；（2）若該新造型糖畫每個的成本為5.7元，要使得進(jìn)入售賣時利潤最大，請利用所求出的線性回來方程確定單價應(yīng)當(dāng)定為多少元？（結(jié)果保留到整數(shù)）參考公式：線性回來方程yx中斜率和截距最小二乘法估計計算公式：．參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）y＝﹣3.2x+39.4（2）9元【解析】【分析】（1）利用公式干脆計算得到答案.（2）設(shè)定價為x元，則利潤函數(shù)為y＝（﹣3.2x+39.4）（x﹣5.7），依據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性得到答案.【詳解】（1）（8.5+9+9.5+10+10.5）＝9.5，（12+11+9+7+6）＝9，則32，9﹣（﹣3.2）×9.5＝39.4，∴y關(guān)于x的線性相關(guān)方程為y＝﹣3.2x+39.4.（2）設(shè)定價為x元，則利潤函數(shù)為y＝（﹣3.2x+39.4）（x﹣5.7），其中x≥5.7，則y＝﹣3.2x2+57.64x﹣224.58，∴對稱軸x9（元）．故為使得進(jìn)入售賣時利潤最大，確定單價應(yīng)當(dāng)定為9元．【點睛】本題考查了回來方程的計算，求最值，意在考查學(xué)生的應(yīng)用實力和計算實力.20.如圖，在三棱柱中，，，，.（1）證明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】(1)在和中，利用勾股定理可得，，再依據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；(2)以為坐標(biāo)原點建系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，再計算法向量夾角余弦值，即可求出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明：如圖，連接，在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，同理，又，平面,所以平面,又平面，所以平面平面.(2)解：以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系；其次，破“求坐標(biāo)關(guān)”，精確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.21.已知橢圓的左焦點與短軸兩端點的連線及短軸構(gòu)成等邊三角形，且橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于，兩點，關(guān)于原點的對稱點，直線，與軸分別交于，兩點，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解