2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題檢測11.4抽樣方法與總體分布的估計

.4抽樣方法與總體分布的估計一、選擇題1.(2024屆廣西調(diào)研,3)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)實力水平,某市A、B、C、D四所初中分別有200,180,100,120名初三學(xué)生參與此次數(shù)學(xué)調(diào)研考試,現(xiàn)制訂以下兩種卷面分析方案:方案①:C校參與調(diào)研考試的學(xué)生中有30名數(shù)學(xué)培優(yōu)生,從這些培優(yōu)生的試卷中抽取10份試卷進行分析;方案②:從這600名學(xué)生的試卷中抽取一個容量為200的樣本進行分析.完成這兩種方案宜采納的抽樣方法依次是()A.分層抽樣法、系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法、簡潔隨機抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法、分層抽樣法D.簡潔隨機抽樣法、分層抽樣法答案D①中總體容量較小,抽取樣本容量也小,可實行簡潔隨機抽樣法;②中總體容量大,從四所不同學(xué)校抽取,適合用分層抽樣法.故選D.2.(2024屆河北9月開學(xué)摸底,3)2024年7月,中國青年報社社會調(diào)查中心通過問卷網(wǎng),對2047名14~35歲青少年進行的專項調(diào)查顯示,對于神舟十二號航天員乘組出征太空,98.9%的受訪青少年都表示了關(guān)注,針對兩個問題“關(guān)于此次神舟十二號飛行乘組出征太空,你有什么感受(問題1)”和“青少年最關(guān)注哪些方面(問題2)”,問卷網(wǎng)統(tǒng)計了這2047名青少年回答的狀況,得到如圖所示的兩個統(tǒng)計圖,據(jù)此可得到的正確結(jié)論為()問題1問題2A.對于神舟十二號太空之旅,只有極少的受訪青少年關(guān)注航天員是怎樣選的B.對于神舟十二號飛行乘組出征太空,超過七成的受訪青少年認為開啟空間站新時代,“中國速度”令人矚目C.對于神舟十二號太空之旅,青少年關(guān)注最多的是航天員在太空的工作和生活D.對于神舟十二號飛行乘組出征太空,超過八成的受訪青少年充分感受到我國載人航天事業(yè)取得大發(fā)展、大進步答案C由題意可知,對于神舟十二號太空之旅,有46.6%的受訪青少年關(guān)注航天員是怎樣選的,即有將近一半的青少年關(guān)注此問題,所以A中結(jié)論錯誤.因為64.6%<0.7,75.3%<0.8,所以B,D中結(jié)論均錯誤.對于神舟十二號太空之旅,有74.4%的受訪青少年關(guān)注航天員在太空的工作和生活,所以C中結(jié)論正確.3.(2024屆通州期中,4)某單位有男職工56人,女職工42人,按性別分層,用分層隨機抽樣的方法從全體職工中抽出一個樣本,假如樣本按比例安排,抽取的男職工人數(shù)為16,則抽取的女職工人數(shù)為()A.12B.20C.24D.28答案A設(shè)抽取的女職工人數(shù)為n,因為n42=1656,所以n=12,因此抽取的女職工人數(shù)為12.故選4.(2024屆北京一六六中學(xué)10月月考,2)演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分,評定該選手的成果時,從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分,得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比,不變的數(shù)字特征是()A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差答案A依據(jù)中位數(shù)特征知去掉最高分和最低分后,中位數(shù)肯定不會改變.故選A.5.(2024屆房山開學(xué)考試,3)某中學(xué)高一、高二和高三各年級人數(shù)見下表.采納分層隨機抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的視力狀況,在抽取的樣本中,高二年級有20人,那么該樣本中高三年級的人數(shù)為()年級人數(shù)高一550高二500高三m合計1500A.16B.18C.22D.40答案Bm=1500-500-550=450,設(shè)該樣本中高三年級的人數(shù)為n,則有20500=n450,解得n=18,故選6.(2024屆河南三市聯(lián)考,6)從某中學(xué)2024名學(xué)生中選取50名學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽,若采納以下方法選取:先用簡潔隨機抽樣方法從2024名學(xué)生中剔除21名,再從余下的2000名學(xué)生中隨機抽取50名.則其中學(xué)生丙被選取和被剔除的概率分別是()A.140,212021B.50C.140,212000D.21答案B由系統(tǒng)抽樣的定義知,從N個個體中隨機抽取M個個體,每個個體被抽到的概率都等于MN.故丙被選取的概率P=502021.同樣剔除21人,每個個體被剔除的概率也相同,均為212021.7.(2024屆廣西北海模擬,3)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》是南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著數(shù)學(xué)著作,書中共列算題81問,分為9類.全書采納問題集的形式,并不按數(shù)學(xué)方法來分類.題文也不只談數(shù)學(xué),還涉及自然現(xiàn)象和社會生活,該書成為了解當(dāng)時社會政治和經(jīng)濟生活的重要參考文獻.《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”一題,現(xiàn)有類似的題:糧倉開倉收糧,糧農(nóng)送來米1500石,為驗得米夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得304粒中夾谷30粒,則這批米內(nèi)夾谷約為()A.148石B.149石C.150石D.151石答案A由題意可知這批米內(nèi)夾谷約為1500×30304≈148(石).故選A8.(2024屆江西頂級名校調(diào)研,10)如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖,則由圖中的數(shù)據(jù)可以估計眾數(shù)與中位數(shù)分別是()A.12.5,12.5B.12.5,13C.13,12.5D.13,13答案B頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo),由題圖知中間的一個矩形最高,區(qū)間[10,15)的中點是12.5,故眾數(shù)是12.5.頻率分布直方圖中,中位數(shù)是把直方圖分成面積相等兩部分的平行于y軸的直線與x軸交點的橫坐標(biāo).設(shè)中位數(shù)為x,由5×0.04+(x-10)·0.1=0.5得x=13,∴中位數(shù)是13.故選B.9.(2024屆廣東茂名五校聯(lián)考,7)某市居民月均用水量的頻率分布直方圖如圖所示:其眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)的估計值分別為x0,x中,x,則下列結(jié)論正確的是()A.x>x中>x0B.x中>x>x0C.x>x0>x中D.x中>x0>x答案A由頻率分布直方圖可知,x中>x0,又因為頻率分布直方圖是右邊拖尾型的,所以x>x中,故選A.10.(2024屆北京十五中10月月考,10)A,B,C,D四名工人一天中生產(chǎn)零件的狀況如圖所示,每個點的橫、縱坐標(biāo)分別表示該工人一天中生產(chǎn)的Ⅰ型、Ⅱ型零件數(shù),則下列說法錯誤的是()A.四個工人中,D的日生產(chǎn)零件總數(shù)最大B.A,B日生產(chǎn)零件總數(shù)之和小于C,D日生產(chǎn)零件總數(shù)之和C.A,B日生產(chǎn)Ⅰ型零件總數(shù)之和小于Ⅱ型零件總數(shù)之和D.A,B,C,D日生產(chǎn)Ⅰ型零件總數(shù)之和小于Ⅱ型零件總數(shù)之和答案D借助尺規(guī)可知點D的橫、縱坐標(biāo)之和最大,即D的日生產(chǎn)零件總數(shù)最大,所以A中說法正確;點A,B的橫、縱坐標(biāo)之和小于點C,D的橫、縱坐標(biāo)之和,即A,B日生產(chǎn)零件總數(shù)之和小于C,D日生產(chǎn)零件總數(shù)之和,所以B中說法正確;點A,B的橫坐標(biāo)之和小于縱坐標(biāo)之和,即A,B日生產(chǎn)Ⅰ型零件總數(shù)之和小于Ⅱ型零件總數(shù)之和,所以C中說法正確;點A,B,C,D的橫坐標(biāo)之和大于縱坐標(biāo)之和,即A,B,C,D日生產(chǎn)Ⅰ型零件總數(shù)之和大于Ⅱ型零件總數(shù)之和,所以D中說法錯誤.故選D.三、解答題11.(2024屆云南頂級名校適應(yīng)性考試,20)我國是世界上嚴峻缺水的國家,某市為了制訂合理的節(jié)水方案,對居民用水狀況進行了調(diào)查.通過抽樣調(diào)查,獲得了某年該市100位居民的月均用水量(單位:噸).將數(shù)據(jù)依據(jù)[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值;假設(shè)該市有10萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于2.5噸的人數(shù);(2)估計該市居民月均用水量的平均數(shù).(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)解析(1)由頻率分布直方圖可知,2×0.5×a=1-(2×0.08+0.16+0.42+0.50+0.12+0.04)×0.5,解得a=0.30.該市100位居民月均用水量不低于2.5噸的頻率為0.15+0.06+0.04+0.02=0.27,由以上樣本的頻率分布,可以估計10萬居民月均用水量不低于2.5噸的人數(shù)為100000×0.27=27000.(2)設(shè)月均用水量的平均數(shù)為x噸,則x=0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.21+2.25×0.25+2.75×0.15+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.03,故該市居民月均用水量的平均數(shù)約為2.03噸.12.(2024屆山西模擬,19)書籍是精神世界的入口,閱讀讓精神世界閃光,閱讀漸漸成為很多人的一種生活習(xí)慣,每年4月23日為世界讀書日.某探討機構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀狀況,通過隨機抽樣調(diào)查了100位年輕人,對這些人每天的閱讀時間(單位:分鐘)進行統(tǒng)計,得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.(1)求a;(2)依據(jù)頻率分布直方圖,估計這100位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)x(單位:分鐘);(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)(3)為了進一步了解年輕人的閱讀方式,探討機構(gòu)采納分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于[50,60),[60,70)和[80,90)的年輕人中抽取5人,再從中任選2人進行調(diào)查,求其中至少有1人每天閱讀時間位于[80,90)的概率.解析(1)依據(jù)頻率分布直方圖得(0.005+0.01+2a+0.045)×10=1,∴a=0.02.(2)x=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74.(3)由于[50,60),[60,70)和[80,90)的頻率之比為1∶2∶2,故抽取的5人中,每天閱讀時間位于[50,60),[60,70)和[80,90)的分別有1人,2人,2人,記每天閱讀時間在[50,60)的1人為a,在[60,70)的2人為b,c,在[80,90)的2人為A,B.故隨機抽取2人,結(jié)果有(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),共10種,其中至少有1人每天閱讀時間位于[80,90)的包含7種結(jié)果,故所求概率P=71013.(2024屆河南安陽模擬,20)“2024年全國城市節(jié)約用水宣揚周”已于5月9日至15日實行.成都市圍繞“貫徹新發(fā)展理念,建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題,開展了形式多樣、內(nèi)容豐富的活動,進一步增加全民愛護水資源、防治水污染、節(jié)約用水的意識.為了解活動開展成效,某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調(diào)查住戶的節(jié)約用水狀況,隨機抽取了300名業(yè)主進行節(jié)約用水調(diào)查評分,將得到的分數(shù)分成6組:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值,并估計這300名業(yè)主評分的中位數(shù);(2)若先用分層抽樣的方法從評分在[90,95)和[95,100]的業(yè)主中抽取5人,再從抽出的這5位業(yè)主中隨意選取2人作進一步訪談,求這2人中至少有1人的評分在[95,100]的概率.解析(1)∵第三組的頻率為1-(0.020+0.025+0.030+0.035+0.050)×5=0.200,∴a=0.∵前三組的頻率之和為0.025×5+0.035×5+0.200=0.500,∴這300名業(yè)主評分的中位數(shù)為85.(2)由頻率分布直方圖知評分在[90,95)的人數(shù)與評分在[95,100]的人數(shù)之比為3∶2.∴采納分層抽樣法從評分在[90,95)和[95,100]的業(yè)主中抽取5人,評分在[90,95)的有3人,評分在[95,100]的有2人.不妨設(shè)評分在[90,95)的3人分別為A1,A2,A3;評分在[95,100]的2人分別為B1,B2.則從5人中任選2人的全部可能狀況有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10種,其中選取的2人中至少有1人的評分在[95,100]的狀況有:{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共7種.故這2人中至少有1人的評分在[95,100]的概率P=71014.(2024屆陜西頂級名校月考,20)某城市100戶居民的月平均用電量(單位:千瓦時)按[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值;(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);(3)在月平均用電量在[240,260),[260,280),[280,300]的三組用戶中,用分層抽樣的方法抽取6戶居民,并從抽取的6戶中任選2戶參與一個訪談節(jié)目,求參與節(jié)目的2戶來自不同組的概率.解析(1)由(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x+0.0050+0.0025)×20=1得x=0.0075,所以直方圖中x的值是0.0075.(2)月平均用電量的眾數(shù)是220+2402=230千瓦時因為(0.0020+0.0095+0.0110)×20=0.45<0.5,且(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125)×20=0.7>0.5,所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi),設(shè)中位數(shù)為a,由(0.0020+0.0095+0.0110)×20+0.0125×(a-220)=0.5,解得a=224,故月平均用電量的中位數(shù)是224千瓦時.(3)月平均用電量在[240,260)的用戶有0.0075×20×100=15(戶),月平均用電量在[260,280)的用戶有0.0050×20×100=10(戶),月平均用電量在[280,300]的用戶有0.0025×20×100=5(戶).由已知得在月平均用電量在[240,260),[260,280),[280,300]的用戶中分別抽取3戶、2戶和1戶.設(shè)參與節(jié)目的2戶來自不同組為事務(wù)A,將月平均用電量在[240,260)的用戶記為a1,a2,a3,在[260,280)的用戶記為b1,b2,在[280,300]的用戶記為c,從6戶中隨機抽取2戶,有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c),(b1,b2),(b1,c),(b2,c),共15種結(jié)果,其中滿意條件的有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c),(b1,c),(b2,c),共11種.故P(A)=111515.(2024屆昆明模擬,18)某種治療新型冠狀病毒肺炎的復(fù)方中藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,為了提高產(chǎn)品質(zhì)量,我國醫(yī)療科研專家攻堅克難,新研發(fā)出A、B兩種新配方,在兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取數(shù)量相同的樣本,測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,規(guī)定指標(biāo)值小于85時為廢品,指標(biāo)值在[85,115)為一等品,大于115為特等品.現(xiàn)把測量數(shù)據(jù)整理如下,其中B配方廢品有6件.A配方的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數(shù)8a36248(1)求a,b的值;(2)試確定A配方和B配方哪一種好.(說明:在統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表)解析(1)設(shè)A,B配方的樣本容量均為n,由已知得6n=0.006×10,解得∴a=100-(8+36+24+8)=24.由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)×10=1,解得b=0.026,因此a,b的值分別為24,0.026.(2)由(1)及A配方的頻數(shù)分布表得,A配方質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為xA=1質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為sA2=1100×[(-20)2×8+(-10)2×24+02×36+102由B配方的頻率分布直方圖得,B配方質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為xB質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為sB2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+02×0.38+102×0.22+20綜上,xA=xB,sA2>sB2,即兩種配方質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)相等,但A16.(2024屆河北玉田一中開學(xué)考試)某校高三年級實行了高校強基安排模擬考試(滿分100分),將不低于50分的考生的成果分為5組,即[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并繪制頻率分布直方圖如圖所示,其中在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為3.(1)求a的值,并估計不低于50分考生的平均成果;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)(2)現(xiàn)把[50,60)和[90,100]內(nèi)的全部學(xué)生的考號貼在質(zhì)地、形態(tài)和大小均相同的小球上,并放在盒子內(nèi),現(xiàn)從盒中隨機抽取2個小球,若取出的兩個成果差不小于30,則稱這兩人為“黃金搭檔組”.現(xiàn)隨機抽取4次,每次取出2個小球,登記考號后再放回盒內(nèi),記取出“黃金搭檔組”的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解析(1)由題意,得(0.005+0.01+0.015+a+0.045)×10=1,解得a=0.025.估計不低于50分考生的平均成果為55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分).(2)在[90,100]上的頻率為0.005×10=0.05,由條件得總?cè)藬?shù)為30所以在[50,60)內(nèi)的人數(shù)為60×0.1=6.每次隨機抽取,取出“黃金搭檔組”的概率為C61C因此,X~B4,P(X=0)=C40120×1-124=116,P(X=1)=C41×121×1-123=14X的分布列為X01234P11311E(X)=4×1217.(2024屆北京一六一中學(xué)開學(xué)考試,18)已知表1和表2是某年部分日期天安門廣場升旗時刻表.表1:某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表日期升旗時刻日期升旗時