2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組10.1計數(shù)原理排列與組合

.1計數(shù)原理、排列與組合考點計數(shù)原理、排列、組合1.(2016四川理,4,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24B.48C.60D.72答案D奇數(shù)的個數(shù)為C32.(2015四川理,6,5分)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有()A.144個B.120個C.96個D.72個答案B數(shù)字0,1,2,3,4,5中僅有0,2,4三個偶數(shù),比40000大的偶數(shù)為以4開頭與以5開頭的數(shù).其中以4開頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾,有2A43=48個;同理,以5開頭的有3A43=72個.于是共有48+72=120評析本題考查了分類與分步計數(shù)原理、排列數(shù)的學(xué)問.考查學(xué)生分析問題、解決問題的實力.3.(2014大綱全國理,5,5分)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組.則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種答案C從6名男醫(yī)生中選出2名有C62種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有C51種選法,由分步乘法計數(shù)原理得不同的選法共有C62·4.(2014遼寧理,6,5分)6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔開擺好,它們之間和兩端有4個位置,再把三人帶椅子插放在四個位置,共有A43=24種放法,評析本小題主要考查排列組合的應(yīng)用及邏輯思維實力,解決不相鄰問題常采納插空法.5.(2014四川理,6,5分)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有()A.192種B.216種C.240種D.288種答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120種排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個位置有A44=24種排法,6.(2014重慶理,9,5分)某次聯(lián)歡會要支配3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出依次,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72B.120C.144D.168答案B先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有A33·A43=144種,再剔除小品類節(jié)目相鄰的狀況,共有A33·A22·7.(2013山東理,10,5分)用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法計數(shù)原理知:用0,1,…,9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個數(shù)為9×10×10=900,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8=648,則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900-648=252,故選B.評析本題考查分步乘法計數(shù)原理,考查學(xué)生的推理運算實力.8.(2012課標(biāo)理,2,5分)將2名老師,4名學(xué)生分成2個小組,分別支配到甲、乙兩地參與社會實踐活動,每個小組由1名老師和2名學(xué)生組成,不同的支配方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種答案A2名老師各在1個小組,給其中1名老師選2名學(xué)生,有C42種選法,另2名學(xué)生安排給另1名老師,然后將2個小組支配到甲、乙兩地,有A22種方案,故不同的支配方案共有C4評析本題考查了排列組合的實際應(yīng)用,考查了先分組再安排的方法.9.(2012遼寧理,5,5分)一排9個座位坐了3個三口之家.若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步:3個家庭的全排列,方法數(shù)為3!;第2步:家庭內(nèi)部3個人全排列,方法數(shù)為3!,共3個家庭,方法數(shù)為(3!)3,∴總數(shù)為(3!)×(3!)3=(3!)4,故選C.評析本題主要考查計數(shù)原理的基礎(chǔ)學(xué)問,考查學(xué)生分析、解決問題的實力.10.(2012安徽理,10,5分)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進(jìn)行紀(jì)念品的交換,隨意兩位同學(xué)之間最多交換一次,進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀(jì)念品.已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由題意及C62=15知只需少交換2次.記6位同學(xué)為A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨探討①A1少交換2次,如A1未與A2、A3交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)僅為A2、A32人;②A1、A2各少交換1次,如A1與A3未交換,A2與A4未交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)有4人,為A1、A2、A3、A4.評析本題考查了計數(shù)原理等學(xué)問,考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問,分類探討思想,利用符號標(biāo)記詳細(xì)分析是順當(dāng)解題的關(guān)鍵.11.(2016課標(biāo)Ⅲ,12,5分)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對隨意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個B.16個C.14個D.12個答案C本題考查組合數(shù)和計數(shù)原理的應(yīng)用,考查分類探討的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)m=4時,數(shù)列{an}共有8項,其中4項為0,4項為1,要滿意對隨意k≤8,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),則必有a1=0,a8=1,a2可為0,也可為1.(1)當(dāng)a2=0時,分以下3種狀況:①若a3=0,則a4,a5,a6,a7中隨意一個為0均可,則有C41=4種狀況;②若a3=1,a4=0,則a5,a6,a7中隨意一個為0均可,有C31=3種狀況;③若a3=1,a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有C21=2種狀況;(2)當(dāng)a2=1時,必有a3=0,分以下2種狀況:①若a4=0,則a5,a6,a7中任一個為0均可,有C31=3種狀況;②若a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有C21=2種狀況.綜上所述,不同的“規(guī)范解后反思本題是“新定義”問題,理解“規(guī)范01數(shù)列”的定義是解題的關(guān)鍵,留意分類探討時要不重不漏.12.(2017天津理,14,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有個.(用數(shù)字作答)

答案1080解析本題主要考查計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用.(1)有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有C41C(2)沒有偶數(shù)的四位數(shù)有A54=120故這樣的四位數(shù)一共有960+120=1080個.思路分析分兩種狀況:①有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù);②沒有偶數(shù)的四位數(shù).13.(2015廣東理,12,5分)某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)

答案1560解析∵同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,且全班共有40人,∴全班共寫了40×39=1560條畢業(yè)留言.14.(2013北京理,12,5分)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張.假如分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是.

答案96解析5張參觀券分成4份,1份2張,另外3份各1張,且2張參觀券連號,則有4種分法,把這4份參觀券分給4人,則不同的分法種數(shù)是4A415.(2013大綱全國理,14,5分)6個人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.(用數(shù)字作答)

答案480解析先將除甲、乙兩人以外的4人排成一行,有A44=24種排法,再將甲、乙插入有A52=20種,所以6人排成一行,16.(2013浙江理,14,4分)將A,B,C,D,E,F六個字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有種(用數(shù)字作答).

答案480解析從左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120種;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72種;若C排在第3位,則A、B可排C的左側(cè)或右側(cè),共有排法A22·A33+A32·A33=48種;17.(2011北京理,12,5分)用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有個.(用數(shù)字作答)

答案14解析解法一:數(shù)字2只出現(xiàn)一次的四位