廣東省廣州市番禺區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市番禺區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.2.設(shè)則（）A.1 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，.故選：C3.在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，中，，A不是；對(duì)于B，中，，B不是；對(duì)于C，化為，，C不是；對(duì)于D，中，，D是.故選：D4.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的一個(gè)方向向量為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為2，而直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：C5.番禺圖書(shū)館新館是一個(gè)集知識(shí)、信息、文化為一體的綜合性閱讀場(chǎng)所.有段時(shí)間內(nèi)，若甲同學(xué)前往圖書(shū)館新館的概率為0.5，乙前往圖書(shū)館新館的概率0.8，且甲、乙兩人各自行動(dòng)，則在此段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩人至少有一人前往番禺圖書(shū)館新館的概率是（）A.0.9 B.0.8 C.0.5 D.0.4【答案】A【解析】依題意，甲、乙兩人都沒(méi)前往番禺圖書(shū)館新館的概率，所以甲、乙兩人至少有一人前往番禺圖書(shū)館新館的概率是.故選：A6.設(shè)點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)）．若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】如下圖所示：連接、，設(shè)，由對(duì)稱性可知，為的中點(diǎn)，，因?yàn)?，則線段是以為直徑的圓的一條直徑，則為圓心，故為的中點(diǎn)，又因?yàn)椋?、互相垂直且平分，所以，四邊形為正方形，則，所以，，所以，該雙曲線的離心率為.故選：A.7.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則可設(shè)，其中，，其中，根據(jù)圖中可知直線和直線為異面直線，若能取到兩異面直線間的距離，則此時(shí)距離最小，根據(jù)異面直線公垂線的定義知，，，，，，則，則，，解得，滿足范圍，則此時(shí)，則.故選：C.8.蜜蜂是母系社會(huì)生物，蜂后產(chǎn)的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是“有母無(wú)父”，雌蜂是“有父有母”的，下圖是某只雄峰的家系圖，規(guī)定：其“父母”為上溯第1代祖輩，其“祖父母”為上溯第2代祖輩，以此類(lèi)推.記表示該雄蜂上溯第代祖輩數(shù)量，例如.那么，下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C D.【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故，D錯(cuò)誤.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在等差數(shù)列中，已知，，是其前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】在等差數(shù)列中，由，，得公差，A正確；，B正確；，C錯(cuò)誤；由，得，因此，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)（），則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱B.函數(shù)的最小正周期為C.點(diǎn)為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.函數(shù)的最大值為1【答案】BD【解析】由題意可得：，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椴粸樽钪担院瘮?shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：函數(shù)的最小正周期為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋渣c(diǎn)不為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最大值為1，故D正確；故選：BD.11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，是直線上的點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A.點(diǎn)的軌跡是圓 B.的最大值為 C.的最小值為 D.【答案】ACD【解析】設(shè)，則，即，所以點(diǎn)軌跡是圓，此圓圓心為，半徑為．是圓的一條直徑．點(diǎn)到直線的距離為，直線與圓相離，無(wú)最大值，最小值為，由于已知直線與以為直徑的圓相離，，因此ACD正確．故選：ACD12.過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，兩點(diǎn)，則（）A.以線段為直徑的圓與軸相切 B.的最小值為4C.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為 D.【答案】BC【解析】由題意可知：拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，且直線的斜率可以不存在，但不為0，設(shè)直線，，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，可得，，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，即，則到準(zhǔn)線的距離，所以以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，則，即，聯(lián)立，解得，代入可得，解得，所以直線的斜率為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小顧5分，共20分.13.等比數(shù)列中，，，則___________【答案】16【解析】由題意，等比數(shù)列中，若，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，即，解得.故答案為：14.已知圓：，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則______.【答案】【解析】點(diǎn)到圓心的距離為，則切線長(zhǎng)為.故答案為：.15.在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，是的中點(diǎn)，則______.【答案】2【解析】在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，所以.故答案為：216.用一個(gè)平面將圓柱切割成如圖的兩部分.然后將下半部分幾何體的側(cè)面展開(kāi).若該平面與圓柱側(cè)面所形成的交線在側(cè)面展開(kāi)圖中對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，，則該平面與圓柱底面所形成的二面角的正弦值是______.【答案】【解析】由在一個(gè)周期上圖象如圖，其最大值與最小值相差，即截面的最高處與最低處的高度差為，底面周長(zhǎng)為，即底面半徑為1，故直徑為2，所以平面與圓柱底面所形成的二面角的正弦值是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的面積.解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，顯然，即，于是，所以.（2）在中，，，，由余弦定理，得，所以的面積.18.某大型連鎖超市為了解客戶去年在該超市消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100位客戶進(jìn)行調(diào)查.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）均在區(qū)間內(nèi)，按，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求該頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作為代表）（2）為了解顧客需求，該超市從消費(fèi)金額在區(qū)間和內(nèi)的客戶中，采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行電話訪談，再?gòu)脑L談的5人中隨機(jī)抽取2人作為“幸運(yùn)客戶”，求“幸運(yùn)客戶”中恰有1人來(lái)自區(qū)間的概率.解：（1）由題可知，即，所以.由頻率分布直方圖可得，因此，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)為萬(wàn)元.（2）記“幸運(yùn)客戶中恰有1人來(lái)自區(qū)間”為事件.因?yàn)閰^(qū)間與頻率之比為，采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行電話訪談，故從分組區(qū)間中抽取2人，分別記為，從分組區(qū)間中抽取3人，分別記為，從這5個(gè)人中隨機(jī)選擇2人作為“幸運(yùn)客戶”，樣本點(diǎn)表示“選出”（余類(lèi)推），則樣本空間為.所以.答：幸運(yùn)客戶中恰有1人來(lái)自區(qū)間的概率為.19.已知數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為3，公比為（）的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因，，成等差數(shù)列，則，即，可得，解得或，又因?yàn)?，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，則有：當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；且滿足，所以.結(jié)合（1）可得，則，所以.20.如圖，在直三棱柱中，是上的一點(diǎn)，且平面.（1）求證：；（2）若，，為的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）在直三棱柱中，平面，平面，則，由平面，且平面，得，又平面，，于是平面，又平面，所以.（2）由（1）知平面，平面，則，顯然直線兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，顯然平面，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，因此，所以平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為定值（）.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明隨變化時(shí)，方程所表示的曲線的形狀；（2）若，設(shè)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，（其中），若，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的值．解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，依題意有，整理，得，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：,時(shí)，軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，時(shí)，軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，時(shí)，軌跡是圓，時(shí)，軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且點(diǎn)不在曲線上．（2）由題意可知，斜率一定存在且不為零，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立，得，，，因?yàn)?，，恰好?gòu)成等比數(shù)列，所以，即代入韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)椋?22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（3）給