海南省2025屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題（一）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1海南省2025屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題（一）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意得：集合，所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，所以.故選：D3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.4.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】如圖，設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，則，所以，得，又，所以.故選：A5.已知且，若函數(shù)與在上的單調(diào)性相同，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知在上只能是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以得.又單調(diào)遞增，所以.綜上得.故選：C6.如圖是函數(shù)的大致圖象，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖可知，是的極小值點(diǎn)，由已知得，令，得，得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以，由，，可得，解得.故選：D7.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若，則當(dāng)時(shí)，，則恒成立，不符合題意.若，函數(shù)和函數(shù)都是偶函數(shù)，且都在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使在上存在零點(diǎn)，只需，即，所以.故選：.8.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，且為奇函數(shù)，所以，得，所以，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.自然常數(shù)是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)常數(shù)，17世紀(jì)人們在研究經(jīng)濟(jì)學(xué)中的復(fù)利問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)，后來眾多數(shù)學(xué)家對自然常數(shù)進(jìn)行了深入的研究，其字母表示來自數(shù)學(xué)家歐拉的名字.已知函數(shù)，則下列命題為真命題的是（）A.，B.，C.，，D.，，【答案】ABD【解析】對于A，，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對于C,D，，，，要使選項(xiàng)中所述等式成立，需，當(dāng)，時(shí)，該式不一定成立，當(dāng)，時(shí)，該式成立，故C錯(cuò)誤，D正確.故選:ABD.10.已知，，若，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，所以，即，所以，所以，所以，，?故B，C正確，A，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線與軸平行，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，由題意知.對于A，因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；對于B，同理，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，若，，，則，故C錯(cuò)誤；對于D，由，得，由，得，所以，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最小值為.13.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，為的導(dǎo)函數(shù)，則__________.【答案】【解析】，所以.14.記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則_________.【答案】【解析】設(shè)，則，當(dāng)，時(shí)，（不恒為零），所以是減函數(shù)，所以設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，（1）求的解析式；（2）將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，求在區(qū)間上的最值.解：（1）由圖象知.因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，又，所以，所以.又的圖象過點(diǎn)，由“五點(diǎn)作圖法”可得，所以.所以.（2）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為1.16.已知函數(shù).（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積；（2）設(shè)函數(shù)，若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得，則.又因?yàn)?，所以的圖象在點(diǎn)處的切線為，與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為和，所求的封閉圖形的面積為.（2）的定義域?yàn)?,+∞，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，所以.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，h'x>0，hx單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，h'所以，所以的取值范圍是.17.甲、乙兩位跑步愛好者堅(jiān)持每天晨跑，上周的7天中，他們各有5天晨跑路程超過.（1）從上周任選3天，設(shè)這3天中甲晨跑路程超過的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）用上周7天甲、乙晨跑路程的頻率分布估計(jì)他們各自每天晨跑路程的概率分布，且他們每天晨跑的路程互不影響.設(shè)“下個(gè)月的某3天中，甲晨跑路程超過的天數(shù)比乙晨跑路程超過的天數(shù)恰好多2”為事件，求.參考數(shù)據(jù)：.解：(1)由題意知的所有可能取值為1，2，3，且，.所以的分布列為123.（2）設(shè)下個(gè)月的某3天中，甲晨跑路程超過的天數(shù)為，乙晨跑路程超過的天數(shù)為，則，均服從二項(xiàng)分布則.18.已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，動(dòng)直線過點(diǎn).（1）求的方程；（2）求點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)的軌跡方程；（3）若與交于，兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），直線，分別與直線交于點(diǎn)，，證明：.解：（1）由題意，可設(shè)點(diǎn)，.由，得，解得，所以，將其坐標(biāo)代入拋物線的方程得，解得，所以的方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)，關(guān)于對稱，過點(diǎn)，所以.當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段也繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，故點(diǎn)的軌跡方程為.（3）設(shè)，，，，直線的方程為.由題可知直線不過點(diǎn)，則.聯(lián)立得消去，整理得，恒成立，則，，直線的方程為，即.令，得，則，同理可得，所以，因此.19.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）任意給定，求滿足的數(shù)對的個(gè)數(shù)；（3）若，證明：當(dāng)時(shí)，.解：（1）當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，得，整理可得，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.（2）由(1