河南省部分重點(diǎn)高中2024屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（期末聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省部分重點(diǎn)高中2024屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（期末聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.7【答案】B【解析】由題意可得，故的真子集的個數(shù)為．故選：B．2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因，則，所以，故，故A正確.故選：A．3.已知單位向量的夾角為，則（）A.9 B. C.10 D.【答案】B【解析】由題意可得，故.故選：B.4.據(jù)科學(xué)研究表明，某種玫瑰花新鮮程度y與其花朵凋零時間t（分鐘）（在植物學(xué)上t表示從花朵完全綻放時刻開始到完全凋零時刻為止所需的時間）近似滿足函數(shù)關(guān)系式：（b為常數(shù)），若該種玫瑰花在凋零時間為10分鐘時的新鮮程度為，則當(dāng)該種玫瑰花新鮮程度為時，其凋零時間約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.3分鐘 B.30分鐘 C.33分鐘 D.35分鐘【答案】C【解析】由題意得，則，令，即，解得．故選：C．5.已知某圓臺的體積為，其上、下底面圓的面積之比為且周長之和為，則該圓臺的高為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】設(shè)上、下底面圓的半徑分別為r，R，圓臺的高為h，則由題意可得，解得，則，解得．故選：D．6.已知拋物線，過點(diǎn)且斜率為的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，且，則C的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，直線，聯(lián)立得，則，，又l經(jīng)過C的焦點(diǎn)，則，解得，故的準(zhǔn)線方程為．故選：D．7.已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，，整理得，令，則，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故是數(shù)列的最大項(xiàng)，則的取值范圍為，故C正確.故選：C．8.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，則的最大值為（）X012PaA. B. C. D.1【答案】C【解析】，故，易得，，則，故，，又因?yàn)?，所以．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某高中從本校的三個年級中隨機(jī)調(diào)查了五名同學(xué)關(guān)于生命科學(xué)科普知識的掌握情況，五名同學(xué)的成績?nèi)缦拢?4，72，68，76，80，則（）A.這五名同學(xué)成績的平均數(shù)為78 B.這五名同學(xué)成績的中位數(shù)為74C.這五名同學(xué)成績的上四分位數(shù)為80 D.這五名同學(xué)成績的方差為32【答案】CD【解析】A選項(xiàng)，這五名同學(xué)成績的平均數(shù)為，A錯誤；B選項(xiàng)，將五名同學(xué)的成績按從小到大排列：68，72，76，80，84，則這五名同學(xué)成績的中位數(shù)為76，B錯誤；C選項(xiàng)，，故成績從小到大排列后，第4個數(shù)即為上四分位數(shù)，即80，C正確；D選項(xiàng)，五名同學(xué)成績的方差為，D正確．故選:CD．10.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則可能取值為（）A.2 B.C. D.4【答案】BD【解析】由題意可得，令，由于，則，，由于對勾函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，，故，所以．故選：BD．11.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，點(diǎn)M的軌跡為，則（）A.為中心對稱圖形B.M到直線距離的最大值為5C.若線段上的所有點(diǎn)均在中，則最大為D.使成立的M點(diǎn)有4個【答案】ABC【解析】由題可得，故點(diǎn)M在以A為圓心、半徑分別為1，2的兩圓之間（包含邊界），為內(nèi)徑為1，外徑為2的圓環(huán)，A正確；直線過定點(diǎn)，故M到直線的距離最大時為M與點(diǎn)的距離，則，B正確；當(dāng)恰與圓相切時，最大，此時直線與y軸重合，故，C正確；，則直線：或，直線與直線有無數(shù)點(diǎn)在上，故符合的M點(diǎn)有無數(shù)個，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為______．【答案】1120【解析】的展開式的通項(xiàng)為，故令可得含項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：.13.已知，則______．【答案】【解析】由，可得，故.故答案為：.14.三個相似的圓錐的體積分別為，，，側(cè)面積分別為，，，且，，則實(shí)數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】設(shè)三個圓錐的高分別為，，．母線與軸線的夾角為，則，由，得，則，由可得，則，則令，，得，令，解得；令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，故．故答案為：四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點(diǎn)個數(shù)．解：（1）當(dāng)時，，則，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，，，則，故在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以在上的零點(diǎn)個數(shù)為．16.2024年由教育部及各省教育廳組織九省聯(lián)考于1月19日開考，全程模擬高考及考后的志愿填報等．某高中分別隨機(jī)調(diào)研了名男同學(xué)和名女同學(xué)對計算機(jī)專業(yè)感興趣的情況，得到如下列聯(lián)表．對計算機(jī)專業(yè)感興趣對計算機(jī)專業(yè)不感興趣合計男同學(xué)女同學(xué)合計（1）完善以上的列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生是否對計算機(jī)專業(yè)感興趣與性別有關(guān)；（2）將樣本的頻率作為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，求其中對計算機(jī)專業(yè)感興趣的學(xué)生人數(shù)的期望和方差．附：，其中．解：（1）完善列聯(lián)表如下：對計算機(jī)專業(yè)感興趣對計算機(jī)專業(yè)不感興趣合計男同學(xué)401050女同學(xué)302050合計7030100則，故根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為該校學(xué)生是否對計算機(jī)專業(yè)感興趣與性別有關(guān)．（2）由（1）知，對計算機(jī)專業(yè)感興趣的樣本頻率為，設(shè)抽取的30名學(xué)生中對計算機(jī)專業(yè)感興趣的學(xué)生的人數(shù)為X，所以隨機(jī)變量，故，．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，且，為等邊三角形，平面平面直線．（1）證明：平面；（2）若與平面的夾角為，求四棱錐的體積．證明：（1）由題可知，平面，平面，平面．又平面，平面平面，．又平面，平面，平面．解：（2）以為原點(diǎn)，平面內(nèi)垂直于的直線為軸，所在直線為軸，垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等腰梯形的高為，則，，，，，則，，設(shè)為平面的法向量，則，即，令得為平面的一個法向量．又，則可得直線的一個平行向量，設(shè)為與平面的夾角，由，解得．．18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若E，F(xiàn)為橢圓C上異于A，B的兩個不同動點(diǎn)，且直線與的斜率滿足，證明：直線恒過定點(diǎn)．解：（1）由題意可得，則，又點(diǎn)在C上，所以，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．證明：（2）由（1）可得，，，易知直線與直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線的方程為，直線的方程為．由得，所以，故，則，故．由得，所以，故，則，故．若直線過定點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對稱性可知直線所過定點(diǎn)必在x軸上，設(shè)定點(diǎn)為．則，即，所以，化簡可得，故，即直線過定點(diǎn)．19.三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知，是空間直角坐標(biāo)系中異于的不同兩點(diǎn)（1）①若，，求；②證明.（2）