安徽省六安市金安區(qū)2023-2024 學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測九年級數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.下列函數(shù)中，的值隨值的增大而減小的是（）A B. C. D.2.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，-2），則k的值為（）A. B. C.2 D.3.已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.4.大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為的黃金分割點（），如果的長度為，那么的長度是（）A. B. C. D.5如圖，△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為（）A.4 B.4 C.6 D.46.阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”這句話精辟地闡明了一個重要的物理學(xué)知識——杠桿原理，即“阻力×阻力臂=動力×動力臂”．若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則動力F關(guān)于動力臂l的函數(shù)圖象為（）A. B.C. D.7.正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則的值為（）A. B. C.1 D.8.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A. B.6 C. D.89.如圖，一次函數(shù)y1＝x與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點，則函數(shù)y＝ax2＋（b－1）x＋c的圖象可能是（）A. B. C. D.10.如圖，在中，，，為上任意一點，為的中點，連接在上且，連接，則的最小值為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.若，則的值為______．12.若拋物線與軸只有一個公共點，則的值為______．13.如圖，，，，則______．14.如圖，點A在直線上，軸于點B，點C在線段上，以為邊作正方形，點D恰好在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）第一象限的圖象上，連接．（1）若，，則______；（2）若，則______．三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）15.計算：16.定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有．例如：，根據(jù)以上知識解決下列問題：求拋物線的頂點坐標(biāo)．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的長．18.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫出△A1B1C1和△A2B2C2：(1)將△ABC先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△A1B1C1；(2)以圖中的點O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A2B2C2．五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19.學(xué)生到工廠勞動實踐，學(xué)習(xí)制作機械零件．零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形AEFD為矩形，點B、C分別在EF、DF上，，，，．求零件的截面面積．參考數(shù)據(jù)：，．20.如圖，將矩形紙片沿著過點D的直線折疊，使點A落在邊上，落點為F，折痕交邊于點E，（1）求證：；（2）若，求的長；六、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）21.如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象分別與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限交于點A(4，3)，與y軸的負(fù)半軸交于點B，且OA＝OB．（1）求函數(shù)y＝kx+b和y＝的表達(dá)式；（2）已知點C(0，5)，試在該一次函數(shù)圖象上確定一點M，使得MB＝MC，求此時點M的坐標(biāo)．22.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿CB向點B方向運動，如果點P速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，就停止運動．設(shè)運動時間為t秒．求：（1）當(dāng)t=3秒時，這時，P，Q兩點之間的距離是多少？（2）若△CPQ面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)t為多少秒時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？七、（本大題共1小題，共14分）23.如圖，已知拋物線與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C，點P是上方拋物線上一動點，作軸于點M，點M的橫坐標(biāo)為，交于點D．（1）求A，B的坐標(biāo)和直線的解析式；（2）連接，求面積的最大值；（3）已知點Q也在拋物線上，點Q的橫坐標(biāo)為，作軸于點F，交于點E，若P，D，Q，E為頂點的四邊形為平行四邊形，求t的值．

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測九年級數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.下列函數(shù)中，的值隨值的增大而減小的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，，對稱軸為直線，當(dāng)時，的值隨值的增大而減小，當(dāng)時，的值隨值的增大而增大，故該選項不正確，不符合題意；B.，，對稱軸為直線，當(dāng)時，的值隨值的增大而增大，當(dāng)時，的值隨值的增大而減小，故該選項不正確，不符合題意；C.，，的值隨值的增大而增大，故該選項不正確，不符合題意；D.，，的值隨值的增大而減小，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，-2），則k的值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定點的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可求出k值，此題得解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，-2），∴k=1×（-2），∴k=-2．故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出關(guān)于k的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3.已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式中的比例系數(shù)確定函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點及函數(shù)的增減性解答．【詳解】解：在反比例函數(shù)中，，此函數(shù)圖象在二、四象限，，點，在第二象限，，，函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)為增函數(shù)，，．，點在第四象限，，，，的大小關(guān)系為．故選：C．【點睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點及平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點，比較簡單．4.大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為的黃金分割點（），如果的長度為，那么的長度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查黃金分割的應(yīng)用；由黃金分割知：，由此可求得的長．【詳解】解：∵P為的黃金分割點，∴，即，故選：A．5.如圖，△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為（）A.4 B.4 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意判斷出△CBA∽△CAD，從而利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵BC＝8，AD是中線，∴CD＝BD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴，∴AC2＝CD?BC＝4×8＝32，∴AC＝4；故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．6.阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”這句話精辟地闡明了一個重要的物理學(xué)知識——杠桿原理，即“阻力×阻力臂=動力×動力臂”．若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則動力F關(guān)于動力臂l的函數(shù)圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用阻力×阻力臂=動力×動力臂，進(jìn)而得出動力F關(guān)于動力臂l函數(shù)關(guān)系式，從而確定其圖象即可．【詳解】解：∵阻力×阻力臂=動力×動力臂，且阻力和阻力臂分別為和∴動力F關(guān)于動力臂l的函數(shù)解析式為：，即，是反比例函數(shù)，又∵動力臂，故B選項符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確讀懂題意得出關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．7.正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理判斷是等腰直角三角形，再利用正弦函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：由圖形可知，C為邊上的格點，連接，根據(jù)勾股定理，，，，所以，，所以，是等腰直角三角形，.故選：B．8.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A. B.6 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設(shè)蠟燭火焰的高度為，則：，解得：，即蠟燭火焰的高度為，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．9.如圖，一次函數(shù)y1＝x與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點，則函數(shù)y＝ax2＋（b－1）x＋c的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個不相等的根，進(jìn)而得出函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c與x軸有兩個交點，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系得出函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的對稱軸x=-＞0，即可進(jìn)行判斷．【詳解】點P在拋物線上，設(shè)點P（x，ax2+bx+c），又因點P在直線y=x上，∴x=ax2+bx+c，∴ax2+（b-1）x+c=0；由圖象可知一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q兩點，∴方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個正實數(shù)根．∴函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c與x軸有兩個交點，又∵-＞0，a＞0∴-=-+＞0∴函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的對稱軸x=-＞0，∴A符合條件，故選A．10.如圖，在中，，，為上任意一點，為的中點，連接在上且，連接，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)得到，再利用中位線定理得到，最后根據(jù)三點共線的時，的值最小即可解答．【詳解】解：取的中點，∵為的中點，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，當(dāng)三點共線的時，的值最小∴，故選．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，中位線定理，掌握中位線定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.若，則值為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了分式的求值，將分式化成含有的形式，再代入的值計算即可，將分式轉(zhuǎn)化為含已知值的形式，利用整體代入法是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：．12.若拋物線與軸只有一個公共點，則值為______．【答案】9【解析】【分析】拋物線與x軸只有一個公共點，則對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，據(jù)此利用判別式求解即可．【詳解】解：∵拋物線與軸只有一個公共點，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，故答案為：9．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，熟知拋物線與x軸只有一個公共點，則對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．13.如圖，，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊的比相等，都等于相似比．14.如圖，點A在直線上，軸于點B，點C在線段上，以為邊作正方形，點D恰好在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）第一象限的圖象上，連接．（1）若，，則______；（2）若，則______．【答案】①.16②.14【解析】【分析】（1）根據(jù)，可以計算出點的坐標(biāo)為，進(jìn)而計算出的值；（2）設(shè)正方形的邊長為，，則，，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得，，點在反比例函數(shù)的圖象上，，可得，再代入計算．【詳解】解：（1）∵點A在直線上，，∴，即，，，，點的橫坐標(biāo)為：，點的坐標(biāo)為：，．故答案為：16；（2）設(shè)正方形的邊長為，，則，，，，點在反比例函數(shù)的圖象上，，，即，，故答案為：14．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，平方差公式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）15.計算：【答案】1【解析】【詳解】試題分析：先計算絕對值，三角函數(shù)，零指數(shù)，負(fù)指數(shù)，平方再按照實數(shù)的運算計算即可.試題解析：=2+2×-3+1=2+-3+1=考點：三角函數(shù)，實數(shù)的運算.16.定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有．例如：，根據(jù)以上知識解決下列問題：求拋物線的頂點坐標(biāo)．【答案】【解析】【分析】本題考查了新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，求拋物線的頂點坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握新定義運算法則．利用新定義運算法則得出解析式，然后利用配方法寫出頂點式解析式，可以直接得到答案．【詳解】解：根據(jù)性定義得，，∴頂點坐為．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的長．【答案】3+【解析】【分析】過C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據(jù)含30度角的直角三角形求出CD，根據(jù)勾股定理求出AD，相加即可求出答案．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+，答：AB的長是3+．【點睛】此題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理．18.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫出△A1B1C1和△A2B2C2：(1)將△ABC先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△A1B1C1；(2)以圖中的點O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A2B2C2．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）把A、B、C三點先向右平移4個單位，再向上平移1個單位得到A1，B1，C1，順次連接得到的各點即可；（2）延長OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各點，順次連接即可．【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19.學(xué)生到工廠勞動實踐，學(xué)習(xí)制作機械零件．零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形AEFD為矩形，點B、C分別在EF、DF上，，，，．求零件的截面面積．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】53.76cm2【解析】【分析】首先證明，通過解和，求出AE，BE，CF，BF，再根據(jù)計算求解即可．【詳解】解：如圖，四邊形AEFD為矩形，，∴EF//AB，∵，∴，∵∴在中，．又同理可得，答：零件的截面面積為53.76cm2【點睛】此題主要考查了解直角三角形，通過解和，求出AE，BE，CF，BF的長是解答此題的關(guān)鍵．20.如圖，將矩形紙片沿著過點D的直線折疊，使點A落在邊上，落點為F，折痕交邊于點E，（1）求證：；（2）若，求的長；【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，從而得到，再由根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而得到，即可求證；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得，再由勾股定理可得，即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．六、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）21.如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象分別與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限交于點A(4，3)，與y軸的負(fù)半軸交于點B，且OA＝OB．（1）求函數(shù)y＝kx+b和y＝的表達(dá)式；（2）已知點C(0，5)，試在該一次函數(shù)圖象上確定一點M，使得MB＝MC，求此時點M的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝，y＝2x﹣5；（2）(2.5，0)【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解答；（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，2x﹣5），根據(jù)MB＝MC，得到，即可解答．【詳解】解：（1）把點A（4，3）代入函數(shù)y＝得：a＝3×4＝12，∴y＝．OA＝＝5，∵OA＝OB，∴OB＝5，∴點B的坐標(biāo)為（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：解得：；∴y＝2x﹣5．（2）∵點M在一次函數(shù)y＝2x﹣5上，∴設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，2x﹣5），∵M(jìn)B＝MC，∴解得：x＝2.5，∴點M的坐標(biāo)為（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），∴BC＝10，∴BC的中垂線為：直線y＝0，當(dāng)y＝0時，2x﹣5＝0，即x＝2.5，∴點M的坐標(biāo)為（2.5，0）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，解決本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求解析式．22.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿CB向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，就停止運動．設(shè)運動時間為t秒．求：（1）當(dāng)t=3秒時，這時，P，Q兩點之間的距離是多少？（2）若△CPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)t為多少秒時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？【答案】（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝【解析】【分析】（1）在Rt△CPQ中，當(dāng)t=3秒，可知CP、CQ的長，運用勾股定理可將PQ的長求出；

（2）由點P，點Q的運動速度和運動時間，又知AC，BC的長，可將CP、CQ用含t的表達(dá)式求出，代入直角三角形面積公式=CP×CQ求解；

（3）應(yīng)分兩種情況：當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CAB時，根據(jù)，可將時間t求出；當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CBA時，根據(jù)，可求出時間t．【詳解】由題意得AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，（1）當(dāng)t=3秒時，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，