滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí) 第22章 相似形易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練（5易錯(cuò)+5壓軸）

第二十二章相似形易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯(cuò)題型一忽視線段成比例的有序性 1易錯(cuò)題型二忽視等比性質(zhì)的適用條件 4易錯(cuò)題型三運(yùn)用平行線分線段成比例時(shí)找不準(zhǔn)對應(yīng)條件 7易錯(cuò)題型四運(yùn)用相似判定定理時(shí)考慮不全 7易錯(cuò)題型五忽視位似的另一種位置關(guān)系 7壓軸題型一證明等積式 13壓軸題型二證明等比式 15壓軸題型三用相似三角形的性質(zhì)求面積 17壓軸題型四用相似三角形解實(shí)際問題 19壓軸題型五用相似三角形解與函數(shù)的綜合題 19002易錯(cuò)題型易錯(cuò)題型一忽視線段成比例的有序性例1．（22-23九年級上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知三條線段的長為2cm，4cm鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·遼寧丹東·階段練習(xí)）四條線段a，b，c，d成比例，其中a=2cm，b=3cm，d=6cm，則線段c2．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知三條線段的長分別是1cm，，2cm，若再添加一條線段，使這四條線段是比例線段，則這條線段的長為3．（23-24八年級下·福建福州·期末）已知線段a，b，c，d是成比例線段，其中a=6，b=3，c=2，則d的值是.易錯(cuò)題型二忽視等比性質(zhì)的適用條件例2．（22-23九年級下·廣東惠州·開學(xué)考試）如果b+d+f≠0，且a+c+e=3b+d+f．求k的值．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）若3x+3yz=3y+3z2．（22-23九年級上·廣西賀州·期中）已知x+yx=x+zy=3．（22-23九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）（1）已知x2=y3=（2）已知a+bc=b+c易錯(cuò)題型三運(yùn)用平行線分線段成比例時(shí)找不準(zhǔn)對應(yīng)條件例3.（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)E在AC邊上，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥AB，交BC于點(diǎn)G，則下列式子一定正確的是（）A．AFFD=BGC． D．EFCD鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級下·上海青浦·期末）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列比例式中能判定DE∥BC的是（A．BCDE=ABAD B．ACCE=2．（23-24九年級下·寧夏吳忠·階段練習(xí)）如圖，已知直線AB∥CD∥A．ACCE=BDDF B．ACBD=3．（23-24九年級上·上海松江·階段練習(xí)）如圖，已知AB∥A． B．BECE=AFDF C．AB易錯(cuò)題型四運(yùn)用相似判定定理時(shí)考慮不全例4.（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，要使△AOB與△DOC相似，可添加的一個(gè)條件是（

A．∠A=∠D B．∠A=∠B C．∠C=∠D D．∠AOB=鞏固訓(xùn)練1.（24-25九年級上·全國·單元測試）下列各條件中，能判斷△ABCA．AB=3A'B．=BCA'C．ABBC=D．∠A=40°，∠B=80°，∠A'2．（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在△ABC紙片中，∠C=90°，BC=5，AC=7A．

B．

C．

D．

3．（23-24九年級·廣東揭陽·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，∠ACD=∠BA．△ADE∽△ABC B．△C．△ADE∽△ACD D．△易錯(cuò)題型五忽視位似的另一種位置關(guān)系例5.（22-23九年級上·湖南婁底·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E?4,2,F?2,?2，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為12，把縮小，則點(diǎn)EA．?2,1 B．?8,4C．?8,4或8,?4 D．?2,1或2,?1鞏固訓(xùn)練1.（22-23九年級上·全國·單元測試）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為0,3，，2,2．若以點(diǎn)C為位似中心，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出△A'B'C，使得△A'B'C與△ABCA．或0,?2 B．6,0或4,6C．或6,0 D．4,6或0,?22．（23-24九年級上·四川達(dá)州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E(?4,2)，F(xiàn)(?2,?2)．若△OEF與△OE'F'關(guān)于點(diǎn)O位似，且A． B．(8,?4)C．(8,?4)或 D．或(?2,1)3．（23-24九年級上·湖南郴州·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A?2,0，B0,1，C?3,2，以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABC縮小為△A'B'C'，且△AA．(?1.5,1) B．(?1.5,1)或(1.5,?1)C．?6,4 D．?6,4或6,?4003壓軸題型壓軸題型一證明等積式例1.（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠BAD=60°，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在BD的延長線上，BE=DF，EF與AD相交于點(diǎn)G，連接CE，CF．(1)求證：△EBC(2)求證：DF鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·安徽六安·期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E為直角邊AC的中點(diǎn)，過D，E作直線交AB的延長線于(1)若AB=6，AC=8，求BD長；(2)求證：AB?AF=AC?DF．2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中點(diǎn)，AO的延長線交BC于點(diǎn)E，∠CBD＝(1)求證：BC＝DC；(2)若AE⊥BC，求證：BD3．（2024·安徽合肥·三模）如圖1，△ABC中，∠ACB=90°,CB=CA，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD，過C作，交BD于F，交AB于(1)求證：；(2)當(dāng)D為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，求AE:BE的值；(3)如圖2，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，若CF=2,?PF=22，求DF壓軸題型二證明等比式例2.（2024九年級下·安徽·專題練習(xí)）如圖1，已知△ABC，D是BC上一點(diǎn)，EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接AD，AD與EF交于G．(1)求證：EGBD鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·安徽·單元測試）已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，，點(diǎn)D在線段BC上，連接AD，作線段AD的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．(1)如圖1，若CD=1，BD=3，求BE·CF的值；(2)把改為∠BAC=90°，其它條件不變，如圖2，求證：CDBD2．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，已知△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，E為CB延長線上一點(diǎn)，BE=AD，ED和AB相交于點(diǎn)F，求證：EF:FD=AC:BC3．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，ED、CB的延長線相交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若∠FBD=∠FEC，BF=4，F(xiàn)D=5，F(xiàn)E=8，求FC的長；(2)如圖2，若BD=CE，求證ABAC壓軸題型三用相似三角形的性質(zhì)求面積例3.（2024·安徽合肥·二模）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)P，AB⊥AC，垂足為A，過D作DE⊥AC于E，并延長交BC于點(diǎn)F，連接，若AB=DE，∠ABE=∠(1)求證：四邊形ABED是平行四邊形；(2)若，時(shí)，①求EF的長；②求△BEF的面積．鞏固訓(xùn)練1.（2024九年級下·河南·學(xué)業(yè)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，DF∥AC交(1)求證：四邊形AEDF為菱形；(2)當(dāng)AB=10，BC=6時(shí)，求菱形AEDF的周長和面積．2．（2024·貴州畢節(jié)·三模）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，G是BC上一點(diǎn)，連接AG，過點(diǎn)D作DE⊥AG于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AG于點(diǎn)(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，根據(jù)給出的條件，你發(fā)現(xiàn)DE，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)【問題探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在CB的延長線上時(shí)，其他條件不變，探究DE，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AP=5，SΔABP=10，SΔADP=7.5，3．（24-25九年級上·吉林長春·開學(xué)考試）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于點(diǎn)G．

求證：GECE證明：連結(jié)ED．

（1）請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程；【結(jié)論應(yīng)用】（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D、F分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CF相交于點(diǎn)G，GE∥AC交BC于點(diǎn)E，則DEBC（3）如圖③，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，若AB=10，AM=6，四邊形CDGN的面積為5，則S△壓軸題型四用相似三角形解實(shí)際問題例4.（23-24九年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，曉波拿著一根筆直的小棍BC，站在距某建筑物約30米的點(diǎn)N處（即米），把手臂向前伸直且讓小棍BC豎直，BC∥DE，曉波看到點(diǎn)B和建筑物頂端D在一條直線上，點(diǎn)C和底端E在一條直線上．已知曉波的臂長約為60厘米，小棍BC的長為24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求這個(gè)建筑物的高度DE．鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·安徽合肥·期中）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，求CD的長．

2．（23-24九年級上·安徽安慶·期中）用手舉一根標(biāo)尺，讓標(biāo)尺與地面垂直，調(diào)整人與旗桿的距離或人與標(biāo)尺的距離，使標(biāo)尺剛好擋住旗桿，此方法可測量旗桿的高度．若人與標(biāo)尺EF的水平距離CG=20cm，人與旗桿AB的水平距離CH=12.6m，標(biāo)尺的長度EF=22

3．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，陽陽要測量一座鐘塔的高度CD，他在與鐘塔底端處在同水平面上的地面放置一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記E，當(dāng)他站在離鏡子E處1.4m的B處時(shí)，看到鐘塔的頂端在鏡子中的像與標(biāo)記E重合．已知B，E，D在同直線上，陽陽的眼睛離地面的高度AB=1.6m，m，求鐘塔的高度CD．壓軸題型五用相似三角形解與函數(shù)的綜合題例5.（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，已知拋物線y=ax2?2ax?3a≠0與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過D?2,0的直線l交線段BC于點(diǎn)M，l與拋物線右側(cè)的交點(diǎn)為N，求的最大值．鞏固訓(xùn)練1．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A?1,0，B4,0，交y軸于點(diǎn)C0,2，連接AC，BC，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PD∥AC，交BC

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)D點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)求線段的最大值．2．（23-24九年級下·安徽六安·階段練習(xí)）如圖1，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A?1,0、B，對稱軸是直線x=1，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)D．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)N是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MN，DN，求MN+DN的最小值；(3)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)E，若PEAE=13．（2024·安徽亳州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2?2x?3交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)如圖1，若在x軸上方的拋物線上存在一點(diǎn)D，使得∠ACD=45°，求點(diǎn)D(3)如圖2，平面上一點(diǎn)E(3,2)，過點(diǎn)E作任意一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，連接AP、AQ，分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，則OM與ON的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

第二十二章相似形易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯(cuò)題型一忽視線段成比例的有序性 1易錯(cuò)題型二忽視等比性質(zhì)的適用條件 4易錯(cuò)題型三運(yùn)用平行線分線段成比例時(shí)找不準(zhǔn)對應(yīng)條件 7易錯(cuò)題型四運(yùn)用相似判定定理時(shí)考慮不全 7易錯(cuò)題型五忽視位似的另一種位置關(guān)系 7壓軸題型一證明等積式 13壓軸題型二證明等比式 15壓軸題型三用相似三角形的性質(zhì)求面積 17壓軸題型四用相似三角形解實(shí)際問題 19壓軸題型五用相似三角形解與函數(shù)的綜合題 19002易錯(cuò)題型易錯(cuò)題型一忽視線段成比例的有序性例1．（22-23九年級上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知三條線段的長為2cm，4cm，8cm，若添加一條線段能使這四條線段成比例，則添加的線段可以是【答案】或或．【分析】根據(jù)四條線段成比例可得2:4=8：d、4:8=2:d、8:2=4：d，分別求出d即可得．【詳解】解∶根據(jù)題意，得∶當(dāng)時(shí)，解得∶d=16；當(dāng)時(shí)，解得∶d=4；當(dāng)8:2=4:d時(shí)，解得：；故答案為：為16cm或4cm或【點(diǎn)睛】本題考查比例線段，解題的關(guān)鍵是找出所有成比例的情況分別求解．鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·遼寧丹東·階段練習(xí)）四條線段a，b，c，d成比例，其中a=2cm，b=3cm，d=6cm，則線段c【答案】4【分析】本題考查了比例線段的定義．由四條線段a、b、c、d成比例，根據(jù)比例線段的定義，即可求解．【詳解】解：∵四條線段a，b，c，d成比例，a=2cm，b=3cm，∴2:3=c:6解得：c=4故答案為：4cm2．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知三條線段的長分別是1cm，，2cm，若再添加一條線段，使這四條線段是比例線段，則這條線段的長為【答案】22cm或或【分析】本題考查了成比例線段，掌握成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．設(shè)添加的線段的長度為x，然后根據(jù)成比例線段分類討論即可求解．【詳解】解：設(shè)添加的線段的長度為xcm①當(dāng)x≤1時(shí)，x1=2②當(dāng)1<x≤2時(shí)，1x=經(jīng)檢驗(yàn)，x=2③當(dāng)2<x≤2時(shí)，12=④當(dāng)x>2時(shí)，12=2經(jīng)檢驗(yàn)，x=22綜上，所添線段的長度可為22cm或或2故答案為：22cm或或3．（23-24八年級下·福建福州·期末）已知線段a，b，c，d是成比例線段，其中a=6，b=3，c=2，則d的值是.【答案】1【分析】本題主要考查了比例線段，熟練掌握比例線段的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例線段的定義得到a:b=c:d，即可得到答案．【詳解】解：由于線段a，b，c，d是成比例線段，故a:b=c:d，即6:3=2:d解得故答案為：1．易錯(cuò)題型二忽視等比性質(zhì)的適用條件例2．（22-23九年級下·廣東惠州·開學(xué)考試）如果b+d+f≠0，且a+c+e=3b+d+f．求k的值．【答案】3【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求得a=bk,c=dk,e=fk，代入a+c+e=3b+d+f【詳解】解：ab=∴a=bk,c=dk,e=fk∵a+c+e=3∴bk+dk+fk=3∴k=3【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）若3x+3yz=3y+3z【答案】6或?3【分析】分兩種情況：當(dāng)x+y+z≠0時(shí)，當(dāng)x+y+z=0時(shí)，分別求出m的值即可．【詳解】解：當(dāng)x+y+z≠0時(shí)，根據(jù)比例的等比性可得：m=3x+3y+3y+3z+3z+3x當(dāng)x+y+z=0時(shí)，可得x+y=?z，∴m=3【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的等比性質(zhì)，但需要注意對式子用等比性時(shí)一定要注意根據(jù)分母是否為0進(jìn)行分類討論．2．（22-23九年級上·廣西賀州·期中）已知x+yx=x+zy=【答案】2【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)直接求解即可．【詳解】解：由x+yx=x+z得k=x+y+x+z+y+z【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握等比性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（22-23九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）（1）已知x2=y3=（2）已知a+bc=b+c【答案】（1）?107；（2）x=?1【分析】（1）設(shè)x2=y3=z5=k，將x、（2）根據(jù)比例得基本性質(zhì)可得a+b=cx，b+c=ax，c+a=bx，聯(lián)立相加后進(jìn)行分類討論即可．【詳解】解（1）設(shè)x2則x=2k，，z=5k，x+y?3z2x+y（2）∵a+bc∴a+b=cx，b+c=ax，c+a=bx，聯(lián)立得：a+b=cxb+c=ax∴2當(dāng)a+b+c=0時(shí)，a+b=?c，x=?1當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，x=2∴x=?1或x=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例得基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的各個(gè)基本性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，合比性質(zhì)，分比性質(zhì)以及等比性質(zhì)．易錯(cuò)題型三運(yùn)用平行線分線段成比例時(shí)找不準(zhǔn)對應(yīng)條件例3.（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)E在AC邊上，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥AB，交BC于點(diǎn)G，則下列式子一定正確的是（）A．AFFD=BGC． D．EFCD【答案】A【分析】本題考查由平行判斷成比例的線段，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵EF∥∴AFFD∵EG∥∴AEEC∴AFFD故選：A．鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級下·上海青浦·期末）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列比例式中能判定DE∥BC的是（A．BCDE=ABAD B．ACCE=【答案】B【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：如圖：A、當(dāng)BCDE=ABB、當(dāng)ACCE=ABC、當(dāng)ACAD=ABD、當(dāng)ACAB=BD故選：B．2．（23-24九年級下·寧夏吳忠·階段練習(xí)）如圖，已知直線AB∥CD∥A．ACCE=BDDF B．ACBD=【答案】D【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握兩直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵ABACCE=BDDFACBD=∴選項(xiàng)A、B、C正確，不符合題意，故選：D．3．（23-24九年級上·上海松江·階段練習(xí)）如圖，已知AB∥A． B．BECE=AFDF C．AB【答案】B【分析】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例即可解答．【詳解】解：∵ABBECE=故A，C，D不正確，故選：B．易錯(cuò)題型四運(yùn)用相似判定定理時(shí)考慮不全例4.（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，要使△AOB與△DOC相似，可添加的一個(gè)條件是（

A．∠A=∠D B．∠A=∠B C．∠C=∠D D．∠AOB=【答案】A【分析】本題考查相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定方法，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∠AOB=A、當(dāng)∠A=∠D時(shí)，則△AOB與△DOCB、當(dāng)∠A=∠B時(shí)，無法證明△AOB與△DOCC、當(dāng)∠C=∠D時(shí)，無法證明△AOB與△DOCD、∠AOB=∠DOC，無法證明△AOB與△DOC故選：A．鞏固訓(xùn)練1.（24-25九年級上·全國·單元測試）下列各條件中，能判斷△ABCA．AB=3A'B．=BCA'C．ABBC=D．∠A=40°，∠B=80°，∠A'【答案】C【分析】本題主要考查相似三角形的判定，解答的關(guān)鍵是熟記相似三角形的判定條件：兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似：兩組對應(yīng)邊成比例且其夾角相等的兩個(gè)三角形相似；根據(jù)相似三角形的判定條件對各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】A、AB=3A'BB、=BCA'C'，∠B=∠B'，C、由∠A+∠C=∠A'+∠C'可得∠B=∠B'D、由∠A=40°，∠B=80°得∠C=70°，則∠B=∠A'=80°,∠C=∠故選：C．2．（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在△ABC紙片中，∠C=90°，BC=5，AC=7A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，由CD⊥AB于點(diǎn)D，得∠ADC=90°，則，而∠A=∠A，即可證明△ACD∽△ABC，可判斷A不符合題意；由EF⊥AC，得∠AFE=∠C，則EF∥BC，可證明△AEF∽△ABC，可判斷B不符合題意；由BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5，得，而∠GCH=∠ACB，可證明△GHC∽△ABC，可判斷C不符合題意；由BC=5,AC=7,LC=2,KC=3，得，，則，而∠KCL=∠ACB，所以△KLC與△ABC不相似，可判斷D符合題意，于是得到問題的答案．【詳解】解：如圖1，∵CD⊥AB于點(diǎn)∴∠ADC=90°∵∠ACB=90°∴，∵∠A=∴△ACD故A不符合題意；如圖2，∵EF⊥∴∠AFE=90°∵∠C=90°∴∠AFE=∴EF∥∴△AEF故B不符合題意；如圖3，∵BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5，∴，，∴，∵∠GCH=∴△GHC故C不符合題意；如圖4，∵BC=5,AC=7,LC=2,KC=3，∴，，∴，假設(shè)△KLC∵∠KCL=∴，與已知條件不符，∴△KLC與△ABC故D符合題意，故選：D．3．（23-24九年級·廣東揭陽·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，∠ACD=∠BA．△ADE∽△ABC B．△C．△ADE∽△ACD D．△【答案】D【詳解】解：∵點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥∴△ADE∵DE∥∴，∵∠ACD=∴△CDE∵∠ACD=∠B，∠A=∴△ACD∴△ADE△ADE與△DBC故選：D．易錯(cuò)題型五忽視位似的另一種位置關(guān)系例5.（22-23九年級上·湖南婁底·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E?4,2,F?2,?2，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為12，把縮小，則點(diǎn)EA．?2,1 B．?8,4C．?8,4或8,?4 D．?2,1或2,?1【答案】D【詳解】解：∵E?4,2，且相似比為1∴E'的坐標(biāo)為?4×12即：點(diǎn)E'的坐標(biāo)是?2,1或2,?1故選D．鞏固訓(xùn)練1.（22-23九年級上·全國·單元測試）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為0,3，，2,2．若以點(diǎn)C為位似中心，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出△A'B'C，使得△A'B'C與△ABCA．或0,?2 B．6,0或4,6C．或6,0 D．4,6或0,?2【答案】D【詳解】解：根據(jù)位似的定義和相似比2:1，結(jié)合網(wǎng)格圖，作出位似圖形，如圖所示，可以得出點(diǎn)B'的坐標(biāo)為4,6或0,?2故選：D．2．（23-24九年級上·四川達(dá)州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E(?4,2)，F(xiàn)(?2,?2)．若△OEF與△OE'F'關(guān)于點(diǎn)O位似，且A． B．(8,?4)C．(8,?4)或 D．或(?2,1)【答案】D【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似變換得到△OEF根據(jù)△OEF與△OE'F【詳解】解：∵△OEF與△OE∴△OEF∵S與△OE'F∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)E'的坐標(biāo)為?4×12,2×12或故選：D．3．（23-24九年級上·湖南郴州·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A?2,0，B0,1，C?3,2，以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABC縮小為△A'B'C'，且△AA．(?1.5,1) B．(?1.5,1)或(1.5,?1)C．?6,4 D．?6,4或6,?4【答案】B【分析】本題主要考查了求位似圖形的坐標(biāo)，先根據(jù)題意可知有兩種情況：在原點(diǎn)的同側(cè)或原點(diǎn)的異側(cè)，再根據(jù)將圖形按照2:1縮小就是對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別乘以12【詳解】解：當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，△A'B'C'和∴點(diǎn)C'當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)異側(cè)時(shí)，△A'B'C'和∴點(diǎn)C'所以點(diǎn)C'的坐標(biāo)是(?1.5,1)或(1.5,?1)故選：B．003壓軸題型壓軸題型一證明等積式例1.（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠BAD=60°，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在BD的延長線上，BE=DF，EF與AD相交于點(diǎn)G，連接CE，CF．(1)求證：△EBC(2)求證：DF【答案】(1)見解析(2)見解析(3)133【分析】（1）判斷出，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△CEF是等邊三角形，得出∠ECF=60°，進(jìn)而用等式的性質(zhì)得出∠DFG=【詳解】（1）證明：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，，∠ADB=∠CDB=60°，△CBD為等邊三角形，∴∠BDC=60°，∵BE=DF∴△（2）證明：由（1）知，△BCE∴∠BCE=，，∴△CEF，，，，，∴△DFGDFDC=；鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·安徽六安·期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E為直角邊AC的中點(diǎn)，過D，E作直線交AB的延長線于F(1)若AB=6，AC=8，求BD長；(2)求證：AB?AF=AC?DF．【答案】(1)18(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得BC的長，記得根據(jù)面積法得出12BCAD=1（2）先證明△ABC∽△DBA，得出BDAD=ABAC，∠C=∠FAD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出DE=AE=CE，再根據(jù)等邊對等角和對頂角相等，得出∠C=∠EDC=∠FDB=∠FAD，即可證明即可證明AB?AF=AC?DF．【詳解】（1）解：∵AB=6，AC=8，∠BAC=90°∴BC=A∵AD⊥BC，∠∴12即12解得AD=24又∵AB=6，∠ADB=90°∴BD=A（2）證明：∵AD⊥BC，∠BAC=90°∴∠BAC=90°=又∵∠B∴△ABC∴BDAD=AB∵E為直角邊AC的中點(diǎn)，AD∴DE=AE=CE，∴∠C=又∵∠F∴△FBD∴，又∵BDAD∴ABAC∴AB?AF=AC?DF．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對等角，對頂角相等的知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中點(diǎn)，AO的延長線交BC于點(diǎn)E，∠CBD＝(1)求證：BC＝DC；(2)若AE⊥BC，求證：BD【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出OA=OB是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAE=∠OBA，等量代換得出∠CBD=∠OBA，結(jié)合平行線的性質(zhì)求出∠CDB=（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠COD=90°，根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”求出△COD【詳解】（1）證明：∵是BD的中點(diǎn)，∴OA=OB=∴∠BAE=又，∴∠CBD=，∴∠CDB=∴∠CDB=∴BC=CD（2）如圖，連接OC，∵是BD的中點(diǎn)，∴OC∴∠COD=90°∵AE∴∠AEB=90°∴∠COD=由（1）知，∠CDB=∴△COD∴OD∴OD∵O是BD的中點(diǎn)，∴OD=OB=∴1∴B3．（2024·安徽合肥·三模）如圖1，△ABC中，∠ACB=90°,CB=CA，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD，過C作，交BD于F，交AB于(1)求證：；(2)當(dāng)D為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，求AE:BE的值；(3)如圖2，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，若CF=2,?PF=22，求DF【答案】(1)見解析(2)(3)DF=【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)：（1）證明△BCD（2）過A作AG∥BC交CE延長線于點(diǎn)G，證明△BCD≌△CAG，得AG=CD，AG=12BC（3）連接CP，過P作PH⊥PF交BD于點(diǎn)H，可得C,F,P,B四點(diǎn)共圓，得出△FPH是等腰直角三角形，得出FH=4，證明△FPC≌△HPB得CF=BH=2，，由可得出結(jié)論【詳解】（1）解：∵CE∴∠CFD=∵∠CDB=∴△BCD∴（2）解：如圖1，過A作AG∥BC交CE延長線于點(diǎn)G，∴∠CAG=9∵∠∴∠∴∠∴△BCD∴AG=CD∵D為AC邊的中點(diǎn)∴∴AG=∵∴△∴AE（3）解：如圖，連接CP，過P作PH⊥PF交BD于點(diǎn)H，∵點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，CB=CA,∠∴∴PB=PC∴∠CFB=∴C,F,P,B∴∠PFB=∴△FPH∴FH=2∴∠∴∠∴△FPC，∴CF=BH=2∴BF=BH+HF=6∵∴D∴D∴DF=壓軸題型二證明等比式例2.（2024九年級下·安徽·專題練習(xí)）如圖1，已知△ABC，D是BC上一點(diǎn)，EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接AD，AD與EF交于G．(1)求證：EGBD【答案】(1)見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練地變換比例式．（1）可證得△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，從而EGBD=AG【詳解】（1）證明：∵EF∴△AEG∽△ABD，△AFGEGBD=EGBD=鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·安徽·單元測試）已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，，點(diǎn)D在線段BC上，連接AD，作線段AD的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．(1)如圖1，若CD=1，BD=3，求BE·CF的值；(2)把改為∠BAC=90°，其它條件不變，如圖2，求證：CDBD【答案】(1)3(2)見解析【分析】（1）連接DE，DF，證明△BDE∽△CFD，得到BECD（2）證明△ABD∽△GCD，得到CDBD=CGAB，又AB=AC，所以CDBD=CG【詳解】（1）解：連接DE，DF，∵AB=AC，，∴△ABC∴∠B=∵∠B+∴∠BED+∵EF垂直平分線段AD，∴AE=ED，AF=FD，∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∴∠EAD+∴∠EAF=∵∠EDF+∴∠BDE+∴∠BED=∴△BDE∴BECD∵CD=1，BD=3，∴BE?（2）證明：作CG∥AB交AD延長線于G，如圖2，∵CG∴△∴CD∵AB=AC∴CD∵CG∴∠∵∠∴∴∠∴∠EAD+∠CAG=∠BAC=90°，∠∴∠∵EF垂直平分AD∴∠∴∠∴△∴AF∴AF∴CDBD【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，已知△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，E為CB延長線上一點(diǎn)，BE=AD，ED和AB相交于點(diǎn)F，求證：EF:FD=AC:BC【答案】證明見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知添加平行線是證明成比例線段的常用方法．作DG∥BC，分別證明兩組三角形相似，得出兩組成比例線段，再結(jié)合BE=AD可推得結(jié)果．【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G；∴∠DGF=則△∴EFFD=BEGD，∴即EF:FD=AC:BC.3．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，ED、CB的延長線相交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若∠FBD=∠FEC，BF=4，F(xiàn)D=5，F(xiàn)E=8，求FC的長；(2)如圖2，若BD=CE，求證ABAC【答案】(1)(2)證明見解析【分析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；（1）先證明△FBD（2）如圖，過D作于，證明△BDH∽△BAC，△FDH∽△FEC【詳解】（1）解：∵∠FBD=∠FEC，∠F=∴△FBD∴FBFE∵BF=4，F(xiàn)D=5，F(xiàn)E=8，∴48∴；（2）如圖，過D作于，∴△BDH∽△BAC，△FDH∴ABAC=BD∵BD=CE，∴BDDH∴ABAC壓軸題型三用相似三角形的性質(zhì)求面積例3.（2024·安徽合肥·二模）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)P，AB⊥AC，垂足為A，過D作DE⊥AC于E，并延長交BC于點(diǎn)F，連接，若AB=DE，∠ABE=∠(1)求證：四邊形ABED是平行四邊形；(2)若，時(shí)，①求EF的長；②求△BEF的面積．【答案】(1)見解析(2)①EF=2725；【分析】（1）由AB⊥AC，DE⊥AC，可得AB∥（2）①由勾股定理得，AE=AD2?DE2=4，由四邊形ABED是平行四邊形，可得∠ABE=∠ADE，即∠ADE=∠ACD，證明△ADE∽△ACD，則ADAC=AEAD，即54+CE=45，可求CE=【詳解】（1）證明：∵AB⊥AC，DE⊥∴AB∥又∵AB=DE，∴四邊形ABED是平行四邊形；（2）①解：∵DE⊥∴∠AED=90°由勾股定理得，AE=A∵四邊形ABED是平行四邊形，∴∠ABE=∵∠ABE=∴∠ADE=又∵∠DAE=∴△ADE∴ADAC=AE解得CE=9∵AB∥∴△EFC∴CECA=EF解得EF=27②解：∵AB∥DF，DE⊥∴S△∴△BEF的面積為5425【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線間的距離等知識．熟練掌握平行線的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線間的距離是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1.（2024九年級下·河南·學(xué)業(yè)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，DF∥AC交AB(1)求證：四邊形AEDF為菱形；(2)當(dāng)AB=10，BC=6時(shí)，求菱形AEDF的周長和面積．【答案】(1)證明見解析(2)菱形AEDF的周長為1609，菱形AEDF的面積為320【分析】（1）先證明四邊形AEDF為平行四邊形，再證明AF=DF即可；（2）設(shè)AF=DF=AE=DE=x，證明△BFD∽△BAC，可得DFAC【詳解】（1）證明：∵過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，DF∥AC交AB于點(diǎn)F，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∠EAD=∵AD平分∠CAD∴，∴∠BAD=∴AF=DF，∴四邊形AEDF為菱形；（2）解：∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC=A∵四邊形AEDF為菱形，∴設(shè)AF=DF=AE=DE=x，∵DF∥∴△BFD∴DFAC∴x8解得：x=40∴DE=AE=409，∴CD=D∴菱形AEDF的周長為409菱形AEDF的面積為409【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的作圖的含義，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．2．（2024·貴州畢節(jié)·三模）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，G是BC上一點(diǎn)，連接AG，過點(diǎn)D作DE⊥AG于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AG于點(diǎn)(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，根據(jù)給出的條件，你發(fā)現(xiàn)DE，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)【問題探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在CB的延長線上時(shí)，其他條件不變，探究DE，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AP=5，SΔABP=10，SΔADP=7.5，【答案】(1)DE=BF+EF(2)EF=BF+DE，見解析(3)30【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形和矩形的性質(zhì)等知識．（1）證明△DAE≌△ABFAAS，則DE=AF，BF=AE（2）證明△ADE≌△BAFAAS，則AE=BF,DE=AF，由EF=AE+AF（3），過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AP交AP的延長線于點(diǎn)F，則∠AEB=∠AFD=90°，S△ABP=12AP?BE,S△ADP=12AP?DF，求出BE=4,DF=3，證明△ABE∽△DAF，得到AB【詳解】（1）DE=BF+EF，證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BA,∠∴∠BAF+∵過點(diǎn)D作DE⊥AG于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AG于點(diǎn)∴∠∴∠∴∠DAE=∴△DAE∴DE=AF，BF=AE，∴DE=AF=AE+EF=BF+EF即DE=BF+EF；（2）EF=BF+DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠∴∠BAF+∵過點(diǎn)D作DE⊥AG于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AG于點(diǎn)∴∠∴∠∴∠∴△ADE∴AE=BF,DE=AF，∵EF=AE+AF，∴EF=BF+DE（3）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AP交AP的延長線于點(diǎn)F，∴∠AEB=∠AFD=90°，S△∵AP=5，SΔABP=10，∴BE=4,DF=3，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°∴∠BAE+∵∠ABE+∴∠ABE=∴△∴ABAD∴ABAD∴AE=2,AF=6，在Rt△ABE中，AB=在Rt△ADF中，AD=∴S3．（24-25九年級上·吉林長春·開學(xué)考試）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于點(diǎn)G．

求證：GECE證明：連結(jié)ED．

（1）請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程；【結(jié)論應(yīng)用】（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D、F分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CF相交于點(diǎn)G，GE∥AC交BC于點(diǎn)E，則DEBC（3）如圖③，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，若AB=10，AM=6，四邊形CDGN的面積為5，則S△【答案】（1）證明見解析；（2）16；（3）20【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形中位線的性質(zhì)可得DE∥AC，DEAC=12，進(jìn)而得到，即得，據(jù)此可得（2）由△DEG∽△DCA可得DEDC=DGDA，由（1）可知DGDA=1（3）如圖③，作CF∥AB交MN的延長線于點(diǎn)F，CK∥AD交FN于點(diǎn)K，則∠FCN=∠MAN，∠F=∠AMG，∠KCN=∠GAN，可得ME=AM?AE=1，由△EMG∽△CFG得到，即得CF=2EM=2，再證明△FCK∽△MAG可得，進(jìn)而由△CKN∽△AGN得到，即得AC=4CN，即可得S△CAG=4S△CNG，又由GDGA=12得S△CDG=12S△CAG【詳解】（1）證明：如圖①，連接ED，∵點(diǎn)D、F分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，∴DE為△ABC∴DE∥AC，DEAC∴，∴，∴GECE

（2）解：如圖②，∵GE∥∴△DEG∴DEDC由（1）可知，DGDA∴DEDC∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BC=2DC，∴DEBC故答案為：16（3）如圖③，作CF∥AB交MN的延長線于點(diǎn)F，CK∥AD交FN于點(diǎn)K，

則∠FCN=∠MAN，∠F=∠AMG，∠KCN=∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE=1∴ME=AM?AE=6?5=1，∵CF∥∴△EMG∴，∴CF=2EM=2，∵∠FCN=∠MAN，∠KCN=∴∠FCN?即∠FCK=又∵∠F=∴△FCK∴，∵CK∥∴△CKN∴，∴AC=4CN，∴S△∵GDGA∴S△∴S四邊形CDGN∴S△∴S△CDG=2×5∴S△∴S△故答案為：20．壓軸題型四用相似三角形解實(shí)際問題例4.（23-24九年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，曉波拿著一根筆直的小棍BC，站在距某建筑物約30米的點(diǎn)N處（即米），把手臂向前伸直且讓小棍BC豎直，BC∥DE，曉波看到點(diǎn)B和建筑物頂端D在一條直線上，點(diǎn)C和底端E在一條直線上．已知曉波的臂長約為60厘米，小棍BC的長為24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求這個(gè)建筑物的高度DE．【答案】這個(gè)建筑物的高度DE為12米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)F，垂足為G，根據(jù)BC∥DE，得到△ABC∽△【詳解】如圖，過點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)F，垂足為G，由題意，得AF=CN=60厘米米，AG=EN=30米，BC=24厘米=0.24米，∵BC∴△ABC∴BC∴0.24∴DE=12答：這個(gè)建筑物的高度DE為12米．鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·安徽合肥·期中）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，求CD的長．

【答案】3米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意證得△ABE∽△CDE，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出CD．【詳解】解：由題意知：AB∥則∠BAE=∠C，∠B=∴△ABEABCD=1CD=解得：CD=3，答：CD的長為3米．2．（23-24九年級上·安徽安慶·期中）用手舉一根標(biāo)尺，讓標(biāo)尺與地面垂直，調(diào)整人與旗桿的距離或人與標(biāo)尺的距離，使標(biāo)尺剛好擋住旗桿，此方法可測量旗桿的高度．若人與標(biāo)尺EF的水平距離CG=20cm，人與旗桿AB的水平距離CH=12.6m，標(biāo)尺的長度EF=22

【答案】旗桿的高度為13.86m【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，由題意可知EF∥AB，可得△ABC∽△EFC，△AHC∽△EGC，進(jìn)而可知ABEF=ACEC，【詳解】解：由題意可知EF∥∴△ABC∽△EFC，△AHC∴ABEF=AC∴ABEF∵CG=20cm，CH=12.6m，EF=22cm，則∴AB=13.86m，即：旗桿的高度為13.86m．3．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，陽陽要測量一座鐘塔的高度CD，他在與鐘塔底端處在同水平面上的地面放置一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記E，當(dāng)他站在離鏡子E處1.4m的B處時(shí)，看到鐘塔的頂端在鏡子中的像與標(biāo)記E重合．已知B，E，D在同直線上，陽陽的眼睛離地面的高度AB=1.6m，m，求鐘塔的高度CD．【答案】16.8m【分析】先證明△ABE∽△CDE，后利用相似三角形性質(zhì)求出CD即可.【詳解】解：∵AB⊥BD，CD⊥∴∠ABE=∵∠AEB=，ABCD=1.6CD=，故鐘塔的高度CD為16.8m．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵.壓軸題型五用相似三角形解與函數(shù)的綜合題例5.（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，已知拋物線y=ax2?2ax?3a≠0與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過D?2,0的直線l交線段BC于點(diǎn)M，l與拋物線右側(cè)的交點(diǎn)為N，求的最大值．【答案】(1)y=(2)9【分析】（1）先求出函數(shù)的對稱軸，及點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積可求出AB的長，即可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可．（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸交BC的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF∥y軸交線段BC于點(diǎn)F，則NF∥DE，先求出直線BC的解析式，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再設(shè)Nm,m2【詳解】（1）解：將x=0代入拋物線y=ax可得y=?3，∴與y軸交點(diǎn)C0,?3∴OC=3．∵拋物線與軸交于點(diǎn)A，B，且△ABC的面積為6，∴12AB則AB=4，又∵拋物線解析式為y=a可得拋物線的對稱軸為直線x=??2a∴點(diǎn)A?1,0，B將A?1,0代入y=a即0=a+2a?3，解得a=1，∴拋物線的表達(dá)式為y=x（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸交BC的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF∥y軸交線段BC于點(diǎn)F，則NF∥設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+bk≠0將B3,0，C則0=3k+b?3=b解得&k=1&b=?3∴直線BC的表達(dá)式為y=x?3，∵D?2,0∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為?2,?5，∴DE=5，設(shè)Nm,m2∴FN=m?3?m∵NF∥∴∠MNF=∠EDM，∠E=∴△DEM∴MNDM∴的最大值為920．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次和二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A?1,0，B4,0，交y軸于點(diǎn)C0,2，連接AC，BC，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PD∥AC，交BC

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)D點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)求線段的最大值．【答案】(1)y=?(2)P(3)線段的最大值為【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似等，理解當(dāng)PE最大時(shí)，最大，是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)D點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，再利用PD∥AC求得直線DP的解析式，即可解答；（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線，交CB于點(diǎn)E，證明△ACB為直角三角形，則可得△PED∽△BCO，則PE最大時(shí)，最大，求得PE最大值，再利