三角函數(shù)的概念與運算（解析版）-2025年天津高考數(shù)學一輪復習

第16講三角函數(shù)的概念與運算

（8類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第16題,14用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的正弦公式，正弦定理解三角

分形余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，單獨出題比較少，一般與三角函數(shù)、正余弦

定理結合出題

【備考策略】1.理解、掌握三角函數(shù)的定義，能夠求解特殊角的三角函數(shù)值

2.能掌握同角三角函數(shù)的基本關系式，誘導公式

3.具備數(shù)形結合的思想意識，會借助單位圓求解三角函數(shù)值

4.掌握三角函數(shù)的知一求二，齊次化等解題方法

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般結合三角函數(shù)與正余弦定理一起出題。

I飛?考點梳理

1?角的概念

2.日度制的相關概念考點一、任意角與弧度制

r知識點一.三角函數(shù)的定義＜3.三角函數(shù)的概念/考點二、扇形的弧長與面積

4.常用結論考點三、三角函數(shù)的定義

5.三角函數(shù)定義的推廣

考點四、sina,cosa,tana的知一求二

三角函數(shù)的概念與運算＜1.平方關系

知識點二.同角三角函數(shù)的基本關系＜2.商數(shù)關系考點五、sina,cosa,tana的齊次化

3.同角三角函數(shù)基本關系式的變形｛考點六、sina±cosa,sincrcosa的知一求二

1透.導公式

考點七、三角函數(shù)的誘導公式

知識點三.三角函數(shù)的誘導公式2.誘導公式的記憶口訣

考點八、誘導公式中的湊角求值

3同.角三角函數(shù)的基本關系式的幾種變形

知識講解

知識點一.三角函數(shù)的定義

1.角的概念

(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.

分類：按旋轉方向，角可以分成三類：正魚、負角和零角.

(2)象限角

在平面直角坐標系中，若角的頂點與原點重合,角的始邊與工軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾

象限，就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限.

(3)終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合S={6l6=a+上360°,AGZ},即任一與角a終

邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

2.弧度制的相關概念

(1)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.

⑵弧度制：

①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.

②記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度

如圖，在單位圓。中，前的長等于1,NAOB就是1弧度的角.

⑶角度制和弧度制的互化：180。=1rad,1。=得rad,lrad=(*j)

(4)扇形的弧長公式：1=區(qū)力扇形的面積公式：其中r是半徑，a(0<a<2兀)為弧所對圓心角.

3.三角函數(shù)的概念

三角函數(shù)正弦余弦正切

設a是一個任意角，aGR,它的終邊與單位圓交于點P(尤，y),那

么

定義

上叫做a的正弦，記作工叫做a的余弦，記作初做a的正切，

sinacosa

記作tana

4.常用結論

(1)一個口訣

三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

(2)三角函數(shù)在每個象限的正負如下表：

第一象第二象第三象第四象

三角函數(shù)

限符號限符號限符號限符號

sina++一一

cosa+一一+

tana+—+—

(3)象限角

第一象限角)同淅《<妹+豺ez

T第三象限角)同"正水次"7^岑'A￡Z)

第四象限｛?|2Anr+^<a<^+2^kEZ

(4)軸線角

軸

線

角

的

集

合

終邊落在坐標軸上的角K=//EZ)

5.三角函數(shù)定義的推廠

設點尸(%,y)是角。終邊上任意一點且不與原點重合，r=\OP\,則sina=：,cosa=*tana=".

知識點二.同角三角函數(shù)的基本關系

1.平方關系：sin2a+cos21=l.

2.商數(shù)關系：：=tan成+kmA￡Z).

CO!ScZ]乙y

3.同角三角函數(shù)基本關系式的變形

(1)sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l-cosa)；cos2a=1-sin2a=(1+sina)(l—sina).

(2)sina=tanacosa(a￥fac+1,4GZ).

(3)(sina±cosa)2—l±2sinacosa.

知識點三.三角函數(shù)的誘導公式

1.誘導公式

組數(shù)—■二三四五六

a-\~2kji71

角兀匹_L

+a~a7i—a2~a]+a

(0)

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosc—cosasina—sina

正切tanatana—tana—tana

2.誘導公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指方的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.

3.同角三角函數(shù)的基本關系式的幾種變形

(l)sin2ot=1—cos2ot=(l+cosa)(l—cosa)；

cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina)；

（sin。士cosQ）2=l±2sinacosa.

（2）sina=tanotcos埠+%兀，%￡Z）.

.2_____sin2。_______tan2a

Sinasin2a+cos2atan2（z+1*

2cos2a_________]

COSasin2（x+cos2atan2a+1-

考點一、任意角與弧度制

典例引領

1.（2015?山東?高考真題）終邊在y軸的正半軸上的角的集合是（）

A.{%,=1+2々兀，/ceZ}B.{%,=1+左兀}

C.卜卜=—；+2憶兀,kEZ}D.{%,=-]+k兀,上€Z}

【答案】A

【分析】利用終邊落在坐標軸上角的表示方法即可求解

【詳解】終邊在y軸正半軸上的角的集合是1嘏+2E,kEz]

故選：A

2.（23-24高三下?江西?階段練習）已知集合/={%|2左兀+、<%V2kji+Gzj,集合B={%%兀+（<%<

kji+—,fcGz},則/n8=（）

A.^2/CTI+—,2/c兀+J,/ceZB.（/c兀+kit+J，k￡Z

C.（2kji+2/c兀+J,/ceZD.（/c兀+kit+1），kEZ

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件把集合B寫成用2憶兀+e（keZ）形式表示的集合，再與集合A求交集即可.

【詳解】依題意，B={%|2k兀+^<%<2k兀+kEZjU{%|2k兀+弓<%<2/c兀+y,/cGz},

而4={%|2k兀+、V%<2kji+Gzj,

所以ZClB={%|2k兀+：VxV2々兀+ez}=（2k兀+%2/c兀+g）,fcGZ.

故選：A

??即時啊

1.（23-24高三上.上海靜安.期末）設a是第一象限的角，則|所在的象限為（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)a是第一象限的角，求出5的范圍判斷即可得解.

【詳解】因為a是第一象限的角，

所以2卜兀<a<2kn+：,fc6Z,

所以——,/cGZ,

24

當k=2n,nEZ時，2幾兀<-<2mi+-,nGZ,巴為第一象限角；

242

當k=2n+l,nGZ時，2幾兀+K<-<2幾兀+7i+-,n6Z,2為第三象限角.

242

故選：c

2.（23-24高三上.海南省直轄縣級單位.階段練習）若a是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（）

A.90°—ccB.90°+ccC.360°—ocD.360°+cc

【答案】c

【分析】由題意，根據(jù)角的定義和象限角的概念可判斷各個選項.

【詳解】因為a是第一象限角，所以-a是第四象限角，

貝U90?！猘是第一象限角，故A錯誤；90。+a是第二象限角，故B錯誤；

360。-a是第四象限角，故C正確；360。+a是第一象限角，故D錯誤.

故選：C.

3.（23-24高三上?云南?階段練習）從2023年12月14日13：00到當天13:25,某時鐘的分針轉動的弧度

為（）

,571c2兀_5兀c2兀

A.—B.—C.---D.---

6363

【答案】c

【分析】根據(jù)弧度的概念求解.

【詳解】因為分針是按照順時針方向旋轉，所以轉動的角為負角，

所以分針轉動的弧度為―算兀=

306

故選：C.

4.（22-23高三?全國?對口高考）①若角a與角￡的終邊相同，貝b與A的數(shù)量關系為;②若角a與角

S的終邊關于x軸對稱，貝Ua與0的數(shù)量關系為；③若角a與角0的終邊關于y軸對稱，貝加與￡的數(shù)

量關系為;④若角a與角夕的終邊在一條直線上，貝b與/7的數(shù)量關系為；⑤如果a是第

一象限的角，那么?是第象限的角.

【答案】a-+2kn,keZa+p—2kit,fceZa+0=（2/c+1）兀,keZa=0+

kn,keZ一、二、三

【分析】

根據(jù)角的終邊關系寫出兩個角的數(shù)量關系，注意對稱性、周期性應用，根據(jù)a所在象限寫出5的范圍，討論

其所在的象限即可.

【詳解】由角a與角0的終邊相同，則a=/?+2E,keZ,

由角a與角/?的終邊關于x軸對稱，則a+0=2kn,keZ,

由角a與角0的終邊關于y軸對稱，則a+0=（2k+1）兀,fc6Z,

由角a與角/?的終邊在一條直線上，則a=0+/m,keZ,

由a是第一象限的角，則2上兀<a<；+2/CT,keZ,

所以丁<：<二十二，卜ez,

當k=0,貝Ijo<9<g在第一象限；

36

當k=l,則在第二象限；

336

當k=2,則￡<?<￡，在第三象限；

當kN3,貝仁依次重復出現(xiàn)在上述三個象限內；

所以?在第一、二、三象限.

故答案為：a=B+2kji,keZ,a+/?=2kTi,kGZ,a+/?=（2/c+1）兀,々eZ,a=0+kn,kEZ,一、二、

考點二、扇形的弧長與面積

典例引領

1.（2024?陜西安康?模擬預測）《九章算術》中《方田》一章給出了計算弧田面積的公式：弧田面積=|（弦X矢

+矢2）.弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心

到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為0（8€（0,3），且cos8=（,半徑等于10m的弧田，按照上述給出的面積公

式計算弧田面積是（）

【答案】A

【分析】先根據(jù)半角公式求出sin（cosg,再分別求出弦長和矢長，再根據(jù)弧田的面積公式即可得解.

【詳解】由cos”看可得sin；月=|,cos；汪亙=￡

故弦長為2xlOsing=12,矢長為10-10cos1=2,

所以所求弧田面積為Ix（12x2+22）=14m2.

故選：A.

2.（2024高三下?四川成都?專題練習）如圖，圓O內接一個圓心角為60。的扇形4BC,在圓O內任取一點,

則該點落在扇形ABC內的概率為（）

A

A-;

【答案】c

【分析】連接OA,OC,設圓的半徑為r,求出AC,利用扇形面積公式求出扇形ABC的面積，再結合幾何

概型求概率公式求解.

【詳解】連接OA,OC,

貝此。4c=30°,=OC=r,

取AC中點D,連接。。，^AODLAC,

其中4D=CD=rcos30°=yr,

所以4C=2AD=V3r,

所以扇形4BC的面積為］xgxAC2=*2,

又因為圓的面積為兀N,

所以在圓O內任取一點，該點落在扇形ABC內的概率為r="

nrz2

故選：C

即時檢測

1.（2024高三?全國?專題練習）如圖，曲線段力B是一段半徑為R的圓弧，若圓弧的長度為等，則A,B兩點

C.V3RD.2R

【答案】C

【分析】先由弧長公式求出圓心角，再由三角形中計算得出；

【詳解】設初所對的圓心角為a.

則由題意，得aR=3R.所以。=零

所以4B=2Rs嗚=2/?sinj=2Rx--=痘R,

故選:C.

2.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在RtAPB。中，APBO=90°,以O為圓心，OB為半徑作圓弧交OP

于點A.若圓弧AB等分APOB的面積，且乙4OB=a,則3=.

【分析】利用扇形半徑表示直角三角形POB和扇形的面積，利用面積間的關系，列式求解.

【詳解】設扇形的半徑為r,則扇形的面積為!a1,

在Rt△POB中，PB=rtancr

則4P08的面積為之7?rtana,

由題意得［廠,rtana=2x1ar2

所以tana=2a,所以=>

tana2

故答案為：I

3.(22-23高三上?安徽六安?階段練習)已知扇形的周長為20cm,則當扇形的圓心角a=扇形面積最

大.

【答案】2

【分析】由扇形周長公式列式2r+Z=20(0<r<10),根據(jù)扇形面積公式列式并化簡為二次函數(shù)形式，從

而求解得r=5時扇形面積最大，計算出弧長/,由弧長公式計算圓心角的值.

【詳解】設扇形的半徑為r,弧長為I,

由題意，2r+/=20=Z=20-2r(0<r<10),

扇形的面積為S=|/r=|(20—2r)r=lOr—r2

=-(r-5)2+25(0<r<10),所以當r=5時，

扇形面積取最大值25,此時2=20-10=10,

所以扇形的圓心角a='=當=2時，扇形面積最大.

r5

故答案為：2

4.(2024?陜西商洛?模擬預測)古希臘數(shù)學家托勒密對三角學的發(fā)展做出了重要貢獻，他的《天文學大成》

包含一張弦表(即不同圓心角的弦長表)，這張表本質上相當于正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑60等分，

用圓的半徑長的2作為單位來度量弦長.將圓心角a所對的弦長記為crda.如圖，在圓。中，60。的圓心角所對

的弦長恰好等于圓。的半徑，因此60。的圓心角所對的弦長為60個單位，SPcrd60。=60.若8為圓心角，

cosd=i(0°<e<180°),貝Ucrde=______.

8

【答案】30V7

【分析】根據(jù)度量弦長的定義，利用余弦定理求出85。=；時圓心角e所對應的弦長】=結合60。的圓

心角所對的弦長為60個單位即可求出結果.

【詳解】設圓的半徑為r,cos。=；時圓心角。所對應的弦長為Z,

8

利用余弦定理可知G=r2+r2—2r2cos6=-r2,即可得Z=—r,

42

又60。的圓心角所對的弦長恰好等于圓。的半徑，60。的圓心角所對的弦長為60個單位，

即與半徑等長的弦所對的圓弧長為60個單位，

所以/=?x60=30V7.

故答案為：30A/7

考點三、三角函數(shù)的定義

典例引領

1.（23-24高三上.江蘇南京?階段練習）己知角a終邊上有一點P（si啜,cos》則兀—a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】根據(jù)稱所在象限可判斷點P所在象限，然后根據(jù)對稱性可得.

6

【詳解】因為稱是第二象限角，所以sin?>0,cos?<0,

所以點P在第四象限，即角a為第四象限角，

所以-a為第一象限角，所以兀一a為第三象限角.

故選：C

2.（2024高三?全國?專題練習）在平面直角坐標系xOy中，角a的頂點為原點0,以x軸的非負半軸為始邊，

終邊經過點P（l,rn）（爪<0）,則下列各式的值恒大于。的有（）個.

①②cosa—sina；③sinacosa；④sina+cosa.

tana

A.0B.1C.2D.3

【答案】c

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到sina<0,cosa>0,tana<0,再依次判斷每個式子得到答案.

【詳解】sina=<0,cosa=」「>0,tana=m<0,

vl+mzVl+m2

①色史>0；②cosa—sina>0；③sinacosa<0；④sina+cosa符號不確定.

tana

故選：c.

即時性測

1.（2024?山東?模擬預測）已知角a的頂點與坐標原點重合，始邊與無軸的非負半軸重合，終邊經過點

P^sin|,cos0,貝!Jcos（a+￡）=（）

A.0B.-C.—D.—

222

【答案】B

【分析】由三角函數(shù)的定義即可求得a,從而得到結果.

【詳解】由題意可得Pgj）,則tana=^=爭所以a=?+25,k6Z,

所以cos（a+'）=cosQ+2kn+2）=cos^=

故選：B

2.(2024?河北衡水?模擬預測)“角a,。的終邊在同一條直線上”是“sin(a—￡)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】借助a-￡的值，直接分別判斷充分性和必要性.

【詳解】由角a,0的終邊在同一條直線上，得=0+kn,k€Z,

即a—￡=kn,k€Z,所以sin(a—/?)=sinkn=0,fc6Z.

反之，由sin(a—S)=0,得a-。=巾兀,m6Z,

當小為偶數(shù)時，角a,￡的終邊在同一條射線上；

當小為奇數(shù)時，角a邛的終邊在同一條直線上.

綜上，“角a,￡的終邊在同一條直線上”是“sin(a—0)=0”的充要條件.

故選：C.

3.(2024.寧夏石嘴山.三模)在平面直角坐標系中，角。的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終

邊經過點P(l,2),貝!]7cos2。-2sin28=()

A.--B.-C.-2D.2

55

【答案】A

【分析】由題意可知：tan0=2,根據(jù)倍角公式結合齊次化問題分析求解.

【詳解】由題意可知：tan。=2,

7cos20-4sin0cos07-4tan0_7-4x21

所以7cos2。-2sin2。=

sin20+cos20tan20+1-224-l5

故選：A.

4.(2020高三?全國?專題練習)若角。的終邊上有一點W0),貝”sin。的值是

【答案】曰或—了.

【分析】由已知求得|OP|,對a分類討論即可求得sin。的值.

【詳解】P(a,a),\OP\=y/a2+a2=V2|a|,

當a>0時，|OP|=V2a,sin。==j；

當aV0時，|OP|=-sin6=&=—

sin。的值是子或一彳.

故答案為：乎或—乎.

考點四、sina.cosa,tana的知~求二

典例目闞

1.（2024?山東泰安?模擬預測）已知sin（乎+a）=?且1<a<IT,貝!Jtana=（）

A.-V3B.--C.—D.3

33

【答案】B

【分析】由誘導公式可得cosa=-根據(jù)平方關系sina=再根據(jù)商數(shù)關系得tana=陋.

22cosa

【詳解】由誘導公式得sin《+a）=sin（n+：+a）=—sin（^+a）=—cosa=與，

所以cosa=_?，

又因為ae（p7i）,

所以sina=I，

所以tana=型竺=—蟲.

cosa3

故選：B.

2.（23-24高三下?遼寧?階段練習）已知cos。=—0E（0,兀），貝Ucos（］—2。）=.

【答案］—~V2

【分析】先求出sin。，再根據(jù)誘導公式和二倍角的正弦公式即可得解.

【詳解】因為cos。=de（0,7i）,

所以sin。=V1—cos20=竽，

所以cosC_26）=sin20=2sin0cos0=—手.

故答案為：-

1.（2024?山東?二模）已知sina=2,且aE化兀），那么警=.

5\2/cos2a

【答案】-1

【分析】先根據(jù)平方關系和商數(shù)關系求出cosa,tana,再根據(jù)二倍角的正弦公式化簡即可得解.

【詳解】因為sina=|,ae&兀）,所以cosa=—1,tana=—

sin2a2sinacosa2sina?3

——=--；——=----=2tana=——.

cos”acos'acosa2

故答案為：-1.

2.（2024?西藏林芝?模擬預測）已知銳角a滿足sin2a=tana,貝！Jcosa=________.

【答案】^/|V2

【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關系將切化弦，解得即可.

【詳解】因為sin2a=tana,所以2sinacosa=2吧，因為a為銳角，sina>0,cosa>0,

cosa

所以cos2a=I，所以cosa=亨或cosa=—牛（舍去）.

故答案為：?

考點五、sin/cosatancr的齊次化

典例I眄

則5sina+cosa

1.（2024?河南洛陽?模擬預測）已知tana=2,)

2sina-cosa

11

A.-B.D.2

33c.-3

【答案】B

【分析】根據(jù)切弦互化法計算即可求解.

【詳解】因為tana=2,

5sina+cosa5tana+l_5x2+1_11

所以?

2sina-cosa2tana-12x2—13

故選：B.

2.(2024?四川自貢?三模)已知角a滿足上三絲=3,貝Ijsin2a=()

sin2a

A3V10口3V1O「3

A.----D.---C.

10105

【答案】D

【分析】結合題意運用倍角公式和化正弦余弦為正切，即可求解.

【詳解】由二咨四=3得2sm%=3,即tana=3,

2sinacosa

2sinacosa_2tana3

???sin2a

sin*2a+cos2al+tan2a5

故選：D.

即時

1.(23-24高三下?云南?階段練習)若tana=|,則sin2a—2cos2a—2=()

A.--B.--C.—D.-

24132413

【答案】B

【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，再代入計算可得.

【詳解】因為tana=|,

2

br、j.c-八c2sinacosa-2(2cosa-l)-2

所以sin2a—2cos2a—2=-----------------；---------

sinza+cosza

2sinacosa—4cos2a2tancr—4

sin2a+cos2atan2a+1

_2X|-4_24

二可「石

故選:B.

2.(2024?河北滄州?模擬預測)已知tan。=2/，則cos26=()

A.--B.-C.--D.-

9999

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角公式，結合正余弦齊次式法計算即得.

【詳解】由tan。=2A/2,得cos29--cos20—sin20=",臟飛——山嚶—

cosz0+sin20l+tan209

故選：C

3.(2024?浙江杭州?模擬預測)已知喏誓=2,則普理=_______-

smO+cos。2sin9+cosJJ

【答案】S

【分析】利用同角三角函數(shù)值之間的基本關系可得sin。=-4cos。，將表達式利用平方和關系為1化簡可得

結果.

【詳解】由si唾2co.1__2可得sin。=-4cos0,即tan。=—4；

sm0+cosa

所以si/e+cos。_(―4COS0)3+COS0_-64cos30+cos0_—64cos20+l

2sin0+cos302x(-4cos0)4-cos30—8cos0+cos30-8+cos20

—64COS20+sin20+cos20—63cos20+sin20—63+tan20

—8(sin20+cos20)+cos20—8sin20—7cos2。—8tan20—7

將tan。=-4代入計算可得Y3+t；產=Will=11.

-8tan20-7-8x16-7135

onsin30+cos047

2sin0+cos30135

故答案為：羨

考點六、sintr+cosa.sina?cosa的知一求二

典例引領

1.(23-24高三下.安徽蕪湖.階段練習)已知8s2a=金貝Usin2a=()

sina+cosa3

32

B.-C.D.

343

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件,利用二倍角公式求出cosa-sina,再利用同角公式計算得解.

cos2a_y[3cos2a-sin2a_V3

【詳解】解得cosa—sina=

sina+cosa3sina+cosa3

兩邊平方得1—sin2a=所以sin2a=

故選：D

2.(2024高三?全國?專題練習)已知sina+cosa=工，ae(0,n),則tana———=()

5tana

【答案】B

【分析】借助sina+cosa=：可得sina?cosa,結合所處象限可得sina-cosa,即可得tana,即可得解.

【詳解】由sina+cosa=gaE(0,71),

???(sina+coscr)2=孩，§P1+2sina-cosa='

2sina?cosa=——<0,a為鈍角，

???sina>0,coscr<0,???sincr—cosa>0,

???(sincr—coscr)2=1—2sina-cosa=—,

.7

???sina—cosa=

sina+cosa+sina-cosa4

貝fjsina=---------------2---------------

4

14354

cosa=-----—-，tana=~7=—,

555--3

5

417

貝!Jtana-------

tana12

故選：B.

即時檢測

1.（23-24高三上?天津河西?階段練習）已知aG（0,兀），sina+cosa=—/,則cos2a=（)

AiVsV5V5

A.H----B.D

-33c.3-±?

【答案】B

【分析】由sina+cosa=-/平方得到sin2a,再利用平方關系求解.

【詳解】解：因為aE(0,7i),sina+cosa=—曰<0,

所以a6(當H),

由sina+cosa=一三兩邊平方得1+2sinacosa=

即sin2a=2sinacosa=—|,

所以2a6(T，2兀)，cos2a="—sin22a=日.

故選：B.

2.（23-24高三上?云南?階段練習）已知sinacosa=，，且:Va<],則下列結果正確的是（).

A.sin2a=-B.sina+cosa=—

82

c.V3

C.sina—cosa=-----D.tana=4—V15

2

【答案】B

【分析】利用二倍角正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系逐項求解即可.

【詳解】因為sinacosa=工，所以sin2a=2sinacosa=工，故A錯誤；

84

因為(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=

4

又(<a<泉所以sina+cosa>0,所以sina+cosa=孚,故B正確;

(sina-cosa)2=cos2a+sin2a—2sinacosa=

又N<a<-,所以sina>cosa所以sina—cosa=—,故C錯誤；

V5TV5+V3

得

sina+cosa=解sincr=

聯(lián)立《4

V3Ty/S—y]3

sina—cosa=cosa=

4

所以tana=出吧=4+V15,故D錯誤;

cosa

故選：B.

3.（2024高三?全國?專題練習）已知sindcos。是關于x的方程25久2—35x+a=0的兩個實根，則①——

sinyCOS（7T+8）

的值為.

35/o11

【答案】—/L—

1212

【分析】利用韋達定理，結合三角函數(shù)的基本關系式，即可求解.

【詳解】因為sin。，cos。是關于久的方程25%2-35刀+。=0的兩個實根,

7._49_.19

可得sin。+cos0=平方可得1+2sin0cos0=—,可得sinJcos。=—,

sin0cosQ+6）sin0cos0sin6cos6—12'

故答案為：n

4.（23-24高三上?安徽?階段練習）已知。是三角形的一個內角，滿足cos8-sine=-g則且吧駕*

5sin0

（）

【答案】B

【分析】

由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式siMj+cos2j=1,可求tan。的值，進而利用三角函數(shù)恒等變換的應用

化簡，即可計算得解.

【詳解】

因為cos?！猻in0=一F，兩邊平方得1—2sin8cos9=

即2sin6cos6=g可得（sinb+cos0）2=1+2sin0cos0=1,

因為。是三角形的一個內角，且2sin6cos。=所以sin。>0,cosd>0,

所以sin。+cosd>0,得sin。+cos。=等，

又因為cos?！猻in。=——,sinff+cosO=—,

聯(lián)立解得：sin。=4之cos0=故有：tan。=2,

?I而右(sin6+cos6)cos26_sin6+cos6cos20-sin20_tan6+ll-tan20_9

sin。sin。cos20+sin20landl+tan2010,

故選:B.

考點七、三角函數(shù)的誘導公式

典例引領

1.(2024.北京通州.二模)在平面直角坐標系xOy中，角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，

終邊與單位圓交于點尸一|),貝!JcosQ-2a)=()

9779

A--京B--京C.云D.京

【答案】B

【分析】接根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出sina=-|,cosa=］,再由誘導公式和二倍角余弦公式化簡即可得

出答案.

【詳解】由三角函數(shù)的定義可得sina=-|,cosa=￡

所以cos(?！?a)=—cos2a=—(2cos2a-1)=—(2x-1)=一

故選：B.

2.(2024?河南商丘?模擬預測)“sin(a—2024兀)>0”是“a為第一象限角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用誘導公式及正弦函數(shù)的性質結合充分、必要條件的定義判定選項即可.

【詳解】易知sin(a—2024兀)=sina,所以sin(a-2024K)>0=>sina>0=>

a為第一象限角、第二象限角或終邊落在縱軸正半軸上的角，

顯然不滿足充分性，滿足必要性.

故選：B

1.(2024高三.全國.專題練習)cos等+tan(-等)=.

【答案】|

【分析】利用誘導公式求解即可.

［詳解］cos等+tan(一等)=cos(8TT+§+tan(-4TT+：)=cos|+tan~=~-

故答案為：|.

2.(2024.河南.模擬預測)已知tana=京則tan(2024兀+2a)=

【答案】v/3l

77

【分析】利用誘導公式和正切二倍角公式求出答案.

2XI24

【詳解】由題意可得tan(2024兀+2a)=tan2a=二：￡

G）：7

故答案為：

/>■■>.…、—.,,、,sin2a—3cos（cr+?）cosa/、

3.（2024?廣東戊名?一模）已知cos（a+兀）=-2sina,則-----------...=（）

cos2ct+l

247

A.-1B.--C.-D.-

558

【答案】D