人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè) 圓錐曲線之雙曲線 講義

二.雙曲線

雙曲線的定義

我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)耳,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于］耳心|)的點(diǎn)的軌

跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程2222

鼻-2=l(a>0,b>0)--z-=1(。>0?/7>0)

abab

范圍xe(-oo,-tz][a,+oo)ywRye(-oo,-6i][tz,+oo)xeR

頂點(diǎn)坐標(biāo)

半軸長

離心率c

e--

a

對(duì)稱性

b、c的關(guān)系

通徑

焦點(diǎn)三角形

與雙曲線有關(guān)的二級(jí)結(jié)論:

1.Fi、F2為雙曲線的焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，則△PF1F2為焦點(diǎn)三角形，/FIPF2=6焦點(diǎn)三角形的面積:

b2

SAP%-e

tan

2

2.已知A、B是橢圓二一二=1上兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)，則有左

aba

3.設(shè)圓錐曲線C的焦點(diǎn)F在x軸上，過點(diǎn)F且斜率為％的直線/交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若AE=XFF(X>O),

則e=Jl+左2|3|

X+1

22

4.過橢圓外一點(diǎn)P（xo,yo）作橢圓與―1=1的切線，則切點(diǎn)弦的方程為半—登=1

abab

>雙曲線基本運(yùn)算

2

例1焦點(diǎn)為（0,6）,且與雙曲r線=1有相同的漸近線的雙曲線方程是（）

x2y21y2x21y2x2.x2y2.

A.-------二1B.-------二lC.-----------1D.-------二1

1224122424122412

r2

例2雙曲線一-V2=1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）

4

244V5

A.-B.-D.----

555

22

xy=1的離,心率為V巨5,

例3雙曲線C：則C的漸近線方程為（)

林一昂2

111

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±—xD.y=±x

"432

x2y2y2x2

例4已知o<e<一,則雙曲線ci：1與C2：=1的（）

4COS261sin20sin23cos23

A.實(shí)軸長相等B.虛軸長相等C.焦距相等D.離心率相等

>離心率問題

V2y2_V3V2y2

例1若橢圓一+R=1的離心率為,則雙曲線?=1的離心率為（）

a~Ta

5V53V5

A.-B.——c.一D.—

4224

例2雙曲線二-當(dāng)=1的左右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,過FI作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF?

ab

垂直于X軸，則雙曲線的離心率為（）

A.-\/6B.y/3C.V2D.

3

例3已知Fi、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MFi的中點(diǎn)在雙曲線上，則

雙曲線的離心率為（）

A.4+273B.V3-1C.D.V3+1

2

22

例4設(shè)直線％-3y+機(jī)=0（根w0）與雙曲線T-斗=l兩條漸近線分別交于點(diǎn)A、B,若點(diǎn)P（m,0）滿足PA=PB,

ab

則該雙曲線的離心率為

22

例5雙曲線鼻-2r=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fl、F2.若P為其上一點(diǎn)，且PF1=2PF2,則雙曲線離心率的取值范圍是（）

ab

A.(1,3)B.(l,3]C.(3,+8)D.[3,+OO)

例6如圖，F(xiàn)i、F2是橢圓G：￡+/=l與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是Ci，C2在第二、四象限的公

共點(diǎn)，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率為（）

A.V2

3V6

C.一D.——

22

例7已知Fi、F?是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是以Fi和F2為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，并且PF1LPF2,,建2

分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有()

11“11c

A-7+?B廣

C.e；+e；=4D.e；+e；=2

TT

例8已知Fi、F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且/FIPF2=—,則橢圓和雙曲線的離心

3

率的倒數(shù)之和的最大值為()

C.3D.2

例9已知雙曲線二-4=1的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只一個(gè)交點(diǎn),

ab

則此雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(l,2]B.(l,2)C.[2,+oo)D.(2,+oo)

22

例10斜率為2的直線1過雙曲線1-3=1的右焦點(diǎn)F且與雙曲線的左右兩支分別相交，則雙曲線離心率的

ab

取值范圍是()

A.(l,2)B.(1,V3)C.(1,V5)D.(V5,+oo)

例11Fi、F?是雙曲線C：三一鼻=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若PFi+PF2=6a,MAPF1F2的最小內(nèi)角為30°,

ab

則C的離心率為

>雙曲線有關(guān)的最值

例1若點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,2),F2是雙曲線3=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)p為雙曲線的動(dòng)點(diǎn)，則

(1)P在雙曲線右支，則PA-PF2的范圍是

(2)P在雙曲線左支，則PA+PF2的最大值是

例2已知尸是雙曲線土一上=1的左焦點(diǎn)，尸是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，若A(l,4),則|PF|+|B4|的最小值

412

是.

例3已知點(diǎn)P為雙曲線.e=1右支上的一點(diǎn),分別是圓(x+5)2+/=4和(x—5)2+)?=1上的點(diǎn),

則||-1PN|的最大值為.

>多選壓軸題

22

(多選)1.已知F1,R分別為雙曲線二—二=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)放的直線與雙曲線的

ab

右支交于A,B兩點(diǎn),記△AB"的內(nèi)切圓的半徑為打，△5人方2的內(nèi)切圓。2的半徑為r2.若雙曲線的離

心率e=2,則下列說法正確的是()

A.以013為直徑的圓與直線A3相切

B.nn=cr

C.01,。2在直線冗=〃上

D.廠i+f2的范圍是［2。,2石。)

（多選）2.如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1,尸2分別為雙曲線C：V—5=1的左、右焦點(diǎn)，過雙曲線C右支上一

點(diǎn)尸作雙曲線的切線/分別交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)。，則下列結(jié)論正確的是（

A.\AB\min=2b

=

B.S/\AOB2,S/^AOP

C.S/\AOB=2.b

D.若存在點(diǎn)尸，使得SQ*=屈，且耳B=2DF2,

則雙曲線C的離心率為2或逅

2

22

（多選）3.已知為，放分別為雙曲線C：靛一鏟=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線C的漸近線

在第一象限部分上的一點(diǎn),線段尸正2與雙曲線交點(diǎn)為。，且「1P|=|尸1五2|=2|尸尸2|,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是（）

B.雙曲線C的離心率6=空

A.\OP\=2a

3

12-V622

C.\QFi\=---aD.若△。乃R的內(nèi)心的橫坐標(biāo)為3,則雙曲線C的方程為'■-言=1

22

（多選）4.已知雙曲線「：工—2T=1（G>0,6>0），左焦點(diǎn)為尸，左右頂點(diǎn)分別為4、A2,B（0,b），

ab

P是「右支上一動(dòng)點(diǎn)，且1Ppi+|PB|的最小值為（百+2）a,P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.「的離心率為2B.PAiLAxQ

C.sinZQPAi=sinNQAiAiD.4\PB\^^6\PQ\

22I/

（多選）5.已知為，放是雙曲線C:二-二=1的左、右焦點(diǎn)，A（亞■」）是C上一點(diǎn)，若C的離心率為名?,

ab223

連結(jié)A尸2交。于點(diǎn)5,則（）

A.C的方程為餐一/=1

B.ZFIAF2=90°

C.△HA尸2的周長為2百+2

D.△ABFi的內(nèi)切圓半徑為石-

（多選）6.雙曲線C：---匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,過點(diǎn)R的直線與雙曲線右支交于A、8兩點(diǎn),

45

△AF1F2和△8HF2內(nèi)切圓半徑分別為ri和不，則（）

A.雙曲線C的漸近線方程為2x土店》=0

B.△AFLB面積的最小值為15

C.△4為正2和△BF由2內(nèi)切圓圓心的連線與無軸垂直

D.ri?r2為定值1

22

xy

（多選）7.雙曲線C：靛一鏟=1的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,傾斜角為60°的直線/過雙曲線C