2024-2025學(xué)年上師大閔分高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷及答案（2024.11）（含答案）

上師閔分寶分2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期中聯(lián)考2024.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.有一根高為,底面半徑為1的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈,并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度.

2.已知四棱柱的底面是正方形,側(cè)棱垂直于底面,底面邊長為,高為3,則此四棱柱的對角線長為.

3.已知邊長為3的正的三個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上,且OA與平面ABC所成的角為,則球的表面積為.

4.已知兩條不同的直線,兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)說法:

(1);(2);

(3);(4),其中正確的序號是.

5.直線垂直于平面內(nèi)的兩條不平行的直線，則直線與平面的關(guān)系是.

6.已知異面直線所成的角為在直線上,在直線上,,則間的距離為是.

7.正方體中,平面與平面的交線是所在的直線.

8.圓錐的底面半徑為1,母線長為2,在圓錐體內(nèi)部放入一個(gè)體積最大的球,該球的表面積為.

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線的夾角為與圓錐底面所成角為,若的面積為,則該圓錐的側(cè)面積為.10.在正方體中,二面角的平面角大小為.

11.已知正三棱柱的底面邊長為,高為2,點(diǎn)是其表面上的動點(diǎn),該校柱內(nèi)切球的一條直徑是,則的取值范圍是.

12.已知正四面體棱長為2,點(diǎn)分別是內(nèi)切圓上的動點(diǎn),現(xiàn)有下列四個(gè)命題:

(1)對于任意點(diǎn),都存在點(diǎn),使;

(2)存在,使直線平面;

(3)當(dāng)最小時(shí),三棱錐的體積為

(4)當(dāng)最大時(shí),頂點(diǎn)A到平面的距離的最大值為.

其中正確的有.（填選正確的序號即可）

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

13.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）.

A.B.C.D.

14.設(shè)為兩條不同的直線,為兩個(gè)不重合的平面.下列命題中正確的是（）.

A.若,則B.若與所成的角相等,則與平行或相交

C.若內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等,則

D.若且,則

15.如圖,在棱長為2的正方體中,分別是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,且,點(diǎn)在線段上運(yùn)動,給出下列四個(gè)結(jié)論:(1)當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí),直線平面;

(2)直線到平面的距離是;

(3)存在點(diǎn),使得；

(4)面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.316.如圖所示,四面體的體積為,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)分別為線段的三等分點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),過點(diǎn)的平面與棱分別交于,設(shè)四面體的體積為,則的最小值為（）.

A.B.C.D.

三、解答題（本大題滿分78分）

17.(滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.

在棱長為2的正方體中,為的中點(diǎn).

（1）求異面直線與所成角的余弦值;

（2）求三棱錐的體積.18．（本題滿分14分）（本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖,四棱錐的底面為正方形,分別為的中點(diǎn),且平面平面.

（1）證明:;

（2）若,當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí),求直線與平面的夾角.19．（本題滿分14分）（本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖,在四棱錐中,,平面分別為棱的中點(diǎn).

（1）證明:平面;

（2）求平面與平面的夾角的余弦值.20．（本題滿分18分）（本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）．如圖,已知長方體,直線與平面所成角為垂直于.

（1）若為棱的動點(diǎn),試確定的位置,使得平面,并說明理由;

（2）若為棱的中點(diǎn),求點(diǎn)到平面的距離;

（3）若為棱上的動點(diǎn)(除端點(diǎn)外),求二面角的平面角的范圍.21．（本題滿分18分）（本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）．一個(gè)幾何系統(tǒng)的"區(qū)徑"是指幾何系統(tǒng)中的兩個(gè)點(diǎn)距離的最大值,如圓的區(qū)徑即為它的直徑長度.

（1）已知為直角邊為1的等腰直角三角形,其中,求分別以三邊為直徑的三個(gè)圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑;

（2）已知正方體的棱長為2,求正方體的棱切球（與各棱相切的球）和外接圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑;

（3）已知正方體的棱長為2,求正方形內(nèi)切圓和正方形內(nèi)切圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑.

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.（1）（4）;5.垂直;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.（1）（2）（4）11.已知正三棱柱的底面邊長為,高為2,點(diǎn)是其表面上的動點(diǎn),該校柱內(nèi)切球的一條直徑是,則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，問題等價(jià)于已知是邊長為的正內(nèi)切圓的一條直徑,為邊上的一動點(diǎn),求的取值范圍.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，是邊長為的正內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的半徑.正內(nèi)切圓的方程為.

將之轉(zhuǎn)化成到內(nèi)切球球心的距離求解，當(dāng)位于底面中心時(shí)位于頂角時(shí),所以的取值范圍的取值范圍是.12.已知正四面體棱長為2,點(diǎn)分別是內(nèi)切圓上的動點(diǎn),現(xiàn)有下列四個(gè)命題:

(1)對于任意點(diǎn),都存在點(diǎn),使;

(2)存在,使直線平面;

(3)當(dāng)最小時(shí),三棱錐的體積為

(4)當(dāng)最大時(shí),頂點(diǎn)A到平面的距離的最大值為.

其中正確的有.（填選正確的序號即可）【答案】（1）（2）（4）【解析】正四面體棱長為2,點(diǎn)分別是,內(nèi)切圓上的動點(diǎn),

設(shè),,的重心分別是,

以為原點(diǎn),過作的平行線為軸，所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則且

三個(gè)內(nèi)切圓的半徑均為,且可設(shè):

對于(1),當(dāng)確定后,取為關(guān)于平面的對稱點(diǎn),則垂直于平面,對于任意點(diǎn),都存在點(diǎn),使,故(1)正確;

對于(2),當(dāng)時(shí),有此時(shí)滿足條件，故(2)正確;

對于(3),此時(shí)位于最上方,即,這時(shí),點(diǎn)到平面的距離為,,故(3)錯(cuò)誤；

對于(4),此時(shí),根據(jù)對稱性有此時(shí)在處取到最大值,此時(shí)的縱坐標(biāo)都是,點(diǎn)到平面的距離為,故(4)正確.故答案為:（1）（2）（4）.二、選擇題13.A14.D15.C16.C15.如圖,在棱長為2的正方體中,分別是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,且,點(diǎn)在線段上運(yùn)動,給出下列四個(gè)結(jié)論:(1)當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí),直線平面;(2)直線到平面的距離是;

(3)存在點(diǎn),使得；(4)面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】對(1),如下圖所示：因?yàn)槭侵悬c(diǎn),,所以點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,顯然也是的交點(diǎn),連接,所以,而平面平面,所以直線平面,(1)對;

以為原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,

對(2),分別是棱的中點(diǎn),,平面平面,故平面,故直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，得,(2)錯(cuò):對(3),設(shè),則,

則,,由,即,得,

由,故存在點(diǎn),使得,(3)對;

對(4),由(3)得到的投影為,故到的距離面積為

由二次函數(shù)性質(zhì),當(dāng)時(shí),取得最小值為,(4)錯(cuò).故選:.16.如圖所示,四面體的體積為,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)分別為線段的三等分點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),過點(diǎn)的平面與棱分別交于,設(shè)四面體的體積為,則的最小值為（）.

A.B.C.D.【答案】C【解析】連接,由題意知：

令則所以,

因?yàn)樗狞c(diǎn)共面,所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），所以,

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則點(diǎn)到平面的距離為,

又,,

所以,即的最小值為.故選：C.三．解答題17.（1）（2）18.（1）證明略（2）19.（1）證明略（2）20．（本題滿分18分）（本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）．如圖,已知長方體,直線與平面所成角為垂直于.

（1）若為棱的動點(diǎn),試確定的位置,使得平面,并說明理由;

（2）若為棱的中點(diǎn),求點(diǎn)到平面的距離;

（3）若為棱上的動點(diǎn)(除端點(diǎn)外),求二面角的平面角的范圍.【答案】（1）時(shí),平面,（2）（3）【解析】（1）時(shí),平面,證明如下:延長交于

因?yàn)槠矫?所以是直線與平面所成的角,即,所以,由,所以,

在上取點(diǎn),使得,連接,,則,

又是平行四邊形,,是平行四邊形,是平行四邊形,,,又平面平面,平面,即平面;

（2）

由長方體性質(zhì)可得,,,設(shè)到平面的距離為,則由得,

（3）作,垂足為,作于,連接,則平面平面,同理,平面平面,

而平面是二面角的平面角,設(shè),則由是矩形得,則,是銳角,.二面角的范圍是.21．（本題滿分18分）（本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）．一個(gè)幾何系統(tǒng)的"區(qū)徑"是指幾何系統(tǒng)中的兩個(gè)點(diǎn)距離的最大值,如圓的區(qū)徑即為它的直徑長度.

（1）已知為直角邊為1的等腰直角三角形,其中,求分別以三邊為直徑的三個(gè)圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑;

（2）已知正方體的棱長為2,求正方體的棱切球（與各棱相切的球）和外接圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑;

（3）已知正方體的棱長為2,求正方形內(nèi)切圓和正方形內(nèi)切圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）如圖,若幾何系統(tǒng)中的兩點(diǎn)分別在兩圓上,不妨設(shè)其中一點(diǎn)在上,若另一點(diǎn)在上,則

當(dāng)共線時(shí)取到等號;若另一點(diǎn)在上,則

當(dāng)共線時(shí)取到等號;若兩點(diǎn)在同一圓上,則最大距離為直徑,即,

綜上,該幾何系統(tǒng)的區(qū)徑為;

（2）記棱切球的球心為,即為正方體的中心,易求得棱切球的半徑為,

因?yàn)闉檎切?，記它的外接圓圓心為,得其半徑為,又則球心到的外接圓上任意一點(diǎn)