（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第01講 三角函數(shù)（教師版）

第第頁第01講三角函數(shù)一．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.2.商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠k·eq\f(π,2)＋αk∈Z)3.公式變形：sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．sinα＝tanαcosα(α≠k·eq\f(π,2)＋αk∈Z)．二．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1.公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號看象限2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣奇變偶不變，符號看象限.“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋αk∈Z”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化．“符號看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．三．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ5．tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)6．tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)四．二倍角公式1．基本公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)．2．公式變形(1)降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α；(2)升冪公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2．（3）tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)五．積化和差與和差化積公式1．積化和差公式2．和差化積公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)一．常見的弦化切的結(jié)構(gòu)形式1.sinα、cosα的一次齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))，解決此類問題時，用分子分母同時除以cosα，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子，進(jìn)而求解．2.sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)，解決此類問題時，將原式看成分母是1的表達(dá)式，把1換成“sin2α＋cos2α”，然后用分子分母同時除以cos2α將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子，進(jìn)而求解．二．弦的和差積形式對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.誘導(dǎo)公式①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.角的變換（角的拼湊）1.當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；2.當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．3.常見的互余關(guān)系有eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有eq\f(π,6)－θ與eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等.常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－α)等．五．三角函數(shù)式化簡弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需要升次．六．證明三角函數(shù)恒等式1.如果需證的三角函數(shù)恒等式中只含同角三角函數(shù)，則可以從變化函數(shù)入手，即盡量把等式中所含三角函數(shù)都化為正弦和余弦或全部化為某一函數(shù)，雖然能達(dá)到最終目標(biāo)，但這種方法不一定最簡單；2.如果需證的三角函數(shù)恒等式中含有不同角的三角函數(shù)，則宜從角的簡化入手，盡量化復(fù)角為單角，或者減少不同角，以便能使用某一公式進(jìn)行變形；3.在證明三角函數(shù)恒等式中，“1”出現(xiàn)的頻率較高，則可把“1”代換為sin2α＋cos2α或tan45°等．考法一同角三角函數(shù)公式的知一求二【例1-1】已知是第二象限角，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為是第二象限角，，所以，故選：D.【例1-2】已知α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－eq\f(1,3)，則sinα＋cosα的值為________．【答案】－eq\f(\r(10),5)【解析】由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，且sinα>0，cosα<0，將其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，所以cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5)．【一隅三反】1．(多選)若sinα＝eq\f(4,5)，且α為銳角，則下列選項中正確的有()A．tanα＝eq\f(4,3)B．cosα＝eq\f(3,5)C．sinα＋cosα＝eq\f(8,5)D．sinα－cosα＝－eq\f(1,5)【答案】AB【解析】∵sinα＝eq\f(4,5)，且α為銳角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，故B正確，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(4,5),\f(3,5))＝eq\f(4,3)，故A正確，∴sinα＋cosα＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5)≠eq\f(8,5)，故C錯誤，∴sinα－cosα＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)≠－eq\f(1,5)，故D錯誤．考法二弦切互換【例2-1】已知，則__________.【答案】2【解析】已知，所以，，.故答案為：2【例2-2已知為銳角，滿足，則________．【答案】2【解析】因為，整理得，解得或，又因為為銳角，則，所以.故答案為：2.【一隅三反】1．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得：，所以.故選：A2．已知，則的值是__________．【答案】5【解析】因為，，故答案為：5.考法三弦的和積轉(zhuǎn)化【例3-1】已知，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由，解得，，且，有，A選項正確；，B選項正確；，C選項正確；，D選項錯誤.故選：D【例3-2】已知，且，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，∵，∴，兩邊平方可得，∴，∴，∴．，∴，∴．故選：B.【一隅三反】1．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得：，整理得，且，可得，即，可得，因為，可得，所以.故選：D.2．已知，且，則用表示的值為___________.【答案】【解析】，，，，，時，，則，則，故答案為：.考法四誘導(dǎo)公式【例4-1】若，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，解得,則.故選：C.【例4-2】已知，則_______．【答案】【解析】，則，所以，因為，所以，，則.故答案為：【一隅三反】1．已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，則等于（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】,又,故.故故選：B2．(多選)下列化簡正確的是()A．tan(π＋1)＝tan1B．eq\f(sin－α,tan360°－α)＝cosαC．eq\f(sinπ－α,cosπ＋α)＝tanαD．eq\f(cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝1【答案】AB【解析】A選項：tan(π＋1)＝tan1，故正確；B選項：eq\f(sin－α,tan360°－α)＝eq\f(－sinα,－tanα)＝eq\f(sinα,\f(sinα,cosα))＝cosα，故正確；C選項：eq\f(sinπ－α,cosπ＋α)＝eq\f(sinα,－cosα)＝－tanα，故不正確；D選項：eq\f(cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝eq\f(－cosα·－tanα,－sinα)＝eq\f(cosα·\f(sinα,cosα),－sinα)＝－1，故不正確．故選A、B．考法五和差倍角公式的運(yùn)用【例5-1】下列化簡不正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】A選項，，所以A選項正確.B選項，，B選項正確.C選項，，C選項正確.D選項，，D選項錯誤.故選：D【一隅三反】1．（多選）下列等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】對于A選項，，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C對；對于D選項，，D錯.故選：AC.2．（多選）下列命題中正確的是（

）A．的值等于B．若，則C．D．【答案】AC【解析】A，，所以，A正確B.若，則，即，解得，B錯誤；C，C正確；D，，D錯誤故選：AC．考法六角的拼湊【例6-1】已知，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，的值為，故選：【例6-2】已知，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故選：B.【例6-3】若，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因為所以，，因為，，所以，，則．故選：C【一隅三反】1．已知，則（

）A．B．C．-D．【答案】A【解析】.故選：A.2．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得,故選：B3．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，即，所以，則，所以.故選：D考法七簡單三角恒等變換【例7-1】已知，則的近似值為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B【例7-2】若兩個銳角，滿足，則______.【答案】【解析】因為，所以所以，因為，為銳角，所以有，所以，即，所以，即，因為，為銳角，所以有，即，所以故答案為：【一隅三反】1．（

）A．B．C．D．6【答案】A【解析】.故選：A2．若，則（

）A．0B．C．1D．【答案】C【解析】由，可得，又由正弦的倍角公式，可得，即，令，則，解得，所以.故選：C.3．若，則__________.【答案】【解析】，或，當(dāng)時，可得，此時，顯然沒有意義；當(dāng)時，，此時，所以有，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故答案為：.第四章三角函數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題1．已知角的終邊過點，且，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義可得出關(guān)于的方程，解出的值，再利用三角函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由題得，解得，所以點，所以．故選：B．2．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出變換后的函數(shù)解析式，再探討在兩個指定區(qū)間上的單調(diào)性作答.【詳解】函數(shù)，即，將其圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是，當(dāng)時，，因為余弦函數(shù)在上不單調(diào)，因此函數(shù)在上不單調(diào)，AB錯誤；當(dāng)時，，因為余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，C錯誤，D正確.故選：D3．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式、余弦的倍角公式可得答案.【詳解】因為，所以.故選：A.4．用一個圓心角為，面積為的扇形（為圓心）圍成一個圓錐（點恰好重合），該圓錐頂點為，底面圓的直徑為，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)扇形的弧長等于它圍成的圓錐的底面周長，求出圓錐的底面半徑、高，得到，利用二倍角公式即可求出．【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，高為．∵扇形的圓心角為∴，∴∵扇形的弧長等于它圍成的圓錐的底面周長∴，∴∴∴∴．故選：A．5．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【詳解】解：因為，所以，即，所以．，故選：B．6．已知為第二象限角，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由平方關(guān)系和輔助角公式可求解.【詳解】為第二象限角，，原式..選：B.二、多選題7．已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．B．直線是圖象的一條對稱軸C．在上單調(diào)遞增D．將的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到的圖象【答案】AB【分析】根據(jù)輔助角公式和函數(shù)的最小正周期可得，然后利用的性質(zhì)可得.【詳解】，因最小正周期為，，故，得，故，選項A：，故A正確；選項B：的對稱軸為，，即，，當(dāng)時，，故B正確；選項C：令，，得，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C錯誤；選項D：將的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到，故D錯誤.故選：AB8．關(guān)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．是奇函數(shù)B．的最小正周期為C．的最大值為D．在單調(diào)遞增【答案】AC【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義、三角函數(shù)的周期性以及函數(shù)周期的求法判斷AB；再根據(jù)周期性研究函數(shù)在區(qū)間上的最值、以及單調(diào)性，判斷CD.【詳解】由題知，定義域為，，所以是奇函數(shù)，故A正確；因，所以是的周期，故B錯；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，由得，即，所以，故C正確；因，，則，所以在上不是單調(diào)遞增的，故D錯.故選：AC9．已知，，，下列選項正確的有（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及誘導(dǎo)公式可得可得，進(jìn)而可判斷A，根據(jù)和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.【詳解】由于且，所以，又，，故或，當(dāng)時，顯然不滿足，故，所以，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C,，故C錯誤，對于D，由B可知，所以，故D正確，故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題10．已知函數(shù)，把的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則．【答案】【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可得出的解析式，代值計算可得出的值.【詳解】因為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，因此，.故答案為：.11．已知，都是銳角，，則=.【答案】2【分析】法一：利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求解；法二：利用特殊值法求解.【詳解】法1：.，.法2：由，令，則，則，故答案為：212．已知均為銳角，，則的最小值為.【答案】【分析】化切為弦，然后利用兩角和余弦公式展開，利用基本不等式求解最值即可.【詳解】，因為均為銳角，則，因此，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：.四、解答題13．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，再將所得圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時，方程恰有三個不相等的實數(shù)根，，求實數(shù)a的取值范圍以及的值.【答案】(1)；(2)，【分析】（1）由三角函數(shù)圖象的最大值與最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊點的坐標(biāo)，求出，得到函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)平移變換和伸縮變換得到，令，換元后利用整體法求出函數(shù)的單調(diào)性和端點值，得到，再根據(jù)對稱性得到，相加后得到，求出答案.【詳解】（1）由圖示得：，解得：，又，所以，所以，所以.又因為過點，所以，即，所以，解得，又，所以，所以.（2）圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到，將所得圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到，當(dāng)時，，令，則，令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，,所以時，.當(dāng)時，方程恰有三個不相等的實數(shù)根.因為有三個不同的實數(shù)根，且關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，則，兩式相加得：，即，所以.14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知在時，求方程的所有根的和.【答案】(1)，，；(2)【分析】（1）將函數(shù)變形為，由函數(shù)的周期及奇偶性可求解；（2）解方程得或，即或，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】（1）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，的最小正周期為，即可得，又為奇函數(shù)，則，，又，，故的解析式為，令，得函數(shù)的遞減區(qū)間為，.（2），，，方程可化為，解得或，即或當(dāng)時，或或解得或或當(dāng)時，，所以綜上知，在時，方程的所有根的和為.三角函數(shù)隨堂檢測1．已知直線的傾斜角為，則（

）A．-3 B． C． D．【答案】B【解析】因為直線的傾斜角為，所以.所以.故選：B.2．已知角的終邊經(jīng)過點，則（