（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第02講 解三角形（原卷版）

第第頁(yè)第02講解三角形一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形邊化角：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC角化邊：sinA＝eq\f(a,2R)sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCeq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)二．三角形常用面積公式1.S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．2.S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)bcsin_A．3.S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．三．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解四．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．五．盤點(diǎn)易錯(cuò)易混1．利用正弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)，齊次才能約去2R2.三角形中的大角對(duì)大邊：在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB．3．判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．一．正、余弦定理的選用1.正弦定理：一是已知兩角和一角的對(duì)邊，求其他邊或角；二是已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其他邊或角；2.余弦定理：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊或角；二是已知三邊求角．由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的．二．求解三角形面積問題1.若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．2.若已知三角形的三邊，可先求其中一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．三．選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：1.若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；2.若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；3.若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；4.代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；5.含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；6.同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.考法一常見的邊角互換模型【例1-1】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，若，則外接圓的半徑長(zhǎng)為（

）A．B．1C．D．【例1-2】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)，，則（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則A＝（

）A．B．C．D．2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4B．6C．D．3．（多選）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，且，則（

）A．B．C．D．考法二三角形的周長(zhǎng)與面積【例2-1】在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則的面積為______.【例2-2】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B；(2)若c＝3a，D為AC中點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)．【一隅三反】1．已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，C為鈍角，且.(1)求角B的大?。?2)若的面積為6，求的周長(zhǎng).考法三三角形的中線與角平分線【例3-1】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D為AC的中點(diǎn)，②BD為∠ABC的角平分線這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【例3-2】已知為的內(nèi)角所對(duì)的邊，向量,，且．(1)求；(2)若，的面積為，且，求線段的長(zhǎng)．【一隅三反】1.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且.(1)求角C的大??；(2)若的平分線交AB于點(diǎn)D，且，，求的面積.2.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求角A的大??；(2)若，邊上的中線，求的面積．考法四三角形中的取值范圍【例4-1】在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，則（

）A．B．C．D．【例4-2】在中，，則的最小值（

）A．-4B．C．2D．【例4-3】已知在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，面積為，且_____．在①，②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問題．(1)求；(2)若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍．【一隅三反】1.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，的平分線交于，若，則的最小值為____.2.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.(1)求角C的大??；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.3.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．考法五三角形解的個(gè)數(shù)【例5】由下列條件解，其中有兩解的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【一隅三反】1.中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．2.在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（

）①；②；③；④.A．①②B．②③C．②④D．②③④考法六正余弦定理在幾何中應(yīng)用【例6-1】如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求的長(zhǎng)．【例6-2】如圖，平面四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，.

(1)求的面積；(2)求的值及的長(zhǎng)度.【一隅三反】1．如圖，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，，.

(1)求；(2)求的面積.2.平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形的頂點(diǎn)在同一平面上，已知．(1)當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說明理由．(2)記與的面積分別為和，請(qǐng)求出的最大值．平面向量與解三角形章節(jié)測(cè)試一、單選題1．在中，若，則一定是（

）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形2．在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知，，且，則（

）A．B．C．D．3．已知中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為，是上的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）且，，則的最大值是（

）A．B．C．2D．44．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，若點(diǎn)M滿足，且∠MAB＝∠MBA，則△AMC的面積是（

）A．B．C．D．二、多選題5．在△ABC中，已知a＝2b，且，則（

）A．a(chǎn)，c，b成等比數(shù)列B．C．若a＝4，則D．A，B，C成等差數(shù)列6．在銳角中，角所對(duì)的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A．B．2C．D．三、填空題7．在中，，D為BC邊上一點(diǎn)，且，則的最小值為.8．在中，角的對(duì)邊分別為，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題9．已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、，其對(duì)邊分別為、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面積的最大值．10．在①；②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若D為邊上一點(diǎn)，滿足，，且______．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．(1)求角；(2)求的取值范圍．11．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，，點(diǎn)，分別在邊，上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值.12．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的取值范圍．解三角形隨堂檢測(cè)1．中，是角的對(duì)邊，，則此三角形有（

）A．一個(gè)解B．2個(gè)解C．無解D．解的個(gè)數(shù)不確定2.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．3.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則A=（

）A． B． C． D．4.在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（

）A．B．C．D．5.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得