材料力學(xué)課件：平面圖形的幾何性質(zhì)

1§A–1靜矩和形心§A–2慣性矩、慣性積、慣性半徑§A–3慣性矩和慣性積的平行移軸定理§A–4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式、主慣性矩和主慣性積

平面圖形的幾何性質(zhì)力學(xué)響應(yīng)的決定因素載荷（形式、大小、方向、作用線、加速度）材料（彈性模量、切變模量、泊松比）幾何性質(zhì)（尺寸、形狀）結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì)對(duì)變形的影響FFFF只與橫截面的幾何形狀和尺寸有關(guān)的某些幾何量，對(duì)桿件的應(yīng)力和變形起著重要作用，如橫截面面積A，圓軸橫截面對(duì)圓心的極慣性矩IP等。拉壓桿圓軸扭轉(zhuǎn)彎曲梁截面圖形的幾何性質(zhì)§A–1靜矩和形心1.靜矩（面積對(duì)軸之矩）靜矩為面積與它到軸的距離之積。2.形心（等厚均質(zhì)板的質(zhì)心與形心重合）等厚均質(zhì)質(zhì)心等于形心坐標(biāo)正負(fù)面積法累加式例1試求圖中陰影部分的圖形對(duì)矩形截面對(duì)稱軸的靜矩。靜矩的特征（1）靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的，故與坐標(biāo)軸選擇有關(guān)。

（2）單位：m3

（3）靜矩的數(shù)值可正、可負(fù)、或?yàn)榱恪D形對(duì)任意形心軸的靜矩必定為零，反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩為零，則該軸必過圖形形心。

（4）若已知圖形形心坐標(biāo)，可求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。若已知圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩，可求圖形的形心坐標(biāo)。A–2慣性矩、慣性積、慣性半徑1.慣性矩（與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類似）

是面積與它到軸的距離的平方之積。2.極慣性矩

是面積對(duì)極點(diǎn)的二次矩。例2試求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸

和

的慣性矩。例3試求直徑為的圓截面對(duì)過其圓心的正交坐標(biāo)軸和

的慣性矩。（1）極慣性矩和軸慣性矩的數(shù)值均為正值，單位：m4

（2）截面圖形的極慣性矩是對(duì)某一極點(diǎn)定義的；軸慣性矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。

（3）圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩的數(shù)值，恒等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一對(duì)正交坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即

（4）組合圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩，分別等于各組合圖形對(duì)同一點(diǎn)的極慣性矩或同一軸慣性矩之和，即慣性矩和極慣性矩的特征

3.慣性積如果x或y

是對(duì)稱軸，則Ixy=0。面積與其到兩軸距離之積。（1）截面圖形的慣性積是對(duì)相互垂直的某一對(duì)坐標(biāo)軸定義的。（2）慣性積的單位為m4。

（3）慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能等于零。若一對(duì)坐標(biāo)軸中有一軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)這一對(duì)稱軸的慣性積必等于零。但圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，這一對(duì)坐標(biāo)軸中并不一定有圖形的對(duì)稱軸。

（4）組合圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積，等于各組合圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的慣性積之和，即慣性積的特征4.慣性半徑：慣性半徑的特征：（1）慣性半徑是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。（2）慣性半徑的單位為m。（3）慣性半徑的數(shù)值恒為正值。慣性半徑是衡量截面圖形對(duì)某一軸慣性矩大小的參照值。1.靜矩2.極慣性矩圖形的形心相對(duì)于指定坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度。靜矩可用以求截面形心和計(jì)算截面內(nèi)各點(diǎn)切應(yīng)力。圖形面積相對(duì)于指定坐標(biāo)原點(diǎn)之間分布的集中或分散程度。極慣性矩主要用以求解圓截面的扭轉(zhuǎn)。截面圖形幾何性質(zhì)的幾何意義和力學(xué)意義3.軸慣性矩4.慣性積圖形面積相對(duì)于指定坐標(biāo)軸之間分布的集中或分散程度。反映截面抗彎特性的一個(gè)物理量，構(gòu)件的抗彎能力和軸慣性矩成正比。圖形面積相對(duì)于指定的一對(duì)正交坐標(biāo)軸之間分布的集中或分散程度。描述截面的轉(zhuǎn)動(dòng)性能。靜矩極慣性矩慣性矩慣性積截面圖形對(duì)形心軸之靜矩等于零。截面繞極點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度，極慣性矩不變。在所有與形心軸平行的軸中，截面圖形對(duì)形心軸的慣性矩最小。若兩個(gè)坐標(biāo)軸中有一個(gè)為圖形的對(duì)稱軸，則其慣性積等于零。小結(jié)A–3慣性矩和慣性積的平行移軸定理1.平行移軸定理：（與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理類似）以形心為原點(diǎn)，建立與原坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸如圖dAxyyxrabCxCyC(xC,yC)：dA在xCOyC坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(a,b)：形心C在xoy中的坐標(biāo)注意：C點(diǎn)必須為形心dAxyyxrabCxCyC平行移軸公式的特征

（1）截面圖形的面積為A；軸為圖形的形心軸；x，y軸為分別與形心軸相距為a和b的平行軸。

（2）兩對(duì)平行軸之間的距離a和b的正負(fù)，由形心在xoy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)來確定。

（3）在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小，但圖形對(duì)形心軸的慣性積不一定是最小。例4試求例5試求圖示截面對(duì)兩軸的慣性矩。A–4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式、主慣性矩和主慣性積1.慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理dAxyyxax1y1x1y1以逆時(shí)針為正2.截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩（1）主慣性軸和主慣性矩：坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)到

=

0

時(shí)；恰好有與

0

對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸x0

y0

稱為主慣性軸；平面圖形對(duì)主軸之慣性矩稱為主慣性矩。（2）形心主軸和形心主慣性矩：主慣性軸的原點(diǎn)與形心重合時(shí)，稱其為形心主慣性軸。平面圖形對(duì)形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩。形心主慣性矩：（3）兩個(gè)結(jié)論：若截面圖形對(duì)于過某一點(diǎn)的一堆主慣性軸的兩慣性矩相等，則過該點(diǎn)的任一對(duì)正交坐標(biāo)軸均為主慣性軸。因?yàn)椋核裕簩?duì)于任意角度，都有任何具有三根或三根以上對(duì)稱軸的截面圖形（如正多邊形截面、圓形截面），它們的所有形心軸均為形心主慣性軸，且形心主慣性矩相等。例6計(jì)算Z形截面的形心主慣性矩。解：（1）確定形心位置把截面分解為I、II、III三個(gè)圖形，該組合圖形的幾何中心C，即為形心。過形心C，建立坐標(biāo)系yCz（2）計(jì)算截面圖形對(duì)Cy軸、Cz軸的慣性矩和慣性積（3）確定形心主慣性軸的方位，計(jì)算形心主慣性矩（4）求截面形心主慣性矩的基本方法①建立坐標(biāo)系②確定形心坐標(biāo)③建立形心坐標(biāo)系；求：IyC

，