湖南省永州市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省永州市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得到或，所以，又由，得到，所以，得到，故選：A.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選：A.3.已知，且與不共線，則“向量與垂直”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若向量與垂直，則，解得，所以“向量與垂直”是“”必要不充分條件，故選：B．4.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得到，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程是，即，故選：A.5.已知函數(shù)的最小正周期為，則的對稱軸可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，則，令，則，對比選項(xiàng)可知，只有當(dāng)時(shí)，，符合題意，故D正確；故選：D．6.在2024年巴黎奧運(yùn)會中，甲、乙、丙、丁、戊5人參與接待、引導(dǎo)和協(xié)助三類志愿者服務(wù)工作，每類工作必須有志愿者參加，每個(gè)志愿者只能參加一類工作，若甲只能參加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的種數(shù)是（）A.38 B.42 C.50 D.56【答案】C【解析】如果參加接待工作只有一人，則只能為甲，再把其余4人分組有兩類情況：和.把4人按分組，有種分組方法，按分組，有種分組方法，因此不同分組方法數(shù)為，再把兩組人安排到其余兩類志愿者服務(wù)工作，有種方法，所以不同分配方法種數(shù)是.如果參加接待工作有2人，則除了甲之外，還需要再安排一人有種情況，再把其余3人分組成，有種分組方法，再把兩組人安排到其余兩類志愿者服務(wù)工作，有種方法，所以不同分配方法種數(shù)是.如果參加接待工作有3人，則除了甲之外，還需要再安排兩人有種情況，再把其余2人安排到其余兩類志愿者服務(wù)工作，有種方法，所以不同分配方法種數(shù)是.綜上，不同的志愿者分配方案的種數(shù)是.故選：C.7.已知數(shù)列an滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕詾榈炔顢?shù)列，公差，首項(xiàng)，所以，所以，所以.故選：D．8.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，易知，所以，即有，得到，所以，函數(shù)定義域?yàn)榍遥玫?，所以，故，有，即，滿足題意，所以，定義域?yàn)榍遥?，所以或，?dāng)，即或，時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，不合題意，當(dāng)，時(shí)，，，由，得到或（舍去），又在區(qū)間上有最小值，所以，解得，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足題意，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知為隨機(jī)事件，，則下列說法正確的有（）A.若相互獨(dú)立，則B.若相互獨(dú)立，則C.若兩兩獨(dú)立，則D.若互斥，則【答案】AD【解析】對于A，若相互獨(dú)立，則，故A正確；對于B，若相互獨(dú)立，則，故B錯(cuò)誤；對于C，若兩兩獨(dú)立，由獨(dú)立事件的乘法公式得，，，，無法確定，故C錯(cuò)誤；對于D，若互斥，則，，兩邊同時(shí)除以得，，即，故D正確；故選：AD．10.已知點(diǎn)，圓，則（）A.圓與圓公共弦所在直線的方程為B.直線與圓總有兩個(gè)交點(diǎn)C.圓上任意一點(diǎn)都有D.是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的方程為【答案】BCD【解析】對于A:兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程：；錯(cuò)誤；對于B：過定點(diǎn)，而在圓的內(nèi)部，所以直線與圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，正確；對于C:設(shè)，由可得：化簡可得：，所以滿足條件的軌跡就是圓，正確；對于D：因?yàn)槭堑牡炔钪许?xiàng)，所以（不同時(shí)為0）所以可化為，即，可令，解得，則直線過定點(diǎn)，設(shè)的圓心為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，最小，此時(shí)，即，得，結(jié)合，所以，解得，直線的方程為.正確，故選：BCD.11.在邊長為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為正方形的中心，動點(diǎn)平面，則（）A.正方體被平面截得的截面面積為B.若，則點(diǎn)的軌跡長度為C.若，則的最小值為D.將正方體的上底面繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)連接上、下底面各頂點(diǎn)，得到一個(gè)側(cè)面均為三角形的十面體，則該十面體的體積為【答案】ACD【解析】對于A，連接并延長，與所在直線交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，則正方體被平面截得的截面為六邊形，連接，則，因?yàn)闉檎襟w，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又分別為棱的中點(diǎn)，所以，所以，則點(diǎn)為中點(diǎn)，，同理可得，，所以六邊形為正六邊形，則，故A正確；對于B，由A可知，平面即為平面，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，則，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，令，則，因?yàn)?，所以，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心半徑為的圓，點(diǎn)的軌跡長度為，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以為靠近的三等分點(diǎn)，則，連接，由，，得，所以，所以關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，所以，故C正確；對于D，如圖所示，即為側(cè)面均為三角形的十面體，在平面，以為對角線作正方形，連接，則是上底和下底都是正方形的四棱臺，底面邊長為和1，高為1，所以，因?yàn)?，所以，故D正確；故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，得，所以，的展開式通項(xiàng)為，令，得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.13.已知為銳角，且，則______．【答案】【解析】因，得到，又，所以，整理得到，解得或，又為銳角，所以不合題意，由，得到，，所以.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上的點(diǎn)在軸上方，若的平分線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率為______．【答案】或【解析】依題意，，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，令，則，由平分，得，則，由點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，得，即，代入整理得，解得，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，令，則，由平分，同理，又，則，代入整理得，解得，因此，設(shè)，則，解得或，所以直線的斜率或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的面積為，求．解：（1）由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又，所以．（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，由，則，即，所以，即．16.如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)在棱上，且．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，因，所以，又，所以，，又，所以，，又，所以，，所以，即，又，面，所以面，又面，所以平面平面.（2）解：過作交于，過作于，連接，由（1）知面，所以面，則為平面與平面的夾角，因?yàn)椋?，所以，又，易知，所以，得到，即，解得，所以，在中?17.已知橢圓的短軸長為，右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求四邊形的面積的取值范圍.解：（1）依題意可得：橢圓右焦點(diǎn)，且，即.又因?yàn)椋?，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立，消去，整理得，，所以，所以.由垂直關(guān)系可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去，整理得，，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以四邊形的面積S的取值范圍為.18.已知函數(shù)，，．（1）若，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，則在0,+∞所以有極大值，無極小值．（2），令，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，則，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，又，當(dāng)時(shí)，，有2個(gè)零點(diǎn)．（3），因?yàn)闀r(shí)，，所以，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)得，，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在0,+∞單調(diào)遞增，又，所以，所以，則在0,+∞單調(diào)遞增，又，所以，所以，則在0,+∞單調(diào)遞增，又，所以，所以，則在0,+∞單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以．19.將數(shù)字任意排成一列，如果數(shù)字恰好在第個(gè)位置上，則稱有一個(gè)巧合，巧合的個(gè)數(shù)稱為巧合數(shù)，記為．例如時(shí)，2，1，3，4為可能的一個(gè)排列，此時(shí)．的排列稱為全錯(cuò)位排列，并記數(shù)字的全錯(cuò)位排列種數(shù)為．（1）寫出的值，并求的分布列；（2）求；（3）求．解：（1）由題可知，時(shí)，只有1個(gè)數(shù)，不存在全錯(cuò)位排列，故；時(shí)，有2個(gè)數(shù)12，故；時(shí)，有3個(gè)數(shù)1,2,3，故；由題可知，的可能取值有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的分布列如下．0124（2）定義隨機(jī)變量，則，，所以，由題可知，總的匹配數(shù)為隨機(jī)變量，則，所以．（3）設(shè)個(gè)編號為的不同元素排在一排，且每個(gè)元素均不排在與其編號相同的位置，這樣的錯(cuò)位排列數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在個(gè)不同元素中任取一個(gè)元素不排在與其編號對應(yīng)的第位，必排在剩下個(gè)位置之一，所以有種排法；對的每一種排法，如排在第位，對應(yīng)元素的排法總有2種情況：①