江蘇省南京市六校聯(lián)合2025屆11月聯(lián)合調研數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯(lián)合2025屆11月聯(lián)合調研數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為集合，令，則，令，則，所以或，且，所以.故選：C2.設復數(shù)，在復平面內的對應點關于實軸對稱，，則的虛部為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】因為復數(shù)在復平面內的對應點關于實軸對稱，，所以，所以，虛部為.故選：D3.已知向量，，則（）A.“”是“”的充分條件 B.“”是“”的充分條件C.“”是“”的必要條件 D.“”是“”的必要條件【答案】B【解析】若，則，解得；若，則，解得或；故ACD錯誤，B正確；故選：B.4.從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】從寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，基本事件的個數(shù)為，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的基本事件為，，，，，共6個，因此抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故選：B5.已知圓錐的母線與底面所成角為，其內切球（球與圓錐底面及側面均相切）的表面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出軸截面如圖所示，為內切球的圓心，為圓錐底面圓的圓心，為切點，由已知條件可知，內切球的表面積等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圓錐的體積.故選：C6.已知偶函數(shù)，，是函數(shù)的圖象與軸相鄰的兩個交點，是圖象在，之間的最高點或最低點，若為直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，因為，所以，則解析式為，由函數(shù)解析式可知，，因為，是函數(shù)的圖象與軸相鄰的兩個交點，是圖象在，之間的最高點或最低點，所以在中，，所以最高點的縱坐標為，即，所以解析式為，所以.故選：D7.已知，是橢圓：的左、右焦點，是的下頂點，直線與的另一個交點為，且滿足，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，令，則∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故選：A.8.已知，是函數(shù)在定義域上的兩個極值點，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，因為，是函數(shù)在定義域上的兩個極值點，則，，因為，代入，，得，解得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知點，，直線：.為圓：上的動點，下列選項中正確的是（）A.若圓關于對稱，則 B.與圓總有公共點C.面積的最大值為 D.面積的最小值為【答案】BC【解析】對于A，若圓關于對稱，則直線過圓心，則，解得，故A錯誤；對于B，因為直線：，即恒過點，又，所以點在圓內部，所以與圓總有公共點，故B正確；對于C，D，因為，且,則直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，即點到直線的距離的取值范圍為，所以面積的取值范圍為，故C正確，D錯誤；故選：BC10.根據(jù)氣象學上的標準，從秋季進入冬季的標志為連續(xù)5天的日平均溫度均低于.現(xiàn)將連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，則下列樣本中一定符合入冬指標的有（）A.平均數(shù)為3，極差為2 B.中位數(shù)為7，眾數(shù)為9C.眾數(shù)為5，極差為6 D.平均數(shù)為4，方差為2【答案】ABD關鍵點：“連續(xù)5天的日平均溫度均低于”，將天數(shù)據(jù)從小到大排序為：，A選項，，，若，則，與平均數(shù)為矛盾，所以A選項正確.B選項，中位數(shù)是，眾數(shù)是，所以將數(shù)據(jù)從小到大排序后，第3個數(shù)是，第個數(shù)為，所以個數(shù)據(jù)都小于，所以B選項正確.C選項，眾數(shù)是，極差為，如，第天超過，不符合，所以C選項錯誤.D選項，，，，若，則，矛盾，所以D選項正確.故選：ABD11.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項數(shù)列，集合是由所有項數(shù)列構成，現(xiàn)從集合中任意取出兩個數(shù)列，，記隨機變量，下列選項中正確的是（）A.中有16個元素B.的所有可能取值為0，1，2，，C.D.若的期望，則的最小值為32【答案】ACD【解析】對于A，數(shù)列中每一項均為1或2，只有兩種可能，，所以中有個元素，A正確；對于B，數(shù)列，為中的兩個數(shù)列，它們各項元素不能完全相同，所以不能取0，的所有可能取值為1，2，，，B錯誤；對于C，根據(jù)數(shù)列中1的個數(shù)可得，集合中元素的個數(shù)共有個，故中共有個元素，當時，則數(shù)列中有項取值不同，有項取值相同，從項中選擇項，和在項的某一項數(shù)字相同，其余項，兩者均在同一位置數(shù)字相反，由于，此問題為組合問題，故所有的情況會重復1次，故共有種情況，所以，故，C正確；對于D；所以隨機變量的分布列為：123因為，所以，令，所以數(shù)列是遞增函數(shù)，，D正確.故答案為：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】56【解析】第一個括號內取1時，第二個為；第一個括號內取時，第二個，所以展開式中的系數(shù)為，故答案為：56.13.已知函數(shù)若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為______【答案】【解析】若函數(shù)有三個不同的零點，即有3個不同的根，即y=fx與的圖象有3個不同的交點，作出y=fx則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.在斜中，為銳角，且滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】，∴∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵為銳角，∴∴,當且僅當，即時等號成立.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的首項，且滿足.（1）求數(shù)列的通項；（2）若，記數(shù)列的前項的和為，求滿足的最小整數(shù).解：（1）設公差為，方法1.，，，.方法2..，，.（2）由（1）知，.，即，，.16.如圖，在棱長為2的正方體中，、分別是棱、的中點，為棱上的動點.（1）若點為中點，證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖所示：連接，點、分別是，的中點，，又，且，四邊形是平行四邊形，，，又平面，且平面，面.（2）以點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則A2,0,0，，，，，，，設，，，設平面的一個法向量是，則，取得，因為直線與平面所成的角的正弦值為，所以，解得（負值舍去）故，則平面的一個法向量是，，設平面的一個法向量是m=x,y,z則，取得，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.17.在直角梯形中，已知，，，，.（1）求；（2）若動點，分別在線段，上，且與面積之比為，試求的最小值.解：（1）作，垂足為，設，，，由于，則，，又，所以，解得（舍去），所以.（2）設，由（1）.由題：，.又，..當且僅當時取等號.18.已知是雙曲線：的左焦點，且的離心率為2，焦距為4.過點分別作斜率存在且互相垂直的直線，.若交于，兩點，交于，兩點，，分別為與的中點，分別記與的面積為與.（1）求的方程；（2）當斜率為1時，求直線的方程；（3）求證：為定值.解：（1）由，得，又因為，所以，所以，所以：.（2）由題知：，設Ax1,y1聯(lián)立，消去可得，則，所以，則，又直線，互相垂直，則，設，則，聯(lián)立，消去可得，則，所以，則，所以：.（3）由題意可知，??的斜率不為0，設??：??，?Ax1,y1?，?B由可得，.所以，，，所以.所以，所以.同理可得：，.令，得.當，，時，直線的斜率.所以：，化簡得：，即為：.所以到的距離，所以到的距離，所以.由（2）知，當時，，所以.19.已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調性；（2）若函數(shù).（i）證明：曲線圖象上任意兩個不同點處的切線均不重合.（ii）當時，若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）的定義域為，由，得，①當時，，在上單調遞增；②當時，則當時，，單調遞增；則當時，，單調遞減；綜上，當時在上單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減；（2）（i）由，得，設點和點，不妨設，則曲線在點處切線方程為，即；同理曲線在點處的切線方程為；假設與重合，則，化簡得，.兩式消去，得，則，令，，由，所以在上單調