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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市興化市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.本試卷共分兩部分,第Ⅰ卷為選擇題,第Ⅱ卷為非選擇題.2.所有試題的答案均填寫(xiě)在答題卡上,答案寫(xiě)在試卷上的無(wú)效.第I卷(選擇題)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題滿分5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,選對(duì)得5分,選錯(cuò)得0分.1.已知直線:,:,若,則()A.-1 B.3 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€,且,故,解得.故選:D2.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,且,,則()A.8 B.16 C.32 D.64【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比,因?yàn)?,,則,解得,所以.故選:A3.已知直線l:,圓C:,若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1,則()A.1 B.3 C. D.4【答案】B【解析】由題意得,,則點(diǎn)C到直線l的距離為,圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1,則如圖所示,直線l交圓于A、B垂直半徑于,.故,故.故選:B4.已知數(shù)列首項(xiàng)為2,且,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得,,則當(dāng)時(shí),有,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也符合該式.∴.故選:D5.已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域是,,若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,即在恒成立,所以,恒成立,即設(shè),,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值1,所以.故選:D6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在雙曲線的左支上,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C.3 D.7【答案】A【解析】由雙曲線定義知,,因?yàn)椋?,,因?yàn)?,,所以在中,由余弦定理得,即,化?jiǎn)得,所以,故選:A7.已知奇函數(shù),則函數(shù)的最大值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由可知,所以,又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,即可得時(shí),,即;則,令可得,所以當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,即在處取得極大值,也是最大值為.故選:A8.已知數(shù)列滿足,,.設(shè),若對(duì)于,都有恒成立,則的最大值為()A.3 B.4 C.7 D.9【答案】A【解析】整理數(shù)列的通項(xiàng)公式有:,結(jié)合可得數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,則,,原問(wèn)題即:恒成立,當(dāng)時(shí),,即>3,綜上可得:的最大值為3.本題選擇A選項(xiàng).二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題滿分5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分,部分選對(duì)得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列{an}滿足,,設(shè)其公比為q,前n項(xiàng)和為,則()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A,由,得,所以,A正確;對(duì)于B,又因?yàn)椋?,故,所以,B正確;對(duì)于C,,所以,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)椋驗(yàn)榍?,所以,即,D正確.故選:ABD10.已知直線,圓,下列說(shuō)法正確的是()A.直線恒過(guò)點(diǎn)B.圓被軸截得的弦長(zhǎng)為C.當(dāng)直線與圓相切時(shí),直線的斜率是D.當(dāng)直線與圓相交時(shí),直線斜率的取值范圍是【答案】AD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)?,即,令,解得,所以直線恒過(guò)點(diǎn),故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:圓的圓心,半徑,可知圓心到x軸的距離,所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C:因,當(dāng)時(shí),直線的斜率為,顯然無(wú)法取得,當(dāng)時(shí),直線的斜率不存在,綜上,直線的斜率不可能是,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D:當(dāng)直線與圓相交時(shí),則,解得,所以直線的斜率是,故D正確.故選:AD.11.已知是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),離心率為,橢圓與軸的交點(diǎn)分別為、,左、右焦點(diǎn)分別為、.下列關(guān)于橢圓的四個(gè)結(jié)論中正確的是()A.若、的斜率存在且分別為、,則為一定值B.若橢圓上存在點(diǎn)使,則C.若的面積最大時(shí),,則D.根據(jù)光學(xué)現(xiàn)象知道:從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)橢圓反射后一定會(huì)經(jīng)過(guò).若一束光線從出發(fā)經(jīng)橢圓反射,當(dāng)光線第次到達(dá)時(shí),光線通過(guò)的總路程為【答案】AC【解析】依題意,,A,設(shè),,則,為定值,A正確.B,若橢圓上存在點(diǎn)使,設(shè)為上頂點(diǎn),如圖:則,B錯(cuò)誤.C,若△的面積最大時(shí),,P位于橢圓上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn),,,C正確.D,結(jié)合橢圓的定義可知,光線第次到達(dá)時(shí),光線通過(guò)的總路程為,D錯(cuò)誤.故選:AC.12.已知,,是的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.在上單調(diào)遞增.B.在上兩個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)時(shí),恒成立,則D.若函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)【答案】ACD【解析】,令,得,故A正確,,令得,得,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),且的大致圖象為只有一個(gè)零點(diǎn),故B錯(cuò).記,則在上為減函數(shù),對(duì)恒成立對(duì)恒成立.故C正確.,,設(shè),只有一個(gè)極值點(diǎn),只有一個(gè)解,即直線與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).,在上為增函數(shù),令,得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),,時(shí),,即,且時(shí),,又時(shí),,因此的大致圖象如下(不含原點(diǎn)):直線與它只有一個(gè)交點(diǎn),則.故D正確.故選:ACD.第II卷(非選擇題)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若圓:與圓:外切,則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】圓的圓心為,半徑為.圓的圓心為,半徑為.由于兩圓外切,所以,得.故解得.故答案為:.14.已知定義在區(qū)間上的函數(shù),則的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)?則令,即,且所以,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為:15.過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】依題意可得直線的斜率存在,設(shè)直線,,,且,聯(lián)立,得,則,則,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為.故答案為:.16.定義:在數(shù)列中,,其中為常數(shù),則稱(chēng)數(shù)列為“等比差”數(shù)列,已知“等比差”數(shù)列中,,,則______.【答案】【解析】由數(shù)列為“等比差”數(shù)列,則,所以,即數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以,,則,所以,故答案為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù).(1)求曲線在處切線方程;(2)若直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線相切,求直線的方程.解:(1),所以,所以,,所以切線方程為:,整理得.(2),所以,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,所以切線斜率為,則切線方程為:,又因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn),所以將代入切線方程得,解得,所以切線方程為:,整理得.18.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1,前項(xiàng)和為,且滿足______.①,;②;③.從上述三個(gè)條件中選一個(gè)填在橫線上,并解決以下問(wèn)題:(1)求;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)選①,因?yàn)椋援?dāng)為奇數(shù)時(shí),;同理,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.所以.選②,因?yàn)?,?)所以當(dāng)時(shí),,(**)(*)-(**),得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1的常數(shù)列,所以.選③,因?yàn)?,所以,所以?shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列,所以,所以當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),也符合上式.所以.(2)由(1)得,,所以19.已知圓經(jīng)過(guò)中的三點(diǎn),且半徑最大.(1)求圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)(在軸上方),在軸上是否存在定點(diǎn),使得軸平分?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)由坐標(biāo)可知:三點(diǎn)共線,由圖得直線垂直平分線段,由圓的性質(zhì)可以判斷圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)時(shí),符合要求.所以圓心在的中垂線即軸上,設(shè)圓的方程為,則解得所以圓的方程為.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為.①當(dāng)時(shí),直線的方程為,此時(shí)可為軸上的任意一點(diǎn).②當(dāng)時(shí),聯(lián)立方程組消去得,設(shè),則.因軸平分,所以,即,化簡(jiǎn)得,即,整理得.所以對(duì)任意恒成立,即恒成立,故,即.綜上,存在點(diǎn),符合題意.20.記為數(shù)列的前項(xiàng)和,為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)已知數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)數(shù)列的前項(xiàng)和,則,即,解得,當(dāng)時(shí),,即,整理得,而,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知,即,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,符合的情況,因此,,則,所以,兩式相減得,所以.21.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的上焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn),且,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若點(diǎn),記的面積為的面積為,求的取值范圍.解:(1)因?yàn)榈慕裹c(diǎn)坐標(biāo)為,所以,所以.因?yàn)椋?,化?jiǎn)可得,又,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由(1)可知,可知過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,由,化簡(jiǎn)可得,設(shè),則,,由,解得.根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得.因?yàn)榈拿娣e為的面積為,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得,所以,因此,因?yàn)?,所以,則,從而,所以的取值范圍是.22已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在不相等的實(shí)
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