上海市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試卷3

上海市控江中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.若球°的半徑為5,圓”為該球的一個(gè)小圓且面積為16兀，則線段加的長度是___-

2.如圖，一水平放置的三角形的直觀圖是V/OQ，且v40,8'的面積為3，則原三角形

的面積為.

4.如圖，在正方體4?。-4為。1。1中，二面角的大小是

5.如圖，在正四棱錐尸中，AB=2,直線尸2與平面48co所成角為60。，則該正

四棱錐的高是一

試卷第11頁，共33頁

R

f/D

9

6.若球的體積是萬兀，則球的表面積是一

7.在正四面體/8CZ）中，棱與cr）所成角大小為

8.如圖，尸/J_平面N8CZ）,正方形48CZ）的邊長為3，=貝I到平面pc。的距圖是

9.如圖，在棱長為1的正方體48cz）_4B]G2中，￡是棱BC的中點(diǎn)，/為棱上一個(gè)

點(diǎn)，若D]￡_L4尸，貝!JDF=--------

試卷第21頁，共33頁

10.己知圓柱底面半徑為1,高為2,是上底面圓的一條直徑，CD為下底面圓的一條

動弦且與平行，設(shè)⑺與的距離為則的取值范圍是一.

11.在正方體/BCD-44Gq中，E,尸分別為⑺，44的中點(diǎn)，則以斯為直徑的球面

與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

12.如圖，對于一個(gè)給定的四面體4444.存在四個(gè)依次排列且互相平行的平面/、%、

。3、a4＞使得4ea,（i=l,2,3,4）?且其中每相鄰的兩個(gè)平面間的距離都相等?記四面體

4444夾在平面里與6+1之間的體積為匕1=1,2,3）,則51=.

二、單選題

13.若/是平面a與平面￡的交線，直線4和4是異面直線，4在平面a內(nèi)，/,在平面￡內(nèi),

則下列命題正確的是（）

A./至少與///?中的一條相交B./與都相交

C./至多與中的一條相交D./與/小4都不相交

14.如圖，在三棱錐/_8co中，棱的中點(diǎn)為￡,棱NC的中點(diǎn)為尸，棱5。的中點(diǎn)為

G,經(jīng)過￡、F、G的截面一定是（）

試卷第31頁，共33頁

A

C.梯形D.平行四邊形

15.定義：通過24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（mm）來判斷降雨程度；其中小雨（

Omm-10mm)，中雨(10mm-25mm),大雨(25mm-50mm),暴雨(50mm-100mm)；

小明用一個(gè)圓錐形容器（如圖）接了24小時(shí)的雨水，則這天降雨屬于哪個(gè)等級（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

16.在正方體同GO中，E,尸分別為棱CG的中點(diǎn)，則在空間中與三條直

線4。7，EF,。都相交的直線（）

A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數(shù)條

三、解答題

17.如圖，在長方體48co一中，E、尸分別是棱44］、48的中點(diǎn)，AB=BC=4,

AAX=3-

試卷第41頁，共33頁

(1)求直線4c與平面ABCD所成的角的大??；

(2)求直線即與直線4c所成的角的大小.

18.如圖，在四棱錐尸_4gCO中，底面4BCD是邊長為2的菱形，尸。_1_平面480

/PAD=/DAB=60°，E為/。的中點(diǎn)―

(1)證明：平面PBEj_平面P&D；

(2)求二面角臺一尸/一力的大小.

19.如圖，是圓柱下底面的直徑且長度為2，為是圓柱的母線且尸4=2,點(diǎn)C是圓柱

底面圓周上的點(diǎn).

試卷第51頁，共33頁

(1)求圓柱的側(cè)面積和體積;

(2)若4c=1，點(diǎn)D在線段必上，點(diǎn)￡在線段尸/上，求CE+E。的最小值，并求此時(shí)《后

的長.

20.如圖，已知48cz是底面邊長為2的正四棱柱，a為4G與42的交點(diǎn).0

為NC與8。的父點(diǎn)，

⑴證明：CQ//平面NBA；

(2)若點(diǎn)G到平面4BR的距離為包，求正四棱柱ABCD一gCQi的高；

2

(3)若線段CG上存在點(diǎn)尸，使得直線/尸與平面N4A所成角為60°，求線段CG的取值范

圍.

21.如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、尸分別為棱加、PB、PC上

試卷第61頁，共33頁

的動點(diǎn)，截面￡)E尸//底面，且棱臺￡)Ep_/8C與棱錐尸_/3C的棱長和相等.(注:

棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)當(dāng)。為棱4P的中點(diǎn)時(shí)，求棱臺尸一/5C的體積；

(2)求在二面角的變化過程中，線段加在平面/Be上投影所掃過的平面區(qū)域的

面積；

(aaDAP

(3)設(shè)常數(shù)ae0,',稱較小內(nèi)角為的菱形為-菱形.當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動(不含端

點(diǎn))時(shí)，總存在底面為a-菱形的直平行六面體，使得它與棱臺。￡尸_/8。有相同的體積,

也有相同的棱長和，求&的取值范圍.

試卷第71頁，共33頁

參考答案:

題號13141516

答案ADBD

1.3

【分析】求出小圓的半徑，從而由勾股定理得到答案.

【詳解】設(shè)小圓的半徑為「，貝U兀病.，解得『=4，

又球。的半徑為5,故線段戶下

UM=-4=3v

故答案為：3

2.6夜

【分析】根據(jù)直觀圖的面積和原圖形的面積比進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)直觀圖的面積為工，原圖形的面積為邑，則當(dāng)=正，

S24

故原三角形的面積為3+1=672-

4

故答案為：6A/2

3-2it

【分析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解.

【詳解】由圓錐的側(cè)面積公式S=；/R=gx(27i2**&=3.xx=

故答案為：2兀

4-arctan41

【分析】直接由定義法求二面角即可.

【詳解】

答案第11頁，共22頁

取8。中點(diǎn)E，連接4E，4E，設(shè)正方體棱長為1，

/y/7

則4。=A1B=O=BD,AB=AD=l,AE=—,A.E=^'

由三線合一可知/￡_LBD，4E_1_2。，/￡u平面48。，//匚平面“①。，

平面ABDc平面45D=AD，所以二面角4-8。-/的平面角為NAEA、，

AEA,tanZAEA.=—=V2

而在直角三角形中,V2

T

所以ZAEAt=arctanV2-

故答案為:arctanV2,

5-46

【分析】作出輔助線，得到平面/BC。，故/尸/?=60。，先得到/”=也，求出

PH=娓，得到答案，

【詳解】連接4c,8。，相交于點(diǎn)打，連接尸"，

則尸〃，平面ABCD，故APAH=60°，

答案第21頁，共22頁

因?yàn)?8=2,所以NC=,22+2。=2四,AH=^AC=42,

故必■=tan6(T=G，故PH=屜,

AH

正四棱錐的高為遙.

P

故答案為：屈

6。9TI

【分析】求出球體的半徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.

y43Q3

【詳解】設(shè)該球的半徑為，則球的體積為37nt=?,解得r=±,

322

因此，該球的表面積為4兀瞅=?

故答案為：9小

7.90。

【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，取⑵中點(diǎn)￡，連/￡，BE，利用線面垂直的判定證

得CZ)_L平面/3E，進(jìn)而得到CZ)_LA8，即可得到答案.

【詳解】如圖所示，取①中點(diǎn)￡，連/￡，BE，

正四面體是四個(gè)全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等，

答案第31頁，共22頁

所以NEJ_O)'BELCD，且/ElBE=E'

所以CD_L平面又由48u平面4BE，

所以CD_L/3，

所以棱48與CD所成角為90°-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，以及直線與平面垂直的判定及應(yīng)用，著

重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.U

5

【分析】證明線面平行，得到點(diǎn)A到平面pc。的距離等于到平面pc。的距離，過點(diǎn)A

作/月，尸刀于點(diǎn)尸，證明出/尸，平面pc。，故/尸的長即為4g到平面pco的距離，結(jié)合

尸N=4,AD=3,利用勾股定理等知識進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)?B//CZTCDu平面尸CZT48<z平面尸CZT

所以4S//平面PCD，

即點(diǎn)A到平面尸⑺的距離等于N8到平面PC。的距離，

答案第41頁，共22頁

過點(diǎn)A作4F工PD于點(diǎn)尸，

因?yàn)镻/J_平面48czTCDu平面/5CZT

所以p/_LC/r

又CZ)_L/。，PACAD=A，P44DU平面/M。,

所以CD■1■平面尸40，

因?yàn)?Fu平面PAD'所以CD'/B，

又CDCPD=D，CAPDu平面PCD,

所以/尸J_平面尸8,

故力尸的長即為N3到平面PC。的距離，

因?yàn)镻4=4,AQ=3，故PD=J4D?+PA?=5，

PA-AD12

則AF=

PD5

答案第51頁，共22頁

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)尸（0,0,加），0<m<b由屏.邛=0

求出冽=,，求出答案.

2

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，040c所在直線分別為'J/軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則刀（0,0,1）,嗚,1,0）,4（1,0,1）,設(shè)尸（°。租）,

型=g,1,一1］互=（一1,0,加_1），

故印?乖m一=m+1=0，

解得m=—,

2

故DF=L

2

故答案為：-

2

答案第61頁，共22頁

10.［2,石)

【分析】作出輔助線，當(dāng)CD與重合時(shí)，d最小，此時(shí)d=0尸=2,當(dāng)CD越接近于E

時(shí)，"越大，故”的取值范圍是［2,揮).

【詳解】如圖所示，點(diǎn)尸為上底面的圓心，下底面的直徑為九w，0為下底面的圓心，

連接Qp，則0尸=2，

過點(diǎn)0作交圓0于點(diǎn)則OE=1，

連接尸E，由勾股定理得尸￡="7［=有，

當(dāng)CD與MN重合時(shí)，d最小，此時(shí)d=OP=2,

當(dāng)C"越接近于"時(shí)，"越大，故”的取值范圍是［2,右).

N(--------r''tO---------'-7)M"

~~E

故答案為：［2,0)

11.12

【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等且等于球體半徑，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2,即中點(diǎn)為。，取4B,Bq中點(diǎn)G,M，側(cè)面84cle的中

答案第71頁，共22頁

心為N,連接FG,EG,OM,ON,MN，如圖,

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=JFG?+EG?=@+2?=2收）

2222

即R=后，則球心0到BB｛的距離為OM=sJON+MN=A/1+1=5,

所以球。與棱3片相切，球面與棱8片只有1個(gè)交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以以所為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為:12.

12.1/0.5

2

【分析】先作出輔助線，得到面面平行，故平面//G即為平面%,平面4尸P即為平面

%,計(jì)算出匕=:-，匕=:V，匕=%一匕一匕計(jì)算出匕聲

【詳解】取44的中點(diǎn)G,44的中點(diǎn)P，44的三等分點(diǎn)分別為民尸，

其中￡靠近4，連接4G,4瓦EG，A3P,A3F,FP>

由中位線可知A2E//FP,EGI/A.F，

因?yàn)?EU平面4尸P，F(xiàn)Pu平面4FP，故4E//平面4尸尸，

答案第81頁，共22頁

同理可證EG〃平面4"，

又EGC&E=E，EG，4Eu平面4EG，

故平面A3FP//平面A2EG，

且4到平面4￡G的距離，4到平面人尸尸的距離，平面4EG與4^的距離，三者相等,

故平面4EG即為平面a2，平面4尸尸即為平面。3，

故嚷4.=匕，^F-A^P=V3'

設(shè)四面體4444的體積為產(chǎn)，

2^2^3，4￡=x4,

由于S.442G

故點(diǎn)￡到底面444的距離為點(diǎn)4到平面444的距離的;，

故匕=工廠，同理可得匕=!憶，

66

故匕=憶_匕_匕=[%，

答案第91頁，共22頁

,4

42

故答案為：1

13.A

【分析】舉出實(shí)例，得到/至少與4中的一條相交，A正確，BC錯誤；/與4都不

相交，故4與平行，但此時(shí)4和不是異面直線，D錯誤；

【詳解】BC選項(xiàng)，如圖1,/與4都相交，如圖2,/與4相交、/與4平行，BC錯誤;

D選項(xiàng)，/與4都不相交，故4與平行，但此時(shí)4和4不是異面直線，D錯誤；

A選項(xiàng)，/至少與4、/,中的一條相交，A正確.

故選：A

14.D

答案第101頁，共22頁

【分析】作出輔助線，得到跖//GP,EG〃尸尸，所以四邊形EFPG為平行四邊形，求出經(jīng)

過￡、尸、G的截面為平行四邊形EEPG-

【詳解】取CD的中點(diǎn)尸，連接PF,PG,EF,EG,

因?yàn)槔獾闹悬c(diǎn)為E，棱/c的中點(diǎn)為尸，棱加）的中點(diǎn)為G，

所以EFIIBC,GPIIBC,EG//AD,FP!/AD,

故EFI!GP,EGHFP,

所以四邊形屏PG為平行四邊形，

故經(jīng)過后、F、G的截面為平行四邊形的G-

故選：D

15.B

【分析】計(jì)算圓錐的體積，進(jìn)而可得降雨高度，即可判斷.

做出容器的軸截面，如圖所示,

答案第111頁，共22頁

則AB=200'OC=300'C尸=150'

則尸為OC中點(diǎn)，

貝!IDE=LB=100DF=50

2

由已知在直徑為20°mm的圓柱內(nèi)的降雨總體積k=L兀1誠。0僦ta

3

V12500071

則降雨高度為=12.5mm，

nlODObji

所以降雨級別為中雨,

故選：B.

16.D

【詳解】在即上任意取一點(diǎn)直線4A與w確定一個(gè)平面,

這個(gè)平面與C〃有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，

當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面,

從而與CD有不同的交點(diǎn)N，

而直線與這3條異面直線都有交點(diǎn)，如圖所示，故選D.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，其中解答中涉及到立體幾何

答案第121頁，共22頁

中空間直線相交問題、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、異面直線的概念等知識點(diǎn)的綜合考查，著

重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題，本題的解答中正確把握空間幾何

體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵.

17⑴.3741

41

⑶5vzi

(earccos-------

41

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，平面/geo的一個(gè)法向量為

面=(0,0,1)，求出直線4。與平面N8CD所成的角的正弦值，得到答案；

(2)計(jì)算出cos(而，羽)=警，進(jìn)而求出線線角的大小.

【詳解】(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為'J*軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

4(4,0,3),C(0,4,0),￡(4,0,：,尸(4,2,0),

平面/BCD的一個(gè)法向量為何=(0,0,1)，

故直線4c與平面ABCD所成的角的正弦值為

|4。加|_|(-4,4,-3).(0,0,1)_上_3屈

國同一J16+16+9一標(biāo)一41，

所以直線4c與平面ABCD所成的角的大小為arcsin觀；

41

答案第131頁，共22頁

z

（2）設(shè)直線即與直線4c所成角的大小為e,

［。2一"（-4,4,一3）

5741

,4+；xJ16+16+941

故直線所與直線4。所成角為arccos"^?

41

18.（1）證明過程見解析

（2）arccos^-

5

【分析】（1）作出輔助線，得到△/皿為等邊三角形，故BE，/D，結(jié)合PD'BE，得

到BE，平面尸從而面面垂直；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩法向量的夾角余弦值，結(jié)合二

面角DR—rP/Ai—U「的大小為銳角，得到二面角的大小.

【詳解】（1）連接8。，因?yàn)榈酌鍺3C。是邊長為2的菱形，DAB=60^

所以為等邊三角形，

答案第141頁，共22頁

又E為40的中點(diǎn)’故

因?yàn)镻DJ_平面N5CZTBEu平面N5CZT

所以PD_LBE，

因?yàn)?01PD=D,4D,尸。u平面尸40,

所以BE,平面PAD'

又BEu平面PBE'

所以平面PAE_L平面PAD；

(2)由(1)知，班,平面PAD'

取p/的中點(diǎn)尸，則EF//PD，故所,平面48CZT

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，E4E8,EF所在直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镹P4D=60°，AD=2>所以PD=，

5(0,V3,0),P(-l,0,2>/3),^(1,0,0),￡)(-1,0,0),

設(shè)平面8尸工的一個(gè)法向量為五=(x,%z)，

答案第151頁，共22頁

麗,BP=(x,y,z),卜1,73,2\j3)=_x73y+2y/3z=0

成?84=(x,y,z)?(1,-VJ,0)=x-=0

令z=l得y=l,x=6,故==(百,1,1),

又平面的一個(gè)法向量為［=(o,i,o),

P

則磊

\'司.173+1+1加5

由圖形可看出二面角臺一口一^的大小為銳角，

故二面角'一尸"一"的大小為arccos16.

5

19.(1)側(cè)面積為4兀；體積為2兀

(2)逑；g

2

【分析】(1)代入圓柱側(cè)面積公式和體積公式計(jì)算即可；

(2)延長線段84至c，,使得4c=4C，,則CE=CE，《乍CZ>_LP8，故CZ)為CE+EZ)

答案第161頁，共22頁

的最小值，在RM&X?，中，求出即可.

【詳解】(1)由已知，圓柱底面圓的半徑/=任=1,

2

,*,母線長pa=2，，圓柱的圖〃=PA-29

二.圓柱的側(cè)面積S側(cè)=2兀甌上2x4x=，

圓柱的體積p=m^=2x而=?

(2)如圖，延長線段"至°，，使得==r

作。垂足為。，交P4與E'

C

因?yàn)槭菆A柱下底面的直徑，p/是圓柱的母線,

JTIJD-2

所以P4_L/8，

則AEAC'三AEAC'C'E=CE'

所以CE+ED=C'E+ED，

此時(shí)，C'E+ED=C'D取得最小值，

因?yàn)?8=2，PA=2'所以NC'BO=45。，

答案第171頁，共22頁

所以在RtA_8￡)C中，BC'=BA+AC=2+1=3>,

所以3Km45。=3、祟孚

所以CE+E”的最小值為逑

2

又在RUBDC中，ZCBD=45°'

所以48C'￡>=45。，

則在RtAC'/E中，AE=AC'=r

20.(1)證明過程見解析

⑵如

3

⑶會或2當(dāng)

【分析】(1)作出輔助線，得到/0"/0￡，所以G。//平面48.；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)44]=〃，則/(0,0,〃)，求出平面48Q1的

一個(gè)法向量，利用點(diǎn)到平面的距離向量公式列出方程，求出〃=XI，得到答案；

2

(3)設(shè),4=〃，貝產(chǎn)(°°〃)，由⑵知平面的一個(gè)法向量為應(yīng)=

P(2,2,t)0<(</iIZp.mlJT

設(shè)，，由修目-得到方程，化為

\AP\-\m\2

答案第181頁，共22頁

（3*—2卜2-（6爐+28）瓦+3/+22/+48=0在fe[0,川上有解問題，

當(dāng)〃="時(shí)，彳=能＞逅，不合要求，當(dāng)〃#"時(shí)，求出兩根，只需

333

（6/Z3+28/Z）-4V6（A2+2）

<h得到答案.

2（3/Z2-2）

【詳解】（1）連接NQ,

因?yàn)?8co-48iG〃是底面邊長為2的正四棱柱,

所以44=CG，AAJ/CCe

故四邊形44]CC為平行四邊形，則/C=4C]，

又。]為4G與4A的交點(diǎn)，。為NC與2。的交點(diǎn),

所以NO=O|G'且NO〃O[C]'

故四邊形/oqq為平行四邊形，

所以/O"/OG，

又U平面AB。，OCXU平面ABR，

所以G。//平面/耳〃；

答案第191頁，共22頁

AD

（2）以&為坐標(biāo)原點(diǎn)，44，42,4/所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（2,0,0）,2（0,2,0）,G（2,2,0），設(shè)44|=力，則/（0,0,力），

設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=（x,%z），

m-BxA=(%//).(-2,0,%)=-2x+hz-0

m.BQ=(x,y,z)?(-2,2,0)=-2x+2y=0

令，貝!故玩=線」,

2

解得〃=逅,

3

答案第201頁，共22頁

故正四棱柱ABCD-44GA的高為人?

⑶設(shè)44]=〃，則/（0,0,人），

由（2）知平面〃巧生的一個(gè)法向量為比=hh

252

設(shè)尸（2,2,/），0<t<h，萬=（2,2,1），

\h+t\

網(wǎng)幀#+4+/比+：+1用々—+82

化簡得（3『一2）〃-（6r+28郎+3A4+22/+48=0在te[0,川上有解,

當(dāng)〃=逅時(shí)，方程為一曲回+64=0,解得/=6>逅，不合要求，

333

當(dāng)心逅時(shí)，△&（發(fā)&函3（肥一3）（3那&$&（發(fā)+）6>,

（6/+28力）±4A砂2+2）

故方程的根為牡=

（6/;3+28/7）-45/6（//2+2）h>V6

&h,解得

綜上，性屈或o<h<?，

故線段,a的取值范圍為〃或0〈h<瓜?

答案第211頁，共22頁

P（2,2j）0<t<h|萬闌色

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問，設(shè)，，由二J=:得到方程,

,?叫1同2

化為（3/一2）"-（6/+28）6+3/+22力②+48=0在Ie[0,川上有解問題，再進(jìn)行下一步的

求解.

21.⑴迪

96

（2）ll

,2A/27i

aGarcsin------，一

【分析】（1）先得到正三棱錐，一"C為正四面體，求出-=立，從而得到

YP-ABC]2

y=-V=—,求出棱臺體積；

rP-DEF8P-ABC96

（2）點(diǎn)力在平面48c上的投影在/G上，故線段RD在平面/8C上投影所掃過的平面區(qū)

域?yàn)锳/BG，求出答案；

（3）設(shè)菱形的邊長為〃,，直平行六面體的高為力，表達(dá)出直平行六面體的體積為

加sina,設(shè)￡2=f,o<f<i,表達(dá)出棱臺"跖一/BO的體積，從而得到方程，再根據(jù)棱

答案第221頁，共22頁

祭_打,分別求出等

長和相等得到另一個(gè)方程，兩方程聯(lián)立，得到—m2-2m3jsina=

2J

式兩邊的取值范圍，得到0,-sina得到不等式，求出答案.

8-

\/

【詳解】（1）因?yàn)槭堑酌孢呴L為1的正三棱錐，

截面DEF〃底面N3C，且棱臺DEF-/2C與棱錐尸-/3C的棱長和相等，

所以PD+PE+PF=DE+DF+EF'

又PD=PE=PF,DE=DF=EF,

故PD=PE=PF=DE=DF=EF'

即正三棱錐為正四面體，

取3c的中點(diǎn)0，連接40，過點(diǎn)P作PG，N0于點(diǎn)G，

則PG,平面n8C,且4G=2/o,

3

因?yàn)?。=工，由勾股定理得/。二四工笈一臺。？=在,

22

故/G=%O=立，故PGZPT-AG?=旦'

333

S^