四川省成都市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊十月月考數(shù)學(xué)試題

四川省成都市成飛中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期十月月考

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知點(diǎn)4（2,2,-1）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為8,則|明等于C）

A-2V2B-2V5C-23D-3V2

2-向量0=（0,1,_1）在向量〃=（3,2,1）上的投影向量為（）

1一1一

A.nB.——n

147

1一1一

C.—nD.-

147n

3.如圖，空間四邊形CM8C中，方=￡,京=否,雙=小點(diǎn)”在。/上，且。必=2而，

2r1r1r2一[一]一

A.——Q+—b——cB.——a+—b+—c

322322

2-1一1一

C.D.—a+—b+—c

322322

4.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短期；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn);

試卷第11頁，共33頁

T，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn).各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠.該保險(xiǎn)公司對5個(gè)

險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表.則下列說法中一定錯(cuò)誤的是（

)

A均?保費(fèi)刖/一

I（XM4“年齡

不X年齡收入均參保密Ml

A.丁險(xiǎn)種參保人數(shù)超過五成B.41歲以上參保人數(shù)超過總參保人數(shù)的五

成

C.18—29周歲人群參保的總費(fèi)用最少D.人均參保費(fèi)用不超過5000元

5.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測

試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率號(hào)，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)

秀的概率為三7，則該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

3

7151

A.'B.-C.—D.-

122123

6.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用x表示紅色骰子的點(diǎn)

試卷第21頁，共33頁

數(shù)，用y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用（x/）表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件E:x+y=8;事件下：

至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6；事件G:x>4;事件.則下列說法正確的是（）

A.事件￡與事件尸為互斥事件B.事件廠與事件G為互斥事件

C.事件上與事件G相互獨(dú)立D.事件G與事件“相互獨(dú)立

7.P是被長為I的正方體4BCD一42c2的底面4402上一點(diǎn)，則強(qiáng),用的取值范圍

是（）

一5'°丁

8.有5張未刮碼的卡片，其中〃張是“中獎(jiǎng)”卡，其它的是“未中獎(jiǎng)”卡，現(xiàn)從這5張卡

片隨機(jī)抽取2張.你有資金100元，每次在對一張卡片刮碼前，下注已有資金的一半.若刮碼

結(jié)果為“中獎(jiǎng)”，則贏得與下注金額相同的另一筆錢，若刮碼結(jié)果是“未中獎(jiǎng)”，則輸?shù)?/p>

下注的資金.抽取的2張卡片全部刮完后，要使資金增加的概率大于資金減少的概率，則"

至少為（）

A.2B.3C.4D.5

二、多選題

9.若｛。1，目是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）

A-a,2b,?>cB.a+b,b+c,c+a

Ca+2b,2b+3c,3a-9cD.a+b+c,b+c,c

10.在一次奧運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入決賽（比賽采用三局兩勝制,

即率先獲得兩局勝利者贏得比賽，隨即比賽結(jié)束）.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙

獲勝的概率為0.4.某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1,2或3時(shí)，表示甲

獲勝，當(dāng)出現(xiàn)4或5時(shí)，表示乙獲勝，以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組進(jìn)行冠軍模擬預(yù)測，如果產(chǎn)

試卷第31頁，共33頁

生如下20組隨機(jī)數(shù)：

423123423344114453525332152342534443512541125432334151314

354,

根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，下列說法正確的有（）

A.甲獲得冠軍的概率近似值為0.65

B.甲以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.5

C.比賽總共打滿三局的概率近似值為0.6

D.乙以2：。的比分獲得冠軍的概率近似值為0.15

11.如圖，正方體48co-的棱長為2,E為/內(nèi)的中點(diǎn)，P為棱3c上的動(dòng)點(diǎn)

（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)P,使尸E//CR

B.存在點(diǎn)尸，使

C四面體W的體積為定值g

PF

D.點(diǎn)/到直線的距離的取值范圍為

三、填空題

12.某校高一年級(jí)共有學(xué)生200人，其中1班60人，2班40人，3班50人，4班50人.該

校要了解高一學(xué)生對食堂菜品的看法，準(zhǔn)備從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取50人進(jìn)行訪談，若

采取按比例分配的分層抽樣，則應(yīng)從高一2班抽取的人數(shù)是—.

試卷第41頁，共33頁

13.已知單位向量7,兩兩的夾角均為60。，》=2f_]+3G石=2f_]+加且"，人則實(shí)

數(shù)人——?

14.已知四棱錐尸_N8CZ)的底面為邊長為2的正方形，

PB=PC=BC,PA=PD=,N分別為AB和PC的中點(diǎn)，則平面DA/N上任意一■點(diǎn)到

底面48co中心距離的最小值為.

四、解答題

15.袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4.

(1)從袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率；

(2)從袋中每次摸出一球，有放回地摸兩次.甲、乙約定：若摸出的兩個(gè)球標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)，則

甲勝，反之，則乙勝.你認(rèn)為此游戲是否公平?說明你的理由.

16.如圖，四邊形48cD與均為菱形，F(xiàn)A=FC>MZDAB=BF600?

(1)求證：/c,平面2。即；

(2)求直線AD與平面ABF所成角的正弦值.

17.書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣,

每年4月23日為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)

查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時(shí)間(單位：分鐘)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率

試卷第51頁，共33頁

分布直方圖，如圖所示.

頻率

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100位年輕人每天閱讀時(shí)間的第85百分位數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)閱讀時(shí)間在［50,70)的當(dāng)?shù)啬贻p人的平均閱讀時(shí)間；(結(jié)果保

留分?jǐn)?shù))

(3)為進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位

于分組［50,60)，［60,70)和［80,90)的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中

至少有1人每天閱讀時(shí)間位于［80,90)的概率.

18.如圖，若V48c內(nèi)一，點(diǎn)、P滿足/P4B=NPBC=/PC4，則稱尸為v/8c的布羅卡爾點(diǎn).

若設(shè)NP4B=/PBC=/PCA=。'則稱。為布羅卡爾角,

(D若V4BC是邊長為2的等邊三角形，其布羅卡爾點(diǎn)是V/5C的內(nèi)心(內(nèi)心是三角形三個(gè)

內(nèi)角角平分線的交點(diǎn))，求的外接圓的半徑；

(2)在V/8C中，角4B，。的對邊分別為。，b,c,記v/8c的面積為亂V/8C的布羅

試卷第61頁，共33頁

卡爾角為“，且0=巴.證明：/朝官2弟后；

6

(3)在V45C中，記V45C的布羅卡爾角為6,若4=2。，求證：sir?4=sin8sinC?

19.在空間直角坐標(biāo)系。一肛2中，已知向量/=(〃/,0)，點(diǎn)片由J。,z°)?若直線/以"為方

向向量且經(jīng)過點(diǎn)勺，則直線’的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為二包=匕9=二①(He/0)；若平

abc

面a以方為法向量且經(jīng)過點(diǎn)勺，則平面a的點(diǎn)法式方程表示為

a(x-xo)+Z?(j/-yo)+c(z-zo)=O-

⑴已知直線’的標(biāo)準(zhǔn)式方程為文」=?=出，平面內(nèi)的點(diǎn)法式方程可表示為

1-V31

氐+尸z+5=0，求直線/與平面四所成角的余弦值；

(2)已知平面％的點(diǎn)法式方程可表示為2x+3y+z-l=0，平面外一點(diǎn)*1,2,1)，求點(diǎn)尸到平

面見的距離；

(3)⑴若集合M={(x,y,z)||x|+|y區(qū)2,|z區(qū)1}，記集合〃中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為S,求

幾何體S的體積：

(ii)若集合N={(X,%z)||x|+2,3+1z42,|z|+1x區(qū)2}.記集合N中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾

何體為7,求幾何體7相鄰兩個(gè)面(有公共棱)所成二面角的大小

試卷第71頁，共33頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BCBBCDBCABDAD

題號(hào)11

答案BC

1.B

【分析】根據(jù)題意求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】易知點(diǎn)/（2,2,-1）關(guān)于〉軸的對稱點(diǎn)8（-2,2,1），

所以可得卜回二J（2+2『+（2_2）2+（_]_]）2=20.

故選：B

2.C

【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可.

【詳解】由￡=（01,_1），?=（3,2,1）1

u?n-0x3+1x2+（―1）x1-1—

n=n

則相應(yīng)投影向量為卜=—32+22+12l4-

故選：C

3.B

【分析】由向量的線性運(yùn)算得到結(jié)果.

【詳解】^=MA+AB+BN=^0A+（0B-0A）+^（0C-0B）=-^a+^b+^c.

故選：B.

4.B

【分析】利用統(tǒng)計(jì)圖表一一分析選項(xiàng)即可.

【詳解】對于A,由條形圖可知丁險(xiǎn)種參保比例為1_0,3-0.1-0.02-0.04=0.54>0.5

超過五成，故A正確；

答案第11頁，共22頁

對于B,由扇形圖可知，41歲以上參保人數(shù)占比：35%+10%=45%，故B錯(cuò)誤；

對于C,由扇形圖與折線圖可知18—29周歲人群參保人數(shù)占比“％，

人均參保費(fèi)用在（3000,4000），而54歲及以上人群參保比例雖10%,

但人均參保費(fèi)用在6000,所以18—29周歲人群參保的總費(fèi)用最少，故C正確；

對于D,由扇形圖與折線圖可知，人均參保費(fèi)用約

15%x4000+40%x4000+35%x5500+10%x6000=4725，

不超過5000元，故D正確.

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.

【詳解】根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：

12315

—x——|——x—=—.

434312

故選：C.

6.D

【分析】A選項(xiàng)，寫出事件￡,尸包含的情況，得到￡口月/0，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，寫出事件

G包含的情況，結(jié)合A選項(xiàng)，得到尸nGw。，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，寫出事件EAG包含的情

況，故尸（EG）wP（E）尸（G），C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，寫出事件“和GC”包含的情況，得到

P（GcH）=P（G）P（H），D正確.

【詳解】A選項(xiàng)，事件氏x+y=8包含的情況有⑵6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2），

事件尸：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6包含的情況有

r

答案第21頁，共22頁

（1,6）,（2,6）,（3,6）,（4,6）,（5,6）,（6,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）'

故￡口下20，事件￡與事件尸不為互斥事件，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，事件G：尤＞4包含的情況有

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6），

故FCIG3。，事件廠與事件G不為互斥事件，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有6x6=36種情況，

故尸（￡）=』,尸傳）=竺=工，

''36''363

事件WG包含的情況為（2,（6,2）,故尸（咐亮亮，

故尸（EG）HP（E）尸（G），故事件E與事件G不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，事件包含的情況有

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（6,1）,（6,2）,（6,3），共7種情況，

故尸（H）=竺=—

v7362

事件G"包含的情況有：（5,1）,（5,2）,（5,3）,（6,1）,（6,2）,（6,3），

故P(GC〃)=9=，

366

因?yàn)槭℅c〃）=P（G）尸（〃），所以事件G與事件H相互獨(dú)立，D正確.

答案第31頁，共22頁

故選：D

7.B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x),z)，用坐標(biāo)運(yùn)算

計(jì)算出莎.屬，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范圍.

【詳解】如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，〃所在直線分別為'J*軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

則通1Q0。，G(0刈，設(shè)尸(x,y,z)，0<x<l>0<y<l，z=l,

PC；=(-x,l-y,0);

.?.莎?西=r(l_x)_Ml_y)=x2_x+y2_y=]x_g)-g，

當(dāng)工、」時(shí)，兩,七取得最小值-L

22

當(dāng)x=0或1,>=0或1時(shí)，秒.七取得最大值0,

所以蘇?七的取值范圍是「J_,0.

2

8.C

答案第41頁，共22頁

【分析】根據(jù)題設(shè)分析出：要使資金增加必須2次刮出中獎(jiǎng)，轉(zhuǎn)化為5張卡片中取到2張

“中獎(jiǎng)”卡的概率大于工，再列不等式求〃取值.

2

【詳解】由于總資金10。元，每次在對一張卡片刮碼前下注已有資金的一半.

刮第1張卡前，下注50元：

若未中獎(jiǎng)，還剩50元；刮第2張卡前，下注25元，不管是否中獎(jiǎng)，資金必減少；

若中獎(jiǎng)，還剩150元，刮第2張卡前，下注75元，未中獎(jiǎng)資金減少；中獎(jiǎng)資金增加；

所以，要使資金增加，則必須2次刮出中獎(jiǎng)，否則資金減少；

所以，5張卡片中取到2張“中獎(jiǎng)”卡的概率大于!即可，

2

由5張卡片中任取2張的方法數(shù)有10種，〃張“中獎(jiǎng)”卡中取到2張的方法數(shù)有風(fēng)冒種,

所以迎心一0I。且2W〃W5,故”=4或5,即〃至少為4.

202

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：問題化為5張卡片中取到2張“中獎(jiǎng)”卡的概率大于1為關(guān)鍵.

2

9.ABD

【分析】利用空間基底的定義以及空間向量共面定理依次判斷可得結(jié)論.

【詳解】由于｛凡瓦可是空間的一個(gè)基底，所以不共面，

對于A,向量2g,3"分別與反"共線，所以工253工不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底；

對于B,不存在實(shí)數(shù)“滿足：+'=x(0+9+M"),因止匕之+否石+芯+￡不共面，能構(gòu)成

空間一個(gè)基底；

答案第51頁，共22頁

對于c,由于3@+25-（25+3工））=32-臭，因此這三個(gè)向量是共面的，不能構(gòu)成基底.

對于D,不存在實(shí)數(shù)X/滿足￡+各+工=丁伍+-+,心因止匕a+B+c，g+c，c不共面，能構(gòu)成

空間一個(gè)基底.

故選：ABD

10.AD

【分析】由20組隨機(jī)數(shù)中的數(shù)字組合，根據(jù)獲勝規(guī)則得出相應(yīng)的數(shù)字組合，即可得出對應(yīng)

概率.

【詳解】根據(jù)題意可知，20組隨機(jī)數(shù)中表示甲獲勝的共有423123423114332152342

512125432334151314,即共有13組，

因此甲獲得冠軍的概率近似值為U13=0.65,即A正確；

20

甲以2：0的比分獲得冠軍需滿足前兩個(gè)數(shù)為1,2或3,共有123114332125334314,

共6組數(shù)據(jù)，其概率接近￡=0.3,即B錯(cuò)誤；

20

比賽總共打滿三局的數(shù)字組合需滿足前兩個(gè)數(shù)為出現(xiàn)一次1,2或3,出現(xiàn)一次4或5,

共有423423344525152342534512432151354,

比賽總共打滿三局的概率近似值為口=0.55，即C錯(cuò)誤；

20

乙以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)字組合共有453443541,共3組，

可知乙以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為3=0.15,即D正確.

20

故選：AD

11.BC

【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，對于A,判斷而=（27,-1,2）,西=（0,-2,2）是否

答案第61頁，共22頁

共線即可；對于B,由取.鶯=_2+4_4=0即可判斷；對于C，將問題轉(zhuǎn)換為四面體

EPG2即三棱錐尸-EG2的體積即可判斷；對于D,舉反例說明即可.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則/（2,0,0）,C（0,2,0），A（0,0,2）,4（2,0,2）,與（2,2,2）,G（0,2,2）,E（2,1,2），

設(shè)尸”,2,0）,04/42，

對于兒而=（2—,-1,2）,西=（。,-2,2）,而于|,

所以PE,CQ不可能平行，故A錯(cuò)誤；

對于B,取=?,2，一2）,鶯=（一2,2,2”若2P_L/G，

則不?布=2+4-4=0,解得"0，

即當(dāng)P,C重合時(shí)，有。/J.NC］，故B正確；

對于C,由題意過P作尸尸//cq交Be于點(diǎn)廠，

因?yàn)镃GJ■面。1EG，所以尸尸，面。［EG，

所以尸產(chǎn)為三棱錐P-ECR的高，

答案第71頁，共22頁

又三棱錐的底面積為Sg=1x2x2=2,PF=CC\=2,

所以四面體"PGRy=J_.s.FF=-x2x2=-,故C正確；

333

對于D,設(shè)點(diǎn)4到直線尸￡的距離

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)8重合時(shí)，則窿=8￡=石，

由的面積可得，x2*2=」dxVL解得d=2叵』W12］，故D錯(cuò)誤;

225［5'

故選：BC.

12.10

【分析】根據(jù)分層抽樣的方法計(jì)算即可?

［詳解1由題意可知四個(gè)班級(jí)的人數(shù)比例分別為60：40:50:50=6:4:5:5'

即2班占全部學(xué)生的比例為——-——=

6+4+5+55

所以抽取50人訪談需從2班抽取50x(=10人.

故答案為：［0

13T

【分析】利用向量垂直的充要條件結(jié)合向量數(shù)量積公式計(jì)算即可?

［詳解】由題意可知z-j=i-k=j-k=\xlxcos600=；,

a-Lb9

答案第81頁，共22頁

所以［石=卜7-7+33.（21j+4）=4+1+32-47J+（2；l+6）7仄一（2+3）］仄=0'

整理得5+34-2+2+3—"=0,解之得2=-g.

27

故答案為：V9

14.B

8

【分析】由面到點(diǎn)的距離的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離的最小值，建立合適的空間直角坐

標(biāo)系，由點(diǎn)到面的距離即可求得平面上任意一點(diǎn)到底面/BCD中心距離的最小值.

【詳解】???四棱錐P-/2CD的底面為邊長為2的正方形，連接NC*。且相交于點(diǎn)O,則

點(diǎn)O是底面4BCD中心，PB=PC=BC=2'

取3c的中點(diǎn)尸，連接尸尸，則p尸,8C，

又?:PA=PD=41AB=2V2，

DC2+CP2=22+22=（2>/2）2=DP2,AB2+BP2=22+22=（2>/2）2=AP2

PCVDC,ABVPB

又PCcBC=P，AB//DC

CD1面PBC

又；CDu面48ap

■■^PBCL\^ABCD

又<PF工BC，8c為面PBC與面48co的交線，尸尸u平面尸3c

答案第91頁，共22頁

:.PF^ABCD

又u面/BCD，CFu面/8CZT

PF±OF,PF1CF

以尸點(diǎn)為原點(diǎn)，以PC,R2,FP分別為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,1,0),〃(1,2,0),N包0立］設(shè)平面。血亞的法向量為蔡=(x,%z),

12…2)

設(shè)。到平面DW的距離為“

r?—n[(x,y,z)-(-2,-l,0)=0

2x+y=0

貝葉_一?x3V3

ih'NM=0(%//)?--,1,——=03x-2y+VJz=0

i22

令"T，則旗

出

T

8

答案第101頁，共22頁

2

15.(1)-

3

(2)是公平的，理由見解析

【分析】(1)利用列舉法寫出樣本空間及事件的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求

解；

(2)利用列舉法寫出樣本空間及事件的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式及概率進(jìn)行比較

即可求解.

【詳解】⑴試驗(yàn)的樣本空間。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6個(gè)樣本點(diǎn),設(shè)

標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件2，則2包含的樣本點(diǎn)為(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4個(gè)，所以

(2)試驗(yàn)的樣本空間。

={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},

共有16個(gè)，

設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件C,事件C包含的樣本點(diǎn)為(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),

(3,4),(4,1),(4,3),共8個(gè),

故所求概率為p(c)=5=；，即甲勝的概率為g，則乙勝的概率為:，

所以甲、乙獲勝的概率是公平的.

16.(1)證明見解析

⑵巫

5

【分析】(1)結(jié)合菱形性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理求解即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求線面角即可.

答案第111頁，共22頁

【詳解】(1)設(shè)AC與8D相交于點(diǎn)。，連接尸。，

:四邊形/BCD為菱形，

且。為NC中點(diǎn)，F(xiàn)A=FC，:,ACLFO,

又FOcBD=O，F(xiàn)O,BDu平面BDEF,：.AC1平面BDEF.

(2)連接。尸，?.?四邊形BDEF為菱形，且尸=60。，

.?.△￡)8F為等邊三角形，

?.?。為8。中點(diǎn)，.?.R9_L3。，又/C_LFO，/C,8Du平面/8C。，

二.尸0_1_平面/2四.故。/,OB,。尸兩兩垂直，

建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,如圖所示，

設(shè)/5=2，：四邊形48cZ>為菱形，ZDAB=60°<：,BD=2^AC273?

,：ADBF為等邊三角形,：?OF=6■

：./(G,0,0),3(0,1,0),￡>(0,-1,0),尸(0,0,6)，

.?.石=卜6,-1,0),AF=(-73,0,73),28=(-73,1,0),

n=(x,y,z)AF-n=-#>x+百z=0

設(shè)平面48尸的法向量為，貝上

AB-n=-\[?>x+y=0

令x=L解得力=(1，△，1),

設(shè)與平面廠所成角為0,

答案第121頁，共22頁

17.(1)85；

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1求出〃，再根據(jù)百分?jǐn)?shù)計(jì)算

規(guī)則計(jì)算可得；

（2）首先求出［50,60）、［60,70）的人數(shù)，即可估計(jì)平均數(shù)；

⑶首先求出［50,60），［60,70）和［80,90）各組抽取的人數(shù)，再利用列舉法及古典概型的概

率公式計(jì)算可得.

【詳解】（1）由題意可知，（0.010+2a+0.045+0.005）xl0=l，解得”0.020,

前3組的頻率和為（O.OIO+O,O2O+O.O45）X1O=0.75<0.85，

前4組的頻率和為（o.oio+0,020+0.045+0,020）x10=0,95>0,85，

所以第85百分位數(shù)在第4組，設(shè)為x,則0,75+（%-80）x0.020=0.85，解得x=85，

所以這100位年輕人每天閱讀時(shí)間的第85百分位數(shù)為85；

答案第131頁，共22頁

（2）因?yàn)椋?0,60）的人數(shù)有：100x0.01x10=10人,

［60,70）的人數(shù)有：100x0.02x10=20人，

所以閱讀時(shí)間在6°，70）的當(dāng)?shù)啬贻p人的平均閱讀時(shí)間為」一x55+3—x65=—；

10+2010+203

（3）由于［50,60），［60,70）和［80,90）的頻率之比為1：2：2，

故抽取的5人中［50,60），［60,70）和［80,90）分別為1人,2人，2人,

記［50,60）的1人為0，［60,70）的2人為可也，［80,90）的2人為qg，

故隨機(jī)抽取2人的所有樣本點(diǎn)為｛（2卜（見8），34,（％2）,他也）,（4,9卜（九。2），

他,％）,（%/）,（%/｝，共包含1。個(gè)樣本點(diǎn)，

其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于［80,90）的樣本點(diǎn)為｛（3）,（"）,（配q）,（"。2），

（62，。1）,（62，。2）,（?！?）｝'共包含7個(gè)樣本點(diǎn)，

故至少有1人每天閱讀時(shí)間位于18°，9°）概率尸=_1.

10

18.⑴2。

3

⑵證明見詳解

⑶證明見詳解

【分析】（1）根據(jù)題意可知：/2尸。=莖,8。=2,利用正弦定理求外接圓半徑；

（2）先根據(jù)S=S/BC=S./B+S./C+S詠表示出三角形得面積，再在

△加口PBC,P/C中，由余弦定理相加，再化簡整理，即可得證；

答案第141頁，共22頁

(3)根據(jù)(2)得出與邑，肥的等量關(guān)系，再利用余弦定理和三角形的面積公式,

化簡整理即可得證.

【詳解】(1)由題意可知：ZBPC=—,BC=2,

3

△PBCBC_2

所以的外接圓的半徑二=2sinNBPC=1萬=亍?

2x——

2

(2)若0」，

6

則S=S/人\&板k/\S1P/i.iKj+SrPaAuC+S廣p?℃r^-c-APsmd+-a-BPsin3+-b-CPsmO

=^sinO(a-BP+c-AP+b-CP)=^a-BP+c-AP+b-CP),

所以++

在△血更，PBC,P4C中，

分別由余弦定理得：BP2=c2+AP2-2.C-APcosd，

CP2^a2+BP2-la-BPcos3，AP2=b2+CP2-2b-CPcosd>

三式相加整理得2cose(a-8尸+C-4P+6-CP)=/+62+C2,

因?yàn)椤?工，所以/酉宮2H4Gs.

6

(3)由(2)^SAABC=^sm6(a-BP+c-AP+b-CP),

答案第151頁，共22頁

sin。

由285。(。?8月+。?42+兒。。)=。2