蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略：等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題（壓軸題四種模型）原卷版+解析

專題09易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題

壓軸題四種模型全攻略

寧甜【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...........................................................................1

【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】......................1

【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】.......................1

【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】..............................2

【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】..................3

【典型例題】

【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（四川省內(nèi)江市2022-2023學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知AABC是等腰三角形，如果它的兩

條邊的長(zhǎng)分別為8cm和3cm,則它的周長(zhǎng)為cm.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?廣東東莞?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)久人滿足卜-3|+伍-8）2=0,則它的周

長(zhǎng)是.

2.（北京市延慶區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm,

則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為cm.

3.（2022春?吉林長(zhǎng)春,八年級(jí)統(tǒng)考期末）若AABC的三邊長(zhǎng)分別為10-a,7,6,當(dāng)"LBC為等腰三角形時(shí)，

則0的值為.

4.（2022春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中）用一條長(zhǎng)為28cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，已知這個(gè)等腰三角

形一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的1.5倍，則它的底邊長(zhǎng)為cm.

【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023春?陜西寶雞?七年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是36。，則它的底角的度數(shù)是

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?福建漳州?七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谀┒x：在一個(gè)等腰三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角等

于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱該三角形為“倍角等腰三角形"."倍角等腰三角形"的頂角度數(shù)是（）

A.90°B.45°或36°C.108°或90°D.90°或36°

2.（2022秋?上海閔行?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為80°,那么其余的兩個(gè)角

的度數(shù)是.

3.（2022春?黑龍江黑河?八年級(jí)?？计谀┑妊切蔚囊粋€(gè)角比另一個(gè)角的2倍少20。，則這個(gè)等腰三角

形的頂角度數(shù)是.

4.（2022春?河北石家莊?八年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，ZAOB=4Q°,OC平分/AO3,

如果射線Q4上的點(diǎn)E滿足△OCE是等腰三角形，"EC的度數(shù)為.

5.（2022春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┰贏ABC中，AB^AC,Zfi4C=100°,點(diǎn)。

在邊BC上（不與8、C重合），連接AD,若是等腰三角形，則/ADC的度數(shù)為.

6.（2022春?江西贛州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在AABC中，ZB=20°,ZA=105°,點(diǎn)P在AABC的三邊

上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△弘。為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是.

A

5C

7.（2023春?江西吉安?八年級(jí)統(tǒng)考期中）己知：如圖，線段A2的端點(diǎn)A在直線/上，與/的夾角為30。，

點(diǎn)C在直線/上，若AABC是等腰三角形.則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)是.

B

A

【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023秋?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0,4）,8（8,0）,點(diǎn)C在x軸上,

且在點(diǎn)B的左側(cè)，若是等腰三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?江西九江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,若"1BC沿射線BC

方向平移機(jī)個(gè)單位得到ADEF,頂點(diǎn)A,B,C分別與頂點(diǎn)。，E,尸對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A,D,E為頂點(diǎn)的三角

形是等腰三角形，則根的值是.

2.（2023春?江西上饒?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)>=-彳+6的圖象與％軸，

y軸分別交于點(diǎn)4艮點(diǎn)C在無(wú)軸上，且不與原點(diǎn)重合，若AABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

3.（2023?江西新余?統(tǒng)考一模）在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=12,D、E分別是邊BC、

A3上的動(dòng)點(diǎn)?將△5DE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)？恰好落在邊AC上?若△AEB'是等腰三角形，則

的長(zhǎng)是.

【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023秋?山東泰安?七年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┑妊切我谎系闹芯€把三角形周長(zhǎng)分為15

和12兩部分，則此三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A.7B.11C.7或11D.無(wú)法確定

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?遼寧沈陽(yáng)?八年級(jí)校考階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45。，那么這個(gè)三角

形的頂角為（）

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

2.（2022秋?廣東惠州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30。，則頂角的度數(shù)

為—,

3.（2023秋?山西臨汾?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，AB=AC,。是A3邊上的高，ZACD=30°,貝I」

ZB=.

4.（2022春?廣東廣州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在AABC中，AB=AC,AC上的中線8。把三角形的周長(zhǎng)分

成24和30兩部分，則底邊BC的長(zhǎng)為.

5.（2022?陜西?交大附中分校七年級(jí)期末）已知AABC中，ZB=20°,在A8邊上有一點(diǎn)。，若CD將AABC

分為兩個(gè)等腰三角形，則NA=.

6.（2023春?廣東河源?八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）在AABC中，AB^AC,AC邊上的中線5。把三角形的周長(zhǎng)

分成12cm和15cm的兩部分，求三角形各邊的長(zhǎng).

專題09易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題

壓軸題四種模型全攻略

寧甜【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】..........................................................................1

【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】.......................1

【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】.......................1

【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】.............................2

【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】...................3

【典型例題】

【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（四川省內(nèi)江市2022-2023學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知AABC是等腰三角形，如果它的兩

條邊的長(zhǎng)分別為8cm和3cm,則它的周長(zhǎng)為cm.

【答案】19

【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為3cm,底邊長(zhǎng)為8cm時(shí)；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為8cm,

底邊長(zhǎng)為3cm時(shí)，利用三角形的三邊關(guān)系分別求解，即可得到答案.

【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為3cm,底邊長(zhǎng)為8cm時(shí)，

3+3=6<8,

，不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為8cm,底邊長(zhǎng)為3cm時(shí)，

?.?3+8=11>8,

，能構(gòu)成三角形，

,AABC的周長(zhǎng)為3+8+8=19cm；

綜上所述，AABC的周長(zhǎng)為19cm

故答案為：19.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，解題關(guān)鍵是掌握三角形任意兩邊之和大于第

三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋?廣東東莞?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)a、6滿足卜-3|+伍-8)2=0,則它的周

長(zhǎng)是.

【答案】19

【分析】通過(guò)等式可以判斷。，6的長(zhǎng)度，已知等腰三角形的兩邊，通過(guò)兩邊相等及構(gòu)造條件可以判斷三邊，

求出周長(zhǎng)即可.

【詳解】解:同a-3|+伍一8)2=0

回〃—3=0,/?-8=0

回。=3,Z7=8,

團(tuán)是等腰三角形，

團(tuán)三邊長(zhǎng)為3,3,8,或8,8,3,

團(tuán)3+3<8,圍不成三角形，不合題意，應(yīng)舍去，

團(tuán)其周長(zhǎng)為：8+8+3=19,

故答案為：19.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形兩邊相等的性質(zhì)及三角形的構(gòu)造條件，絕對(duì)值和完全平方非負(fù)性的應(yīng)用，

得出。，。的值是解題關(guān)鍵.

2.(北京市延慶區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm,

則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為cm.

【答案】17

【分析】由等腰三角形兩腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)，分7為腰長(zhǎng)或3為腰長(zhǎng)兩種情況，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求

解.

【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm時(shí)，7、7、3能組成三角形，周長(zhǎng)為：7+7+3=17(cm)；

當(dāng)腰長(zhǎng)為3cm時(shí)，3+3<7,7、3、3不能構(gòu)成三角形，

故答案為：17.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握"三角形兩邊之和大于第

三邊，兩邊之差小于第三邊

3.（2022春?吉林長(zhǎng)春,八年級(jí)統(tǒng)考期末）若"EC的三邊長(zhǎng)分別為10-a,7,6,當(dāng)AABC為等腰三角形時(shí)，

則a的值為.

【答案】3或4##4或3

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況：當(dāng)10-。=6時(shí)，當(dāng)10-。=7時(shí)，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)

即可.

【詳解】解：團(tuán)AABC為等腰三角形，

回當(dāng)10-。=6時(shí)，

解得a=4,

團(tuán)三邊長(zhǎng)為6,6,7

06+6>7,

團(tuán)符合三角形三邊的條件，

當(dāng)10-。=7時(shí)，

解得4=3,

團(tuán)三邊長(zhǎng)為7,7,6

06+7>7,

團(tuán)符合三角形三邊的條件，

13。的值為4和3.

故答案為：4和3.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義（兩邊相等的三角形），靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解

是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2022春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中）用一條長(zhǎng)為28cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，已知這個(gè)等腰三角

形一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的1.5倍，則它的底邊長(zhǎng)為cm.

【答案】12或7

【分析】可設(shè)一邊為xcm,則另一邊為1.5xcm,然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長(zhǎng)，解出X,再利用

三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】解：設(shè)一邊為xcm,則另一邊為1.5xcm,

①當(dāng)長(zhǎng)為xcm的邊為腰時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為xcm、xcm、1.5.vcm,

由題意可列方程：x+x+L5x=28,

解得尤=8,

此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：8cm、8cm和12cm,滿足三角形三邊之間的關(guān)系，符合題意；

②當(dāng)長(zhǎng)為xcm的邊為底時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：xcm、1.5xcm>1.5xcm,

由題意可歹!I方程：x+1.5x+1.5x=28,

解得：x=7,

此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：7cm、10.5cm,10.5cm,滿足三角形的三邊之間的關(guān)系，符合題意；

回這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為12cm或7cm.

故答案為：12或7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系，分情況討論且進(jìn)行三邊驗(yàn)證是解題的關(guān)鍵.

【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023春?陜西寶雞?七年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是36。，則它的底角的度數(shù)是.

【答案】36。或72。

【分析】分36。的角是是底角和頂角的情況分析，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：當(dāng)36。的角是底角時(shí)，則底角為36。，

當(dāng)36。的角是頂角時(shí)，則底角為：（180。-36。）=72。，

故答案為：36?；?2。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?福建漳州?七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)校考期末）定義：在一個(gè)等腰三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角等

于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱該三角形為“倍角等腰三角形"."倍角等腰三角形"的頂角度數(shù)是（）

A.90°B.45°或36°C.108°或90°D.90°或36°

【答案】D

【分析】設(shè)等腰三角形的頂角為x°,則底角為：（180。-狀）=90。-；》。，分兩種情況：當(dāng)頂角為底角的2倍

時(shí)，當(dāng)?shù)捉菫轫斀堑?倍時(shí)，分別列出方程求出x的值即可.

【詳解】解：設(shè)等腰三角形的頂角為尤°,則底角為3（180。-尤。）=90。-3爐，

當(dāng)頂角為底角的2倍時(shí)，x=2（90。-；1,

解得：％=90；

當(dāng)?shù)捉菫轫斀堑?倍時(shí)，2x=90°-^x,

解得：x-36；

綜上分析可知，"倍角等腰三角形”的頂角度數(shù)是90?；?6。，故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意進(jìn)行分類討論.

2.（2022秋?上海閔行?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為80。，那么其余的兩個(gè)角

的度數(shù)是.

【答案】50°,50?；?0。,80°

【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分類討論即可得到答案.

【詳解】解：①當(dāng)80。時(shí)頂角時(shí)，其余兩個(gè)角是底角且相等，則有：（180。-80。）+2=50。；

②當(dāng)80。時(shí)底角時(shí)，則有：頂角180。-80。X2=20。；

故答案為：50°,50°或20。，80°.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)：兩個(gè)底角相等，還考查了分類討論的思想.

3.（2022春?黑龍江黑河?八年級(jí)?？计谀┑妊切蔚囊粋€(gè)角比另一個(gè)角的2倍少20。，則這個(gè)等腰三角

形的頂角度數(shù)是.

【答案】44。或80。或140。

【分析】設(shè)另一個(gè)角是x,表示出一個(gè)角是2x-20。，然后分①x是頂角，2x-20。是底角，②》是底角，

2x-20°是頂角，③x與2x-200都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°與等腰三角形兩底角相等列出方程

求解即可.

【詳解】解：設(shè)另一個(gè)角是x,表示出一個(gè)角是2龍-20。，

①x是頂角，2x-20。是底角時(shí)，x+2（2x—20°）=180°,

解得X=44。，

所以，頂角是44。；

②x是底角，2龍-20。是頂角時(shí)，2x+（2x-20。）=180。，

解得x=50°,

所以，頂角是2x50°-20°=80°；

③x與2x-20。都是底角時(shí)，x=2x-20°,

解得x=20。，

所以，頂角是180。-20。、2=140。；

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是44?；?0?；?40。.

故答案為：44?；?0?；?40。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于分情況討論，特別是

這兩個(gè)角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯(cuò).

4.（2022春?河北石家莊?八年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，ZAOB=40°,OC平分/AO3,

如果射線上的點(diǎn)E滿足LOCE是等腰三角形，"EC的度數(shù)為.

【答案】20?；?0。或140。

【分析】求出/AOC,根據(jù)等腰得出三種情況，OE=CE,OC=OE,OC=CE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和

三角形內(nèi)角和定理求出即可.

【詳解】團(tuán)OC平分/A03,

0ZAOC=-ZAOB=20°,

2

分三種情況：①當(dāng)OC=OE時(shí)，如圖，

D

團(tuán)NQ￡C=NOCE,

0ZOEC=1(180°-ZAOC)=80°

②當(dāng)OC=CE時(shí)，如圖,

回OC—CE,

SZOEC=ZAOC=20°；

③當(dāng)OE=CE時(shí)，如圖,

SZOCE=ZAOC=20°,

0ZOEC=180°-ZOCE-ZAOC=140°,

綜上，NOEC的度數(shù)為：20?；?0?；?40。，

故答案為：20?；?0。或140。

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，用了分類討論思想.

5.(2022春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考期中)在AA5C中，AB=AC,N胡C=100。，點(diǎn)。

在邊3c上(不與2、C重合)，連接AD,若是等腰三角形，則N/1DC的度數(shù)為.

【答案】80。或110。

【分析】在A4BC中，根據(jù)A3=AC,ZE4c=100。，得到N3=NC=(180O-10()o)+2=40。，再根據(jù)AABD

是等腰三角形及三角形外角公式分類討論即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，

在AABC中，

SAB=AC,ABAC=100°,

0ZB=ZC=(180°-100°)+2=40°,

若△的是等腰三角形，

①當(dāng)時(shí)，

ZB=ZBAD=40°,

ZADC=ZB+ABAD=80°,

②當(dāng)BA=BD時(shí),

NBAD=NBDA,

ABAD=(180°-40°)4-2=70°,

ZADC=ZB+ZBAD=110°,

綜上所述80?；?10。.

【點(diǎn)睛】本題考查利用等腰三角形性質(zhì)求角度及三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題關(guān)鍵是分析出AABD的腰.

6.（2022春?江西贛州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在AA5c中，ZB=20°,Z4=105°,點(diǎn)尸在"1BC的三邊

上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△R4C為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是.

【分析】作出圖形，然后分點(diǎn)P在A3上與BC上兩種情況討論求解.

【詳解】解：①如圖1，

頂角為NA=105。,

②回N3=20°,ZA=105°,

0ZC=180°-20°-105°=55°，

如圖2,點(diǎn)P在BC上時(shí)，若AC=PC,

頂角為NC=55。,

如圖3,若AC=AP,

則頂角為NC4P=180°—2NC=180°—2x55°=70°，

綜上所述，頂角為105?；?5?；?0。.

故答案為：105?；?5?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分情況討論求解.

7.（2023春?江西吉安?八年級(jí)統(tǒng)考期中）己知：如圖，線段的端點(diǎn)A在直線/上，A3與/的夾角為30。，

點(diǎn)C在直線/上，若AABC是等腰三角形.則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)是.

B

.

A1

【答案】30°或120°或150°.

【分析】分情況討論：如圖，當(dāng)AB=AC時(shí)，C在A的右邊，如圖，當(dāng)=時(shí)，C在A的左邊，當(dāng)BA=BC

時(shí)，再分別畫出圖形求解即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)AB=AC時(shí)，C在A的右邊，則頂角NA4C=30。，

B

［，

AC1

如圖，當(dāng)AB=AC時(shí)，C在A的左邊，則頂角/BAC=180?！?0。=150。，

B

CA1

如圖，當(dāng)B4=3C時(shí)，則NA4c=ZBC4=30。，

B

AC

回頂角ZABC=180。-2x30。=120。；

如圖，當(dāng)AC=3C時(shí)，則NB4C=NABC=30。，

B

,

AC

此時(shí)頂角ZACB=180。一2x30。=120°,

故答案為：30?；?20?；?50。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記等腰三角形的頂角的含義與

等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023秋,江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0,4）,8（8,0）,點(diǎn)C在x軸上,

且在點(diǎn)8的左側(cè)，若AABC是等腰三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

【答案】（—8,0）或（8-46,0）或（3,0）.

【分析】分類討論：①當(dāng)他=AC時(shí)，②當(dāng)=時(shí)和③當(dāng)AC=3C時(shí)，畫出圖形，結(jié)合等腰三角形

的定義和性質(zhì)，勾股定理求解即可.

【詳解】解：分類討論：①當(dāng)AB=AC時(shí)，如圖，此時(shí)為AB=AG，

回AO_Lg,

團(tuán)OCX=OB=8,

回G（-8,0）；

②當(dāng)AB=3C時(shí)，如圖，此時(shí)為AB=BG，

團(tuán)OA=4,OB=8,

0BC2=AB=^O^C+OB-=4x/5，

0OC2=BC2-OS=4A/5-8,

0C2（8-4A/5,O）;

③當(dāng)AC=BC時(shí)，如圖，此時(shí)為AC3=BC3，

設(shè)G（x,°）,貝ijoc3=無(wú)，

團(tuán)AC3=BC3=OB—OC3=8—x.

222

在RtAOACs中，OA+OC3=AC3,

042+X2=（8-X）2,

解得：x=3,

0C,（3,O）.

綜上可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-8,0）或（8-4君,0）或（3,0）.

故答案為：（-8,0）或（8-4"0）或（3,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的定義和性質(zhì)，勾股定理.利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是

解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春,江西九江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知Rt^ABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,若AABC沿射線BC

方向平移機(jī)個(gè)單位得到ADEF,頂點(diǎn)A,B,C分別與頂點(diǎn)。，E,尸對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A,D,E為頂點(diǎn)的三角

形是等腰二角形，則根的值是.

【答案】925或5或8

O

【分析】分AD=DE,AE=AD=m,AE=DE三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】解：fflZC=90°,AC=3,BC=4,

0AB=A/32+42=5-

△ABC沿射線BC方向平移m個(gè)單位得到ADEF,

團(tuán)AD=BE=CF=m,DE=AB=5,DF=AC=3,EF=BC=4,

點(diǎn)A,D,E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況

①當(dāng)=時(shí)：如圖，此時(shí)加=5；

DA

FECB

②當(dāng)AE=AD=〃z時(shí)：如圖，

DA

則：CE=BC-BE=4-m,

在Rt^ACE中，AE2=AC2+CE2,即：m2=9+（4-m）2,

解得：相=三

O

③當(dāng)AE=D石時(shí)，如圖:

此時(shí)AE=A8,

0ZACB=9O°,

回BC=CE=4,

回機(jī)=BE=BC+CE=8；

25

綜上：m=—,5或8；

8

25

故答案為：F或5或8.

8

【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì).根據(jù)題意，準(zhǔn)確的畫圖，利用數(shù)形結(jié)合和

分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?江西上饒?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)＞=-彳+6的圖象與無(wú)軸，

y軸分別交于點(diǎn)A，艮點(diǎn)C在無(wú)軸上，且不與原點(diǎn)重合，若44BC為等腰三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

【答案】（-6,0）或（6+6應(yīng),0）或（6-6/0）

【分析】先求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)再分AB=AC,AB=BC,AC=BC,三種情況討論求解即可.

【詳解】（1）解：令y=o,得x=6,令x=0,得y=6,

回4（6,0）,3（0,6）,

團(tuán)OA—6,OB=6,

0AB=A/62+62=6A/2-

當(dāng)C4=CB時(shí)，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，不符合題意，舍去；

當(dāng)S4=3C時(shí)，OC=OA=6,C2（-6,0）；

當(dāng)AC=A3=6立時(shí)，點(diǎn)C3（6+60,O）,C4（6-672,0）.

綜上：點(diǎn)C在x軸上，且AABC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-6,0）,（6+6夜,0）,（6-6立,0）.

故答案為：（-6,0）,（6+672,0）,（6-60,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用.正確的求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論

的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?江西新余?統(tǒng)考一模）在中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=12,。、E分別是邊BC、

AB上的動(dòng)點(diǎn)?將ABDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)?恰好落在邊AC上?若△AEB'是等腰三角形，則

08的長(zhǎng)是.

【答案】6或60-6或0

【分析】分三種情況討論：當(dāng)AB'=￡B'時(shí)，△AE3'是等腰三角形；當(dāng)=時(shí)，△?!￡&是等腰三角形；

當(dāng)初=?E時(shí)，△>!￡&是等腰三角形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到C?

的值.

【詳解】解：?.,"=90。，ZA=30°,鈿=6=12,

:.ZB=60°,BC=6,

分三種情況討論：

①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，NB=NCB'E=60°,

vZA=30°,

:.ZAEB'=30°,

:.ZA^ZAEB',

:.AB'=EB',即是等腰三角形，

此時(shí)，CB'=BC=6；

②如圖所示，當(dāng)=時(shí)，△A￡8是等腰三角形,

:.ZABrE=75°,

由折疊可得，ZDB'E=ZABC=60°,

:.NDB'C=45°,

又,.?NC=90。，

：.^DCB'是等腰直角三角形，

T^CB'=X=DC,貝i」3Z)=6-x=D?,

?/Rt^DCB'中，%2+x2=(6-x)2,

解得6,%=—6J5—6(舍去)，

;.C?=6拒-6;

③如圖所示，當(dāng)點(diǎn)"與點(diǎn)C重合時(shí)，ZB=ZDCE=60°,

.-.ZEB'A=30°=ZA,

:.AE=B'E,即是等腰三角形，

此時(shí)C?=0,

綜上所述，當(dāng)△A￡?是等腰三角形時(shí)，CE的值是6或6&-6或0.

故答案為：6或6&-6或0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決

問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)△AEB'是等腰三角形，畫出圖形進(jìn)行分類討論，解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用.

【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023秋?山東泰安?七年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）等腰三角形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為15

和12兩部分，則此三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A.7B.11C.7或11D.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)AD=DC=X,BC=y,然后分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的

三邊關(guān)系判斷即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

A

根據(jù)等腰三角形的定義和三角形中線的性質(zhì)得：AD.DC^AC^AB.

可設(shè)AO=￡>C=無(wú)，BC=y,

0AB=2x.

x+2x=15y\x+2x=12

由題意得:y+x=12或jy+%=15

x=5\x=4

解得:,=7耳|y=ll'

（x—5

當(dāng)，時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為10,10,7,

[y=7

v10+7>10,符合三角形的三邊關(guān)系,

,此情況成立；

[x=4

當(dāng)l時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為8,8,11,

（7=11

?.-8+8>11,符合三角形的三邊關(guān)系，

二此情況成立.

綜上可知這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是7或11.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì).利用分類討論的思想是解題

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?遼寧沈陽(yáng)?八年級(jí)校考階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45。，那么這個(gè)三角

形的頂角為（）

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

【答案】D

【分析】分三角形是銳角三角形時(shí)，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時(shí)，利用三角

形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【詳解】如圖1,三角形是銳角三角時(shí)，

回頂角ZA=90°-45°=45°；

如圖2,三角形是鈍角時(shí)，

回/46=45°,

回頂角/BAC=450+90°=135°,

綜上所述，頂角等于45?；?35。.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀.

2.（2022秋?廣東惠州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30。，則頂角的度數(shù)

為—,

【答案】60?；?20。

【分析】分兩種情況：等腰三角形的頂角是鈍角或者等腰三角形的頂角是銳角，分別進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：①如圖1,當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它

不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角是90。+30。=120。；

②如圖2,當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，故頂角是90。-30。=60。.

A

圖1圖2

故答案為60?；?20。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，注靈活運(yùn)

用相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?山西臨汾?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在“BC中，AB^AC,8是A2邊上的高，ZACD=30°,則

ZB=.

【答案】60°或30。/30。或60。

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出/A的度數(shù)然后再求出的度數(shù)；

【詳解】如圖，當(dāng)8在融。內(nèi)時(shí)

?：CDYAB

:.ZA=900-ZACD=60°

?.?AB=AC

.\ZB=ZC=60°

\-CDYAB

ABAC=90°+ZACD=120°

?.?AB=AC

.\ZB=ZC=30°

D,

A

BC

故答案為60°或30°

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的角平分線、中線和高；三角形內(nèi)角和定理及推論此題

難度不大，屬于中等題；

4.（2022春?廣東廣州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在AABC中，AB^AC,AC上的中線8。把三角形的周長(zhǎng)分

成24和30兩部分，則底邊的長(zhǎng)為.

【答案】22或14

【分析】分兩種情況：AB+AD=24；AB+AD=30,可得AB的長(zhǎng)，再由另一部周長(zhǎng)即可求得底邊2C的

長(zhǎng).

【詳解】解：由題意得：AD=CD

.-.AB=AC=2AD；

當(dāng)AB+AD=24時(shí)，

即2AD+AD=24,

:.AD=8,

BC+CD=30,

.?.BC=30-CD=30-8=22；

當(dāng)AB+4）=30時(shí)，

即2AD+AD^3